Mécanique des Fluides : Exercices corrigés mécanique des fluides et systèmes ouvert
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Télécharger packColles semaine 8, sujet ALangevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Siphon
On s’intéresse à la vidange d’un réservoir de sectionΣ, contenant un liquide de masse volumiqueρ, au moyen
d’un siphon formé d’un tube de sectionSconstante. On supposeS Σ. Initialement, le liquide remplit le réservoir
jusqu’à une hauteurH.
On nommeAle point d’entrée du siphon,Ble point le plus haut du siphon,Cla sortie du siphon,Dun point de
la surface libre dans le réservoir ;zA ,zB ,zC etzD les coordonnées correspondantes. La surface libre dans le réservoir
et la sortie du siphon sont à la pression atmosphériqueP0 .z DA CB 0
1 -Que peut-on dire de la vitessevD par rapport àvC ?
2 -Déterminer la vitesse du fluide en sortie du siphon. En déduire une condition
surCpour que le fluide s’écoule.
3 -Déterminer la pressionPB dans le fluide au pointB. En déduire une condition
surBpour que le fluide s’écoule.
4 -À partir de la question précédente, expliquer pourquoi un siphon a besoin d’être
amorcé. Que faut-il faire pour réaliser en pratique cet amorçage ?
5 -Supposons le siphon fixe. Montrer quezD est solution de l’équation différentielledz Ddt =−S Σ√ 2g(zD −zC ).
6 -Résoudre cette équation et déterminer le temps nécessaire pour vidanger complè-
tement le réservoir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible et parfait (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)1 Conservation du débit volumique et écoulement supposé uniforme dans une section (ou bienvinterprétée comme
une vitesse débitante) :ΣvD =SvC doncv D= SΣ vC vC .
2Théorème de Bernoulli appliqué le long d’une ligne de courant qui va deDàC:P 0
+ 0 +ρgzD =P0 +ρv 2C 2+ρgz Cd’oùv C= √2g(z D−z C) Il faut donc avoirzD > zC , c’est-à-dire que la sortie du siphon doit se trouver sous la surface libre du réservoir.
3Bernoulli appliqué entreBetC:P B+ρ v2 B2 +ρgzB =P0 +ρv 2C 2+ρgz C
Conservation du débit volumique :vB =vC ce qui permet de simplifier, d’oùP B=P 0+ρg(z C−z B) 1/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 8, sujet A : Mécanique des fluides et systèmes ouvertsLangevin–Wallon, PT 2016-2017CommeP B
doit être positive, alorszB < zC +P 0ρg 4
Lorsque le siphon est videPB =P0 =PC . Il faut aspirer pour faire monter le liquide dans le siphon.
5Conservation du débit volumique, et attention car ̇zD =−vD 6
Séparation des variables :dz D√ 2g(zD −zC )=− SΣ dtd’oùˆ 0H dzD √2g(z D−z C) =−S Σˆ τvide 0dt On reconnaît à gauche l’intégrale d’une fonction de la formeu′ /2√ uen la réécrivant sous la forme1 gˆ 0H 2g2 √2g(z D−z C) dzD =−S Σˆ τvide 0dt ce qui conduit à1 g[ √2g(z D−z C) ]0 H=− SΣ τvide et enfinτ vide= ΣS √2 g( √H−z C− √−z C) 2/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 8, sujet BLangevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Alimentation en eau d’une maison depuis un château d’eau [banque PT 2015]
On s’intéresse à une alimentation domestique en eau via un château d’eau. Le château d’eau est modélisé par un
réservoir ouvert sur l’atmosphère, haut deH= 20 met de section maximaleS0 = 25 m2 , voir figure 1. Ce réservoir
débouche sur une canalisation horizontale de sections= 1,0·10−3 m2 . Cette canalisation alimente une installation
domestique qui comporte un robinet ouvrant sur l’air atmosphérique par une ouverture de même sections.
Figure 1H ∆h
Figure 2
1 -Justifier que la vitesse d’écoulement de l’eau au niveau de la surface libre est négligeable devant la vitesse dans
la canalisation.
2 -Calculer numériquement le vitesse de l’eau en sortie du robinet en négligeant les pertes de charge.
3 -Calculer numériquement le débit volumique.
4 -Au niveau de la canalisation horizontale est le lieu d’une perte de charge régulière. Expliquer ce que cela signifie
et en donner les causes. Exprimer le théorème de Bernoulli en introduisant un coefficientKcaractéristique de cette
perte de charge.
5 -Sur la canalisation horizontale on place deux tubes verticaux remplis d’eau séparés de 10 m. On mesure une
différence de hauteur d’eau∆h= 2,0 cm, voir figure 2. En déduire la perte de charge linéaire due au tuyau d’alimen-tation. 6 -Quelle est désormais la vitesse de l’eau en sortie du robinet situé à 1,0 km du chateau d’eau ?
7 -On souhaite retrouver la vitesse déterminée au début de l’exercice. On installe pour cela une pompe. Déterminer
la puissance qu’elle doit fournir.
Éléments de correction de l’exercice 1 :1 Écoulement suppose incompressible donc conservation du débit volumique doncS 0v libre=sv cansoit vlibre vcan =s S0 1
2Bernoulli le long d’une ligne de courant qui va du haut du chateau d’eau jusqu’au robinet donneP 0
+ 0 +ρgH=P0 +ρv 2sortie 2
+ 0d’oùvsortie =√ gH= 14 m·s−1 3D V=v sortie
s= 14·10−3 m3 ·s−1 = 14 L·s−1 .4 Dissipation d’énergie mécanique par viscosité. Le théorème de Bernoulli devientP 0
+ 0 +ρgH=P0 +ρv 2sortie 2
+ 0 +K
3/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 8, sujet B : Mécanique des fluides et systèmes ouvertsLangevin–Wallon, PT 2016-2017
(iciKest homogène à une pression, on peut le remplacer parρgK′ oùK′ est une hauteur, et on peut aussi introduire
une perte de charge linéaire homogène à une pression par unité de longueur)
5Relation de l’hydrostatique dans les prises de pression reliée à la pression dans la canalisation :Pcan =P0 +ρgh.
Conservation du débit volumique indique que la vitesse d’écoulement est la même sous les deux prises de pression.
On en déduit(P 0+ρgh 1
) +ρv 2can 2+ρgz can
= (P0 +ρgh2 ) +ρv 2can 2+ρgz can+K d’où
K=ρg∆hsoitk=K L= ρg∆hL = 20 Pa·m−1 6Bernoulli avec perte de chargekL′ donneP 0
+ 0 +ρgH=P0 +ρv 2sortie 2
+ 0 +kL′ soitvsortie =√ 2( gH−kL ′ρ )
= 13 m·s−1 7kL′ est l’énergie volumique perdue par perte de charge, qu’il faut donc compenser par une pompe de puissanceP=D VkL ′. 4/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 8, sujet CLangevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Établir le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert.
Exercice 1 : Écoulement forcé
Au sein d’une installation industrielle, on doit pomper de l’eau dans une citerne posée sur le sol, pour l’éjecter
dans l’atmosphère, à une hauteurH= 5 mau dessus du sol, avec un débit volumique minimalQ= 5 L·s−1 dans
une conduite de diamètreD= 5 cm. On notehv = 0,5 mla perte de charge totale exprimée en hauteur équivalente.
1 -On envisage une première installation mettant l’eau sous pression grâce à de l’air comprimé à une pressionpA .
Déterminer la valeur minimale depA pour obtenir l’écoulement voulu.
Figure 1–Installation avec air comprimé.
2 -On souhaite remplacer l’air comprimé par une pompe. Déterminer la puissance minimale nécessaire.
Figure 2–Installation avec une pompe.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)
1Bernoulli sur une ligne de courant allant de la surface libre jusqu’au point d’éjection :P A+ρ v2 r2 +ρgh=Patm +ρv 2s 2
+ρgH+ρghv Conservation du débit volumique et réservoir de grande section : on peut négligervr devantvs .P A=P atm+ρ v2 s2 +ρg(H+hv −h)
De plus,Q=vs D2 /4d’oùP A=P atm+ 8ρQ2 D2 +ρg(H+hv −h) = 1,5·105 Pa
5/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr
Colles semaine 8, sujet C : Mécanique des fluides et systèmes ouvertsLangevin–Wallon, PT 2016-2017
en prenant le cas le pire, c’est-à-direh= 0.
2Bernoulli modifiée pour tenir compte de la présence de la pompe (attention au membre dans lequel on ajoute la
puissance de la pompe) :P atm+ρ v2 r2 +ρgh+P Q=P atm+ρ v2 s2 +ρgH+ρghv et donc avec les mêmes hypothèses qu’avantP=Q [8ρQ 2D 2+ρg(H+h v−h) ]
= 2,7·102 W
Exercice 2 : Mélangeur de douche
On s’intéresse à un mélangeur de douche supposé parfaitement calorifugé. L’écoulement d’eau chaude, de dé-
bit volumiqueD1 , provient d’un chauffe-eau à températureT1 = 65◦ C. Celui d’eau froide, de débitD2 , est à la
températureT2 = 12◦ C. La pression est identique dans les deux canalisations et vautP= 3 bar.
Déterminer les débits d’eau chaude et d’eau froide pour que l’eau sorte du pommeau de douche à la tempéra-
tureT= 40◦ Cet avec un débit totalD= 0,20 L·s−1 .
Donnée :capacité thermique massique de l’eau liquidec= 4,2 kJ·K−1 ·kg−1 .
Éléments de correction de l’exercice 2 :
Conservation du débit :D=D1 +D2 .
Premier principe des systèmes ouverts appliqué au mélangeur, en négligeant les variations d’énergie cinétique et
potentielle de l’eau, et avecPméca =Pth = 0donneDh−(D 1h 1+D 2h 2
) = 0d’oùD 1D 2= h−h2 h1 −h
et comme∆h=c∆TalorsD 1D 2= T−T2 T1 −T
et en retournant les équationsD 1= T−T2 T1 −T2 D= 0,11 L·s−1 etD2 =T−T 1T 2−T 1
D= 0,09 L·s−1 6/6Étienne Thibierge, 7 décembre 2016,www.etienne-thibierge.fr