Magnétostatique : Cours complements mathematiques
Télécharger PDFI- Compléments mathématiques sur l’espace
L’espace est l’ensemble des positions que peut prendre un objet ponctuel. Pour repérer un point dans l’espace, on utilise un système de coordonnées dont les plus connues sont les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
I-1- Coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes, un point M est défini par trois coordonnées (x, y, z) dans un repère, où les vecteurs unitaires i, j et k forment une base orthonormée. Les coordonnées x, y et z sont respectivement appelées l’abscisse, l’ordonnée et la cote du point M.
Remarque : Dorénavant, on peut noter les coordonnées comme (x, y, z) ou (i, j, k) pour les vecteurs unitaires.
Éléments infinitésimaux en coordonnées cartésiennes
L’élément infinitésimal de surface est donné par : dS = dx dy dz.
L’élément infinitésimal de volume est exprimé par : dV = dx dy dz.
L’élément infinitésimal de déplacement est : dM = i dx + j dy + k dz.
I-2- Coordonnées cylindriques
En coordonnées cylindriques, un point M est défini par trois variables : r (rayon), θ (angle azimutal) et z (hauteur). Les vecteurs unitaires de la base locale forment un trièdre direct.
Les coordonnées cylindriques sont reliées aux coordonnées cartésiennes par les relations suivantes :
- x = r cos(θ)
- y = r sin(θ)
- z = z
L’élément de déplacement est donné par : dM = e_r dr + e_θ r dθ + e_z dz.
Les éléments de surface en coordonnées cylindriques sont :
- dS_r = r dθ dz (surface radiale)
- dS_θ = dr dz (surface azimutale)
- dS_z = r dr dθ (surface axiale)
L’élément de volume est exprimé par : dV = r dr dθ dz.
I-3- Coordonnées sphériques
Quand il s’agit d’étudier des problèmes à symétrie sphérique, on utilise les coordonnées sphériques définies par (r, θ, φ), où r est le rayon, θ l’angle azimutal et φ l’angle polaire.
Les coordonnées sphériques sont reliées aux coordonnées cartésiennes par :
- x = r sin(φ) cos(θ)
- y = r sin(φ) sin(θ)
- z = r cos(φ)
L’élément de déplacement est donné par : dM = e_r dr + e_θ r sin(φ) dθ + e_φ r dφ.
Les éléments de surface en coordonnées sphériques sont :
- dS_r = r² sin(φ) dθ dφ (surface radiale)
- dS_θ = r sin(φ) dr dφ (surface azimutale)
- dS_φ = r dr dθ (surface polaire)
L’élément de volume est exprimé par : dV = r² sin(φ) dr dθ dφ.
II- Champ scalaire et champ vectoriel
II-1- Définition
On appelle champ scalaire une fonction scalaire dépendant des coordonnées d’un point M, que l’on peut écrire sous l’une des formes suivantes : f(M) = f(x, y, z).
On appelle champ vectoriel une fonction vectorielle dépendant de la position d’un point M, que l’on peut écrire sous la forme : A(M) = A(x, y, z) i + B(x, y, z) j + C(x, y, z) k.
II-2- Surfaces de niveau
Les surfaces de niveau du champ scalaire f(M) = K/r sont des sphères concentriques centrées sur O.
Dans le cas d’un champ scalaire, on appelle surface de niveau ou surface équi-f l’ensemble des points M définis par une équation du type f(M) = Constante.
Exemple : Pour un champ scalaire de type U = K/r², les surfaces de niveau sont des sphères.
II-3- Lignes de champ
Les lignes de champ sont les lignes tangentes en tout point au champ vectoriel. Autrement dit, les lignes de champ sont caractérisées par l’équation : A(M) = A(x, y, z).
Exemples de champs scalaires : la température, la pression atmosphérique, l’énergie.
Exemples de champs vectoriels : le champ gravitationnel, le champ magnétique, la force.
Les lignes de champ du champ vectoriel A(M) = K/r² M sont des droites qui divergent du centre O vers l’infini si K > 0 (ou convergent vers O si K < 0).
On appelle tube de champ la surface formée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé C.
II-4- Gradient d’un champ scalaire
La variation d’une fonction scalaire U(x, y, z) à plusieurs variables s’exprime par sa différentielle totale :
- dU = ∂U/∂x dx + ∂U/∂y dy + ∂U/∂z dz.
II-5- Propriétés du gradient
Le gradient est toujours normal à la surface de niveau.
Le vecteur gradient indique la variation la plus rapide du champ scalaire.
Le gradient est dirigé dans le sens des U croissants.
La circulation du gradient le long d’un contour fermé est nulle.
La circulation du gradient ne dépend pas du chemin suivi.
II-6- Gradient en coordonnées cylindriques et sphériques
En coordonnées cylindriques, le gradient est exprimé par :
- grad U = (∂U/∂r) e_r + (1/r ∂U/∂θ) e_θ + (∂U/∂z) e_z.
En coordonnées sphériques, le gradient est exprimé par :
- grad U = (∂U/∂r) e_r + (1/(r sin(φ)) ∂U/∂θ) e_θ + (1/r ∂U/∂φ) e_φ.
II-7- Divergence d’un champ vectoriel
II-7-1- Définition
On appelle divergence de A le scalaire : div A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z.
II-7-2- Exemples
Un champ divergent a une divergence positive, tandis qu’un champ convergent a une divergence négative.
Exemple de champ à caractère tourbillonnaire : vitesse d’une particule qui tourne autour d’un axe Oz avec la vitesse angulaire ω.
II-7-3- Flux d’un champ vectoriel
Le flux élémentaire du champ vectoriel A à travers l’élément de surface dS autour du point M est le produit scalaire : A · dS.
Le flux total du champ vectoriel à travers la surface S est donné par : ∫∫ S (A · dS).
Remarques :
- Le flux à travers une surface fermée Σ est noté ∮∮ Σ (A · dS).
- Quand le flux de A à travers toute surface fermée est nul, on dit que le champ est conservatif.
II-7-4- Théorème de la divergence (Green-Ostrogradsky)
Le flux de A à travers une surface fermée limitant un volume V est donné par : ∫∫∫ V (div A) dV = ∮∮ Σ (A · dS).
Conséquences dans le cas du flux conservatif :
- Si div A = 0, alors ∮∮ Σ (A · dS) = 0.
- La réciproque est évidente : si ∮∮ Σ (A · dS) = 0, alors div A = 0.
Pour deux surfaces quelconques S1 et S2 s’appuyant sur le même contour Γ plongées dans un champ vectoriel à flux conservatif, on a : ∫∫ S1 (A · dS) = ∫∫ S2 (A · dS).
II-8- Angle solide
Soit une surface ouverte S s’appuyant sur un contour Γ orienté. Prenons un point fixe O et un point M quelconque sur S.
On appelle angle solide Ω sous lequel du point O on voit la surface orientée S, le flux du vecteur unitaire r̂ à travers cette surface.
L’angle solide élémentaire est donné par : dΩ = (dS cos(α)) / r², où α est l’angle entre la normale à dS et la direction OM.
Remarque : Lorsque le cône est un cône de révolution, S est une calotte sphérique.
II-9- Rotationnel d’un champ vectoriel
II-9-1- Définition
Le rotationnel d’un champ vectoriel A est un vecteur obtenu en multipliant vectoriellement l’opérateur nabla par A :
- rot A = ∇ × A = (∂A_z/∂y - ∂A_y/∂z) i + (∂A_x/∂z - ∂A_z/∂x) j + (∂A_y/∂x - ∂A_x/∂y) k.
II-9-2- Condition pour qu’un vecteur soit rotationnel
La circulation d’un vecteur A le long d’un contour fermé Γ est égale au flux de rot A à travers une surface S quelconque s’appuyant sur Γ.
II-9-3- Théorème de Stokes
Le théorème de Stokes énonce que le flux du rotationnel ne dépend pas de la surface choisie, mais seulement du contour Γ qui la délimite :
- ∮Γ (A · dl) = ∫∫ S (rot A · dS).
II-10- Opérateur Laplacien
L’opérateur Laplacien, noté Δ, est le produit scalaire de l’opérateur nabla par lui-même : Δ = ∇ · ∇.
Le Laplacien d’un champ scalaire U est un scalaire : ΔU = ∂²U/∂x² + ∂²U/∂y² + ∂²U/∂z².
Le Laplacien d’un champ vectoriel A est un vecteur : ΔA = ΔA_x i + ΔA_y j + ΔA_z k.
II-11- Relations usuelles
Les relations suivantes sont couramment utilisées en analyse vectorielle :
- div(A + B) = div A + div B
- div(λA) = λ div A
- rot(A + B) = rot A + rot B
- rot(λA) = λ rot A
- div(rot A) = 0
- rot(grad U) = 0
- grad(div A) = rot(rot A)
- Δ(λU) = λ ΔU
- ΔU = div(grad U)
FAQ
Qu’est-ce qu’un champ scalaire ?
Un champ scalaire est une fonction qui associe une valeur scalaire à chaque point de l’espace, comme la température ou la pression.
Qu’est-ce qu’un champ vectoriel ?
Un champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de l’espace, comme le champ gravitationnel ou le champ magnétique.
À quoi sert le gradient ?
Le gradient d’un champ scalaire indique la direction et le taux de variation la plus rapide de ce champ en chaque point de l’espace.