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Obtenir le pack maintenantUniversit ́e Hassan II CasablancaM.I.P
Facult ́e des Sciences et Techniques Mohammedia
D ́epartement de math ́ematiques
Analyse num ́erique
TP : MapleMaple Le logicielMapleest un syst`eme de calcul formel. C’est un langage symbolique.
C’est-`a-dire que tout ce qu’il peut faire avec des nombres, il peut le faire avec des
symboles.
Premiers calculs
Pour ex ́ecuter des calculs sousMaple, on veillera `a respecter une certaine syn-
taxe : ils seront toujours pr ́ec ́ed ́es du symbole et seront valid ́es par la touche
Entr ́ee.
18+20;30−14;82∗5;12/4;2100 ;
Si on ne souhaite pas afficher des calculs interm ́ediaires, on pourra remplacer le
symbole ; par le symbole : 8/5 2: Le symbole % sera tr`es utile puisqu’il rappelle le dernier r ́esultat calcul ́e, qu’il a ́et ́e affich ́e ou non. 4 5; %/2;
De mˆeme, le symbole %% et %%% remplacent l’avant dernier r ́esultat ex ́ecut ́e
et l’avant avant dernier r ́esultat ex ́ecut ́e.
Des calculs formels
Maplepermet d’ex ́ecuter des calculs symboliques au moyen des commandes
sp ́ecifiques sous forme d’une fonction :
sqrt(512)/18;# pour calculer une racine carr ́ee
solve(x3 −7 x+6=0,x);# pour r ́esoudre une ́equation
sum(1/k,k=1..n);# pour calculer une somme1 Les nombres
•Les nombres entiers
Soienta, b, netkdes entiers
ifactor;# donne la d ́ecomposition en facteurs premiers de a
isprime(a);# teste la primalit ́e de a
igcd(a,b);# d ́etermine le PGCD de a et b
ilcm(a,b);# d ́etermine le PPCM de a et b
iquo(a,b);# donne le quotient dans la division euclidienne de a et b
irem(a,b);# donne le reste dans la division euclidienne de a et b
n!;# calcule la factorielle n
binomial(n,k);# calcule le coefficient binomial( nk )
•Les nombres rationnels
18+13/6;
•Les nombres r ́eels
3+4∗sqrt(5);
Si on souhaite obtenir une valeur approch ́ee, on utilisera la commandeevalf
sqrt(2);
evalf(sqrt(2));# 10 chiffres significatifs par d ́efaut
evalf(sqrt(2),20);# 20 chiffres significatifs
Les fonctions math ́ematiques : Fonction ou expression
Les fonctions trigonom ́etriques :
sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x)
Les fonctions trigonom ́etriques hyperboliques :
sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x)2 Des fonctions pr ́ed ́efinies:
ln(x);# logarithme n ́ep ́erien de x
exp(x);# exponentielle de x
sqrt(x);# racine carr ́ee de x
floor(x);# partie enti`ere de x
ceil(x);# entier imm ́ediatement sup ́erieur `a x
abs(x);# valeur absolue de x
On peut d ́efinir de nouvelles fonctions :
•sous forme d’une expression :
a:= (x2 +1)/(x−2);
•sous forme d’une fonction :
f:=x→3∗tan(x)−1;
Etude d’une fonction math ́ematique
•Limites
f:=x→sin(x)/x;limit(f(x),x=0);
f:=x→x+exp(−x);limit(f(x),x=infinity);
limit(tan(x),x=Pi/2);
limit(tan(x),x=Pi/2,left);limit(tan(x),x=Pi/2,right);
•D ́eriv ́ees g:=x→x 5
−3∗x+7;diff(g(x),x);
h:=x→2∗sin(x);D(h);
diff(h(x),x$3); (D@@3)(h);# d ́eriv ́ee troisi`eme
•Evaluation
f:=x→2∗arctan(x);f(1);
u:= (sin(x))2 (x);eval(u,x=sqrt(2)/2);
•Repr ́esentation graphique v:=2∗x 2
+3∗x−4;plot(v,x=−5..5);
plot(v,x=−5..5,y=−10..10,discont=true);3 Calcul int ́egral
int(sin(x)−x,x);# calcul de primitive
int(sin(x)−x,x=0..Pi);# calcul d’int ́egrale d ́efinie
evalf(int(1/(2∗sqrt(x)),x=0..Pi));# int ́egrer num ́eriquement
Equations diff ́erentielles
deq:=diff(y(x),x$2)−5∗diff(y(x),x)−6∗y(x) =2∗exp(x);
dsolve(deq,y(x));# r ́esolution d’une ́equation diff ́erentielle
D ́eveloppement en s ́eries
taylor(exp(−x)∗sin(2∗x),x=0,6);# d ́eveloppement en s ́eries au-
tour de 0 jusqu’au terme d’ordre 6
mtaylor(sin(x2 +y2 ),{x,y},8,[2,1]);# d ́eveloppement en s ́eries par
rapport au couple de variables{x,y}jusqu’`a l’ordre 8, et autour du point [2,1]
Les structures de donn ́ees ́el ́ementaires
Maplenous donne les moyens de construire des structures de donn ́ees :
•Les listes
Pour construire une liste, il suffit d’entourer une s ́equence d’une paire de cro-
chets. Les listes sont des structures ordonn ́ees.Mapleconserve exactement
l’ordre dans lequel les ́el ́ements ont ́et ́e plac ́es dans la liste.
liste1:= [0,2,3,−8,5];
liste2:= [seq(i,i=1..5)];# une liste construite par la commandeseq
liste1+liste2;# ajouter la liste2 `a la liste1
liste3:= [seq(i2 ,i=1..10)];
liste3[8];# extraire le 8 `eme ́el ́ement de la liste3
•Les ensembles
Pour construire un ensemble, il suffit d’entourer une s ́equence d’une paire
d’accolades{}.Maple ́elimine automatiquement les r ́ep ́etitions entre les{}.
ensemble1:={1,2,3,4};
ensemble2:={a,b,c,d,1,3,5,3};
Mapleeffectue les op ́erations ensemblistes habituelles :
ensemble1unionensemble2;# la r ́eunion de deux ensembles4 ensemble1intersectensemble2;# l’intersection de deux ensembles
ensemble1minusensemble2;# la diff ́erence de deux ensembles
L’alg`ebre lin ́eaire
Pour manipuler les matrices (Matrix) et les vecteurs (Vector), il existe le pack-
ageLinearAlgebradans lequel on trouve un grand nombre de fonctions pour les
op ́erations sur les matrices et les vecteurs.
with(LinearAlgebra);
v1:=Vector([1,5,8]);
v2:=Vector([2,−5,3]);
mat1:=Matrix([[1,2,4],[3,5,1],[1,0,−2]]);
mat2:=Matrix([[7,2,−4],[4,−3,−1],[1,2,−2]]);
Pour ́evaluer des expressions alg`ebriques :
+et-repr ́esentent l’addition et la soustraction
*repr ́esente le produit par un scalaire
.repr ́esente le produit matriciel
ˆrepr ́esente l’ ́el ́evation d’une matrice `a une puissance enti`ere, qui peut ˆetre
n ́egative pour l’inverse
v1+v2;v1−v2;3∗v1+2∗v2;
2∗mat1−5∗mat2;mat1.mat2;mat12 ;mat2−1 ;
Determinant(mat1−x∗IdentityMatrix(3));# calcule le d ́eterminant
Sans faire appel `a ce package, on peut utiliser la fonctionevalmqui permet
d’ ́evaluer les expressions alg`ebriques matricielles :
U:=array([[1,2],[3,4]]);
V:=array([[1,1],[2,−1]]);
evalm(U+2∗V);
evalm(U2 );
evalm(U−1 );
evalm(sin(U));
evalm(U ∗V);5 Programmation en Maple
1.Structures alternatives
ifconditionthenaction elseaction fi;Exemple x:=2;y:=−3;
ifx > ythen
print(”Le minimum est y= ”, y)else print(”Le minimum est x= ”, x)fi; 2.Structures r ́ep ́etitives
•Si le nombre de r ́ep ́etitions est connu d’avance, une telle structure se
construit par :
forifrom1to15do;print(i 2) od;
•Si le nombre de r ́ep ́etitions n’est pas connu d’avance, on recourt `a : x:=3; whilex 10do
x:=x+ 2;
print(x);od; 3.Proc ́edure
Une proc ́edure est un ensemble d’instructions ordonn ́ees. Elle se construit
selon la syntaxe :
proc(donnees)
local(variables locales);action end;6 Les variables locales sont utilis ́ees durant l’ex ́ecution de la proc ́edure mais ne
sont pas accessibles `a l’ ́ext ́erieur de celle-ci.
Les variables globales sont utilis ́ees durant l’ex ́ecution de la proc ́edure mais sont
accessibles `a l’ ́ext ́erieur de celle-ci.Exemple restart:# r ́einitialisation de la sessionMaple
fact:=proc(n)
locali, p:
p:= 1;
forifrom1tondop:=p∗i; od;
print(”F actorielle n= ”, p)end; fact(10);
Si on tape p, on re ̧coit la lettre p
Reprenons l’exemple pr ́ec ́edent mais d ́eclarons la variable p comme variable glob-
ale : il suffit d’ajouter l’instruction
global p;
Alors si on tape p, on re ̧coit 3628800
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