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Optique : Cours physique iv optique physique

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Année, Cycle Préparatoire Intégré - Sciences et Techniques pour l’Ingénieur

Module : Physique IV, Élément de module : Optique Physique

Jeudi 18/12/2018 à 08h00

Durée légale : 2 heures

Questions de cours

1) Diffraction d'une onde électromagnétique sur une fente

Qu’est-ce qui se passe pour une onde électromagnétique de longueur d’onde λ sous incidence normale sur une fente de largeur a dans les trois cas suivants ?

Si a < λ : Diffraction impossible.
Si λ ≤ a ≤ 100λ : C’est la condition pour observer le phénomène de diffraction.
Si 100λ < a : La fente est trop large, pas de diffraction.

2) Intensités relatives des figures de diffraction

Les intensités relatives de la figure de diffraction produite par une fente simple, une double fente et N fentes (réseau de diffraction) sont les suivantes.

Pour une fente : I(θ) = I₀ (sin(πe sin(θ)/λ) / (πe sin(θ)/λ))²

Pour deux fentes : I(θ) = I₀ (sin(πe sin(θ)/λ) / (πe sin(θ)/λ))² cos²(πl sin(θ)/λ)

Pour N fentes : I(θ) = I₀ (sin(πe sin(θ)/λ) / (πe sin(θ)/λ))² (sin(Nπp sin(θ)/λ) / sin(πp sin(θ)/λ))² où N est un nombre entier.

Questions :

a) Que représente λ ? C'est la longueur d’onde.
b) Que représente e dans le cas d’une seule fente ? C'est la largeur de la fente.
c) Que représente e et l dans le cas d’une double fente ? e est la largeur de la fente et l est l’espace entre les fentes (centre à centre) respectivement.
d) Que représente p dans le cas de N fentes ? C'est le pas du réseau.
e) Que représente m et θ_m ? m est l’ordre de diffraction et θ_m est l’angle de diffraction correspondant à l’ordre m respectivement.
f) Que représente la condition de diffraction sin(θ_m) = mλ/e dans le 1^er cas ? C'est une condition d’interférence constructive.
g) Donner le terme de diffraction et le terme d’interférences dans le 2^e cas. Le terme de diffraction est la fonction sinus cardinal (sinc) et le terme d'interférences est le cosinus au carré respectivement.

Pour un réseau de diffraction de N fentes, les positions angulaires correspondant aux ordres de diffraction du réseau sont obtenues avec la condition sin(θ_m) = mλ/p.

h) Calculer p pour un réseau de diffraction de 600 lignes/mm. Réponse : 1,67 µm.
i) En déduire l’angle θ_m correspondant au 1^er ordre de diffraction si λ=633nm.

Le pouvoir de dispersion du réseau de diffraction est défini comme étant dθ/dλ.

Calculer alors le pouvoir de dispersion d’un réseau de 600 lignes/mm au niveau du 1^er ordre de diffraction.

3) Forme géométrique des ouvertures ou obstacles

Quelle est la forme géométrique de chacun des ouvertures ou obstacles qui a produit l’une ou l’autre des figures de diffraction.

a) Trou circulaire
b) Deux fentes perpendiculaires

Problème : Interféromètre de Mach-Zehnder

L'interféromètre de Mach-Zehnder est constitué de 2 miroirs M1 et M2 et de deux lames séparatrices S1 et S2 identiques, semi-réfléchissantes, d’épaisseur négligeable, disposées à 45° de la direction de propagation des ondes. Les séparatrices sont des lames à faces parallèles dont une face est réfléchissante et l'autre non (traitement antireflet) ; elles n'ont donc pas le même coefficient de réflexion selon qu'elles sont éclairées par l'avant ou l'arrière.

Une onde plane progressive harmonique d'amplitude complexe a₀, de front d’onde Σ₀, se propageant selon la direction parallèle à l’axe Oz, de longueur d’onde λ = 0,60 µm et d’intensité I₀, est séparée par la séparatrice S1, en deux ondes d'amplitudes a₁ et a₂ et de fronts d’onde Σ₁ et Σ₂ de même intensité.

L'onde Σ₁ se propage suivant le trajet 1 : elle se réfléchit sur S1 (plus précisément sur sa face avant), se réfléchit sur M1 avant d'atteindre S2. Elle se sépare à nouveau en deux : une partie passe à travers S2 pour atteindre l'écran EA (sortie A de l'interféromètre), l'autre partie se réfléchit sur S2 (face arrière) pour atteindre l'écran EB (sortie B de l'interféromètre).

L'onde Σ₂ se propage à travers S1, puis réfléchit par M2, et se sépare encore en deux au niveau de S2 : une partie passe à travers S2 pour atteindre EB, l'autre se réfléchit sur S2 (face avant) pour atteindre EA.

On note t le coefficient de transmission en amplitude des séparatrices S1 et S2, r : le coefficient de réflexion (en amplitude) de la face avant des séparatrices et r’ : le coefficient de réflexion de leur face arrière.

En notation complexe, les coefficients de réflexion r et de transmission t en amplitude pour chacune des séparatrices sont : r = t = 1/√2 et r’ = e^iπ/2 / √2.

Les 4 trajets possibles sont résumés :

Le trajet S1 – M1 – S2 – EA : onde Σ_A1 d’amplitude a_A1 (réflexion r et transmission t)
Le trajet S1 – M1 – S2 – EB : onde Σ_B1 d’amplitude a_B1 (réflexion r et réflexion r′)
Le trajet S1 – M2 – S2 – EA : onde Σ_A2 d’amplitude a_A2 (transmission t et réflexion r)
Le trajet S1 – M2 – S2 – EB : onde Σ_B2 d’amplitude a_B2 (transmission t et transmission t)

On note D la distance S1M1 = M2S2 et L la distance S1M2 = M1S2.

1) Calcul de la différence de marche et du déphasage

a) Calculer la différence de marche δ₁ entre le trajet 2 et le trajet 1.
b) En déduire le déphasage : φ.

2) Détermination de l’amplitude et de l’intensité sur l’écran EA

a) Déterminer l’expression de l’amplitude résultante a_A sur l’écran EA en fonction du coefficient de réflexion en amplitude : r, de l’amplitude a₀ et du déphasage φ₀ = 2π(D+L)/λ dû à la différence des trajets S1M1S2 et S1M2S2.
b) En déduire l’intensité I_A due à la superposition des ondes Σ_A1 et Σ_A2 sur l’écran EA.

3) Détermination de l’amplitude et de l’intensité sur l’écran EB

a) Déterminer l’expression de l’amplitude résultante a_B sur l’écran EB en fonction du coefficient de réflexion en amplitude complexe : r, de l’amplitude a₀ et du déphasage φ₀.
b) En déduire l’intensité I_B due à la superposition des ondes Σ_B1 et Σ_B2 sur l’écran EB.

4) Conservation de l’énergie de l’onde électromagnétique

Y a-t-il conservation de l’énergie de l’onde électromagnétique entre le plan z=0 et les deux sorties de l'interféromètre (répondez en quelques lignes) ?

5) Insertion d'une lame à faces parallèles L1

On insère une lame à faces parallèles L1, d’épaisseur e = 1 mm et d’indice de réfraction n=1,50, dans le trajet 1, entre S1 et M1, sous incidence normale.

a) Qu’est-il advenu de la différence de marche ? Notons δ₂ cette différence de marche.
b) En déduire le nouveau déphasage : φ.
c) Déterminer l’expression de la nouvelle amplitude résultante a’_B sur l’écran EB. En déduire l’intensité I’_B correspondante.
d) Pour quelles valeurs de l’épaisseur e l’éclairement énergétique de l’écran EB est-il nul ? Calculer ces valeurs. Et pour quelles valeurs de e est-il maximal ? Calculer ces valeurs.

6) Introduction d'une deuxième lame L2

On introduit une deuxième lame à faces parallèles L2, entre M2 et S2, identique à la lame L1 (même épaisseur et même indice de réfraction). On fait tourner d’un petit angle θ la lame L2 autour d’un axe perpendiculaire au plan du schéma.

a) Montrer que la différence de marche δ₃ entre les ondes 1 et 2 se recombinant sur l’écran EA est de la forme : δ₃ = e ⋅ f(n) ⋅ θ² où f(n) est une fonction de l’indice n des lames que l’on explicitera. On donne : cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).
b) Déterminer l’expression de la nouvelle amplitude résultante a’’_B sur l’écran EB. En déduire l’intensité I’’_B.
c) Pour quel angle de rotation minimal θ₁ a-t-on un éclairement maximal ?
d) Pour quel angle de rotation minimal θ₀ a-t-on un éclairement nul ?
e) Tracer, à main levée, l’allure du graphe de l’éclairement de l’écran en fonction de θ pour 0 ≤ θ ≤ 0,08 rad. Indication : On calculera une vingtaine de points à raison de 0,004 rad, pas plus.

Solution

1) Solution de la question 1 du problème

a) L’amplitude complexe de l’onde incidente est : a₀. Sur l’écran EA, on a la superposition des ondes Σ_A1 d’amplitude a_A1 et Σ_A2 d’amplitude a_A2. La différence de marche δ₁ entre ces deux ondes n’est autre que la différence du chemin géométrique. Elle est égale à : δ₁ = (longueur du trajet 2) - (longueur du trajet 1) = (D+L) - (D+L) = 0.
b) Le déphasage : φ = k ⋅ δ₁ = (2π/λ) ⋅ 0 = 0, avec k = 2π/λ la norme du vecteur d’onde.

2) Solution de la question 2 du problème

a) L’amplitude résultante a_A sur l’écran EA est égale à la somme des amplitudes complexes a_A1 et a_A2 correspondants aux trajets S1M1S2 et S1M2S2. Donc a_A = a_A1 + a_A2. On a a_A1 = a₀ ⋅ r ⋅ t et a_A2 = a₀ ⋅ t ⋅ r. En posant φ₀ = k(D+L) = 2π(D+L)/λ, l'amplitude complexe de l'onde se propageant sur le chemin 1 est a₀ ⋅ r ⋅ t ⋅ e^-iφ0 et sur le chemin 2 est a₀ ⋅ t ⋅ r ⋅ e^-iφ0. Donc, a_A = a₀ ⋅ r ⋅ t ⋅ e^-iφ0 + a₀ ⋅ t ⋅ r ⋅ e^-iφ0. Puisque r=t, on a a_A = 2 ⋅ a₀ ⋅ r² ⋅ e^-iφ0. Avec r² = 1/2, on en déduit a_A = a₀ ⋅ e^-iφ0.
b) L’intensité I_A due à la superposition des ondes Σ_A1 et Σ_A2 sur l’écran EA a pour expression : I_A = a_A ⋅ a_A*. On a : I_A = (a₀ ⋅ e^-iφ0) ⋅ (a₀ ⋅ e^iφ0) = a₀². On en déduit que : I_A = I₀.

3) Solution de la question 3 du problème

a) L’amplitude résultante a_B sur l’écran EB est égale à la somme des amplitudes complexes a_B1 et a_B2 correspondants aux trajets S1M1S2 et S1M2S2. Donc a_B = a_B1 + a_B2. Le déphasage φ₀ = k ⋅ δ₁ reste le même. a_B1 = a₀ ⋅ r ⋅ r’ ⋅ e^-iφ0 et a_B2 = a₀ ⋅ t ⋅ t ⋅ e^-iφ0. Avec r = 1/√2, t = 1/√2 et r’ = e^iπ/2 / √2, on a : a_B = a₀ ⋅ (1/√2) ⋅ (e^iπ/2 / √2) ⋅ e^-iφ0 + a₀ ⋅ (1/√2) ⋅ (1/√2) ⋅ e^-iφ0 a_B = a₀ ⋅ (1/2) ⋅ e^iπ/2 ⋅ e^-iφ0 + a₀ ⋅ (1/2) ⋅ e^-iφ0 a_B = (a₀/2) ⋅ e^-iφ0 ⋅ (e^iπ/2 + 1).
b) L’intensité I_B due à la superposition des ondes Σ_B1 et Σ_B2 sur l’écran EB a pour expression : I_B = a_B ⋅ a_B*. On a : a_B = (a₀/2) ⋅ e^-iφ0 ⋅ (e^iπ/2 + 1). Et avec la formule d’Euler : e^ix = cos(x) + i⋅sin(x), on a : e^iπ/2 = cos(π/2) + i⋅sin(π/2) = i. D’où : a_B = (a₀/2) ⋅ e^-iφ0 ⋅ (i + 1). On en déduit que I_B = ((a₀/2) ⋅ (i + 1) ⋅ e^-iφ0) ⋅ ((a₀/2) ⋅ (-i + 1) ⋅ e^iφ0) I_B = (a₀² / 4) ⋅ (i + 1) ⋅ (1 - i) = (a₀² / 4) ⋅ (1 - i²) = (a₀² / 4) ⋅ (1 + 1) = a₀² / 2. Donc I_B = I₀ / 2.

4) Solution de la question 4 du problème

L’intensité avant l’entrée de l’onde dans l’interféromètre par la séparatrice S1 est : I₀ = a₀ ⋅ a₀*. Donc I₀ = a₀².

L’intensité à la sortie de l’interféromètre sur les écrans EA et EB est : I_A + I_B = I₀ + I₀/2 = (3/2) ⋅ I₀.

On en déduit que (3/2) ⋅ I₀ ≠ I₀, donc il n’y a pas conservation de l’énergie électromagnétique. Ce résultat est anormal, il existe donc une erreur dans l’énoncé.

Remarque : On corrige cette erreur en considérant, par exemples, des coefficients r et t tels que r² + t² = 1 (conservation de l'énergie à chaque séparatrice), ou une relation de phase entre r et r’ telle que r’ = i ⋅ t.

5) Solution de la question 5 du problème

a) La nouvelle différence de marche δ₂ due à la présence de la lame à faces parallèles L1 sur le trajet 1 (S1M1S2) est : δ₂ = -(longueur du trajet 1 avec L1 - longueur du trajet 2). La longueur du trajet 1 avec L1 est (D - e + n⋅e + L) = D + L + e(n-1). La longueur du trajet 2 est D + L. Donc, l'insertion de cette lame dans le chemin S1M1S2 accroit le chemin optique de la quantité : e(n-1) par rapport au cas initial. Cela change la différence de marche.
b) Le déphasage : φ = k ⋅ e(n-1) = (2π/λ) ⋅ e(n-1).
c) La présence de la lame à faces parallèles L1 sur le chemin S1M1S2 modifie les amplitudes a_A1 et a_B1 mais ne modifie pas les amplitudes a_A2 et a_B2 des ondes qui se propagent suivant le chemin S1M2S2. On note les nouvelles amplitudes a’_A1 et a’_B1. L’amplitude a’_B sur l’écran EB est égale à la somme des amplitudes complexes a’_B1 et a_B2 correspondant aux trajets S1M1S2 et S1M2S2 respectivement. Donc a’_B = a’_B1 + a_B2. L’intensité I’_B due à la superposition de la nouvelle onde Σ’_B1 et l’onde Σ_B2 sur l’écran EB a pour expression : I’_B = a’_B ⋅ a’_B*. Tout calcul fait, l’intensité I’_B = (I₀/2) ⋅ (1 + sin(φ)).
d) Les valeurs de l’épaisseur e pour lesquelles l’éclairement énergétique au niveau de l’écran EB est nul sont les valeurs de e pour lesquelles I’_B = 0. Cela se produit pour sin(φ) = -1. Soit φ = (2K + 3/2)π avec K un entier. Donc (2π/λ) ⋅ e(n-1) = (2K + 3/2)π. e = (λ / (n-1)) ⋅ (2K + 3/2) / 2 = (λ / (n-1)) ⋅ (K + 3/4). Les épaisseurs égales à (4K+3)/4 ⋅ λ/(n-1). Pour λ=0,60 µm et n=1,50, (λ/(n-1)) = 1,2 µm. Les valeurs sont e = (0,9 µm, 2,1 µm, 3,3 µm, ...).
Les valeurs de l’épaisseur e pour lesquelles l’éclairement énergétique sur l’écran EB est maximal sont les valeurs de e pour lesquelles I’_B = I₀. Cela se produit pour sin(φ) = 1. Soit φ = (2K + 1/2)π avec K un entier. Donc (2π/λ) ⋅ e(n-1) = (2K + 1/2)π. e = (λ / (n-1)) ⋅ (2K + 1/2) / 2 = (λ / (n-1)) ⋅ (K + 1/4). Les épaisseurs égales à (4K+1)/4 ⋅ λ/(n-1). Les valeurs sont e = (0,3 µm, 1,5 µm, 2,7 µm, ...).

6) Solution de la question 6 du problème

a) En l’absence des lames L1 et L2, les ondes se propageant selon le trajet 1 et le trajet 2 sont en phase ; la différence de marche est nulle sur l’écran EA et EB. L’insertion de la lame L1 augmente le chemin optique du trajet 1 de la quantité : e(n-1). La nouvelle différence de marche δ₃ due à la présence simultanée de la lame L2 sur le trajet 2 et la lame L1 sur le trajet 1 est : δ₃ = e(n-1) - (n ⋅ IJ - IH). Après développement et approximations pour petits angles, on obtient : δ₃ = e ⋅ θ² ⋅ (n² - 1) / (2n). C'est de la forme δ₃ = e ⋅ f(n) ⋅ θ² où f(n) = (n² - 1) / (2n). Le déphasage est : φ = k ⋅ δ₃ = (2π/λ) ⋅ e ⋅ θ² ⋅ (n² - 1) / (2n), où θ est exprimé en radians.
b) L’amplitude a’’_B sur l’écran EB est égale à la somme des amplitudes complexes a’_B1 et a’_B2 correspondant aux trajets S1M1S2 et S1M2S2 respectivement. Donc a’’_B = a’_B1 + a’_B2. Le déphasage est φ = (2π/λ) ⋅ e ⋅ θ² ⋅ (n² - 1) / (2n). L'intensité I’’_B due à la superposition des nouvelles ondes sur l’écran EB a pour expression : I’’_B = a’’_B ⋅ a’’_B*. Tout calcul fait, on trouve : I’’_B = (I₀/2) ⋅ (1 + sin(φ)).
c) Pour quel angle de rotation minimal θ₁ a-t-on un éclairement maximal ? L’éclairement de l’écran EB sera maximal (I’’_B = I₀) pour sin(φ) = 1. Soit φ = (2K + 1/2)π avec K un entier. Le 1^er éclairement maximal (K=0) est obtenu pour : φ = π/2. L'angle de rotation minimal θ₁ est d'environ 0,030 rad, ce qui correspond à 1°43'.
d) Pour quel angle de rotation minimal θ₀ a-t-on un éclairement nul sur EB ? L’éclairement de l’écran EB sera nul (I’’_B = 0) pour sin(φ) = -1. Soit φ = (2K + 3/2)π avec K un entier. Le 1^er éclairement nul (pour K=0) est obtenu pour φ = 3π/2. L'angle de rotation minimal θ₀ est d'environ 0,0520 rad, ce qui correspond à 2°58'. Remarque : Pour θ=0, l’éclairement est nul (sin(0)=0 si φ0 est 0), ce cas est exclu car la lame L2 doit être inclinée.
e) Tracer, à main levée, l’allure du graphe I’’_B(θ) = I₀ (1 + sin( (πe(n-1)θ²) / (nλ) )) de l’éclairement de l’écran en fonction de θ pour 0 ≤ θ ≤ 0,08 rad. Indication : On calculera une vingtaine de points à raison de 0,004 rad.

FAQ

Quelles sont les conditions essentielles pour observer le phénomène de diffraction ?

Pour observer la diffraction d'une onde électromagnétique par une fente de largeur 'a', la largeur de la fente doit être comparable à la longueur d'onde 'λ' de l'onde, ou au maximum 100 fois supérieure. Si la fente est beaucoup plus large que 100λ, la diffraction n'est pas observable.

Quel est le rôle principal d'un interféromètre de Mach-Zehnder ?

Un interféromètre de Mach-Zehnder est un appareil optique utilisé pour diviser un faisceau de lumière en deux chemins, qui sont ensuite recombinés. Il permet de mesurer des différences de phase entre les deux chemins, ce qui est utile pour l'analyse des propriétés optiques des matériaux ou pour la détection de très petites perturbations dans l'un des chemins.

Pourquoi l'énergie de l'onde électromagnétique pourrait-elle ne pas être conservée dans un interféromètre, et comment y remédier ?

Dans certains cas (comme souligné dans l'exercice), une non-conservation de l'énergie entre l'entrée et la sortie de l'interféromètre peut indiquer une erreur dans le modèle physique ou les coefficients utilisés. Pour assurer la conservation de l'énergie, les coefficients de réflexion et de transmission des séparatrices doivent satisfaire des conditions spécifiques, telles que r² + t² = 1 (pour l'intensité) et une relation de phase entre r et r', par exemple r' = i ⋅ t.