Mécanique du point : Exercices et controles corriges mecanique du point materiel
Télécharger PDFExercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
1.1 Exercices
1.1.1 Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs : A(3, 2√2, √3), B(2, √3, √2) et C(1, 2, 2).
1. Calculer les normes kA, kB et kC. En déduire les vecteurs unitaires uA, uB et uC des directions, respectivement, de A, B et C.
2. Calculer cos(d(uA, uB)), cos(d(uB, uC)) et cos(d(uC, uA)), sachant que les angles sont compris entre 0 et π.
3. Calculer les composantes des vecteurs e1 = uB ∧ uC, e2 = uC ∧ uA et e3 = uA ∧ uB.
4. En déduire sin(d(uA, uB)), sin(d(uB, uC)) et sin(d(uC, uA)). Vérifier ces résultats en utilisant la question 2.
5. Montrer que e1, e2 et e3 peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogonale, normée ?
1.1.2 Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
Soit R(O, i, j, k) un repère cartésien et considérons la base sphérique (er, eθ, eφ).
1. Exprimer les vecteurs de la base sphérique dans la base cartésienne.
2. Calculer ∂er/∂θ, ∂er/∂φ, ∂eθ/∂θ, ∂eθ/∂φ, ∂eφ/∂θ et ∂eφ/∂φ.
3. En déduire der, deθ et deφ dans la base sphérique.
4. Montrer que les différentielles des vecteurs de la base sphérique peuvent se mettre sous la forme der = dt Ω ∧ er, deθ = dt Ω ∧ eθ et deφ = dt Ω ∧ eφ, en précisant l’expression du vecteur rotation Ω des vecteurs de la base sphérique par rapport à R. Déduire les dérivées par rapport au temps des vecteurs de la base sphérique par rapport à R.
5. On considère la base cylindrique (eρ, eφ, k). Quel est son vecteur rotation par rapport à R ? En utilisant les résultats précédents, calculer la dérivée par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport à R.
6. Considérons un vecteur V = Vr er + Vθ eθ + Vφ eφ. En utilisant les résultats précédents, calculer la dérivée par rapport au temps de V par rapport à R.
1.1.3 Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le déplacement élémentaire dans les trois systèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Considérons un repère cartésien R(O, i, j, k). Soient (eρ, eφ, k) et (er, eθ, eφ) respectivement les bases cylindrique et sphérique. Soit M un point repéré par OM par rapport à R. On considère un déplacement infinitésimal de M en M' tel que M' est très proche de M. On note alors le déplacement élémentaire par OM' − OM = dMM' = dOM.
1. Dans le repère cartésien, OM = x i + y j + z k. Calculer le déplacement dOM par rapport à R dans la base cartésienne.
2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport à R. Partant de OM = ρ eρ + z k, calculer le déplacement dOM par rapport à R dans la base cylindrique.
3. Rappeler le vecteur rotation de la base sphérique par rapport à R. Dans la base sphérique OM = r er, calculer le déplacement dOM par rapport à R et ce dans cette base.
1.1.4 Tube cathodique
On étudie le mouvement des électrons dans le tube cathodique d’un oscilloscope. Les électrons arrivent en O avec une vitesse v0 = v0 i et traversent les plaques de déviation P1 et P2 de longueur l. Les électrons sont soumis entre les plaques de déviation à une accélération uniforme γ0 = γ0 j et sont déviés.
L’écran est à la distance D = 5l de la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l’exercice les grandeurs vectorielles dans la base cartésienne.
La vitesse de la particule à la sortie des plaques est vA et fait un angle α avec i. L’accélération des électrons entre les points A et E est nulle.
1. Établir les équations horaires du mouvement des électrons entre les plaques de déviation, x(t) et y(t). En déduire l’équation de la trajectoire y = f(x).
2. Calculer la vitesse des électrons au point A, vA, en fonction de v0, l et γ0. En déduire l’angle α = d(i, vA).
3. Quelle est la nature de la trajectoire des électrons entre A et E ? En déduire les équations horaires x(t) et y(t). Déterminer la déviation δ en fonction de v0, l et γ0.
1.1.5 Exercice : Véhicule sur une bosse
Un véhicule, que l’on peut considérer comme un point matériel M, se déplace par rapport à un référentiel R(O, xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse V(M/R) telle que |V(M/R)| = v. Le véhicule roule sur une bosse dont le profil peut être représenté par y = f(x). On s’intéresse au segment de la route [A, B].
1. Calculer la vitesse V(M/R) en fonction de ẋ et de la dérivée première f'(x) = df(x)/dx par rapport à x.
2. Calculer l’accélération γ(M/R). En déduire que la composante de l’accélération selon Oy peut se mettre sous la forme γy(M/R) = v²f''(x)/(f'² + 1)³, f