Mécanique du point : Exercices mecanique ptsi forces centrales conservatives
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Exercice M7.1 : Point matériel tiré par une corde (*)
Un palet P de masse M glisse sans frottement sur un plateau horizontal (Oxy) percé d’un trou à l’origine O.
Sa position est repérée par les coordonnées polaires r et θ, d’axe (Oz).
L’expérimentateur lance le palet à la distance r₀ du point O, avec une vitesse initiale orthoradiale → v(0) = v₀ → eθ (on prendra θ(t=0) = 0), et tire sur le fil de façon à rapprocher régulièrement le palet du point O : r(t) = r₀ − Vt.
On admet que la force exercée par le fil (qui reste toujours tendu) sur P est → T = −F → er.
1) Montrer que la vitesse angulaire du palet s’écrit ω = ̇θ = r₀ v₀ / (r₀ − Vt)². En déduire l’évolution de la force → F qu’il faut exercer pour réaliser cet objectif. Commenter.
2) Calculer directement le travail de traction fourni par cet opérateur s’il fait passer la distance du mobile à l’axe de la valeur r₀ à la valeur r₁. Retrouver ce résultat par une méthode énergétique.
Exercice M7.2 : Force centrale en 1/r³ (**)
Un point matériel M de masse m est soumis, dans un référentiel galiléen R, à une force d’expression → F = −a/r³ → er, en coordonnées sphériques de centre O, a étant une constante positive.
À l’instant initial, M est à la position M₀ telle que → OM₀ = r₀ → ex, avec une vitesse → v₀ = v₀ (cosα → ex + sinα → ey).
1) Montrer que le mouvement est plan et déterminer le plan de la trajectoire.
2) Montrer que la force → F est une force conservative. En déduire l’énergie potentielle Eₚ(r) dont elle dérive (on prendra Eₚ(∞) = 0). Déterminer l’expression de l’énergie potentielle effective Eₚ,eff compte tenu des conditions initiales.
3) r₀ étant donnée, indiquer la condition sur v₀ pour que le système soit dans un état de diffusion.
4) La particule est dans un état de diffusion et α = π/2.
4.a) Établir que ̇r = r₀ v₀ r² dr/dθ. En déduire que ̇r = −r₀ v₀ u'(θ) avec u(θ) = 1/r(θ) et u'(θ) = du/dθ.
4.b) Exprimer la conservation de l’énergie mécanique en fonction de la variable u et de u'(θ). En déduire que u vérifie l’équation : u''(θ) + η² u = 0 avec η = √(1 − a m/r₀² v₀²).
4.c) Déterminer l’équation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales.
4.d) Donner l’allure de la trajectoire pour η = 0,1, θ₀ = 0 et r₀ = 1 m.
Exercice M7.3 : État de diffusion et état lié
1) Un électron de vitesse v₀ = 4 × 10³ m·s⁻¹ se trouve à une distance a = 10 nm d’un proton. Peut-il y avoir formation d’un atome d’hydrogène (état lié) ? (On vérifiera que l’énergie potentielle de gravitation est négligeable devant les autres.)
2) Quelle est la vitesse limite de l’électron pour qu’il n’y ait pas d’état lié possible ?
Données : masse de l’électron : mₑ = 9 × 10⁻³¹ kg ; masse du proton : mₚ = 1,7 × 10⁻²⁷ kg ; 1/(4πε₀) = 9 × 10⁹ u.S.I.
Exercice M7.4 : Masse de la Terre
En faisant l’hypothèse que la Lune effectue un mouvement circulaire autour de la Terre (hypothèse justifiée car l’excentricité de la trajectoire lunaire est de 0,0549), de période T = 27,32 jours et de rayon R_L = 384 400 km, calculer la masse de la Terre en appliquant le PFD.
Exercice M7.5 : Vitesse de libération
Calculer la vitesse de libération (ou vitesse d’évasion) à la surface des astres suivants, dont les masses et les rayons respectifs sont :
1) pour la Lune : M_L = 7,4 × 10²² kg et R_L = 1 700 km ;
2) pour Mars : M_Ma = 6,4 × 10²³ kg et R_Ma = 3 400 km ;
3) pour Mercure : M_Me = 3,3 × 10²³ kg et R_Me = 2 440 km.
Exercice M7.6 : Distance minimale de passage d’un astéroïde
Le référentiel géocentrique R₀ = Ox₀y₀z₀ est supposé galiléen, et on néglige les effets gravitationnels du Soleil.
Un astéroïde de masse m et de taille négligeable par rapport à la masse M_T de la Terre est repéré en M₀, à une distance très grande de la Terre où son influence gravitationnelle est négligeable. On mesure son vecteur vitesse → v₀ = −v₀ → ex₀, porté par la droite (M₀x₀) telle que la distance du centre de la Terre à (M₀x₀) est b (b est le « paramètre d’impact »).
1) Montrer que Eₘ(M) et → L_O/R₀(M) se conservent. Exprimer les deux constantes du mouvement en fonction des données initiales.
2) Exprimer l’énergie potentielle effective Eₚ,eff(r) en fonction de m, M_T et L_O.
3) Déterminer la distance minimale rₘᵢₙ à laquelle l’astéroïde passe du centre de la Terre et donner la condition de non collision.
Exercice M7.7 : Satellites Phobos et Déimos de Mars
La planète Mars (masse M_M = 6,24 × 10²⁴ kg) possède deux satellites naturels, Phobos et Déimos, considérés comme des astéroïdes en raison de leur petite taille et de leur forme irrégulière.
La distance moyenne du centre de ces satellites au centre de Mars est r_P ≈ 9 379 km pour Phobos et r_D ≈ 23 459 km pour Déimos.
1) Calculer les vitesses de satellisation v_P et v_D de Phobos et Déimos.
2) En déduire leurs périodes de révolution respectives T_P et T_D, en jours, heures, minutes et secondes.
3) Vérifier que le rapport T²/r³ est indépendant du satellite. Quelle est l’expression littérale de ce rapport en fonction de M_M ?
Exercice M7.8 : Vitesse d’un lanceur selon la latitude
Les lanceurs (ou fusées) sont tirés dans l’espace depuis des bases situées à des latitudes λ variées : Cap Canaveral aux États-Unis (λ₁ = 28,5°), Pletsek en Russie (λ₂ = 63°), Baïkonour dans le Kazakhstan (λ₃ = 46,3°), Tanegashima au Japon (λ₄ = 30,5°) et Kourou en Guyane Française (λ₅ = 5,2°).
La fusée étant fixée au sol, calculer la norme v de sa vitesse, par rapport au référentiel géocentrique R₀ = Tx₀y₀z₀, due à la rotation uniforme de la Terre, de vecteur rotation → Ω = ω_T → e_S→N et de vitesse angulaire ω_T = 7,29 × 10⁻⁵ rad·s⁻¹ autour de son axe sud-nord. Commenter.
Exercice M7.9 : Étude des planètes
1) Première loi de Kepler : « Dans le référentiel de Kepler, une planète (point M, masse m) décrit une ellipse de foyer le soleil (point S, masse M_S). » En choisissant correctement la direction des axes Sx et Sy, l’équation polaire d’une telle trajectoire est : r = p / (1 + e cosθ), où e = c/a et p = b²/a est le demi grand-axe ; b le demi petit-axe ; c = ΩS ; p le paramètre et e l’excentricité.
L’excentricité, comprise entre 0 et 1, donne une indication précise de la forme de la trajectoire. Plus l’excentricité est grande, plus l’ellipse est écrasée ; au contraire, une excentricité de zéro est celle d’un cercle (r = a = b = p).
L’aphélie (A) est le point de la trajectoire le plus éloigné du soleil et le périhélie (P) le point le plus proche.
Montrer que : r_A = a(1 + e) et r_P = a(1 − e).
2) Rappeler la définition du référentiel héliocentrique.
3) En appliquant le PFD, déterminer la vitesse v de la planète en fonction de G, M_S et R.
4) Troisième loi de Kepler : « T²/a³ = Cte pour toutes les planètes. »
4.a) Démontrer que la valeur de T²/R³ est identique pour toutes les planètes.
4.b) Application de la troisième loi de Kepler : Calculer numériquement les valeurs de R en unité astronomique (ua) pour toutes les planètes sachant que pour la Terre, R ≡ 1 ua.
4.c) Autre application de la troisième loi de Kepler : Sachant que 1 an = 365,25 jours et 1 ua = 1,49 × 10⁸ km, déterminer la masse M_S du soleil.
5) Calculer alors la valeur numérique de la vitesse v de la Terre dans le référentiel héliocentrique.
Exercice M7.10 : Orbite géostationnaire
Un corps se trouvant sur une orbite géostationnaire possède une période de révolution égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même (24 h). Il paraît immobile par rapport à la surface de la Terre. L’orbite est circulaire.
La masse de la Terre est M_T = 6 × 10²⁴ kg et son rayon R_T = 6 400 km.
1) En appliquant le PFD, déterminer le rayon R de l’orbite, puis son altitude h, et vérifier qu’il n’est pas dans la ceinture de Van Allen.
2) Déterminer les formules donnant la vitesse et l’énergie en fonction de G, R, m_sat et M_T.
3) En orbite, un réservoir d’appoint du satellite explose et lui procure la vitesse v = 6 km·s⁻¹. Est-ce suffisant pour l’arracher à l’attraction terrestre ?
4) Chute du satellite.
4.a) En admettant que les deux formules établies en 2) restent correctes par la suite, déterminer la loi donnant l’évolution de R au cours du temps dans le cas du frottement du satellite dans l’atmosphère (de masse volumique ρ) : → f = −kρ → v. On utilisera le théorème de l’énergie mécanique.
4.b) Dans le cas d’un satellite spot (m_sat = 2 tonnes) de coefficient k = 1,35 × 10⁵ u.S.I., à 822 km d’altitude la masse volumique de l’air est ρ = 3 × 10⁻¹⁴ kg·m⁻³. Calculer de combien de mètres le satellite chute en 1 jour.
4.c) S’il évoluait à 250 km d’altitude, la masse volumique de l’air serait ρ = 6,8 × 10⁻¹¹ kg·m⁻³. Effectuer le même calcul et conclure.
Exercice M7.11 : La Station Spatiale Internationale
En faisant l’hypothèse que l’ISS a un mouvement circulaire (excentricité = 0,00031) et une altitude de 384 km, déterminer sa vitesse v ainsi que sa période T en fonction uniquement de R_T, g₀ = G(M_T)/R_T² (champ gravitationnel terrestre à la surface de la Terre) et R_ISS.
Effectuer les applications numériques.
Données : R_T = 6 400 km.
Exercice M7.12 : Méthode du vecteur excentrique
On se propose d’étudier le mouvement d’un satellite autour de la Terre. La seule force est l’attraction newtonienne de la Terre → F = −G M_T m/r² → er. Le satellite M de masse m est repéré par ses coordonnées polaires r et θ.
1) Établir la relation différentielle liant la vitesse → v et → eθ. Cette relation s’intègre sous la forme → v = α(→ eθ + → e), où → e est un vecteur constant appelé vecteur excentricité et α une constante à déterminer en fonction de G et C (où C est la constante des aires).
2) Calculer le produit scalaire → v · → eθ. En déduire l’équation polaire de la trajectoire sous la forme : r(θ) = p / (1 + e cos(θ − θ₀)), où e = ||→ e|| et θ₀ = (→ ey, → e). Exprimer p en fonction de G et C.
3) Montrer que