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Obtenir le pack maintenantModule Analyse Numérique Série N◦ 3 : Exercice 1 On considère l'intégrale suivante, I = Z 21 dxx 1. Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes pour le pas h = 1/3. 2. Calculer la valeur exacte de I. (a) Pourquoi la valeur numérique obtenue à la question 1. est-elle supérieure à ln 2? (b) Est-ce vrai quelque soit h ? (c) Proposer une autre fonction dont la valeur de l'intégrale évaluée par la méthode des trapèzes est toujours supérieure à la valeur exacte de l'intégrale. 3. Si on souhaite évaluer I avec la méthode de Simpson, quel pas faut-il choisir pour avoir une erreur inférieure à 10−4? Exercice 2 Soit F(x) = Z x0 te−t dt. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer F(1) à 10−5 près en utilisant 1. la méthode du point milieu 2. la méthode de Simpson Exercice 3 (Février 2015) Soit 1. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−5 près en utilisant la méthode de Simpson 2. Donner la valeur approchée de I en utilisant Exercice 4 (janvier 2016)On considère l'intégrale suivante 1. Rappeler les formules composites du point milieu, des trapèzes et de Simpson, ainsi que l'erreur commise dans chacune des méthodes. 2. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−3 près en utilisant la méthode de Simpson 3. Donner la valeur approchée de I en utilisant la subdivision x0 = 0,x1 =1 2 , et x2 = 1 4. quelle est alors l'erreur commisexk−1 P0,k(f)(x)dx . oú P0,k(x) est le polynôme de degré 0 qui passe par le point d'abscisse x ̄k. 2. Calculer Z xkxk−1 P1,k(f)(x)dx . oú P1,k(x) est le polynôme de degré 1 qui passe par les points d'abscisses xk−1 et xk. 3. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−3 près en utilisant pour f(t) = t cos(t) en utilisant (a) la méthode des Trapèzes (b) la méthode de Simpson Module Analyse Numérique Corrigé de la série N◦ 3 : Solution de l'e xercice 1 On considère l'intégrale suivante 1. La formule composite du trapèze est donnée par . Dans notre cas on a donc pour le pas h = 1/3., 2. La valeur exacte de I est ln 2 ≈ 0.69 (a) On observe eectivement que IT calculer en 1. est supérieur à ln(2) ≈ 0.69. On peut se convaincre à l'aide d'un dessin que les trapèzes sont au-dessus de la courbe y = 1/x , l'aire sous les trapèzes sera donc supérieure à l'aire sous la courbe. (b) Cela reste vrai quelque soit le pas h choisi car la fonction x → 1/x est convexe sur ]0; +∞[ ce qui signie qu'une corde dénie par deux points de la courbe y = 1/x sera toujours au-dessus de la courbe et par le raisonnement précédant l'aire sous les trapèzes sera supérieure à l'aire exacte. (c) Il sut de trouver une fonction dont la dérivée seconde soit positive,