Probabilités et Statistiques : Probabilités Exercices corrigés
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Télécharger packTerminale S 1 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1. 1. Combinatoire avec démonstration 1 1. 2. Rangements 3 1. 3. Calcul d’événements 1 3 1. 4. Calcul d’événements 2 3 1. 5. Calcul d’événements 3 4 1. 6. Dés pipés 4 1. 7. Pièces d’or 4 1. 8. Agriculteur pas écolo 5 1. 9. Boules 5 1. 10. Jeux 6 1. 11. Conformité 1 6 1. 12. Fumeurs 6 1. 13. Conformité 2 7 1. 14. Chiens chats 7 1. 15. Maladie 7 1. 16. QCM, Am. du Nord 2006 8 1. 17. Fesic 2001 : Exercice 17 8 1. 18. Fesic 2001 : Exercice 18 9 1. 19. Fesic 2002 : Exercice 15 10 1. 20. Fesic 2002 : Exercice 16 11 1. 21. Fesic 2004 : Exercice 13 12 1. 22. Fesic 2004 : Exercice 14 13 1. 23. Arbre+Va, N. Calédonie 06/2008 13 1. 24. Lancer + VA, Liban 06/2008, 4 points 14 1. 25. Loterie+binomiale, Polynésie 2007 16 1. 26. Lancer dés+binomiale, Am. du Nord 2005 17 1. 27. Tirages simult.+VA+binomiale, France 2005 18 1. 28. Urnes et dés, Pondichery 2004 20 1. 29. Entropie, France 2004 21 1. 30. Loi exponentielle, France 2004 23 1. 31. Boules, Amérique du sud 2004 24 1. 32. Club photo 25 1. 33. Cartes 26 1. 34. Boules et urnes 27 1. 35. Boules, Antilles Guyane 1999 28 1. 36. Urnes 29 1. 37. Urnes, Amérique du Sud 2002 30 1. 38. Boules et suite 31 1. 39. Exercice de base : Efficacité d’un test 31 1. 40. Exercice de base 2 : temps d’attente 32 1. 41. Exercice de base 3 : attente 32 1. 42. Exercice de base 4 : ABS 33 1. 43. Cubes pour enfants 34 1. 44. Urne 36 1. 45. Tulipes 38 1. 46. Jetons 39 1. 47. Vie et mort de bactéries, concours Geipi 2001 41 1. 48. Contrôle de qualité, Polynésie 2005 44 1. 49. Erreurs d’impression, Am. du Sud 1999 45 1. 50. Contrôle de chaudières, Antilles 2002 46 1. 51. Clefs et portes, Pondicherry 2000 47 1. 52. Boules, Centres étrangers 2000 48 1. 53. Cinéma, Antilles 2000 48 1. 54. Boules et fonction, Liban 2000 50 1. 55. Jetons+VA, Polynésie 2000 51 1. 56. Promenades familliales, Liban 2001 52 1. 57. Retard au travail, Polynésie 2006 53 1. 58. VA+Markov, Am. du Nord 2007 54 1. 59. Fourmis markoviennes, Antilles 2000 55 1. 60. Chasse aux fraudeurs, N. Caledonie 2005 57 1. 61. Durée de vie, France 06/2008 58 1. 62. Tri de production, Antilles 2006 59 1. 63. Durée de vie+binom., Liban 2006 61 1. 64. Composants électroniques, N. Cal. nov 2007 62 1. 65. Visite de musée, Centres étrangers 2001 63 1. 66. Tirs successifs+Adéquation, France 2006 64 1. 67. Adéquation à une loi équirépartie 65 1. 1. Combinatoire avec démonstration 1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1k n≤ <
, on a : 111 nnnkkk −−
+= −
. 2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 21k n≤ < −, on a : 2222 21nnnn kkkk−−− ++= −−
. 3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 21k n≤ < −. On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne. On appelle A l’évènement « au moins une boule rouge a été tirée ». a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A
, contraire de A. En déduire la probabilité de A. Terminale S 2 F. Laroche Probabilités exercices corrigés b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue à la question 2, que l’on retrouve le même résultat. Correction 1. Démonstration : il est plus simple d’utiliser ( 1)...(1)
( 1)...2.1n n nn kk k k
− − += − que !
!( )!n nk k n k
= −
, la mise au même dénominateur étant plus visible. 11
( 1)...( 1
1 1) ( 1)...( 1
1) ...(1)1 ( 1)...2.1( 1)...2.1( 1)...2.1nnn nn
knnkn n kkkk kk kk k−− − − − + +− − − +− +
+= ⇔+=
− −−−
; le dénominateur commun apparaît alors : k! Il suffit donc de multiplier la première fraction par k en haut et en bas, ce qui donne ( 1)...(1) ( 1)...( ) ...(1)!! k nn knn k n n kkk −
− + + −
−− += . On peut mettre ( 1)...(1)nn k−
− + en facteur du numérateur de la fraction de gauche : ( 1)...(1)
( 1)...(1)!! nn kk n k
n nn kkk − − +
+ −− − + =
et c’est fini. 2. Réécrivons 111 nnnkkk −−
+= − un rang plus bas pour n et pour k : 221211 nnnkkk −−−
+= −−− ; réécrivons 111 nnnkkk −−
+= − un rang plus bas pour n mais pas pour k : 2211 nnnkkk −−−
+= − ; ajoutons les deux lignes : 222112 211nnnnnn kkkkkk−−−−− ++=+= −−−
. 3. Dans l’urne on a 2 boules rouges et n − 2 boules blanches ; il y a nk
tirages simultanés possibles de k boules de l’urne. a. A = « au moins une boule rouge a été tirée » ; A
= « aucune boule rouge n’a été tirée » = « les k boules tirées sont blanches » : il y a 2nk −
manières de faire et 2(A) nk Pn k−
=
. On a donc 22
(A) 1nnn kkkP nnkk −−
−
= −=
. b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k − 1 blanches, nombre de manières : 2222 111nn kk−− = −− , ou 2 rouges et k − 2 blanches : nombre de manières : 222222 nnkk −−
= −−
. On a alors 222 12(A) nnkk Pn k−− + −− =
. L’égalité entre les deux est alors l’égalité des numérateurs : Terminale S 3 F. Laroche Probabilités exercices corrigés 22222222 1212
nnnnnnnn
kkkkkkkk−−−−−−
−=+⇔ =++
−−−−
, soit l’égalité du 2. 1. 2. Rangements
On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes (n ≥ 2). Deux amis A et B se trouvent dans cette file d’attente. 1. Quelle est la probabilité que les deux amis soient situés l’un derrière l’autre ? 2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r − 1 personnes) ? Correction
Le nombre total de possibilités de rangement est n! 1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste ()
2 !n− répartitions possibles. Comme A peut être placé n’importe où dans la file avec B derrière lui, il y a ()
1n− places possibles pour A et donc la probabilité ()
1 !1 !n nn− = d’avoir A suivi de B ; c’est pareil pour B suivi de A, soit la probabilité finale 2n . 2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de n r− manières, la probabilité finale est alors ()()()
( )
2 ! 22 !1
n r nn r
nn n
− −−= −
. 1. 3. Calcul d’événements 1 Soient A et B deux événements tels que ( )1 5
P A= et ()1 2
P A B∪ =
. 1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer ()
P B. 2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer ()
P B. 3. Calculer ()
P B en supposant que l’événement A ne peut être réalisé que si l’événement B est réalisé. Correction 1. A et B incompatibles donc A B∩ = ∅ d’où () ( ) ( ) ( )
1 1 3
2 5 10
P A B P A P B
P B∪ =+⇒= − =
. 2. A et B indépendants : () ( ) ( )( )( )( )( )
1 11433
2 555108
P A B P A P BP BP BP BP B∩ =⇒ = +
−⇒= ⇒=
. 3. A ne peut être réalisé que si B est réalisé : tous les événements de A sont dans B, () ( )( )( )
1 111
2 552
P A B P AP BP B∩ =⇒ = +
− ⇒=
. 1. 4. Calcul d’événements 2 1. Montrer que, pour 3 événements quelconques A, B, C, on a : ()()()()()()()()
P A B C P A P B P C P A B P B C P C A P A B C∪ ∪ =++− ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩. 2. Généraliser dans le cas de n événements 1 2
, , ....,n A AA. Correction 1. On prend par exemple B C E∪ =
, soit ()()()()
P A E P A P E P A E∪ =+− ∩, ()()()()
P E P B P C P B C=+− ∩ et ()()()()()()
() () ()
A E A BA C
P A E P A B P A C P A B A C
P A B P A C P A B C
∩ = ∩ ∪ ∩ ⇒ ∩ = ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩
= ∩ + ∩ − ∩ ∩
donc en remplaçant on obtient la formule. Terminale S 4 F. Laroche Probabilités exercices corrigés 2. Même chose, par récurrence (bof... et très pénible). 1. 5. Calcul d’événements 3 Soient A, B et C des événements. On pose 1
E A B C= ∩ ∩ et ()2 E A B C= ∩ ∪. 1. Montrer que E
1 et E
2 sont incompatibles. 2. Déterminer l’ensemble 12
E E∪. 3. On sait que ()
0,6P A=, ()
0,4P B=, ()
0,3P C=, ()
0,1P B C∩ =, ()
0,1P A C∩ =, ()
0,2P A B∩ = et ()
0,05P A B C∩ ∩ =. Calculer ()1 P E et ()2 P E. Correction 1. ()()() 12
E E A B C A B CA B C BA B C C∩ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∪ = ∩ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ = ∅∪∅ = ∅. 2. ()
A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∪ donc en appelant K B C= ∪
, on a ()() 12
E EA KA K A∪ = ∩ ∪ ∩ =. 3. On calcule ()
0,4 0,3 0,1 0,6P B C∪ = + − =, ()
0,4P B C∪ = ; ()() ()12 0,6P E
P EP A+==. En utilisant la formule de l’exo 9, on a ()()
0,6 0,4 0,3 0,1 0,1 0,2 0,05 0,95P A K P A B C∪ =
∪ ∪ = + + − − − + = ; par ailleurs ()()()()()() 22
0,95 0,6 0,60,25P A K P A P K P A KP EP E∪ =+− ∩ ⇒ = + −⇒= et enfin ()1 0,6 0,25 0,35P E= − =. 1. 6. Dés pipés
On lance deux fois un dé pipé tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4. Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que : 1. un des résultats est 6. 2. le premier résultat est 6. Correction Il manque ( )
11 1
5 1 32
84 8
P= − × − × =
. 1. Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilité 1 1 1 2 12 8 4 4 4 2
× + − = = (on enlève 1/4 pour ne pas compter (6, 6) deux fois). 2. Là c’est simplement (6, x), soit 1 1 3
8 4 8
+ =
. 1. 7. Pièces d’or Trois coffres notés C1 , C2 , C
3 ont chacun deux tiroirs, et dans chaque tiroir, il y a une pièce. Le coffre C1 contient 2 pièces d’or, C
2 2 pièces d’argent et C
3 une pièce d’or et une d’argent. 1. On ouvre au hasard l’un des 6 tiroirs et on trouve une pièce d’argent. Quelle est la probabilité pour que l’on ait ouvert un tiroir du coffre C
2 ? 2. On ouvre à nouveau et indépendamment de la première fois l’un des 6 tiroirs et on trouve encore une pièce d’argent. Quelle est la probabilité pour que l’on ait ouvert deux fois le même coffre ? Correction 1. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )123 123
1 1 1 1
0 1
3 2 3 2CCC P A P A P C
P A P C
P A P C=×+×+×= + × + × = ; ( )() ( )() ()
( )2 22 2
1/3 2
1/2 3C A
P A P C
P A C
P C
P AP A× ∩
=== = (ce qui était totalement évident...) Terminale S 5 F. Laroche Probabilités exercices corrigés 2. Puisqu’on a déjà pris une pièce d’argent, il faut retomber sur C2 , donc 1 1 1
3 3 9
× = (attention à l’indépendance, sinon on aurait quelque chose plus compliqué). 1. 8. Agriculteur pas écolo
Un agriculteur a entreposé dans un local humide 12 doses d’herbicides et 8 doses de fongicide. Après plusieurs mois de séjour, les étiquettes ne sont pas différentiables (parce qu’illisibles). En vue d’un traitement, l’agriculteur prend 6 doses au hasard (écologiquement totalement incorrect...). a. Quelle est la probabilité qu’il prenne 6 doses d’herbicide ? b. Quelle est la probabilité qu’il prenne au moins 2 doses d’herbicide ? Correction
a. L’univers comporte 620
tirages simultanés de 6 objets parmi 20, il y a 612
manières de tires les 6 doses, soit une probabilité de : 6
12 11 10 9 8 712 6!0,024 20 19 18 17 16 156 6!20
× × × × ×
=≈ × × × × ×
, environ 2,4%. b. On cherche 1 – [Probabilité (0 dose herbicide) + (1 dose herbicide)], soit ( )62 8 788 2
00,0007 0,07 %
20 ... 1566 6!2020 P
×
===≈= × ×
. ( )
1 5
8 7 6 5 412 12 8
12 8 75! 10,017 1,7 %.
20 ... 1566 6!2020 P
× × × ×
× × ×
===≈ ≈
× ×
Probabilité recherchée = 100 − (0,07+0,17) = 99,76 %. 1. 9. Boules
Une boîte contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 7 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables. Calculez la probabilité d’obtenir : a. Deux boules de la même couleur. b. Deux boules de couleurs différentes. Correction a. Il y a 291 14
=
manières de tirer 2 boules simultanément parmi les 14 boules de la boîte, 26 4
=
manières de tirer 2 rouges parmi les 4 rouges, 23 3
=
manières de tirer 2 vertes parmi les 3 vertes et 221 7
=
manières de tirer 2 jaunes parmi les 7 jaunes. Terminale S 6 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Probabilité recherchée =
6 3 210,3297 91
+ +
= soit 32,97%. b. Comme on tire deux boules, l’événement contraire de « 2 boules de même couleur » est « 2 boules de couleurs différentes ». La probabilité est donc 1 0,3297 0,6703−=. 1. 10. Jeux Une enquête effectuée auprès de 1500 personnes adultes (habitants d’une ville) portant sur les jeux d’argent indique que - 1182 jouent à la loterie (A) - 310 vont au casino (B) - 190 jouent autant à la loterie qu’au casino. a. Si une personne adulte (de la ville) est choisie au hasard, quelle est la probabilité qu’elle joue à la loterie ou au casino ? b. Quelle est la probabilité qu’elle joue uniquement au casino ? Correction
a. 1182
( )0,7881500 P A=
=, 310
( )0,20671500 P B=
=, 190
()0,12671500 P A B∩ =
=. () ( ) ( ) () 0,868P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ =. b. Il y a 310 − 190 joueurs qui jouent uniquement au casino, soit 120
( )0,081500 P C=
=. 1. 11. Conformité 1 D’après les données recueillies jusqu’à ce jour, 2 % de la production d’une unité d’une entreprise est non conforme et ne peut être commercialisée. a. Quelle est la probabilité que 2 pièces choisies au hasard de la production de cette unité soient non conformes ? b. Quelle est la probabilité que la première pièce soit non conforme et que la seconde soit conforme ? Correction a. On peut toujours utiliser une loi binomiale : 0,02p= et 2n=. La probabilité que l’on ait les deux pièces non conformes est ( )0 222 10,02 0,00042 pp
− ==
. b. Evénements successifs : ()
( )
,( ) 0,02 0,98 0,0196P C C P C p C== × =. 1. 12. Fumeurs Une réunion rassemble 20 personnes : 12 femmes et 8 hommes. On sait que 20% des femmes fument ainsi que 40 % des hommes. a. Une personne quitte la réunion. Quelle est la probabilité que cette personne soit occupée à fumer ? b. Une personne quitte la réunion en fumant. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une femme ? Correction a. Formule des probabilités totales : Terminale S 7 F. Laroche Probabilités exercices corrigés ( )
[] [] ()
( ) ( ) ( ) ( )
12 20 8 400,28 20 100 12 100HF P f P H fF fP H P f P F P f=∩ ∪ ∩ =+= × + × =. b. Probabilité recherchée = 0,6 0,20,43 0,6 0,2 0,4 0,4× =
× + ×
. 1. 13. Conformité 2
On suppose que 3 entreprises X, Y et Z fabriquent trois types de microprocesseurs utilisés dans les ordinateurs se partagent le marché à raison de 25 % pour X, 35 % pour Y, 40 % pour Z. Les pourcentages de commandes non conformes sont : 5 % pour les microprocesseurs de X, 4 % pour ceux de Y et 2 % pour ceux de Z. Dans un lot constitué de microprocesseurs dans les proportions indiquées pour X, Y et Z, on prélève un microprocesseur. a. Quelle est la probabilité qu’il soit non conforme ? b. Sachant que le microprocesseur présente un défaut de fabrication, quelle est la probabilité qu’il soit du type X ? Correction a. A l’aide d’un arbre de probabilités à nouveau nous obtenons 0,25.0,05 + 0,35.0,04 + 0,40.0,02 = 0,0345. b. 0,25 0,050,3623 0,25 0,05 0,35 0,04 0,40 0,02× =
× + × + ×
. 1. 14. Chiens chats
On sait que 36 % des foyers ont un chien et que dans 22 % des foyers où l’on a un chien on trouve aussi un chat. On sait par ailleurs que 30% des foyers ont un chat. a. Quelle est la proportion de foyers dans lesquels on trouve un chien et un chat ? b. Quelle est la probabilité qu’un foyer possède un chien sachant qu’il possède un chat ? Correction a. (
) 0,36P chien= donc ()
()( )0,22 0,36 0,079chien P chien chat P chat P chien∩ =×= × =. b. ( ) 0,30P chat=, () 0,079( )0,2633
( )0,30chat P chien chat
P chien
P chat∩ ===
. 1. 15. Maladie Dans une population, un sujet a une probabilité de 0,3 d'être atteint d'une maladie M. On sait que si un sujet n'est pas atteint de M, il a 9 chances sur 10 de répondre négativement à un test T et que s'il est atteint de M, il a 8 chances sur 10 de répondre positivement à T. On fait le test. a. Si le résultat est positif, quelle est la probabilité pour que le sujet soit malade ? b. Quelle est cette probabilité si le test est négatif ? Correction a. J’ai résolu cet exercice à l’aide d’un arbre de probabilités. Terminale S 8 F. Laroche Probabilités exercices corrigés Probabilité recherchée= 0,3 0,8
0,3 0,8 0,7 0,1× =
× + × 77,42% b. Probabilité recherchée=
0,3 0,2
0,3 0,2 0,7 0,9×× =
× + × 8,7%. 1. 16. QCM, Am. du Nord 2006
3 points Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’ absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de trois sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ». Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro. Question 1 : Le jeu est A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable. Question 2 : le joueur joue quatre parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à A : 216
625 B : 544
625 C : 25 . Lors d’un second jeu le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : A : 415 B : 1130 C : 1115 . Correction Question 1 : L’espérance mathématique du jeu est ()()()433 60 300 3020 30 0101010 − +
− +− = donc le jeu est C : équitable. Question 2 : Loi binomiale n = 4, 410 p=
, ()() 4
381 544
au moins un oui 1
0 oui 11
5625 625PP
= −= −= − =
, donc réponse B. Question 3 : Le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne : il y a 10
10 945 22 × ==
tirages possibles ; la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à la probabilité de tirer oui et non ou oui et blanc ou non et blanc, soit 4 3 4 3 3 3 33 11
4545 15
× + × + ×
= =
, réponse C. 1. 17. Fesic 2001 :