Td3 an17 méthodes itératives - analyse numérique avec matla

Ce document d'exercices est conçu pour les étudiants universitaires en mathématiques appliquées ou en sciences de l'ingénieur. Il vise à renforcer la compréhension et la maîtrise des méthodes numériques fondamentales pour la résolution de problèmes en algèbre linéaire et en analyse numérique.

Il couvre les notions suivantes :

Les méthodes itératives pour la résolution de systèmes linéaires (Jacobi, Gauss-Seidel).
Les algorithmes de résolution des équations non linéaires (méthode du point fixe, méthode de Newton).
L'analyse de la convergence et de l'ordre des méthodes itératives.

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TD n°3 - Méthodes Numériques Avancées

Ce document, issu des cours de H. Douzi en 2017, présente un ensemble d'exercices pratiques sur les méthodes numériques. Il couvre à la fois les techniques itératives pour la résolution de systèmes linéaires et les algorithmes pour les problèmes non linéaires, des sujets fondamentaux pour les étudiants en SM4, SMI4 et SMP4.

Méthodes Itératives pour les Systèmes Linéaires

Exercice 1

1) Soit la matrice A :

A = [[1, 2, 2], [1, 1, 1], [2, 2, 1]]

Montrer que ρ(J) < 1 et ρ(L₁) < 1, où J est la matrice d'itération de Jacobi et L₁ est la matrice d'itération de Gauss-Seidel.

2) Soit la matrice A :

A = [[2, 1, 1], [2, 2, 2], [1, 1, 2]]

Montrer que ρ(J) < 1 et ρ(L₁) < 1.

Explication: Le rayon spectral, noté ρ(M), d'une matrice M est la valeur absolue maximale de ses valeurs propres. Pour les méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires, comme celles de Jacobi et de Gauss-Seidel, la condition ρ(M) < 1 est une condition suffisante pour garantir la convergence de la méthode. Cela signifie que les approximations successives se rapprocheront de la solution exacte du système.

Méthodes pour les Problèmes Non Linéaires

Exercice 1 - Résolution par Point Fixe

1. On veut résoudre l'équation x * e^x = 2.

a. Vérifier que cette équation peut s'écrire sous forme de point fixe : x = 2 * e^-x.

b. Écrire l'algorithme de la méthode de point fixe et calculer les itérés x₀, x₁, x₂ et x₃ en partant de x₀ = 1.

c. Justifier la convergence de la méthode.

2. On veut résoudre l'équation x² - 2 = 0.

a. Vérifier que cette équation peut s'écrire sous forme de point fixe : x = √(2x). (Note : il existe plusieurs réécritures possibles pour obtenir une forme de point fixe, et le choix influence la convergence).

b. Écrire l'algorithme de la méthode de point fixe et tracer sur un graphique les itérés : x₀, x₁, x₂ et x₃ en partant de x₀ = 1 et x₀ = 2.

c. Tester la méthode de point fixe sur : x = x² + 2x + 2.

Explication: La méthode de point fixe est une technique itérative utilisée pour trouver les solutions d'une équation de la forme x = g(x). Partant d'une estimation initiale x₀, on calcule x_k+1 = g(x_k). La convergence de cette méthode est assurée si, dans un intervalle contenant le point fixe, la valeur absolue de la dérivée de g est strictement inférieure à 1, c'est-à-dire |g'(x)| < 1.

Exercice 2 - Étude des Racines Doubles

Cet exercice explore les spécificités de la méthode de Newton lorsqu'elle est appliquée à des fonctions présentant des racines doubles, ainsi que les modifications possibles pour optimiser sa convergence.

Exercice 3 - Méthode de Newton pour les Racines Multiples

Soit α une racine double d'une fonction réelle f : f(x) = (x - α)² * h(x) avec h(α) ≠ 0.

1. La méthode de Newton pour approcher α est donnée par : x_k+1 = g(x_k) = x_k - f(x_k) / f'(x_k).

Montrer que, dans ce cas particulier d'une racine double, la méthode de Newton est seulement d'ordre 1.

2. On considère la méthode de Newton modifiée suivante : x_k+1 = l(x_k) = x_k - 2 * f(x_k) / f'(x_k).

Montrer que dans ce cas, cette méthode modifiée est d'ordre 2 lorsqu'on veut approcher α.

Explication: Pour une racine simple, la méthode de Newton-Raphson converge quadratiquement (ordre 2), ce qui signifie que le nombre de chiffres significatifs corrects double à chaque itération. Cependant, pour une racine multiple (comme une racine double), sa convergence est ralentie et devient linéaire (ordre 1). La modification proposée, en introduisant un facteur 2, vise à restaurer la convergence quadratique même pour des racines doubles, améliorant ainsi l'efficacité de l'algorithme.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une méthode itérative pour les systèmes linéaires ?

Une méthode itérative est une technique de résolution de systèmes linéaires (Ax=b) qui commence par une approximation initiale de la solution et génère une suite de meilleures approximations. Contrairement aux méthodes directes qui calculent une solution exacte en un nombre fini d'étapes (comme la méthode de Gauss), les méthodes itératives convergent vers la solution exacte et sont souvent préférées pour les grands systèmes.

Quelle est la différence entre la méthode de Jacobi et celle de Gauss-Seidel ?

La principale distinction réside dans l'utilisation des valeurs calculées lors de l'itération actuelle. La méthode de Jacobi utilise toutes les valeurs du vecteur d'itération précédent pour calculer les nouvelles composantes. En revanche, la méthode de Gauss-Seidel met à jour les composantes du vecteur de solution séquentiellement, en utilisant les valeurs déjà calculées lors de l'itération courante dès qu'elles sont disponibles, ce qui la rend souvent plus rapide en termes de convergence.

Quand doit-on utiliser la méthode de point fixe ou la méthode de Newton pour les problèmes non linéaires ?

La méthode de point fixe est adaptée pour des équations reformulées en x = g(x) et est relativement simple. Sa convergence dépend fortement du choix de g(x) et de l'initialisation. La méthode de Newton (ou Newton-Raphson), qui s'applique aux équations f(x) = 0, est généralement plus rapide (convergence quadratique) si la dérivée f'(x) est calculable et si l'approximation initiale est proche de la racine. La méthode de Newton est souvent préférée pour sa rapidité, mais peut échouer si f'(x) est proche de zéro ou si l'initialisation est mauvaise.