Magnétostatique : Cours complements mathematiques
Télécharger PDFA- Compléments mathématiques I- L’espace L’espace c’est l’ensemble des positions que peut prendre un objet ponctuel. Pour repérer un point dans l’espace, on utilise un système de coordonnées dont les plus connues sont les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. I-1- Coordonnées cartésiennes Coordonnées d’un point
En coordonnées cartésiennes un point M est défini par 3 coordonnées dans le repère
, où
sont des vecteurs dont le sens coïncide avec l’accroissement positif des x, y et z. Ils forment ce qu’on appelle une base orthonormée. zyxet ,,ketji x, y et z sont appelés respectivement l’abscisse , l’ordonnée et la cote du point M tque : kzjyixOM O i j k M’ M M’’ xy z ),,,(kjiO
Remarque: Dorénavant , on peut remplacer zyx
e e,epar, etketji Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Elément infinitésimal de surface
),,(zyxM
),,( dzzdyydxxN
)(OMdkdzjdyidxOMONMNd dSedydzdddSxxzyx ) (. Elément infinitésimal de volume dxdydzddddzyx ..
Soit N un point très proche de Elément infinitésimal de déplacement
O i j k xz M’ M M’’ kdjdidMNdzyx dzddyd dxdz yx
N y ) (. yyzxy
dSedxdzdddS )( .zxyxz dSedxdydddS
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK I-2- Coordonnées cylindriques En coordonnées cylindriques, les variables deviennent "'MMOM
',OMOx
MMOMz'"z eee ,, Les vecteurs unitaires de la base locale forment un trièdre direct. Les coordonnées cylindriques sont reliées aux coordonnées cartésiennes par : zzy x sin cosz ezeOM
On considère un point N, proche de M, de coordonnées L’élément de déplacement est donné par: ),,(dzzdd dzd dddd z z,,jiejie cossinet sincos avec
z x y O M M’ M’’ e e ze e z
edzededOMdOMONMNd )(zz edzedededzdjiedd )cossin(zz edededd N d dz d M x y z d M’ M’’ O Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK ( Les éléments de surface sont donnés par : )(.. )(. ) ( .zzz zz dSedddddS
dSedzddddS dSedzddddS dzddddddz ..
L’élément de volume est exprimé par: Remarque : Si on se limite à 2 dimensions (z=0), et sont appelées coordonnées polaires. N d dz d M x y z d M’ M’’ O Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK I-3 Coordonnées sphériques Quand il s’agit d’étudier des problèmes à symétrie sphérique, on utilise les coordonnées sphériques
(rayon, longitude , colatitude) et ,r
La base locale associée est eee r ,,r erOM cos"
sinsinsin'
cossincos'rOMz rOMyrOMx Les composantes du déplacement élémentaire s’obtiennent en faisant varier simultanément et ,r drdrdd drd
avecedededMNdr rrsin drrddddS
drdrdddSddrdddS rr r . sin.sin. 2
ddrdrddddr sin..2
M’’ M’ z y x M re e e
dr d rd y x z M M’ rsind d d Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK II- Champ scalaire et champ vectoriel II-1 Définition : On appelle champ scalaire une fonction scalaire dépendant des coordonnées d’un point M, que l’on peut écrire sous l’une des formes suivantes :
),,()(fMf
On appelle champ vectoriel une fonction vectorielle dépendant de la position d’un point M. ),,(ou
z),,( , ),,(),,(
),,(),,(),,(),,()( rzyxavec
eAeAeAAMA
II-2 Surfaces de niveau Les surfaces de niveau du champ scalaire f(r)= K/r sont des sphères concentriques centrées sur O. On appelle lignes de champ les lignes tangentes en tout point au champ vectoriel. Autrement dit ; les lignes de champ sont caractérisées par l’équation suivante : ),,(ou
z),,( , ),,(),,( rzyxavec
Dans le cas d’un champ scalaire, on appelle surface de niveau ou surface equi-f ou iso-f , l’ensemble des points M définis par une équation du type f(M) = Constante. Exemple : II-3 Lignes de champs Exemples: La température, la pression atmosphérique, l’énergie..... Exemples: Le champ gravitationnel, le champ magnétique, la force .... Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK )(MA 0)()(
MNMAdMA
étant un déplacement élémentaire sur la ligne de champ. MNd zz yy xx Ad Ad Ad cartés. coord.En Les lignes de champ sont orientées dans le même sens que Exemple : Les lignes du champ vectoriel re rK MA 2 )(
sont des droites qui divergent du centre O vers l’infini si K>0 (convergent vers O si k<0). On appelle tube de champ la surface formée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé C. II-5- Gradient d’un champ scalaire La variation d’une fonction scalaire U(x,y,z) à plusieurs variables, s’exprime par sa différentielle totale : 5-1 Différentielle totale d’une fonction à plusieurs variables O
k>0 C T ligne de champ II-4 Tube de champ
N M )(MA Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK dzz zyxUdy yzyxU dxx zyxUzyxdU
),,(),,(),,(),,( zzyxU ety zyxUx zyxU ),,(
),,( ,),,( xzyxU ),,( est la dérivée partielle de U(x,y,z) par rapport à x en fixant y et z 5-2- Vecteur gradient On considère un champ de scalaire ),,()(zyxUMU
En un point N très proche de M, caractérisé par dz dydx MNd représentent les dérivées partielles de U , U subi une variation drvecteudzz zyxUdy yzyxU dxx zyxU
MUNUzyxdU).(
),,(),,(),,(
)()(),,( Ce vecteur dont les composantes sont : zzyxU yzyxU xzyxU ),,(),,( ),,( Soit, dUgradzyxdU.),,(
Remarque : UUgrad z yx
est appelé opérateur nabla où est appelé gradient de U, noté Ugrad
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK U=Cste d
à dU est grad
dUcste zyxU0),,(
Le gradient est toujours normal à la surface de niveau. UgradE Conséquence Si
, c.à.d. le champ vectoriel
dérive d’une fonction scalaire U, ses lignes de champ sont normales aux équipotentielles. b) Dans le cas d’un déplacement quelconque cos.),,( dUgraddUgradzyxdU
dU est maximum si =0, c.à.d. si le déplacement est // Ugrad
Supposons maintenant que =0. étant d aux 2 surfaces de niveau très voisines et on suppose qu’il est orienté dans le sens croissant du champ scalaire U . 5-3 Propriétés du gradient a)Supposons que le déplacement ait lieu sur la surface de niveau (surface equi-U) U+dU U N M 0.)()(),,( dUgradMUNUzyxdU
Le gradient est dirigé dans le sens des U croissants UgradE
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Conséquence Le vecteur gradient indique la variation la plus rapide du champ scalaire 5-4- Circulation du gradient Soit une courbe plongée dans un champ vectoriel
, la circulation du gradient le long de la courbe est exprimé par : UgradA B AAB UUdUdUgrad .C
A B Ugrad d La circulation du gradient ne dépend pas du chemin suivi, La circulation du gradient le long d’un contour fermé est nulle. Conséquence 5-5 - Gradient en coordonnées cylindriques et sphériques zz
dUgraddUgraddUgraddUgraddU .... dz dd d Or où D’où l’expression du gradient en coordonnées cylindriques : z UU UUgrad 1
En coordonnées cylindriques, dzz zUd zUd zUzdU
),,(),,(),,(),,( En coordonnées sphériques le gradient est exprimé par : U rU rr UUgrad sin1 1
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK II-6- Divergence d’un champ vectoriel 6-1- Définition :A
On appelle divergence de
le scalaire: Az Ay Ax A Adivz yx .
6-2- Exemples ,)( IMkMA Champ divergent
M(x,y,z)zyxIet ),,(000 zzyy xxkA 00 0 k Adiv3 Le champ divergent a une divergence positive (de même un champ convergent a une divergence négative) Champ à caractère tourbillonnaire: vitesse d’une particule qui tourne autour d’un axe Oz avec la vitesse angulaire tt 00 cossin 0sin cos vdiv vxωωtRωv yωωtRωv v ztRy tRxOM zy x x y M v t
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK 6-3-1- Vecteur élément de surface On considère une surface S plongée dans un champ vectoriel, étant un élément de surface autour du point M. 6-3- Flux d’un vecteur A dS Au point M, on oriente la normale à la surface en y choisissant arbitrairement un sens + A dS, on fait correspondre le vecteur élément de surface
porté par la normale dans le sens + et de module dS: On appelle face positive ou face nord la face par laquelle sort la normale et face négative ou face sud l’autre face, Dans le cas d’une surface fermée, nous orientons les normales de l’intérieur vers l’extérieur.
Convention : Dans le cas d’une surface S limitée par un contour fermé et orienté, nous orientons S en fonction du sens du parcours sur par la règle du tire bouchon, )(MSd
M S A dS dS Sd)(MSd )(PSd)(NSd ndS Sd n M)(NSd NN MP Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK 6-3-2- Définition du flux d’un vecteur On appelle flux élémentaire du champ vectoriel
à travers l’élément de surface
le produit scalaireA MSdMAd)().( . Le flux total du champ vectoriel à travers la surface S est la somme algébrique des flux élémentaires à travers tous les éléments de surface:dSnASdA SS
.. Remarques : Le flux à travers une surface fermée est noté SdA. Quand le flux de
à travers toute surface fermée est nul, on dit qu’il est conservatif. 6-4-Théorème de la divergence (ou Green-Ostrogradsky) Le flux de
à travers une surface fermée limitant un volume V est donné par : A
. dAdivSdAVS
Conséquences dans le cas du flux conservatif dAdivSdAV VS S 00. A div0 La réciproque est évidente d’où : AdivSdA SS 00. . A Sd à admette Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Soit 2 surfaces quelconques S1 et S
2 s’appuyant sur le même contour plongées dans un champ vectoriel à flux conservatif. .et. 2121 SSSdASdA
L’association de S
1 et S
2 donne une surface fermée 2121
0. dAdivSdAV S 2S 1
1n 2 n Lorsque le flux d’un champ vectoriel est conservatif, le flux d’un tel champ à travers une surface non fermée est indépendant de la forme de la surface choisie, il ne dépend que du contour qui délimite cette surface. Soient les flux sortants de S
1 et S2 : '2 n 1n
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Exercice : Montrer que
est à flux conservatif en utilisant les coordonnées cartésiennes puis les coordonnées sphériques. 2r e
A r S O d )(MSd re M 6-5- Angle solide Soit une surface ouverte S s’appuyant sur un contour orienté. Prenons un point fixe O et un point M quelconque sur S
On appelle angle solide sous lequel du point O on voit la surface orientée S, le flux du vecteur
à travers cette surface. Soit : 23r er rr
SSSr Sd rdS Sdr eMSd rr 223cos .)(. 2cos rdS d
étant l’angle solide élémentaire sous le quel du point O on voit dS. )(r erOM est une grandeur sans dimension, néanmoins on l’exprime en stéradian (Sr) T Remarque: Lorsque on voit la face négative (positive), )0( 0dd
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK TD voir )cos1(2)cos1(2 02 02 2 RR RS Si le cône est un cône de révolution, S est une calotte sphérique: 0 R O Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Soit un contour orienté, étant l’angle solide sous lequel du point O on voit la surface s’appuyant sur . Du moment que l’angle solide est indépendant de la surface qui s’appui sur , on peut choisir comme association de S et S’. Où S est une portion de la sphère de centre O et de rayon R découpée par le cône (appelée calotte sphérique) et S’est la surface du cône compris entre et S (S’ Tube de champ). S 0 S’ R 2220 '22 .1 ...R SdS RSd re Sdr eSd re CalotteSS rS rr )cos1(2)cos1(2 02 02 R R
O L’angle solide est égal au rapport de l’aire de la portion de la sphère du centre O et de rayon R au carré du rayon de cette sphère. La forme du cône du sommet O formé par les lignes de champ, est imposée par la forme du contour .
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK II-7- Rotationnel d’un vecteur 7-1- Définition : Le rotationnel d’un champ vectoriel est un vecteur obtenu en multipliant vectoriellement
: Apar
y Ax Ax Az Az Ay AAArot xy zx yz
Ugrad A 00 ......22
UUgradrot
Arot xA yxU xyU yA yx Conséquence: Supposons que 0 Arot Vgrad A Réciproquement on admet qu’un champ vectoriel vérifiant
peut se mette sous forme . Vgrad AO ArotD où '
A
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK Exemple : Considérons le champ vectoriel ,3 rr E Kr UU;grad -Er r rot
1 avec0 3 0.........)( zA yA xzB yB xB Bdivy zzy x On admet la réciproque, c.à.d. tout champ vectoriel vérifiant
peut se mettre sous forme
0)(A rotdiv
A rotB est un champ à flux conservatif 0)(B div
A rotB 7-3- Théorème de Stokes (ou du rotationnel)
0où D'BdivA rotB Le flux du rotationnel ne dépend pas de la surface choisie, il doit s’exprimer en fonction du contour qui délimite la surface. Ceci est mis en évidence par le théorème de Stokes dont l’énoncé est : 0)(A rotdiv Si un champ vectoriel
qui ne dérive pas d’un potentiel scalaire
; il existe un champ vectorieltq . On dit que
dérive d’un potentiel vecteur0
A rot
A
A
B BA rot B
7-2- Condition pour qu’un vecteur soit rotationnel Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK A
A rot La circulation d’un vecteur
le long d’un contour fermé est égal au flux de
à travers une surface S quelconque s’appuyant sur . S
SdA rotdA .. à admettre Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK II-8- Opérateur Laplacien L’opérateur Laplacien noté est le produit scalaire de l'opérateur nabla par lui-même. 22 22 22 2)()()( .zyx
Le Laplacien d’un champ scalaire est un scalaire ; )()()()( 22 22 22 Ugraddivz Uy Ux UU
Le Laplacien d’un champ vectoriel est un vecteur ; zy xA AA A Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK II-9- Relations usuelles
).().(.ACBBACCBA
AGdivGgradAAGdiv .)(
BdivAdivBAdiv )( VgradUUgradVUVgrad)(
VgradUgradVUgrad)(
BrotAArotBBAdiv ..)( BrotArotBArot )( AGgradArotGAGrot )(
0)(Arotdiv 0)( Ugradrot
UUgarddiv)(
AAdivgradArotrot 2)()(
CBABCACBA ).().(
Compléments Mathématiques STPI1 - 2020/2021 - R. MALEK