Mécanique du point : Exercices et controles corriges mecanique du point materiel
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e Cadi Ayyad
Facult ́
e des Sciences Semlalia
D ́
epartement de Physique
Exercices et Contrˆoles Corrig ́es
de M ́ecanique du Point Mat ́eriel
Pr. M. EL KACIMI
Septembre 2015
Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
CHAPITRE1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices1.1.1 Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs~ A(3,2√ 2,√ 3),~ B(2,√ 3,√ 2) et~ C(1,2,2).
1. Calculer les normesk~ Ak,k~ Bketk~ Ck. En d ́eduire les vecteurs unitaires~uA ,~uB et~uC des directions, respectivement, de~ A,~ Bet~ C.
2. Calculer cos(d ~uA ,~uB ), cos(d ~uB ,~uC ) et cos(d ~uC ,~uA ), sachant que les angles sont com-
pris entre 0 etπ.
3. Calculer les composantes des vecteurs~e1 =~uB ∧~uC ,~e2 =~uC ∧~uA et~e3 =~uA ∧~uB .
4. En d ́eduire sin(d ~uA ,~uB ), sin(d ~uB ,~uC ) et sin(d ~uA ,~uC ). V ́erifier ces r ́esultats en utili-
sant la question 2.
5. Montrer que~e1 ,~e2 ,~e3 peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm ́ee ?
1.1.2Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
SoitR(O,~ i,~ j,~ k) un rep`ere cart ́esien et consid ́erons la base sph ́erique (~er ,~eθ ,~eφ ).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph ́erique dans la base cart ́esienne.
2. Calculer∂~e r∂θ ,∂~e r∂φ ,∂~e θ∂θ ,∂~e θ∂φ ,∂~e φ∂θ et∂~e φ∂φ .3 Rappels et compl ́ements math ́ematiques
3. En d ́eduired~er ,d~eθ etd~eφ dans la base sph ́erique.
4. Montrer que les diff ́erentielles des vecteurs de la base sph ́erique peuvent se mettre
sous la formed~e r=dt ~Ω∧~e rd~e θ=dt ~Ω∧~e θd~e φ=dt ~Ω∧~e φ
en pr ́ecisant l’expression du vecteur rotation~ Ω des vecteurs de la base sph ́erique
par rapport `aR. D ́eduire les d ́eriv ́ees par rapport au temps des vecteurs de la
base sph ́erique par rapport `aR.
5. On consid`ere la base cylindrique (~eρ ,~eφ ,~ k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `aR? En utilisant les r ́esultats pr ́ec ́edents, calculer la d ́eriv ́ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.
6. Consid ́erons un vecteur~ V=Vr ~er +Vθ ~eθ +Vφ ~eφ . En utilisant les r ́esultats pr ́ec ́e-
dents, calculer la d ́eriv ́ee par rapport au temps de~ Vpar rapport `aR
1.1.3Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d ́eplacement ́el ́ementaire dans les trois
syst`emes de coordonn ́ees, cart ́esiennes, cylindriques et sph ́eriques et ce en utilisant les
r ́esultatsde l’exercice 2.
Consid ́erons un rep`ere cart ́esienR(O,~ i,~ j,~ k). Soient (~eρ ,~eφ ,~ k) et (~er ,~eθ ,~eφ ) respective-
ment les bases cylindrique et sph ́erique. SoitMun point rep ́er ́e par−−→ OMpar rapport `a
R. On consid`ere un d ́eplacement infinit ́esimal deMenM′ tel queM′ est tr`es proche de
M. On note alors le d ́eplacement ́el ́ementaire par−−→ OM′ −−−→ OM=d−−−→ MM′ =d−−→ OM
1. Dans le rep`ere cart ́esien,−−→ OM=x~ i+y~ j+z~ k. Calculer le d ́eplacementd−−→ OMpar
rapport `aRdans la base cart ́esienne.
2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de−−→ OM=ρ~eρ +z~ k, calculer le d ́eplacementd−−→ OMpar rapport `aRdans la base
cylindrique.
3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph ́erique par rapport `aR. Dans la base
sph ́erique−−→ OM=r~er , calculer le d ́eplacementd−−→ OMpar rapport `aRet ce dans
cette base.
1.1.4Tube cathodique
On ́etudie le mouvement des ́electrons dans le tube cathodique d’un osilloscope. Les ́electrons arrivent enOavec une vitesse~v0 =v0 ~
iet traversent les plaques de d ́eviationP 1etP 2
de longueurl. Les ́electrons sont soumis entre les plaques de d ́eviation`a une
acc ́el ́eration uniforme~γ0 =γ0 ~
jet sont d ́evi ́es, figure ci-dessous. L’ ́ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l’exercice les grandeurs
vectorielles dans la base cart ́esienne.
la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est~vA et fait un angleαavec~ i.
L’acc ́el ́eration des ́electrons entre les pointsAetEest nulle.
Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
1.1 Exercices5
1. Etablir les ́equations horaires du mouvement
des ́electrons entre les plaques de d ́eviation,
x(t) ety(t). En d ́eduire l’ ́equation de la tra-
jectoirey=f(x).
2. Calculer la vitesse des ́electrons au pointA,~v A
, en fonction dev0 ,letγ0 . En d ́eduire
l’angleα=d (~ i,~vA ).
3. Quelle est la nature de la trajectoire des ́elec-
trons entreAetE? En d ́eduire les ́equations
horairesx(t) ety(t). D ́eterminer la d ́eviation
δen fonction dev0 ,letγ0 .y xO j i 1P 2P lD=5lδ EA α
1.1.5Exercice
Un v ́ehicule, que l’on peut consid ́erer comme un point mat ́erielM, se d ́eplace par
rapport `a un r ́ef ́erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse~ V(M/R) telle que|~ V(M/R)|=v. Le v ́ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr ́esent ́e pary=f(x). On s’int ́eresse au segment de la route [A,B].
1. Calculer la vitesse~ V(M/R) en fonction
de ̇xet de la d ́eriv ́ee premi`eref′ (x) =
df(x)/dxpar rapport `ax.
2. Calculer l’acc ́el ́eration~γ(M/R). En d ́e-
duire que la composante de l’acc ́el ́eration
selonOypeut se mettre sous la formeγ y
(M/R) =v 2f ′′(x) (f′2 + 1)2 f′′ (x) ́etant la d ́eriv ́ee seconde def(x) par
rapport `ax.AB My xO y=f(x)
1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L’objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op ́erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kroneckerδij 1
et le tenseur de Levi-Civitaǫijk 2
.Les indicesi,j,k∈{1,2,3} ́etant donn ́e
que l’on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.
1. la fonction de Kronecker est d ́efinie parδ ij= 1sii=j 0si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d ́efini parǫ ijk=
0si au moins deux indices sont ́egaux
1si (i,j,k)∈{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}
−1si (i,j,k)∈{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
Rappels et compl ́ements math ́ematiques
On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm ́ee (~e1 ,~e2 ,~e3 ). La propri ́et ́e d’or-
thonormalit ́e de la base se traduit par~ei ·~ej =δij , qui seront utilis ́es dans la suite
de l’exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs~ A(a1 ,a2 ,a3 ),~ B(b1 ,b2 ,b3 ) et~ C(c1 ,c2 ,c3 ).
1. Montrer que le produit scalaire~ A·~ B=P i=1,3a ib i. 2. Sachant que lai`eme composante de~ A∧~ Bpeut s’ ́ecrire comme suit (~ A∧~ B)i =P 3j,k=1 ǫijk aj bk , en d ́eduire que~ A∧~ B=X i,j,kǫ ijka jb k~e i. 3. Montrer que le produit mixte~ A·(~ B∧~ C) =X i,j,kǫ ijka ib jc k. 4. En utilisant le r ́esultat de la question 2, montrer~ A∧(~ B∧~ C) = (~ A·C)~ B−(~ A·B)~ C
5. Montrer que ~A∧ ~B · ~ C∧~ D = ~A· ~C ~ B·~ D − ~A· ~D ~ B·~ C .
1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs~ V1 (1,1,0),~ V2 (0,1,0) et~ V3 (0,0,2).
1. Calculer les normesk~ V1 k,k~ V2 ketk~ V3 k. En d ́eduire les vecteurs unitaires~v1 ,~v2 et~v3 des directions respectivement de~ V1 ,~ V2 et de~ V3 .
2. Calculer cos(d ~v1 ,~v2 ), sachant que l’angle correspondant est compris entre 0 etπ.
3. Calculer~v1 ·~v2 ,~v2 ∧~v3 et~v1 ·(~v2 ∧~v3 ). Que repr ́esente chacune de ces trois
grandeurs ?
1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
Consid ́erons la position d’un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (~ i,~ j,~ k),(~e ρ,~e φ, ~
k) et (~er , ~eθ , ~eφ ) respectivement les bases cart ́esienne, cylindrique et sph ́erique
associ ́ees `a ce rep`ere.
Le tenseur poss`ede les propri ́et ́es suivantes, que l’on neva pas d ́emontrerX i,jǫ ijkǫ ijl=δ klet Xi ǫijk ǫilm =δjl δkm −δjm δkl .
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1.1 Exercices7
1. Calculer∂~e ρ∂φ ,∂~e φ∂φ et∂ ~k ∂φ. 2. En d ́eduired~eρ etd~eφ dans la base cart ́esienne.
3. Montrer que les diff ́erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se
mettre sous la formed~e ρ=dt ~Ω∧~e ρetd~e φ=dt ~Ω∧~e φ
en pr ́ecisant l’expression du vecteur rotation~ Ω des vecteurs de la base cylindrique
par rapport `aR. D ́eduire les d ́eriv ́ees par rapport au temps des vecteurs de la
base cylindrique dansR.
4. Quel est le vecteur rotation de la base sph ́erique par rapport `aR? En utilisant
les r ́esultats de la question pr ́ec ́edente, d ́eduire les expressions ded~e rdt ,d~e θdt etd~e φdt .
1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne
On effectue un test d’acc ́el ́eration sur une voiture arrˆet ́ee au d ́epart (vitesse initialev 0
= 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom ́etr ́ee `a 20sau bout d’une distanceD= 140m.
1-a)D ́eterminer l’expression de l’acc ́el ́erationγ, supos ́ee constante.
1-b)D ́eterminer l’expression de la vitessevD atteinte `a la distanceD.
2. Calculer la distance d’arrˆetLpour une d ́ec ́el ́eration de 8ms−2 ?
1.1.10Exercice : Excès de vitesse
Un conducteur roule `a une vitesse constantev0 = 120 km h−1 sur une route r ́ecti-
ligne d ́epassant la limite autoris ́ee. Un gendarme `a moto d ́emarre `a l’instant o`u la voiture
passe `a sa hauteur et acc ́el`ere uniform ́ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h−1 au bout de 12s.
1. Quel sera le temps n ́ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture ?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue ?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte ?
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Rappels et compl ́ements math ́ematiques
1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme
Consid ́erons un satellite g ́eostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour
de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis `a une acc ́el ́erationγ=g0 �R r 2
, o`ug 0
= 9.81m s−2 etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p ́eriode de r ́evolution du
satellite est ́egale `a la p ́eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.
1. Calculer la p ́eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d ́eduire la vitesse
angulaire Ω.
2. D ́eterminer l’altitude de l’orbite g ́eostationnaire.
1.1.12Exercice : Mouvement sur une ellipse
Un point mat ́erielMse d ́eplace sur une ellipse
d’ ́equation en coordonn ́ees cart ́esiennesx 2a 2+ y2 b2 = 1,
voir figure ci-contre. la direction de−−→ OMpar rapport `a
l’axeOxest rep ́er ́ee par l’angleφ. L’ ́equation horaire
du mouvement deMpeut se mettre sous la forme
x(t) =x0 cos (ωt+φ) ety(t) =y0 sin (ωt +ψ) o`u l’on
suppose queωest une constante. A l’instantt= 0,
Mse trouvait enM0 .y xOM 0M φa b
1. D ́eterminerx0 ,φetψ. En d ́eduirey0 .
2. D ́eterminer les composantes, et ce dans la base cart ́esienne, de la vitesse ( ̇x, ̇y) et
de l’acc ́el ́eration ( ̈x, ̈y).
3. Montrer que l’acc ́el ́eration peut se mettre sous la forme~γ=−k−−→ OMo`ukest `a
d ́eterminer.
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1.2 Solutions9
1.2 Solutions1.2.1 Corrigé 1 : Opérations sur les vecteurs
1. Soit un vecteur~ V= (v1 ,v2 ,v3 ). On sait que la norme est donn ́ee park~ Vk=q Pi=1,3 v2 i
. En appliquant ce r ́esultat aux trois vecteurs~ A(3,2,√ 3),~ B(2,√ 3,√ 2)et ~
C(1,2,2) , on obtientk ~Ak= q3 2
+ 22 +√ 32 = 4k ~Bk= q2 2+ √3 2+ √2 2
= 3k ~Ck= p1 2
+ 22 + 22 = 3
On sait que le vecteur unitaire~uV de la direction du vecteur~ V, est d ́efinie par~u V= ~
V /k~ Vk. De la mˆeme mani`ere, en appliquant ce r ́esultat, on obtient~u A
= (3 4, 12 ,√ 34 )~u B
= (2 3, √3 3, √2 3) ~uC = (1 3, 23 ,2 3) 2. Pour d ́eterminer les cosinus des angles entre les trois vecteurs pris deux `a deux,
nous utilisons la d ́efinition du produit scalaire suivante~ A·~ B=k~ Akk~ Bkcos(d ~A, ~B), ce qui donnecos( d~ A,~ B) =~ A·~ Bk ~Akk ~Bk =
3×2 + 2×√ 3 +√ 3×√ 24×3 ≃0.993
de mˆemecos( d~ B,~ C) =~ B·~ Ck ~Bkk ~Ck =
2×1 +√ 3×2 +√ 2×23×3 ≃0.921
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Rappels et compl ́ements math ́ematiques
et enfincos( d~ C,~ A) =~ C·~ Ak ~Ckk ~Ak =
1×3 + 2×2 + 2×√ 33×4 ≃0.872
3. On sait que les composantes du vecteur produit vectoriel entre~uB et~uC sont
donn ́ees par~e 1=~u B∧~u C= √3 32 3√ 23 23 ,−2 31 3√ 23 23 ,2 31 3√ 33 23 != 2(√ 3−√ 2)9 ,√ 2−49 ,4− √3 9! de mˆeme~e 2=~u C∧~u A= 23 12 23 √3 4,− 13 34 23 √3 4, 13 34 23 12 != 2(√ 3−2)12 ,6− √3 12,− 13 !et ~e3 =~uA ∧~uB =1 2√ 33 √3 4√ 23 ,−3 42 3√ 34 √2 3, 34 23 12 √3 3! =2 √2−3 12, 2√ 3−3√ 212 ,4 √3−3 12! 4. Calculons sind (~uA ,~uB ). On ak~e 3k=k~u Akk~u Bksin d(~u A,~u B
) =⇒sind (~uA ,~uB ) =k~e3 k≃0.1198 puisque~uA et~uB sont unitaires. On utilise la mˆeme d ́emarche pour les autres
angles :sin d(~u B,~u C
) =k~e1 k= 0.3886
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1.2 Solutions11et sind (~uC ,~uA ) =k~e2 k= 0.4895
Pour v ́erifier ces derniers r ́esultats, on utilise les cosinus de ces mˆemes angles d ́ej`a
calcul ́es auparavant et on trouve q1−cos 2d (~uA ,~uB ) = 0.1181≃ke3 kq 1−cos2 d(~u B,~u C
) = 0.3896≃ke1 kq 1−cos2 d(~u C,~u A
) = 0.4895≃ke2 k
ce qui v ́erifie bien que les angles calcul ́es dans cette questions sont les mˆemes que
ceux calcul ́es dans la question 2.
5. Pour qu’une famille de vecteurs constitue une base, il suffit
— que le cardinal de la famille, c’est `a dire le nombre de vecteurs de la famille,
soit ́egal `a la dimension de l’espace vectoriel en question, et qui est dans notre
cas 3. Ce qui est v ́erifi ́e pour (~e1 ,~e2 ,~e3 ) ;
— et que la famille soit une famille libre, c’est `a dire que tout vecteur peut ˆetre ́ecrit comme combinaison lin ́eaire de ces trois vecteurs. Pour d ́emontrer cette
propri ́et ́e, il suffit que les trois vecteurs ne soient pas coplanaires et donc leur
produit mixte soit diff ́erent de z ́ero. Calculons alors le produit mixte~e 1·(~e 2∧~e 3
) =2( √3− √2) 92( √3−2) 122 √2−3 12√ 2−49 6−√ 312 2√ 3−3√ 212 4−√ 39 13 4√ 3−312 ≃3.4 10−4 et qui est donc diff ́erent de 0. D’o`u les trois vecteurs forment une famille libre.
On en d ́eduit que (~e1 ,~e2 ,~e3 ) forment une base.
6. Elle n’est pas orthogonale car les produits scalaires entre ces vecteurs pris deux `a
deux ne sont pas nuls. Elle n’est pas non plus norm ́ee car les vecteurs de sa base
ne n’ont pas une norme ́egale `a l’unit ́e.
1.2.2Corrigé : Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
SoitR(O,~ i,~ j,~ k) un rep`ere cart ́esien et consid ́erons la base sph ́erique (~er ,~eθ ,~eφ ).
1. Exprimons les vecteurs de la base sph ́erique dans la base cart ́esienne :~e r
= cosθ~ k+ sinθ~eρ = cosθ~ k+ sinθ(cosφ~ i+ sinφ~ j)
= cosφsinθ~ i+ sinφsinθ~ j+ cosθ~ k.
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Rappels et compl ́ements math ́ematiques
nous sommes pass ́es par le vecteur~eρ de la base cylindrique.
De mˆeme, pour~eθ , nous avons~e θ=−sinθ ~
k+ cosθ~eρ =−sinθ~ k+ cosθ(cosφ~ i+ sinφ~ j)
= cosφcosθ~ i+ sinφcosθ~ j−sinθ~ k.
et finalement~e φ=−sinφ ~
i+ cosφ~ j
2. Calculons les d ́eriv ́ees partielles suivantes sachant que les vecteurs de la base
cart ́esienne sont fixes :∂~e r∂θ = cosφcosθ~ i+ sinφcosθ~ j−sinθ~ k;et ∂~er ∂φ
=−sinφsinθ~ i+ cosφsinθ~ j;et ∂~eθ ∂θ
=−cosφsinθ~ i−sinφsinθ~ j−cosθ~ k;et ∂~eθ ∂φ
=−sinφcosθ~ i+ cosφcosθ~ j;et ∂~eφ ∂θ
= 0et ∂~eφ ∂φ=−cosφ ~i−sinφ ~j. 3. Pour ́etablir la diff ́erentielle de chacun des vecteurs dela base, on ad~e r= ∂~er ∂θdθ+ ∂~er ∂φdφ = cosφcosθ~ i+ sinφcosθ~ j−sinθ~ k dθ+ −sinφ~ i+ cosφ~ j sinθdφ=dθ~e θ
+ sinθdφ~eφ Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
1.2 Solutions13
De la mˆeme mani`ere, on ́etablit la diff ́erentielle de~eθ comme suitd~e θ= ∂~eθ ∂θdθ+ ∂~eθ ∂φdφ = −cosφsinθ~ i−sinφsinθ~ j−cosθ~ k dθ+ −sinφcosθ~ i+ cosφcosθ~ j dφ=−dθ~e r
+ cosθdφ~eφ et finalementd~e φ= ∂~eφ ∂θdθ+ ∂~eφ ∂φdφ =dφ −cosφ~ i−sinφ~ j =−dφ~eρ =−dφ(sinθ~er + cosθ~eθ ).
4. Pour cette question, il suffit de faire apparaitre les diff ́erentielles des vecteurs de
la base sph ́erique sous la forme demand ́ee. On a~ k= cosθ~er −sinθ~eθ , ce qui donne~ k∧~er = sinθ~eφ ,~ k∧~eθ = cosθ~eφ et~eθ =~eφ ∧~er , ainsi on peut ́ecrired~e r=dθ~e φ∧~e r+dφ ~k∧~e r=
dt ̇θ~e φ
+dt ̇φ~ k ∧~er =dt~ Ω∧~er avec~ Ω = ̇θ~e φ
+ ̇φ~ k.
De mˆeme, on ad~e θ=−dθ~e r
+ cosθdφ~eφ =dθ~eφ ∧~eθ +dφ~ k∧~eθ =dt~ Ω∧~eθ .
Finalement, reprenons la diff ́erentielle de~eφ :d~e φ
=−dt ̇φ(sinθ~er + cosθ~eθ )
=−dt ̇φ(sinθ~eθ ∧~eφ −cosθ~er ∧~eφ )
=−dt ̇φ(sinθ~eθ −cosθer )∧~eφ =dt ̇φ~ k∧~eφ =dt~ Ω∧~eφ Les d ́eriv ́ees par rapport au temps s’obtiennent facilement en divisant pardt:d~e rdt R= ~Ω∧~e rd~e θdt R= ~Ω∧~e θd~e φdt R= ~Ω∧~e φ. Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
Rappels et compl ́ements math ́ematiques
5. Consid ́erons cette fois-ci la base cylindrique. Le seul angle qui varie estφ, d’o`u
le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `a la base cart ́esienne est~ Ω = ̇φ~ k. En appliquant les r ́esultats pr ́ec ́edents, on obtientd~e ρdt R
= ̇φ~ k∧~eρ = ̇φ~eφ d~eφ dtR = ̇φ~ k∧~eφ =− ̇φ~eρ d~ kdt R
= 0
6. Soit~ V=Vr ~er +Vθ ~eθ +Vφ ~eφ . Sa d ́eriv ́ee par rapport au temps estd ~V dt= dVr dt~e r+V rd~e rdt +dV θdt ~eθ +Vθ d~eθ dt+ dVφ dt~e φ+V φd~e φdt =dV rdt ~er +dV θdt ~eθ +dV φdt ~eφ +Vr ~Ω∧~e r+V θ~ Ω∧~eθ +Vφ ~Ω∧~e φ= dVr dt~e r+ dVθ dt~e θ+ dVφ dt~e φ+ ~Ω∧(V r~e r+V θ~e θ+V φ~e φ) =dV rdt ~er +dV θdt ~eθ +dV φdt ~eφ +~ Ω∧~ V .
qui reste une relation g ́en ́erale.
1.2.3Corrig ́e : D ́eplacement ́el ́ementaire
Consid ́erons un rep`ere cart ́esienR(O,~ i,~ j,~ k). Soient (~eρ ,~eφ ,~ k) et (~er ,~eθ ,~eφ ) respec-
tivement les bases cylindrique et sph ́erique. SoitMun point rep ́er ́e par−−→ OMpar rapport
`aR. On consid`ere un d ́eplacement infinit ́esimal deMenM′ tel queM′ est tr`es proche
deM. On note alors le d ́eplacement ́el ́ementaire par−−→ OM′ −−−→ OM=d−−−→ MM′ =d−−→ OM
1. La base cart ́esienne est fixe et donc la d ́eriv ́ee de ces vecteurs par rapport au
temps dansRest nulle. D’o`u, le d ́eplacement ́elementaire dans cette base estd −−→OM=dx ~i+dy ~j+dz ~k. 2. Le vecteur rotation de la base cylindrique dansRest~ Ω = ̇φ~ k. Ceci peut ˆetre
d ́emontr ́e facilement en explicitant la base cylindrique dans la base cart ́esienne.
Le d ́eplacement ́el ́ementaire dans cette base estd −−→OM=d ρ~e ρ+z ~k =dρ~e ρ+ρd~e ρ+dz ~k =dρ~eρ +ρdt~ Ω∧~eρ +dz~ k=dρ~e ρ+ρdφ ~k∧~e ρ+dz ~k=dρ~e ρ+ρdφ~e φ+dz ~k Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
1.2 Solutions15
3. Pour ce qui est de la base sph ́erique, le vecteur rotation est~ Ω = ̇θ~e φ
+ ̇φ~ k= ̇θ~e φ
+ ̇φ(cosθ~er −sinθ~eθ ).
Ainsi pour le d ́eplacement ́el ́ementaire dans cette base, on trouved −−→
OM=d(r~er ) =dr~er +rd~er =dr~er +rdt~ Ω∧~er =dr~er +r(dθ~eφ ∧~er +dφ[cosθ~er −sinθ~eθ ]∧~er )=dr~e r+r(dθ~e θ+dφ~e φ) =dr~er +rdθ~eθ +rdφsinθ~eφ 1.2.4Corrigé 4 : Tube cathodique
Nous ́etudions dans cet exercice le mouvement des ́electrons dans un tube cathodique
d’un oscilloscope, voir figure ci-dessous. Les ́electrons partent du pointOavec la vitesse~v 0=v 0~ i, ce qui implique que les composantes de la vitesse `a l’instant initial selonOxet
Oysont respectivementv0x =v0 etv0y = 0. La vitesse `a un instant quelconquetsera
not ́ee~v(t) =vx ~i+v y~ jo`uvx =dγx /dtetvy =dγy /dt.
De mˆeme, l’acc ́el ́eration des ́electrons entre les deux plaques est~γ=γ0 ~i=γ x~ i+γy ~j, ce qui implique que l’acc ́el ́eration selonOyestγy =γ0 alors que selonOx, elle est nulleγ x
= 0.y xO j i 1P 2P lD=5lδ EA α
1. Pour ́etablir les ́equations horairesx(t) ety(t) du mouvement des ́electrons entre
les plaques, nous partons de l’expression des composantes de l’acc ́el ́erationdv xdt =γx = 0 =⇒Z dvx = 0 =⇒vx = Cte =⇒vx =v0x .
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Rappels et compl ́ements math ́ematiques
De cette derni`ere relation, on d ́eduit l’ ́equation horairedx dt=v x=v 0x=⇒ Zdx=v 0x
=⇒x(t) =v0x t+ Cte
la constante est d ́etermim ́ee `a partir des conditions initiales,x(t= 0) =x0 = 0,
ce qui impliquex(t) =v0x t.
On proc`ede de la mˆeme mani`ere pour l’ ́equation horairey(t)dv ydt =γy =γ0 =⇒Z dvy =γ0 =⇒vy =γ0 t+ Cteorv y
(t= 0) =v0y = 0 ce qui implique que la constante est nulle etvy =γ0 t.
Poury(t), sachant quey(t= 0) = 0,dy dt=v y=γ 0t=⇒ Zdy=v 0yZ tdt=⇒y(t) =1 2γ 0t 2. On en conclut que les ́equations horaires du mouvement des ́electrons sont x(t) =v0 t
y(t) =1 2γ 0t 2
Pour d ́eduire l’ ́equation de la trajectoire, il suffit de substituertdans l’expression
deypar son expression en fonction dex, sachant quet=x/v0 y=1 2γ 0t 2= 12 γ0 v2 0x 2
qui est l’ ́equation d’une parabole de sommetO.
2. Calculons la vitesse des ́electrons au pointA, situ ́e `a la sortie des plaques,xA =l~v A=v xA~ i+vyA ~j =v0 ~i+γ 0t A~ jo`ut A
est le temps mis par les ́electrons pour atteindre le pointA,tA =l/v0 ce
qui donne~v A=v 0~ i+γ 0l v0 ~j Pour d ́eduireα, il suffit de projeter~vA sur l’axeOx, d’une part, et d’utiliser la
d ́efinition du produit scalaire de~vA par~ i, d’autre part~v A· ~i=v 0
(projection sur~ i)=|v A
|cosα(d ́efinition de~vA ·~ i)=⇒cosα= v0 |~vA |
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1.2 Solutions17or |~vA |=s v2 0+ γ2 0l 2v 20 =v0 s
1 +γ 20 l2 v4 0
ce qui donne
α= arccos 1 r
1 +γ 20 l2 v4 0
3. L’acc ́el ́eration des ́electrons entre les pointsAetEest nulle ce qui implique que
le mouvement est rectiligne uniforme. Dans la suite, on consid`ere les ́equations
horaires entre les deux pointsAetEsans l’expliciter. En effetdv xdx = 0 =⇒vx (t) = Korv x(t A
) =~vA ·~ i=v0 ce qui implique quevx (t) =v0 . De mˆemedx dt=v x=v 0
=⇒x(t) =v0 t+ K
et on d ́etermine la constante sachant qu’`at=tA on ax=xA =l, ce qui donnex(t=t A
) =l=v0 tA +K=⇒K=l−v0 tA ortA =l/v0 ce qui impliquek=l−v 0l v0 = 0 et
x(t) =v0 t
lequel r ́esultat est pr ́evu car le mouvement selonOxest uniforme entreOetE.
On proc`ede de la mˆeme mani`ere pour l’ ́equation horairey(t) :dv ydy = 0 =⇒vy (t) = Korv y(t A
) =~vA ·~ j=γ 0l v0 ce qui implique quev y
(t) =γ 0l v0 . De mˆemedy dt=v y= γ0 lv 0
=⇒y(t) =γ 0l v0 t+ K
et on d ́etermine la constante sachant qu’`at=tA on ay=yA =1 2γ 0t 2A =1 2γ 0l 2v 20 .Ainsi y(t=tA ) =yA =γ 0l v0 tA +K=⇒K=y A− γ0 lv 0t A= 12 γ0 l2 v2 0− γ0 lv 0l v0 =−1 2γ 0l 2v 20 Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
Rappels et compl ́ements math ́ematiques
ainsi l’ ́equation horairey(t) s’obtient comme suit
y(t) =γ 0l v0 t−1 2γ 0l 2v 20 =γ 0l v0 t− 12 lv 0 Pour d ́eterminer la d ́eviationδ, il suffit de reprendre l’ ́equation horairey(t) `a
l’instantt=tE =l+D v0 =6l v0 :δ=y(t=t E
) =γ 0l v0 6l v0 −1 2l v0 = 112 γ0 l2 v2 0. 1.2.5CorrigéAB My xO y=f(x)
Nous nous int ́eressons au segment [A,B] de la route dont le profil est d ́ecrit par
y=f(x), comme indiqu ́e dans la figure ci-dessus.
La position deMest rep ́er ́ee par−−→ OM=x~ i+y~ j, ́etant donn ́e que le mouvement a lieu
dans le plan (Oxy).
1. La vitesse du pointMs’exprime dans le rep`ere cart ́esien comme suit~ V(M/R) =dx dt~ i+dy dt~ j
= ̇x~ i+dy dxdx dt~ j
= ̇x ~i+f ′(x) ~j . Contact: elkacimi@uca.maD ́epartement de Physique - FSSM 2015/2016
1.2 Solutions19
2. Calculons l’acc ́el ́eration~γ(M/R) :
~γ(M/R) = ̈x ~i+f ′(x) ~j
+ ̇xd dtf ′(x) ~j = ̈x ~i+f ′(x) ~j
+ ̇x ̇xd dxf ′(x) ~j = ̈x~ i+
� ̈xf′ (x) + ̇x2 f′′ (x) ~j ce qui donne pour la composante de l’acc ́el ́eration selonOyγ y
(M/R) = ̈xf′ (x) + ̇x2 f′′ (x).
Pour r ́eexprimerγy (M/R) comme demand ́e, il suffit de remarquer quev 2
= ̇x2 �
1 +f′2 (x) =⇒ ̇x2 =v 2
1 +f′2 (x)=⇒ d
dt ̇x2 =d dt v2 1