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ContrôleFinalduMo duleAnalyseNumérique
SessiondeJanvier2016.De:10h30à12h
Exercice1(4pt.)DonnerladécompositionLUdelamatriceAsuivanteA= 2 1−1
4 6−1
2−7 3 . RésoudrelesystèmeAx=boùb= 3 5−1 Exercice2(6pt.)Ondonnelafonctionf(x) =x2 +x−1,onveutapprochersonzéropositifx exacte= √5−1 2
≈0.61803.
1.Enpartantdea0 = 0.5etb0 = 1.Donnerlesdeuxpremiersinterval lesobtenusenutilisant
laméthode,dedichotomieetdeLagrangeetpréciserl'erreurdanschaqueitération.
2.Enprenantx0 = 1,donnerlesdeuxpremièresitérationsobtenuesenutilisantlaméthode
deNewtonetpréciserl'erreurdanschaqueitération.
Exercice3(4pt.)Donnerlepolynômeinterpolantlafonctionfauxpoints(−1,−1),(0,−1),
(1,−1)et(2,5)enutilisant
1.labasedeLagrange
2.laméthodedesfractiondiviséesdeNewton
Exercice4(6pt.)SoitI=∫ 10 1
1 +x2 dx.
1.Rappelerlesformulescompositesdupointmilieu,destrapèzesetdesimpsonainsique
l'erreurcommisedanschacunedesméthodes,
2.Combienfaut-ildesubdivisionsde[0,1]pourévaluerIà10−3 prèsenutilisantlaméthode
deSimpson
3.DonnerlavaleurapprochéedeI,parlaméthodedeSimpsoncompositeenutilisantla
subdivisionx0 = 0,x1 =1 2etx 2
= 1.
4.Quel leestalorsl'ordredel'erreurcommise ?
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CorrigéducontrôleFinalduMo duleAnalyseNumérique
SessiondeJanvier2016.De:10h30à12h
Corrigédel'exercice1(4pt.)Onsuivantl'algorithmeonobtientL 1= 1 0 0− 42 1 0− 22 0 1
, A(1) =L1 A=
2 1−1
0 4 1
0−8 4 , L2 =
1 0 0
0 1 0
0 2 1
, A(2) =L2 A(1) =L2 L1 A=
2 1−1
0 4 1
0 0 6 . Donc,
(1pt.)L=
1 0 0
2 1 0
1−2 1 ,etU= 2 1−1
0 4 1
0 0 6 (1pt.) Onabien,A= 2 1−1
4 6−1
2−7 3 = 1 0 0
2 1 0
1−2 1
2 1−1
0 4 1
0 0 6 =LU PourrésoudrelesystèmeAx=b,onrésoutlesystèmeéchelonnéLy=betUx=y
successivement.Donc,
1 0 0
2 1 0
1−2 1 y 1y 2y 3 = 35 −1 ⇒ y 1
= 32y 1+y 2
= 5y 1−2y 2+y 3=−1 ⇒ y1 = 3y 2=−1 y3 =−6(1pt.) Puis,
2 1−1
0 4 1
0 0 6 x 1x 2x 3 = 3−1 −6 ⇒ 2x 1+x 2−x 3
= 34x 2+x 3=−1 6x3 =−6⇒ x 1
= 1x 2
= 0x 3=−1 (1pt.)
Finalementonabien
2 1−1
4 6−1
2−7 3 1 0−1 = 3 5−1 Corrigédel'exercice2Onposef(x) =x2 +x−1
1.Pourlapremièreitérationdeladichotomie,onposea0 = 0.5etb0 = 1,onaf(a0 ) =
f(0.5) =−0.25< etf(b0 ) =f(1) = 1>0.Oncalculef(a 0+b 02 ) =f(0.75) = (0.75)2 +
0.75−1 = 0.3125>0.Onposea1 =a0 = 0.5etb1 =a 0+b 02 = 0.75.(0.5pt.)
Onaalors0.5< xexacte < .75l'erreurestdoncinférieureà0.75−0.5 = 0.25(0.5pt.)
Pourladeuxièmeitérationdeladichotomie,oncalculef(a 1+b 12 ) =f(0.625) = (0.625)2 +
0.625−1 = 0.015625>0.Onposea2 =a1 = 0.5etb2 =a 0+b 02 = 0.625.(0.5pt.)
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Onaalors0.5< xexacte < .625l'erreurestdoncinférieureà0.625−0.5 = 0.125(0.5pt.) PourlapremièreitérationdeLagrange,onaa0 = 0.5etb0 = 1,onposec0 =a0 −b 0−a 0f(b 0)−f(a 0) f(a0 ),doncc0 = 0.5−1−0.5 f(1)−f(0.5)
f(0.5) = 0.5−0.5 1−0.25
(−0.25) =2 3orf(c 0
) =f( 23 ) =1 9
>0.Onposealorsa1 =a0 = 0.5etb1 =c0 =2 3
.(0.5pt.)
Onaalors1 2
< xexacte < 3
l'erreurestdoncinférieureà2 3− 12 =1 6
≈0.166666(0.5pt.)
Pourladeuxièmeitérationde,onposec1 =a1 −b 1−a 1f(b 1)−f(a 1) f(a1 ) =1 2− 23 −1 2f( 23 )−f(1 2) f(1 2
) =1 2− 16 1336 (−1 4
) =8 13orf( 813 ) =−1 169
< onposealorsa2 =c1 =8 13etb 2=b 1= 23 .(0.5pt.) Onaalors8 13
< xexacte < 3
l'erreurestdoncinférieureà2 3− 813 =2 39
≈0.051282(0.5pt.) 2.PourlaméthodedeNewton,lasuiteestdonnéeparxn+1 =xn −f(x n) f′ (xn ),x 0
= 1donné.
Donclapremièreitérationdonnex1 =x0 −f(x 0) f′ (x0 )
= 1−1 3= 23 x1 =2 3
(0.5pt.)ete 1=|x 1−x exacte
|= 0.0486326(0.5pt.)
ladeuxièmeitérationx2 x1 =x1 −f(x 1) f′ (x1 )= 23 −1/9 7/3= 23 −1 21= 1321 ≈0.619047(0.5pt.)ete 2=|x 2−x exacte
|= 0.00101(0.5pt.)
Corrigédel'exercice31.Lepolynômed'interpolationdeLagrangededegrénsurl'en-
sembledesn+ 1points(xi ,yi )i=n i=0
s'écritP n
(x) =i=n ∑i=0 (y ij=n ∏
j=0,j6=ix−x jx i−x j) (0.5pt.)
Icin= 3onaalors,L 1
(x) =
x(x−1)(x−2)
(−1−0)(−1−1)(−1−2)=− x3 −3x2 + 2x6 (0.25pt.)L 2
(x) =
(x+ 1)(x−1)(x−2)
(0 + 1)(0−1)(0−2)= x3 −2x2 −x+ 22 (0.25pt.)L 3
(x) =
x(x+ 1)(x−2)
(1 + 1)(1−0)(1−2))=− x3 −x2 −2x2 (0.25pt.)L 4
(x) =
x(x+ 1)(x−1)
(2 + 1)(2−0)(2−1)= x3 −x6 (0.25pt.)
lepolynômed'interpolationestdonnéparP 3
(x) =−L1 (x)−L2 (x)−L3 (x) + 5L2 (x) =x3 −x−1(0.5pt.)
2.PourlaméthodedesfractionsdiviséesdeNewtononaP 3
(x) =a0 +a1 (x+ 1) +a2 (x+ 1)(x−0) +a3 (x+ 1)(x−0)(x−1)ondresseletableau
suivant,
C'estàdirequeP3 (x) =−1 +x(x+ 1)(x−1) =x3 −x−1(2pt.)
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U.I.TFacultédessciencesFilièreSMP:S3xf(x) −1-1=a0 0−1−1−(−1) 0−(−1)= 0=a1 1−1−1−(−1) 1−0
= 0=0−0 1−(−1)=0=a 225 5−(−1)2−1 = 66−0 2−0
= 33−0 2−(−1)= 1=a3 Corrigédel'exercice41.Soitf: [a,b]→Rcontinue,n∈N,n≥2eth=b−a n,onpose x0 =a,xn =b,xk =x0 +khetx k= xk−1 +xk 2
,pour1≤k≤n.Pourévaluer∫ ba f(x)dx,
onutilisel'unedesméthodesnumériquesusuel lessuivanteslaformulecompositedu
pointmilieuestdonnéeparI c
P M
(f) =hn ∑k=1 f(x k
),(0.5pt.)
SienplusfestdeclasseC2 l'erreurcommiseestestiméepar∣ ∣∣ ∣∫ ba f(x)dx−Ic P M(f) ∣∣ ∣∣ ≤(b−a)h 224 maxx∈[a,b] |f′′ (x)|(0.5pt.)
laformulecompositedestrapèzesestdonnéeparI cT (f) =h 2n ∑k=1 f(xk−1 +f(xk )),(0.5pt.)
SienplusfestdeclasseC2 l'erreurcommiseestestiméepar∣ ∣∣ ∣∫ ba f(x)dx−Ic T(f) ∣∣ ∣∣ ≤(b−a)h 212 maxx∈[a,b] |f′′ (x)|(0.5pt.)
etlaformulecompositedeSimpsonestdonnéeparI cS (f) =h 6n ∑k=1 [f(xk−1 + 4f(xk ) +f(xk )],(0.5pt.)
SienplusfestdeclasseC4 l'erreurcommiseestestiméepar∣ ∣∣ ∣∫ ba f(x)dx−Ic S(f) ∣∣ ∣∣ ≤h 42880 maxx∈[a,b] |f(4) (x)|(0.5pt.)
2.PourévaluerIà10−3 prèsparlaméthodedeSimpsoncompositeilsu tquel'erreur
commisesoitinférieureà10−3 .
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Ordanscecas(b−a) = 1,etf(4) (x) =−24 (1+x2 )3 +144x+48 (1+x2 )4 −96 (1+x2 )5 doncmaxx∈[0,1] |f(4) (x)|≤312. Pouravoirl'erreurdésiréeondevraitavoirh 4≤ 2880312 ×10−3 ⇒h≤0.31
Ilsu tdeprendreh=1 4
pourobtenirlaprécisionvoulue.Onauradoncbesoinde4
pointsdesubdivisionspourcetteméthode.(1pt.)
3.LavaleurapprochéedeI,parlaméthodedeSimpsoncompositeenutilisantlasubdivisionx 0
= 0,x1 =1 2etx 2
= 1estdonnéeparh=1 2I cS (f) =h 6( f(0) +f(1) + 2f(1 2
) + 4( f(1 4
) +f(3 4) ))
C'estàdireque,Ic S
(f) =1 12( 1 +1 2
+ 2×5 4
+ 4( 1617 +16 25)) = 0.86039(1pt.)
4.lavaleurexactedeIestπ 4
,l'erreurcommisedoncest|I−Ic S(f)|=| π4 −0.86039|≤0.075(1pt.) M.MoussaPage5/5