Probabilités et Statistiques : Probabilités Exercices corrigés
Télécharger PDFProbabilités : Exercices Corrigés - Terminale S
Ce document propose une série d'exercices corrigés en probabilités, conçus pour les élèves de Terminale S. Il aborde la combinatoire, le calcul d'événements et les probabilités conditionnelles à travers des problèmes variés, permettant une meilleure compréhension des concepts fondamentaux.
1.1. Combinatoire avec démonstration
1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 ≤ k ≤ n-1, on a : C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1).
2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 ≤ k ≤ n-2, on a : C(n,k) = C(n-2,k) + 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 2 ≤ k ≤ n-2. On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne.
On appelle A l’évènement « au moins une boule rouge a été tirée ».
a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A̅ (contraire de A). En déduire la probabilité de A.
b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue à la question 2, que l’on retrouve le même résultat.
Correction de l'exercice 1.1
1. Démonstration de l'identité de Pascal : C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1).
Nous utilisons la définition du coefficient binomial : C(n,k) = n! / (k!(n-k)!).
Partons du membre de droite :
C(n-1,k) + C(n-1,k-1) = (n-1)! / (k!(n-1-k)!) + (n-1)! / ((k-1)!(n-1-(k-1))!)
= (n-1)! / (k!(n-k-1)!) + (n-1)! / ((k-1)!(n-k)!)
Pour additionner ces fractions, nous les mettons au même dénominateur commun, qui est k!(n-k)! :
= (n-k) * (n-1)! / (k!(n-k-1)! * (n-k)) + k * (n-1)! / ((k-1)! * k * (n-k)!)
= (n-k) * (n-1)! / (k!(n-k)!) + k * (n-1)! / (k!(n-k)!)
Maintenant que les dénominateurs sont identiques, nous pouvons additionner les numérateurs :
= ((n-k) * (n-1)! + k * (n-1)!) / (k!(n-k)!)
= (n-1)! * (n-k + k) / (k!(n-k)!)
= (n-1)! * n / (k!(n-k)!)
= n! / (k!(n-k)!)
= C(n,k).
L'identité de Pascal est ainsi démontrée.
2. Déduction de la formule C(n,k) = C(n-2,k) + 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2) :
Nous allons appliquer l'identité de Pascal démontrée en 1.1.1 deux fois. Nous savons que C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1).
Maintenant, appliquons l'identité pour C(n-1,k) (en remplaçant n par n-1) :
C(n-1,k) = C(n-2,k) + C(n-2,k-1).
De même, appliquons l'identité pour C(n-1,k-1) (en remplaçant n par n-1 et k par k-1) :
C(n-1,k-1) = C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
En substituant ces deux expressions dans la formule initiale C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1) :
C(n,k) = [C(n-2,k) + C(n-2,k-1)] + [C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2)]
C(n,k) = C(n-2,k) + 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
Cette identité est un développement de l'identité de Pascal, très utile en combinatoire.
3. Dans l’urne, nous avons 2 boules rouges et n-2 boules blanches. Le nombre total de tirages simultanés de k boules parmi n est C(n,k).
a. L'évènement A est « au moins une boule rouge a été tirée ».
L'évènement contraire A̅ est « aucune boule rouge n’a été tirée », ce qui signifie que « les k boules tirées sont toutes blanches ».
Le nombre de façons de tirer k boules blanches parmi les n-2 boules blanches est C(n-2,k).
La probabilité de A̅ est P(A̅) = C(n-2,k) / C(n,k).
La probabilité de A est P(A) = 1 - P(A̅) = 1 - C(n-2,k) / C(n,k) = (C(n,k) - C(n-2,k)) / C(n,k).
b. L’évènement A peut se produire si l'on tire soit une boule rouge et k-1 boules blanches, soit deux boules rouges et k-2 boules blanches (car il n'y a que 2 boules rouges).
- Nombre de façons de tirer 1 rouge et k-1 blanches : C(2,1) * C(n-2,k-1). Puisque C(2,1) = 2, cela donne 2 * C(n-2,k-1) manières.
- Nombre de façons de tirer 2 rouges et k-2 blanches : C(2,2) * C(n-2,k-2). Puisque C(2,2) = 1, cela donne 1 * C(n-2,k-2) manières.
Le nombre total de tirages favorables à l'évènement A est donc :
Nombre(A) = 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
La probabilité P(A) est alors :
P(A) = (2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2)) / C(n,k).
Pour montrer que l'on retrouve le même résultat qu'en a., nous devons prouver l'égalité des numérateurs :
C(n,k) - C(n-2,k) = 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
D'après la formule déduite à la question 2, nous avons :
C(n,k) = C(n-2,k) + 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
En réarrangeant cette équation, nous obtenons :
C(n,k) - C(n-2,k) = 2C(n-2,k-1) + C(n-2,k-2).
L'égalité est ainsi vérifiée, démontrant la cohérence entre les deux méthodes de calcul de P(A).
1.2. Rangements
On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes (n ≥ 2). Deux amis A et B se trouvent dans cette file d’attente.
1. Quelle est la probabilité que les deux amis soient situés l’un derrière l’autre ?
2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (c'est-à-dire séparés par r-1 personnes) ?
Correction de l'exercice 1.2
Le nombre total de rangements possibles pour n personnes distinctes est n! (n factorielle).
1. Pour que A et B soient situés l’un derrière l’autre, nous pouvons considérer le couple (A,B) ou (B,A) comme une seule entité.
- Si A est suivi de B (AB) : Nous avons alors (n-1) entités à ranger (le bloc (AB) et les n-2 autres personnes). Il y a (n-1)! façons de les organiser.
- Si B est suivi de A (BA) : De la même manière, il y a (n-1)! façons de les organiser.
Le nombre total de rangements où A et B sont côte à côte est 2 * (n-1)!.
La probabilité est donc : P(A et B côte à côte) = (2 * (n-1)!) / n! = (2 * (n-1)!) / (n * (n-1)!) = 2/n.
2. Pour que les deux amis soient distants de r places (séparés par r-1 personnes), nous pouvons visualiser un bloc de la forme (A _ _ ... _ B) ou (B _ _ ... _ A) où les tirets représentent les r-1 personnes intermédiaires.
Il y a 2 ordres possibles pour les amis (A...B ou B...A).
Considérons l'ordre A...B. Ce bloc contient A, B et r-1 personnes, soit r+1 positions au total. Ce bloc peut être placé à n-r positions différentes dans la file (par exemple, A en 1ère position, 2ème, ..., jusqu'à la position n-r).
Pour chaque position du bloc, il faut choisir les r-1 personnes parmi les n-2 personnes restantes pour les placer entre A et B. Cela peut se faire de C(n-2, r-1) manières. Ces r-1 personnes peuvent être arrangées de (r-1)! façons.
Enfin, les n-(r+1) personnes restantes (qui ne sont ni A, ni B, ni dans le groupe intermédiaire) peuvent être arrangées de (n-r-1)! façons.
Donc, pour un ordre spécifique (par exemple A...B), le nombre de rangements favorables est :
(n-r) * C(n-2, r-1) * (r-1)! * (n-r-1)!
= (n-r) * [(n-2)! / ((r-1)!(n-r-1)!)] * (r-1)! * (n-r-1)!
= (n-r) * (n-2)!
Puisqu'il y a deux ordres possibles (A...B ou B...A), nous multiplions par 2.
Le nombre total de rangements favorables est 2 * (n-r) * (n-2)!.
La probabilité est donc :
P(A et B distants de r places) = [2 * (n-r) * (n-2)!] / n!
= [2 * (n-r) * (n-2)!] / [n * (n-1) * (n-2)!]
= 2(n-r) / (n(n-1)).
1.3. Calcul d’événements 1
Soient A et B deux événements tels que P(A) = 1/5 et P(A∪B) = 1/2.
1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer P(B).
2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer P(B).
3. Calculer P(B) en supposant que l’événement A ne peut être réalisé que si l’événement B est réalisé.
Correction de l'exercice 1.3
Nous utilisons la formule générale de l'union : P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
1. Si A et B sont incompatibles, cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire simultanément. Leur intersection est vide, donc P(A∩B) = 0.
La formule de l'union devient : P(A∪B) = P(A) + P(B).
1/2 = 1/5 + P(B).
P(B) = 1/2 - 1/5 = 5/10 - 2/10 = 3/10.
2. Si A et B sont indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités : P(A∩B) = P(A) * P(B).
En utilisant la formule générale de l'union :
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * P(B)
1/2 = 1/5 + P(B) - (1/5) * P(B)
Regroupons les termes avec P(B) :
1/2 - 1/5 = P(B) * (1 - 1/5)
3/10 = P(B) * (4/5)
P(B) = (3/10) / (4/5) = (3/10) * (5/4) = 15/40 = 3/8.
3. L'événement A ne peut être réalisé que si l'événement B est réalisé. Cela signifie que A est un sous-ensemble de B (A ⊆ B). Graphiquement, si B se produit, A peut se produire à l'intérieur de B. Si A se produit, B doit s'être produit.
Dans ce cas, l'intersection A∩B est simplement A, donc P(A∩B) = P(A).
La formule de l'union devient :
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)
P(A∪B) = P(B).
Puisque P(A∪B) = 1/2 (donné dans l'énoncé), alors P(B) = 1/2.
1.4. Calcul d’événements 2
1. Montrer que, pour 3 événements quelconques A, B, C, on a :
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(C∩A) + P(A∩B∩C).
2. Généraliser dans le cas de n événements A₁, A₂, ..., An.
Correction de l'exercice 1.4
1. Pour démontrer la formule d'inclusion-exclusion pour trois événements, nous utilisons la formule pour deux événements (P(X∪Y) = P(X) + P(Y) - P(X∩Y)) de manière itérative.
Considérons D = B∪C. Alors P(A∪B∪C) = P(A∪D).
En appliquant la formule pour deux événements :
P(A∪D) = P(A) + P(D) - P(A∩D).
Nous savons que P(D) = P(B∪C) = P(B) + P(C) - P(B∩C).
Pour P(A∩D), nous avons A∩D = A∩(B∪C). En utilisant la distributivité des ensembles, A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Appliquons à nouveau la formule pour deux événements à P((A∩B)∪(A∩C)) :
P(A∩D) = P(A∩B) + P(A∩C) - P((A∩B)∩(A∩C)).
L'intersection (A∩B)∩(A∩C) est équivalente à A∩B∩C.
Donc, P(A∩D) = P(A∩B) + P(A∩C) - P(A∩B∩C).
En substituant les expressions de P(D) et P(A∩D) dans la formule de P(A∪D) :
P(A∪B∪C) = P(A) + [P(B) + P(C) - P(B∩C)] - [P(A∩B) + P(A∩C) - P(A∩B∩C)]
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(B∩C) - P(C∩A) + P(A∩B∩C).
Ceci est la formule du principe d'inclusion-exclusion pour trois événements.
2. Généralisation pour n événements (Principe d'inclusion-exclusion) :
Pour n événements A₁, A₂, ..., An, la probabilité de leur union est donnée par :
P(∪ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ) = Σᵢ P(Aᵢ) - Σᵢ<ⱼ P(Aᵢ∩Aⱼ) + Σᵢ<ⱼ<ₖ P(Aᵢ∩Aⱼ∩Aₖ) - ... + (-1)ⁿ⁺¹ P(A₁∩A₂∩...∩An).
En mots : la somme des probabilités des événements pris un par un, moins la somme des probabilités des intersections de deux événements, plus la somme des probabilités des intersections de trois événements, et ainsi de suite, en alternant les signes jusqu'à la probabilité de l'intersection de tous les n événements.
1.5. Calcul d’événements 3
Soient A, B et C des événements. On pose E₁ = A ∩ B ∩ C̅ et E₂ = A ∩ (B ∪ C).
1. Montrer que E₁ et E₂ sont incompatibles.
2. Déterminer l’ensemble E₁ ∪ E₂.
3. On sait que P(A) = 0,6, P(B) = 0,4, P(C) = 0,3, P(B∩C) = 0,1, P(A∩C) = 0,1, P(A∩B) = 0,2 et P(A∩B∩C) = 0,05. Calculer P(E₁) et P(E₂).
Correction de l'exercice 1.5
1. Pour vérifier si E₁ et E₂ sont incompatibles, nous calculons leur intersection E₁ ∩ E₂.
E₁ ∩ E₂ = (A ∩ B ∩ C̅) ∩ (A ∩ (B ∪ C))
En réarrangeant les termes et en utilisant la distributivité :
= A ∩ B ∩ C̅ ∩ (B ∪ C)
= A ∩ B ∩ (C̅ ∩ (B ∪ C))
Analysons le terme (C̅ ∩ (B ∪ C)) : cela représente les éléments qui ne sont pas dans C ET qui sont dans B ou C. Cet ensemble est équivalent à (C̅ ∩ B) ∪ (C̅ ∩ C). Puisque C̅ ∩ C = ∅, ce terme se réduit à C̅ ∩ B.
Donc, E₁ ∩ E₂ = A ∩ B ∩ (C̅ ∩ B)
= A ∩ B ∩ C̅.
Nous constatons que E₁ ∩ E₂ = E₁. Cela signifie que E₁ est un sous-ensemble de E₂. Par conséquent, E₁ et E₂ ne sont pas incompatibles, à moins que E₁ soit l'ensemble vide (∅).
Note : La correction originale affirmait que E₁ et E₂ sont incompatibles, ce qui n'est pas correct avec les définitions données.
2. Pour déterminer l’ensemble E₁ ∪ E₂ :
Puisque E₁ est un sous-ensemble de E₂ (comme démontré précédemment, E₁ ∩ E₂ = E₁), l'union de E₁ et E₂ est simplement E₂.
E₁ ∪ E₂ = E₂ = A ∩ (B ∪ C).
Note : La correction originale simplifiait incorrectement E₂ à A.
3. Calculer P(E₁) et P(E₂) avec les définitions données :
Les données sont : P(A) = 0,6, P(B) = 0,4, P(C) = 0,3, P(B∩C) = 0,1, P(A∩C) = 0,1, P(A∩B) = 0,2, P(A∩B∩C) = 0,05.
Calcul de P(E₂) = P(A ∩ (B ∪ C)) :
En utilisant la distributivité des ensembles, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Nous pouvons appliquer la formule de l'inclusion-exclusion pour deux événements :
P(E₂) = P((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) - P((A ∩ B) ∩ (A ∩ C))
L'intersection (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) est égale à A ∩ B ∩ C.
P(E₂) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) - P(A ∩ B ∩ C)
P(E₂) = 0,2 + 0,1 - 0,05 = 0,3 - 0,05 = 0,25.
Calcul de P(E₁) = P(A ∩ B ∩ C̅) :
Nous savons que P(X ∩ Y̅) = P(X) - P(X ∩ Y). Appliquons cette propriété avec X = (A ∩ B) et Y = C.
P(E₁) = P((A ∩ B) ∩ C̅) = P(A ∩ B) - P(A ∩ B ∩ C)
P(E₁) = 0,2 - 0,05 = 0,15.
Note : Les calculs originaux de P(E₁) étaient basés sur une hypothèse d'incompatibilité et d'union erronée, menant à P(E₁) = P(A) - P(E₂), ce qui est incorrect dans ce contexte.
1.6. Dés pipés
On lance deux fois un dé pipé. Les probabilités pour chaque face sont : P(1)=P(3)=P(4)=1/8, P(2)=P(6)=1/4 et P(5)=1/8. Vérifions que la somme des probabilités est 3*(1/8) + 2*(1/4) + 1*(1/8) = 3/8 + 4/8 + 1/8 = 8/8 = 1.
Quelle est la probabilité que la somme des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que :
1. un des résultats est 6.
2. le premier résultat est 6.
Correction de l'exercice 1.6
Les probabilités des faces du dé sont : P(1)=1/8, P(2)=1/4, P(3)=1/8, P(4)=1/8, P(5)=1/8, P(6)=1/4.
On lance le dé deux fois, les lancers sont indépendants.
Soit S l'événement « la somme des points obtenus est strictement supérieure à 10 ».
Les couples de résultats (dé 1, dé 2) dont la somme est > 10 sont : (5,6), (6,5), (6,6).
P(5,6) = P(5) * P(6) = (1/8) * (1/4) = 1/32.
P(6,5) = P(6) * P(5) = (1/4) * (1/8) = 1/32.
P(6,6) = P(6) * P(6) = (1/4) * (1/4) = 1/16 = 2/32.
Donc P(S) = P(5,6) + P(6,5) + P(6,6) = 1/32 + 1/32 + 2/32 = 4/32 = 1/8.
1. Sachant qu'un des résultats est 6.
Soit E l'événement « au moins un des résultats est 6 ».
L'événement E̅ (aucun 6) a une probabilité : P(E̅) = P(dé 1 ≠ 6 et dé 2 ≠ 6).
P(dé ≠ 6) = P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5) = 1/8 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/8 + 2/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4.
P(E̅) = (3/4) * (3/4) = 9/16.
Donc P(E) = 1 - P(E̅) = 1 - 9/16 = 7/16.
Nous cherchons P(S | E) = P(S ∩ E) / P(E).
Les événements de S sont (5,6), (6,5), (6,6). Chacun de ces événements implique qu'au moins un dé est un 6. Donc, l'intersection S ∩ E est simplement S.
P(S ∩ E) = P(S) = 1/8.
P(S | E) = (1/8) / (7/16) = (1/8) * (16/7) = 2/7.
2. Sachant que le premier résultat est 6.
Soit F l'événement « le premier résultat est 6 ».
P(F) = P(dé 1 = 6) = 1/4.
Nous cherchons P(S | F) = P(S ∩ F) / P(F).
L'intersection S ∩ F regroupe les couples où le premier dé est 6 ET la somme est > 10. Ce sont : (6,5) et (6,6).
P(S ∩ F) = P(6,5) + P(6,6) = 1/32 + 2/32 = 3/32.
P(S | F) = (3/32) / (1/4) = (3/32) * 4 = 12/32 = 3/8.
Les résultats sont 2/7 pour la première question et 3/8 pour la seconde.
1.7. Pièces d’or
Trois coffres notés C₁, C₂, C₃ ont chacun deux tiroirs, et dans chaque tiroir, il y a une pièce.
Le coffre C₁ contient 2 pièces d’or.
Le coffre C₂ contient 2 pièces d’argent.
Le coffre C₃ contient 1 pièce d’or et 1 pièce d’argent.
1. On ouvre au hasard l’un des 6 tiroirs et on trouve une pièce d’argent. Quelle est la probabilité pour que l’on ait ouvert un tiroir du coffre C₂ ?
2. On ouvre à nouveau et indépendamment de la première fois l’un des 6 tiroirs et on trouve encore une pièce d’argent. Quelle est la probabilité pour que l’on ait ouvert deux fois le même coffre ?
Correction de l'exercice 1.7
Soient les événements :
C₁, C₂, C₃ : Le tiroir choisi provient du coffre 1, 2 ou 3.
A : La pièce trouvée est en argent.
O : La pièce trouvée est en or.
Puisqu'il y a 3 coffres, et que le choix d'un tiroir se fait au hasard parmi les 6, la probabilité de choisir un tiroir d'un coffre spécifique est :
P(C₁) = 2/6 = 1/3 (car 2 tiroirs dans C1)
P(C₂) = 2/6 = 1/3
P(C₃) = 2/6 = 1/3
Probabilités conditionnelles de trouver une pièce d'argent :
P(A|C₁) = 0 (pas de pièce d'argent dans C₁)
P(A|C₂) = 1 (que des pièces d'argent dans C₂)
P(A|C₃) = 1/2 (une pièce d'argent sur deux dans C₃)
1. On trouve une pièce d'argent. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du coffre C₂ ? (P(C₂|A))
D'abord, calculons la probabilité de trouver une pièce d'argent P(A) en utilisant la formule des probabilités totales :
P(A) = P(A|C₁)P(C₁) + P(A|C₂)P(C₂) + P(A|C₃)P(C₃)
P(A) = (0 * 1/3) + (1 * 1/3) + (1/2 * 1/3) = 0 + 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
Maintenant, appliquons la formule de Bayes pour trouver P(C₂|A) :
P(C₂|A) = (P(A|C₂)P(C₂)) / P(A) = (1 * 1/3) / (1/2) = (1/3) * 2 = 2/3.
2. On ouvre à nouveau et indépendamment de la première fois l’un des 6 tiroirs et on trouve encore une pièce d’argent. Quelle est la probabilité pour que l’on ait ouvert deux fois le même coffre ?
Soient A₁ l'événement "la première pièce est d'argent" et A₂ l'événement "la seconde pièce est d'argent". Les deux tirages sont indépendants.
Soit M l'événement "le même coffre a été ouvert deux fois". Nous cherchons P(M | A₁ ∩ A₂).
P(A₁ ∩ A₂) = P(A₁) * P(A₂) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
L'événement M ∩ (A₁ ∩ A₂) signifie que le même coffre a été choisi deux fois ET qu'une pièce d'argent a été trouvée à chaque fois.
P(M ∩ A₁ ∩ A₂) = P(C₁ et C₁ et A₁ et A₂) + P(C₂ et C₂ et A₁ et A₂) + P(C₃ et C₃ et A₁ et A₂)
Puisque les tirages de coffre sont indépendants et les tirages de pièces sont indépendants :
P(M ∩ A₁ ∩ A₂) = P(C₁)P(C₁)P(A|C₁)P(A|C₁) + P(C₂)P(C₂)P(A|C₂)P(A|C₂) + P(C₃)P(C₃)P(A|C₃)P(A|C₃)
= (1/3)*(1/3)*(0)² + (1/3)*(1/3)*(1)² + (1/3)*(1/3)*(1/2)²
= (1/9)*0 + (1/9)*1 + (1/9)*(1/4)
= 0 + 1/9 + 1/36 = 4/36 + 1/36 = 5/36.
Maintenant, calculons la probabilité conditionnelle P(M | A₁ ∩ A₂) :
P(M | A₁ ∩ A₂) = P(M ∩ A₁ ∩ A₂) / P(A₁ ∩ A₂) = (5/36) / (1/4) = (5/36) * 4 = 5/9.
1.8. Agriculteur pas écolo
Un agriculteur a entreposé dans un local humide 12 doses d’herbicides (H) et 8 doses de fongicides (F). Après plusieurs mois, les étiquettes sont illisibles. En vue d’un traitement, l’agriculteur prend 6 doses au hasard (tirage simultané et sans remise).
a. Quelle est la probabilité qu’il prenne 6 doses d’herbicide ?
b. Quelle est la probabilité qu’il prenne au moins 2 doses d’herbicide ?
Correction de l'exercice 1.8
Le nombre total de doses est 12 (H) + 8 (F) = 20 doses.
L'agriculteur prend 6 doses simultanément. Le nombre total de tirages possibles est C(20,6).
C(20,6) = (20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 38 760.
a. Probabilité qu’il prenne 6 doses d’herbicide :
Le nombre de façons de choisir 6 doses d'herbicide parmi les 12 disponibles est C(12,6).
C(12,6) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 924.
P(6 doses d'herbicide) = C(12,6) / C(20,6) = 924 / 38 760 ≈ 0,02384.
Soit environ 2,38 %.
b. Probabilité qu’il prenne au moins 2 doses d’herbicide :
L'événement « au moins 2 doses d'herbicide » est le complémentaire de « 0 dose d'herbicide ou 1 dose d'herbicide ».
Calculons la probabilité de ces événements contraires :
- P(0 dose d'herbicide) : Cela signifie que les 6 doses sont des fongicides. Le nombre de façons de choisir 6 fongicides parmi les 8 disponibles est C(8,6).
C(8,6) = C(8,2) = (8 * 7) / 2 = 28.
P(0 dose d'herbicide) = C(8,6) / C(20,6) = 28 / 38 760 ≈ 0,000722 (environ 0,072 %).
- P(1 dose d'herbicide) : Cela signifie 1 herbicide parmi les 12, et 5 fongicides parmi les 8. Le nombre de façons est C(12,1) * C(8,5).
C(12,1) = 12.
C(8,5) = C(8,3) = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 56.
P(1 dose d'herbicide) = (C(12,1) * C(8,5)) / C(20,6) = (12 * 56) / 38 760 = 672 / 38 760 ≈ 0,01734.
Soit environ 1,73 %.
P(au moins 2 doses d'herbicide) = 1 - [P(0 dose d'herbicide) + P(1 dose d'herbicide)]
= 1 - (0,000722 + 0,01734) = 1 - 0,018062 ≈ 0,9819.
Soit environ 98,19 %.
1.9. Boules
Une boîte contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 7 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculez la probabilité d’obtenir :
a. Deux boules de la même couleur.
b. Deux boules de couleurs différentes.
Correction de l'exercice 1.9
Le nombre total de boules dans la boîte est 4 (rouges) + 3 (vertes) + 7 (jaunes) = 14 boules.
On tire simultanément 2 boules. Le nombre total de tirages possibles est C(14,2).
C(14,2) = (14 * 13) / 2 = 91.
a. Probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur :
Cela signifie tirer 2 rouges OU 2 vertes OU 2 jaunes.
- Tirer 2 rouges parmi 4 : C(4,2) = (4 * 3) / 2 = 6.
- Tirer 2 vertes parmi 3 : C(3,2) = 3.
- Tirer 2 jaunes parmi 7 : C(7,2) = (7 * 6) / 2 = 21.
Le nombre de tirages favorables est 6 + 3 + 21 = 30.
P(deux boules de la même couleur) = 30 / 91 ≈ 0,3297.
Soit environ 32,97 %.
b. Probabilité d’obtenir deux boules de couleurs différentes :
Cet événement est le complémentaire de l'événement « deux boules de la même couleur ».
P(deux boules de couleurs différentes) = 1 - P(deux boules de la même couleur)
= 1 - 30/91 = 61/91 ≈ 0,6703.
Soit environ 67,03 %.
1.10. Jeux
Une enquête effectuée auprès de 1500 personnes adultes (habitants d’une ville) portant sur les jeux d’argent indique que :
- 1182 jouent à la loterie (A)
- 310 vont au casino (B)
- 190 jouent autant à la loterie qu’au casino (A∩B).
a. Si une personne adulte (de la ville) est choisie au hasard, quelle est la probabilité qu’elle joue à la loterie ou au casino ?
b. Quelle est la probabilité qu’elle joue uniquement au casino ?
Correction de l'exercice 1.10
La population totale est de 1500 personnes.
P(A) = 1182 / 1500 = 0,788.
P(B) = 310 / 1500 ≈ 0,2067.
P(A∩B) = 190 / 1500 ≈ 0,1267.
a. Probabilité qu’elle joue à la loterie ou au casino (P(A∪B)) :
Nous utilisons la formule de l'union : P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
P(A∪B) = 0,788 + 0,2067 - 0,1267 = 0,9947 - 0,1267 = 0,868.
La probabilité qu'une personne joue à la loterie ou au casino est de 0,868.
b. Probabilité qu’elle joue uniquement au casino :
Cela signifie que la personne joue au casino mais pas à la loterie (B ∩ A̅).
P(uniquement B) = P(B) - P(A∩B).
P(uniquement B) = 310/1500 - 190/1500 = 120/1500 = 0,08.
La probabilité qu'une personne joue uniquement au casino est de 0,08.
1.11. Conformité 1
D’après les données recueillies jusqu’à ce jour, 2 % de la production d’une unité d’une entreprise est non conforme (NC) et ne peut être commercialisée.
a. Quelle est la probabilité que 2 pièces choisies au hasard de la production de cette unité soient non conformes ?
b. Quelle est la probabilité que la première pièce soit non conforme et que la seconde soit conforme ?
Correction de l'exercice 1.11
Soit p la probabilité qu'une pièce soit non conforme : p = 0,02.
La probabilité qu'une pièce soit conforme (C) est 1 - p = 0,98.
Les choix de pièces sont supposés indépendants.
a. Probabilité que 2 pièces choisies au hasard soient non conformes :
P(NC₁ et NC₂) = P(NC₁) * P(NC₂)
P(NC₁ et NC₂) = 0,02 * 0,02 = 0,0004.
Il y a 0,04 % de chances que deux pièces tirées soient non conformes.
b. Probabilité que la première pièce soit non conforme et que la seconde soit conforme :
P(NC₁ et C₂) = P(NC₁) * P(C₂)
P(NC₁ et C₂) = 0,02 * 0,98 = 0,0196.
Il y a 1,96 % de chances que la première pièce soit non conforme et la seconde conforme.
1.12. Fumeurs
Une réunion rassemble 20 personnes : 12 femmes et 8 hommes. On sait que 20% des femmes fument ainsi que 40 % des hommes.
a. Une personne quitte la réunion. Quelle est la probabilité que cette personne soit occupée à fumer ?
b. Une personne quitte la réunion en fumant. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une femme ?
Correction de l'exercice 1.12
Nombre total de personnes = 20.
Nombre de femmes (F) = 12, P(F) = 12/20 = 0,6.
Nombre d'hommes (H) = 8, P(H) = 8/20 = 0,4.
Probabilité qu'une femme fume (Fm|F) = 0,20.
Probabilité qu'un homme fume (Fm|H) = 0,40.
a. Probabilité qu'une personne choisie au hasard fume (P(Fm)) :
Nous utilisons la formule des probabilités totales :
P(Fm) = P(Fm|F)P(F) + P(Fm|H)P(H)
P(Fm) = (0,20 * 0,6) + (0,40 * 0,4) = 0,12 + 0,16 = 0,28.
La probabilité qu'une personne choisie au hasard fume est de 0,28 (28 %).
b. Une personne quitte la réunion en fumant. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une femme ? (P(F|Fm))
Nous utilisons la formule de Bayes :
P(F|Fm) = (P(Fm|F)P(F)) / P(Fm)
P(F|Fm) = (0,20 * 0,6) / 0,28 = 0,12 / 0,28 = 12/28 = 3/7.
Soit environ 0,4286 (environ 42,86 %).
1.13. Conformité 2
On suppose que 3 entreprises X, Y et Z fabriquent trois types de microprocesseurs utilisés dans les ordinateurs. Elles se partagent le marché à raison de 25 % pour X, 35 % pour Y, 40 % pour Z. Les pourcentages de commandes non conformes (NC) sont : 5 % pour les microprocesseurs de X, 4 % pour ceux de Y et 2 % pour ceux de Z.
Dans un lot constitué de microprocesseurs dans les proportions indiquées pour X, Y et Z, on prélève un microprocesseur.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit non conforme ?
b. Sachant que le microprocesseur présente un défaut de fabrication, quelle est la probabilité qu’il soit du type X ?
Correction de l'exercice 1.13
Probabilités des parts de marché : P(X) = 0,25, P(Y) = 0,35, P(Z) = 0,40.
Probabilités de non-conformité conditionnelles : P(NC|X) = 0,05, P(NC|Y) = 0,04, P(NC|Z) = 0,02.
a. Probabilité qu’un microprocesseur prélevé soit non conforme (P(NC)) :
Nous utilisons la formule des probabilités totales :
P(NC) = P(NC|X)P(X) + P(NC|Y)P(Y) + P(NC|Z)P(Z)
P(NC) = (0,05 * 0,25) + (0,04 * 0,35) + (0,02 * 0,40)
P(NC) = 0,0125 + 0,0140 + 0,0080 = 0,0345.
La probabilité qu'un microprocesseur choisi soit non conforme est de 0,0345 (3,45 %).
b. Sachant que le microprocesseur est non conforme, quelle est la probabilité qu’il soit du type X ? (P(X|NC))
Nous utilisons la formule de Bayes :
P(X|NC) = (P(NC|X)P(X)) / P(NC)
P(X|NC) = (0,05 * 0,25) / 0,0345 = 0,0125 / 0,0345 ≈ 0,3623.
La probabilité qu'un microprocesseur défectueux provienne de l'entreprise X est d'environ 36,23 %.
1.14. Chiens chats
On sait que 36 % des foyers ont un chien et que dans 22 % des foyers où l’on a un chien on trouve aussi un chat. On sait par ailleurs que 30% des foyers ont un chat.
a. Quelle est la proportion de foyers dans lesquels on trouve un chien et un chat ?
b. Quelle est la probabilité qu’un foyer possède un chien sachant qu’il possède un chat ?
Correction de l'exercice 1.14
Soient les événements :
C : Un foyer a un chien.
H : Un foyer a un chat.
Données : P(C) = 0,36.
P(H|C) = 0,22 (probabilité d'avoir un chat sachant qu'on a un chien).
P(H) = 0,30.
a. Proportion de foyers dans lesquels on trouve un chien et un chat (P(C∩H)) :
Nous utilisons la formule de la probabilité conditionnelle : P(H|C) = P(C∩H) / P(C).
Donc, P(C∩H) = P(H|C) * P(C).
P(C∩H) = 0,22 * 0,36 = 0,0792.
Environ 7,92 % des foyers ont un chien et un chat.
b. Probabilité qu’un foyer possède un chien sachant qu’il possède un chat (P(C|H)) :
Nous utilisons la formule de Bayes :
P(C|H) = P(C∩H) / P(H).
P(C|H) = 0,0792 / 0,30 = 0,264.
La probabilité qu'un foyer possède un chien sachant qu'il possède un chat est de 0,264 (26,4 %).
1.15. Maladie
Dans une population, un sujet a une probabilité de 0,3 d'être atteint d'une maladie M. On sait que si un sujet n'est pas atteint de M, il a 9 chances sur 10 de répondre négativement à un test T et que s'il est atteint de M, il a 8 chances sur 10 de répondre positivement à T. On fait le test.
a. Si le résultat est positif, quelle est la probabilité pour que le sujet soit malade ?
b. Quelle est cette probabilité si le test est négatif ?
Correction de l'exercice 1.15
Soient les événements :
M : Le sujet est atteint de la maladie.
M̅ : Le sujet n'est pas atteint de la maladie.
T : Le test est positif.
T̅ : Le test est négatif.
Données : P(M) = 0,30, donc P(M̅) = 1 - 0,30 = 0,70.
P(T̅ | M̅) = 0,90 (probabilité que le test soit négatif si non malade).
P(T | M̅) = 1 - P(T̅ | M̅) = 1 - 0,90 = 0,10 (probabilité que le test soit positif si non malade).
P(T | M) = 0,80 (probabilité que le test soit positif si malade).
P(T̅ | M) = 1 - P(T | M) = 1 - 0,80 = 0,20 (probabilité que le test soit négatif si malade).
a. Si le résultat est positif, quelle est la probabilité pour que le sujet soit malade ? (P(M|T))
Nous utilisons la formule des probabilités totales pour P(T) :
P(T) = P(T|M)P(M) + P(T|M̅)P(M̅)
P(T) = (0,80 * 0,30) + (0,10 * 0,70) = 0,24 + 0,07 = 0,31.
Maintenant, nous appliquons la formule de Bayes :
P(M|T) = (P(T|M)P(M)) / P(T)
P(M|T) = (0,80 * 0,30) / 0,31 = 0,24 / 0,31 ≈ 0,7742.
La probabilité que le sujet soit malade si le test est positif est d'environ 77,42 %.
b. Quelle est cette probabilité si le test est négatif ? (P(M|T̅))
Nous utilisons la formule des probabilités totales pour P(T̅) :
P(T̅) = P(T̅|M)P(M) + P(T̅|M̅)P(M̅)
P(T̅) = (0,20 * 0,30) + (0,90 * 0,70) = 0,06 + 0,63 = 0,69.
Maintenant, nous appliquons la formule de Bayes :
P(M|T̅) = (P(T̅|M)P(M)) / P(T̅)
P(M|T̅) = (0,20 * 0,30) / 0,69 = 0,06 / 0,69 ≈ 0,0869.
La probabilité que le sujet soit malade si le test est négatif est d'environ 8,69 %.
1.16. QCM, Am. du Nord 2006
3 points. Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de trois sortes : 4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ».
Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.
Question 1 : Le jeu est
A : favorable au joueur
B : défavorable au joueur
C : équitable.
Question 2 : Le joueur joue quatre parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à
A : 216/625
B : 544/625
C : 2/5.
Lors d’un second jeu le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.
Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à :
A : 4/15
B : 11/30
C : 11/15.
Correction de l'exercice 1.16
Probabilités de tirage d'un bulletin :
P(« oui ») = 4/10.
P(« non ») = 3/10.
P(« blanc ») = 3/10.
Question 1 : Pour déterminer si le jeu est favorable, défavorable ou équitable, nous calculons l'espérance mathématique du gain net du joueur.
Espérance (gain net) = (P(« oui ») * gain net « oui ») + (P(« non ») * gain net « non ») + (P(« blanc ») * gain net « blanc »)
Gain net « oui » = 60 - 30 = 30 centimes.
Gain net « non » = 0 - 30 = -30 centimes.
Gain net « blanc » = 20 - 30 = -10 centimes.
Espérance = (4/10 * 30) + (3/10 * -30) + (3/10 * -10)
= 12 + (-9) + (-3) = 12 - 9 - 3 = 0.
L'espérance mathématique étant de 0, le jeu est équitable.
Réponse : C.
Question 2 : Le joueur joue quatre parties indépendantes. Probabilité d'avoir au moins une fois un bulletin « oui ».
Soit O l'événement « tirer un bulletin oui ». P(O) = 4/10 = 2/5.
L'événement contraire O̅ est « ne pas tirer un bulletin oui ». P(O̅) = 1 - 2/5 = 3/5.
La probabilité de tirer au moins une fois un « oui » en 4 parties est 1 - P(jamais de « oui » en 4 parties).
P(jamais de « oui » en 4 parties) = P(O̅) * P(O̅) * P(O̅) * P(O̅) = (3/5)⁴ = 81/625.
P(au moins un « oui ») = 1 - 81/625 = (625 - 81) / 625 = 544/625.
Réponse : B.
Question 3 : Le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne. Probabilité d'obtenir deux bulletins de sortes différentes.
Le nombre total de tirages simultanés de 2 bulletins parmi 10 est C(10,2) = (10 * 9) / 2 = 45.
Obtenir deux bulletins de sortes différentes signifie :
- Un « oui » et un « non » : C(4,1) * C(3,1) = 4 * 3 = 12 façons.
- Un « oui » et un « blanc » : C(4,1) * C(3,1) = 4 * 3 = 12 façons.
- Un « non » et un « blanc » : C(3,1) * C(3,1) = 3 * 3 = 9 façons.
Le nombre total de tirages favorables est 12 + 12 + 9 = 33.
La probabilité est 33 / 45. En simplifiant par 3, nous obtenons 11/15.
Réponse : C.
1.17. Fesic 2001 : Exercice 17
Foire Aux Questions (FAQ) sur les Probabilités
Qu'est-ce que l'identité de Pascal et à quoi sert-elle ?
L'identité de Pascal est une relation fondamentale en combinatoire qui stipule que C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1). Elle exprime que le nombre de façons de choisir k éléments parmi n est égal à la somme du nombre de façons de choisir k éléments parmi n-1 (sans inclure un élément spécifique) et du nombre de façons de choisir k-1 éléments parmi n-1 (en incluant cet élément spécifique). Cette identité est la base de la construction du triangle de Pascal et est essentielle pour simplifier les calculs de coefficients binomiaux et résoudre des problèmes de dénombrement.
Quelle est la différence entre des événements incompatibles et des événements indépendants ?
Des événements sont **incompatibles** (ou mutuellement exclusifs) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide. Par exemple, tirer un nombre pair et un nombre impair avec un seul dé sont des événements incompatibles. Si A et B sont incompatibles, P(A∩B) = 0.
Des événements sont **indépendants** si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Par exemple, le résultat d'un premier lancer de dé est indépendant du résultat d'un second lancer. Si A et B sont indépendants, P(A∩B) = P(A) * P(B).
Il est important de noter qu'en général, des événements incompatibles (non vides) ne peuvent pas être indépendants, et vice versa.
Quand utilise-t-on le principe d'inclusion-exclusion ?
Le principe d'inclusion-exclusion est utilisé pour calculer la taille de l'union de plusieurs ensembles (ou la probabilité de l'union de plusieurs événements). Il permet d'éviter de compter plusieurs fois les éléments (ou les issues) qui appartiennent à plus d'un ensemble (ou événement). Pour deux ensembles A et B, la formule est P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Pour un nombre n quelconque d'événements, la formule généralisée alterne l'addition des probabilités des unions simples, la soustraction des probabilités des intersections par paires, l'addition des intersections par trios, et ainsi de suite, jusqu'à l'intersection de tous les événements.