Série d'exercices 3 integra - analyse numérique avec matlab

Télécharger PDF

Obtenir le pack complet des cours, TDs, TPs et projets sur analyse numérique!

Êtes-vous un étudiant passionné d'informatique et souhaitez-vous maîtriser analyse numérique ? Ne cherchez plus, nous avons le pack parfait pour vous.

Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD), des travaux pratiques (TP) et des projets.

Obtenir le pack maintenant

 Module Analyse Numérique Série N◦ 3 :
Exercice 1 On considère l'intégrale suivante, I =
Z 21 dxx 1. Évaluer numériquement cette intégrale par la méthode des trapèzes pour le pas h = 1/3.
2. Calculer la valeur exacte de I.
(a) Pourquoi la valeur numérique obtenue à la question 1. est-elle supérieure à ln 2?
(b) Est-ce vrai quelque soit h ?
(c) Proposer une autre fonction dont la valeur de l'intégrale évaluée par la méthode des
trapèzes est toujours supérieure à la valeur exacte de l'intégrale.
3. Si on souhaite évaluer I avec la méthode de Simpson, quel pas faut-il choisir pour avoir une
erreur inférieure à 10−4?
Exercice 2 Soit F(x) = Z x0 te−t
dt. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer F(1)
à 10−5 près en utilisant
1. la méthode du point milieu
2. la méthode de Simpson
Exercice 3 (Février 2015) Soit 1. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−5 près en utilisant la méthode
de Simpson
2. Donner la valeur approchée de I en utilisant Exercice 4 (janvier 2016)On considère l'intégrale suivante 1. Rappeler les formules composites du point milieu, des trapèzes et de Simpson, ainsi que
l'erreur commise dans chacune des méthodes.
2. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−3 près en utilisant la méthode
de Simpson
3. Donner la valeur approchée de I en utilisant la subdivision x0 = 0,x1 =1 2
, et x2 = 1
4. quelle est alors l'erreur commisexk−1 P0,k(f)(x)dx . oú P0,k(x) est le polynôme de degré 0 qui passe par le point
d'abscisse x ̄k.
2. Calculer Z xkxk−1 P1,k(f)(x)dx . oú P1,k(x) est le polynôme de degré 1 qui passe par les points
d'abscisses xk−1 et xk.
3. Combien faut-il de subdivisions de [0, 1] pour évaluer I à 10−3 près en utilisant pour f(t) =
t cos(t) en utilisant
(a) la méthode des Trapèzes
(b) la méthode de Simpson
Module Analyse Numérique
Corrigé de la série N◦ 3 :
Solution de l'e xercice 1 On considère l'intégrale suivante 1. La formule composite du trapèze est donnée par
. Dans notre cas on a donc pour le pas h = 1/3.,
2. La valeur exacte de I est ln 2 ≈ 0.69
(a) On observe eectivement que IT calculer en 1. est supérieur à ln(2) ≈ 0.69. On peut
se convaincre à l'aide d'un dessin que les trapèzes sont au-dessus de la courbe y = 1/x
, l'aire sous les trapèzes sera donc supérieure à l'aire sous la courbe.
(b) Cela reste vrai quelque soit le pas h choisi car la fonction x → 1/x est convexe sur
]0; +∞[ ce qui signie qu'une corde dénie par deux points de la courbe y = 1/x sera
toujours au-dessus de la courbe et par le raisonnement précédant l'aire sous les trapèzes
sera supérieure à l'aire exacte.
(c) Il sut de trouver une fonction dont la dérivée seconde soit positive,