Ce document pédagogique est conçu pour les étudiants universitaires et traite des concepts essentiels de la mécanique des fluides et des systèmes ouverts.
Il couvre les notions et applications suivantes :
- Le premier principe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts.
- L'application du théorème de Bernoulli pour analyser les écoulements (siphons, alimentation en eau).
- Les calculs de débits volumiques, de pressions et l'impact des pertes de charge.
- L'étude des écoulements forcés et des systèmes de mélange, avec des exemples concrets.
Mécanique des Fluides : Exercices corrigés mécanique des fluides et systèmes ouvert
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Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert
Le premier principe de la thermodynamique, appliqué à un système ouvert (c'est-à-dire un système qui échange de la matière et de l'énergie avec son environnement), est une formulation de la conservation de l'énergie. Pour un régime permanent et en l'absence de réactions chimiques ou nucléaires, il stipule que la variation de l'énergie totale du système est égale à la somme des transferts d'énergie sous forme de chaleur et de travail, plus l'énergie transportée par la matière entrant et sortant du système.
Plus précisément, il s'exprime comme un bilan d'énergie où l'enthalpie (h), l'énergie cinétique (v²/2) et l'énergie potentielle (gz) par unité de masse sont prises en compte pour les flux de matière. L'équation générale intègre les puissances d'échange thermique (Q̇) et de travail (Ẇ) avec l'extérieur.
Exercice 1 : Siphon
On s’intéresse à la vidange d’un réservoir de section Σ, contenant un liquide de masse volumique ρ, au moyen d’un siphon formé d’un tube de section S constante. On suppose S ≪ Σ. Initialement, le liquide remplit le réservoir jusqu’à une hauteur H.
On nomme A le point d’entrée du siphon, B le point le plus haut du siphon, C la sortie du siphon, D un point de la surface libre dans le réservoir ; zA, zB, zC et zD les coordonnées correspondantes. La surface libre dans le réservoir et la sortie du siphon sont à la pression atmosphérique P0. zD > zA > zB > zC = 0.
1 - Que peut-on dire de la vitesse vD par rapport à vC ?
La vitesse vD est négligeable devant vC, car la section Σ du réservoir est beaucoup plus grande que celle du siphon S (Σ ≫ S). Cette approximation est couramment utilisée lorsque la surface du réservoir est très large par rapport à la section d'écoulement.
2 - Déterminer la vitesse du fluide en sortie du siphon. En déduire une condition sur zC pour que le fluide s’écoule.
Le théorème de Bernoulli appliqué entre le point D (surface libre du réservoir) et le point C (sortie du siphon), en supposant un écoulement parfait et en régime permanent, donne :
P0 + 0 + ρgzD = P0 + ρv²C/2 + ρgzC
d’où vC = √[2g(zD − zC)].
Pour que le fluide s’écoule, il faut que zD > zC, c’est-à-dire que la sortie du siphon doit se trouver sous la surface libre du réservoir. Sans cette différence de hauteur, il n'y aurait pas de pression motrice.
3 - Déterminer la pression PB dans le fluide au point B. En déduire une condition sur zB pour que le fluide s’écoule.
Le théorème de Bernoulli appliqué entre le point B (sommet du siphon) et le point C (sortie du siphon) donne :
PB + ρv²B/2 + ρgzB = P0 + ρv²C/2 + ρgzC.
En négligeant les pertes de charge et en utilisant la conservation du débit volumique (qui implique vB = vC puisque la section du tube est constante), on obtient :
PB = P0 + ρg(zC − zB).
Pour que le fluide s’écoule correctement et que la colonne de liquide ne se rompe pas, il faut que la pression absolue PB reste supérieure à zéro (et idéalement supérieure à la pression de vapeur saturante du liquide pour éviter la cavitation). La condition PB > 0 implique donc zB < zC + P0/(ρg).
4 - Expliquer pourquoi un siphon a besoin d’être amorcé. Que faut-il faire pour réaliser cet amorçage en pratique ?
Un siphon doit être amorcé pour permettre au fluide de monter jusqu’au point B (le point le plus haut du siphon) et de remplir entièrement le tube. Sans amorçage, la colonne de liquide ne serait pas continue et la différence de pression nécessaire à l'écoulement ne pourrait pas s'établir. En effet, au point B, la pression PB peut devenir inférieure à la pression atmosphérique, et le liquide doit être "tiré" jusqu'à ce point. Si la pression PB descend en dessous de la pression de vapeur du liquide, le phénomène de cavitation peut se produire, entraînant l'interruption du siphon.
En pratique, il faut aspirer l'air présent dans le tube pour faire monter le liquide dans le siphon, ou le remplir manuellement avec le fluide.
5 - Montrer que zD est solution de l’équation différentielle dzD/dt = −(S/Σ)√[2g(zD − zC)].
La conservation du débit volumique entre la surface libre du réservoir (D) et la sortie du siphon (C) donne ΣvD = SvC. La vitesse vD représente la vitesse de descente de la surface libre, d'où vD = −dzD/dt.
Comme la vitesse en sortie vC est donnée par vC = √[2g(zD − zC)], en substituant ces expressions dans l'équation de conservation du débit, on en déduit :
dzD/dt = −(S/Σ)√[2g(zD − zC)].
6 - Résoudre cette équation et déterminer le temps nécessaire pour vider complètement le réservoir.
L’intégration de l’équation différentielle, en séparant les variables, permet de déterminer le temps de vidange. Il s'agit de résoudre ∫ dzD / √[2g(zD − zC)] = −(S/Σ) dt.
L'intégration de l'équation donne, après réarrangement :
∫(√H − √zC) dzD = −(S/Σ)√(2g) ∫ dt.
En résolvant et en appliquant les limites appropriées (de l'état initial H à l'état final où zD = zC pour une vidange complète), on obtient le temps de vidange total :
τvide = (Σ/S)√(2g) [√H − √(zD − zC)].
Exercice 1 : Alimentation en eau d’une maison depuis un château d’eau
On s’intéresse à une alimentation domestique en eau via un château d’eau. Le château d’eau est modélisé par un réservoir ouvert sur l’atmosphère, haut de H = 20 m et de section maximale S0 = 25 m². Ce réservoir débouche sur une canalisation horizontale de section s = 1,0·10⁻³ m². Cette canalisation alimente une installation domestique qui comporte un robinet ouvrant sur l’air atmosphérique par une ouverture de même section.
1 - Justifier que la vitesse d’écoulement de l’eau au niveau de la surface libre est négligeable devant la vitesse dans la canalisation.
L’écoulement est incompressible, ce qui signifie que le débit volumique se conserve. Ainsi, le produit de la section par la vitesse est constant (S0·vlibre = s·vcan). Comme la section S0 du réservoir est beaucoup plus grande que la section s de la canalisation (S0 ≫ s), on en déduit que la vitesse de la surface libre (vlibre) est très faible et donc négligeable devant la vitesse du fluide dans la canalisation (vcan).
2 - Calculer numériquement la vitesse de l’eau en sortie du robinet en négligeant les pertes de charge.
En appliquant le théorème de Bernoulli entre la surface libre du château d'eau et la sortie du robinet (considérant ces deux points à la pression atmosphérique et la vitesse de la surface libre nulle), on obtient :
P0 + 0 + ρgH = P0 + ρv²sortie/2 + 0.
D’où vsortie = √(2gH) = √(2·9,81·20) ≈ 19,8 m·s⁻¹.
3 - Calculer numériquement le débit volumique.
Le débit volumique (Dv) est le produit de la vitesse de sortie par la section du robinet :
Dv = vsortie·s = 19,8·1,0·10⁻³ ≈ 0,0198 m³·s⁻¹ = 19,8 L·s⁻¹.
4 - Expliquer ce que signifie une perte de charge régulière et en donner les causes.
Une perte de charge régulière est une dissipation d'énergie mécanique par unité de longueur du fluide en mouvement, principalement due à la viscosité du fluide et aux frottements des particules de fluide entre elles et contre les parois de la canalisation. Elle se manifeste par une diminution progressive et continue de la pression le long de la conduite, même en l'absence de variation d'altitude ou de vitesse significative. Ces pertes sont proportionnelles à la longueur de la canalisation et dépendent de la rugosité des parois, du diamètre de la conduite et du régime d'écoulement (laminaire ou turbulent).
5 - Sur la canalisation horizontale, on mesure une différence de hauteur d’eau Δh = 2,0 cm entre deux prises de pression séparées de 10 m. En déduire la perte de charge linéaire due au tuyau d’alimentation.
La différence de pression due à cette perte de charge peut être liée à une hauteur de colonne de liquide équivalente (Δh). La relation hydrostatique permet de convertir cette hauteur en pression : ΔP = ρgΔh. La perte de charge linéaire (k) est alors la perte de pression par unité de longueur :
k = (ρgΔh)/L = (9810·0,02)/10 = 19,62 Pa·m⁻¹.
6 - Quelle est désormais la vitesse de l’eau en sortie du robinet situé à 1,0 km du château d’eau ?
En tenant compte de la perte de charge linéaire k sur une longueur L' = 1,0 km = 1000 m, le théorème de Bernoulli modifié (incluant les pertes de charge) appliqué entre la surface libre du château d'eau et le robinet donne :
P0 + 0 + ρgH = P0 + ρv²sortie/2 + kL′.
D’où vsortie = √[2(gH − kL′/ρ)] ≈ √[2(9,81·20 − 19,62·1000/9810)] ≈ 13 m·s⁻¹.
7 - Déterminer la puissance qu’une pompe doit fournir pour retrouver la vitesse initiale.
Pour retrouver la vitesse initiale, la pompe doit compenser l'énergie perdue à cause des pertes de charge. La puissance (P) de la pompe nécessaire est le produit du débit volumique par la perte de pression totale due aux pertes de charge sur la longueur L'.
P = Dv·k·L′ = 0,0198·19,62·1000 ≈ 388,5 W.
Exercice 1 : Écoulement forcé
Au sein d’une installation industrielle, on doit pomper de l’eau dans une citerne posée sur le sol, pour l’éjecter dans l’atmosphère à une hauteur H = 5 m au-dessus du sol, avec un débit volumique minimal Q = 5 L·s⁻¹ dans une conduite de diamètre D = 5 cm. La perte de charge totale est hv = 0,5 m exprimée en hauteur équivalente.
1 - Déterminer la valeur minimale de la pression pA pour obtenir l’écoulement voulu.
Le théorème de Bernoulli généralisé, appliqué entre la surface libre de la citerne (point A) et le point d'éjection dans l'atmosphère (point S), en tenant compte de la perte de charge (exprimée en hauteur équivalente hv), donne :
pA + ρv²r/2 + ρgh = Patm + ρv²s/2 + ρgH + ρghv.
En négligeant la vitesse de la surface libre (v²r/2 ≈ 0) et en utilisant la relation entre le débit volumique Q et la vitesse de sortie vs (Q = vs·πD²/4), on obtient l'expression de la pression pA :
pA = Patm + (8ρQ²)/(π²D⁴) + ρg(H + hv − h).
En prenant la hauteur du point A par rapport au sol comme h = 0 m, la pression minimale pA requise est d'environ 1,5·10⁵ Pa.
2 - Déterminer la puissance minimale nécessaire pour remplacer l’air comprimé par une pompe.
La puissance P de la pompe est celle nécessaire pour fournir l'énergie permettant d'atteindre la pression pA et de compenser les pertes. Elle est donnée par :
P = Q [8ρQ²/(π²D⁴) + ρg(H + hv − h)] ≈ 2,7·10² W.
Exercice 2 : Mélangeur de douche
Un mélangeur de douche parfaitement calorifugé reçoit un écoulement d’eau chaude de débit volumique D1 à T1 = 65°C et un écoulement d’eau froide de débit D2 à T2 = 12°C. La pression est identique dans les deux canalisations et vaut P = 3 bar. Déterminer les débits D1 et D2 pour que l’eau sorte à T = 40°C avec un débit total D = 0,20 L·s⁻¹.
La conservation du débit volumique impose que le débit total en sortie soit la somme des débits d'entrée : D = D1 + D2.
Le premier principe de la thermodynamique pour les systèmes ouverts, appliqué au mélangeur en régime permanent, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle et les transferts de travail, se traduit par un bilan d'enthalpie :
D1·h1 + D2·h2 = D·h.
Avec l'approximation que la variation d'enthalpie est proportionnelle à la variation de température (Δh = c·ΔT, où c est la capacité thermique massique de l'eau), on peut résoudre le système d'équations pour trouver les débits D1 et D2 :
D1 = (T − T2)/(T1 − T2)·D = 0,11 L·s⁻¹, et
D2 = (T − T1)/(T2 − T1)·D = 0,09 L·s⁻¹.
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Mécanique des Fluides
Qu’est-ce que le théorème de Bernoulli et dans quelles conditions s'applique-t-il ?
Le théorème de Bernoulli est un principe fondamental en mécanique des fluides qui exprime la conservation de l'énergie mécanique le long d'une ligne de courant pour un fluide idéal. Il établit une relation entre la pression statique, la vitesse d'écoulement et l'altitude d'un fluide en mouvement. Il est applicable pour des écoulements stationnaires (en régime permanent), incompressibles, non visqueux (fluide parfait) et sans échange de chaleur ni de travail externe entre les points considérés.
Comment déterminer la vitesse d’écoulement dans un siphon ?
La vitesse d’écoulement en sortie d’un siphon peut être déterminée en appliquant le théorème de Bernoulli entre la surface libre du liquide dans le réservoir (point D) et la sortie du siphon (point C). En négligeant les pertes de charge, la relation clé est vC = √[2g(zD − zC)]. Cela montre que la vitesse dépend principalement de la différence de hauteur entre la surface libre et la sortie du siphon.
Qu’est-ce qu’une perte de charge régulière et quelles sont ses manifestations ?
Une perte de charge régulière est une diminution progressive de l'énergie mécanique du fluide le long d'une conduite, due principalement aux forces de frottement internes (viscosité du fluide) et aux interactions avec les parois de la canalisation. Elle se traduit par une chute de pression le long de l'écoulement, même sur un tronçon horizontal à diamètre constant. Ces pertes sont différentes des pertes de charge singulières, qui sont dues à des éléments localisés comme les coudes, vannes ou changements de section.