Mécanique du point : Exercices mecanique ptsi forces centrales conservatives
Télécharger PDFObtenir le pack complet des cours, TDs, examens sur Mécanique du point!
Vous souhaitez maîtriser Mécanique du point ? Ne cherchez plus, nous avons le pack bien choisi pour vous.
Accédez à une collection complète des supports de cours, des travaux dirigés (TD) corrigés, examens...
Télécharger pack2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
Forces centrales conservativesM7 Ex-M7.1Point mat ́eriel tir ́e par une corde (*)
Un paletPde masseMglisse sans frottement
sur un plateau horizontal (Oxy) perc ́e d’un trou `a
l’origineO.
Sa position est rep ́er ́ee par les coordonn ́ees polaires
retθ, d’axe (Oz).
L’exp ́erimentateur lance le palet, `a la distancer0 du pointO, avec une vitesse initiale orthoradiale−→ v(0) =v0 −→e θ(t=0)
(on prendraθ(t= 0) = 0), et
tire sur le fil de fa ̧con `a rapprocher r ́eguli`erement
le palet du pointO:r(t) =r0 −V t.O rF zx yP r0 θP 0v 0
On admet que la force exerc ́ee par le fil (qui reste toujours tendu) surPest−→ T=−F−→ er .
1)Montrer que la vitesse angulaire du palet s’ ́ecritω= ̇θ= r0 v0 (r0 −V t)2 . En d ́eduire l’ ́evolution
de la force−→ Fqu’il faut exercer pour r ́ealiser cet objectif. Commenter.
2)Calculer directement le travail de traction fourni par cet op ́erateur s’il fait passer la distance
du mobile `a l’axe de la valeurr0 `a la valeurr1 . Retrouver ce r ́esultat par une m ́ethode ́energ ́etique.
R ́ep : 1)F=
M r2 0v 20 (r0 −V t)3 ; dont−→ T=−
M C2 r3 −→e r=− dEp dravecE p=− M C2 2r2 +
Cte(avecE p
(∞) = 0 etC=r0 v0 la constante des aires) ;2)W0→1 (−→ F) =
M r2 0v 20 2 1r 21 −1 r2 0 Ex-M7.2Force centrale en1/r3 (**, `a chercher apr`es avoir travaill ́e le reste)
Un point mat ́erielMde massemest soumis, dans un r ́ef ́erentiel galil ́eenR, `a une force
d’expression−→ F=−a r3 −→e r
en coordonn ́ees sph ́eriques de centreO,a ́etant une constante po-sitive. `
A l’instant initial,Mest `a la positionM0 telle que−−−→ OM0 =r0 −→e x
, avec une vitesse−→ v0 =v0 (cosα−→ ex + sinα−→ ey ).
1)Montrer que le mouvement est plan et d ́eterminer le plan de latrajectoire.
2)Montrer que la force−→ Fest une force conservative. En d ́eduire l’ ́energie potentielleEp (r) dont
elle d ́erive (on prendreEp (∞) = 0)). D ́eterminer l’expression de l’ ́energie potentielle effectiveE p,eff
compte tenu des conditions initiales.3)r 0 ́etant donn ́e, indiquer la condition surv0 pour que le syst`eme soit dans un ́état de diffusion.
4)La particule est dans un ́état de diffusion etα=π 2. a) ́
Etablir que ̇r=r 0v 0r 2dr dθ
. En d ́eduire que ̇r=−r0 v0 u′ θ
avecu(θ) =1 r(θ)etu ′θ =du dθ. b)Exprimer la conservation de l’ ́energie m ́ecanique en fonction de la variableuet deu′ θ. En d ́eduire queuv ́erifie l’ ́equation :u ′′θ +η2 u= 0 avecη=r 1−a mr2 0v 20 .
c)D ́eterminer l’ ́equation polaire de la trajectoire compte tenu des conditions initiales.
d)Donner l’allure de la trajectoire pourη= 0,1,θ0 = 0 etr0 = 1m.
Solution Ex-M7.2
1)La force est centrale de centre de forceO. LeT.M.C.pourM ́evalu ́e enOdans le r ́ef ́erentiel
Rs’ ́ecrit :d −−−→L O/R(M) dt! R=M O( −→
F) =−−→ OM×−→ F=−→ 0 , soit−−−→ LO/R (M) =−→ Cte, d’expression :−−−→ LO/R (M) =( −−−→L O/R(M 0) =r0 −→e x×mv 0(cosα −→e x
+ sinα−→ ey ) =mr0 v0 sinα−→ ez −−→OM× −−−→v M/R=r −→e r
×( ̇r−→ er +r ̇θ −→e θ)=mr 2 ̇
θ vez=mC−→ ez avecC=r 2 ̇θ=r 0v 0
sinα, laconstante des aires.
jpqadri@gmail.com33
page facebookpage facebook
PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Le vecteur position−−→ OMest orthogonal `a tout instant `a−→ LO , donc `a−→ ez , direction fixe de l’espace :
la trajectoire est donc plane, contenue dans le plan (Oxy)⊥−→ ez .
2)Lors d’un d ́eplacement ́el ́ementaire deM, le travail de la force−→ Fest :δW=−a r3 ver(d−→ er +rd −→e r
) =−a r3 dr=−dEp , avecEp =−a 2r2 (en choisissant l’ ́energie potentielle nulle `a l’infini).ThmE m
: dEm =δWNC = 0, soitE m
=Cte:le syst`eme est conservatif.
Le syst`eme{M, m}a pour ́energie m ́ecanique :E m=E k+E p= 12 mv2 M/R+E p
(r) =1 2
m( ̇r2 +r
2 ̇θ 2
) +Ep (r) =1 2
m ̇r2 |{z} Ek,r +1 2mC 2r 2+E p(r) |{z} Ep,eff (r)D’o`uE p,eff
(r) =1 2mC 2r 2+E p
(r) =mr 20 v2 0sin 2α−a 2r2 3)L’ ́energie potentielle s’annule `a l’infini. Le syst`eme est donc dans un ́état de diffusionsi son ́energie m ́ecanique est positive, ce qui se traduit par :E m=Cte=E m
(0) =1 2mv 20 −a 2r2 0
>0⇔v 0
>r amr 20 4.a)Comme la constante des aires s’ ́ecrit :C=L Om =r
2 ̇θ=r 0v 0sinα=r 0v 0pourα= π2 ,
on a : ̇r=dr dθ ̇θ= r0 v0 r2 dr dθ Commeu′ θ= d 1r dθ =−1 r2 drdθ ,on a :dr dθ=−r 2u ′θ
Soit : ̇r=−r0 v0 u′ θAlorsE m=E k,r+E p,eff= 12 m ̇r2 +mr 20 v2 0−a 2r2 =1 2mr 20 v2 0(u ′θ )2 +mr 20 v2 0−a 2u 2
4.b)PuisqueEm =Cte
en d ́erivant
−−−−−−−−−→
par rapport `aθ
0 =mr2 0v 20 u′′ θ.u ′θ + (mr2 0v 20 −a)u.u′ θ
Comme le casu′ θ
= 0 ne nous int ́eresse pas (on ́etudie le mouvement deM), on obtient :u ′′θ + 1−a mr2 0v 20
u= 0⇔u′′ θ+η 2
u= 0avecη=r 1−a mr2 0v 20 Rq :ηest bien d ́efini puisque 1−a mr2 0v 20 >0 d’apr`es la condition sur la vitesse ́etablie en3).
4.c)La solution g ́en ́erale de l’ ́equation est :u(θ) =Acos(ηθ) +Bsin(ηθ)` At= 0,θ0 = 0 (puisque−−−→ OM0 =−→ 0 ), donc−→ er (0) =−→ ex ,−→ eθ (0) =−→ ey Soit−→ v0 = v0 −→e y ̇r(0)−→ er +r
0 ̇θ(0) −→e θ
= ̇r(0)−→ ex +r
0 ̇θ(0) −→e y
Donc : ̇r(0) = 0 =−r0 v0 u′ (θ0 ) (d’apr`es4.a)).D’o`u
u(0) =1 r0 =Au ′θ (0) = 0 =−Bη
Cl :u(θ) =1 r0 cos(ηθ)⇔r= r0 cosθ r1− amr 20 v2 0! 4.d)–2 02 46 8–6–4–22 Applications directe du coursM7 Ex-M7.3 ́
état de diffusion et ́état li ́e
1)Un ́electron de vitessev0 = 4.103 m.s−1 se trouve `a une distancea= 10nmd’un proton.
Peut-il y avoir formation d’un atome d’hydrog`ene ? ( ́état li ́e) (on v ́erifiera que l’ ́energie potentielle34 page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
de gravitation est n ́egligeable devant les autres)
2)Quelle est la vitesse limite de l’ ́electron pour qu’il n’y ait pas d’ ́état li ́e possible ?
Donn ́ees :masse de l’ ́electron :me = 9.10−31 kg; masse du proton :mp = 1,7.10−27 kg;1 4πǫ0 = 9.109 u.S.I.
R ́ep. : 1)E
p, ́elec
=−2,3.10−20 J,Ep,grav =−1.10−60 J,Ek = 7,2.10−24 J→ ́état li ́e carE m=E k+E p≃E p, ́elec
<0 ;2)vl =q −2 me .1 4πǫ0 .q eq pa = 2,26.105 m.s−1 Ex-M7.4Masse de la terre
En faisant l’hypoth`ese que la lune effectue un mouvement circulaire autour de la terre (hypoth`ese
justifi ́ee car l’excentricit ́e de la trajectoire lunaire est de 0,0549), de p ́eriodeT= 27,32jourset
de rayonRL = 384 400km, calculer la masse de la terre en appliquant lePFD.
R ́ep. :MT ≃6,0.1024 kg.
Ex-M7.5Vitesse de lib ́eration
Calculer la vitesse de lib ́eration (ou vitesse d’« évasion ») à la surface des astres suivants, dont
les masses et les rayons respectifs sont :
1)pour la Lune :ML = 7,4.1022 kgetRL = 1 700km,
2)pour Mars :MMa = 6,4.1023 kgetRMa = 3 400km,
3)pour Mercure :MMe = 3,3.1023 kgetRMe = 2 440km.
Rép :La vitesse de libération est caractérisée par une énergie mécanique (trajectoire parabolique)
nulle du point matériel de massemétudié (dans le référentiel « astrocentrique ») à la surface de
l’astre de rayonRet de masseM:Em =1 2mv 2l −Gm.M R
= 0, soit :vl =q 2GMR .v l,L
= 2,4km.s−1 ;vl,Ma = 5km.s−1 ;vl,Me = 4,2km.s−1 .
Ex-M7.6Distance minimale de passage d’un ast ́ero ̈ıde
Le référentiel géocentriqueR0 =Ox0 y0 z0 est supposé galiléen, et on néglige les effets gravita-
tionnels du Soleil.
Un astéroïde de massemet de taille négligeable par
rapport à la masseMT de la Terre est repéré enM0 , à
une distance très grande de la Terre où on supposera
que son influence gravitationnelle est négligeable. On
mesure son vecteur vitesse−→ v0 =−v0 −→e x0 , porté par
la droite(M0 x0 )telle que la distance du centre de
la Terre à(M0 x0 )estb(best le « paramètre d’im-
pact »).
1)Montrer queEm (M)et−−−−→ LO/R 0
(M)se conservent. Exprimer les deux constantes du mouvement
en fonction des données initiales.
2)Exprimer l’énergie potentielle effectiveEp,eff (r)en fonction dem,MT , etLO .
3)Déterminer la distance minimalerm inà laquelle l’astéroïde passe du centre de la Terre et
donner la condition de non collision. On utilisera très utilement le potentiel effectif.
Rép : 1)Em =1 2mv 20 ;−−−−→ LO/R 0
(M) =−−−→ OM0 ×m−→ v0 =mbv0 −→e z0; 2)Ep,eff =Em −1 2
m ̇r2 =L 2O 2mr2 −Gm.M Tr ;3)rmin =GM Tv 20 r 1 +b 2v 40 G2 M2 T−1
“Cependant la nuit marche, et sur l’abîme immense
Tous ces mondes flottants gravitent en silence,
Et nous-même, avec eux emportés dans leurs cours,
Vers un port inconnu nous avançons toujours.”
Lamartine –Les ́Etoiles jpqadri@gmail.com35
page facebookpage facebook
PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Orbites circulairesM7 Ex-M7.7satellite Phobos et D ́eimos de Mars
La planète Mars (masseMM = 6,24.1024 kg) possède deux sa-
tellites naturels, Phobos et Déimos, considérés comme des asté-
roïdes en raison de leur petite taille et de leur forme irrégulière.
La distance moyenne du centre de ces satellites au centre de Marsestr P
≃9 379kmpour Phobos etrD ≃23 459kmpour Déimos.
1)Calculer les vitesses de satellisationvP etvD de Phobos etDéimos. 2)En déduire leurs périodes de révolution respectivesTP etTD ,
en jours, heures, minutes, secondes.
3)Vérifier que le rapportT 2r 3
est indépendant du satellite. Quelle
est l’expression littérale de ce rapport en fonction deMM ?Phobos Rép : 1)vP = 6,67km.s−1 ;vD = 4,21km.s−1 ;2)TP = 8 835s= 2h27min15s;TD =
35 010s= 9h43min31s;3)T 2P r3 P
= 9,46.10−14 s2 .m−3 ;T 2D r3 D
= 9,49.10−14 s2 .m−3 ; 3e loi de
Képler :T 2a 3= 4π2 GMM aveca=rpour une trajectoire circulaire.
Ex-M7.8Vitesse d’un lanceur selon la latitude
Les lanceurs (ou fusées) sont tirés dans l’espace depuis des
bases situées à des latitudesλvariées : Cap Canaveral aux
États-Unis (λ1 = 28,5◦ ), Pletsek en Russie (λ2 = 63◦ ),
Baïkonour dans le Kazakhstan (λ3 = 46,3◦ ), Tanegashima
au Japon (λ4 = 30,5◦ ) et Kourou en Guyane Française(λ 5
= 5,2◦ ).
La fusée étant fixée au sol, calculer la normevde sa vitesse,
par rapport au référentiel géocentriqueR0 =T x0 y0 z0 due
à la rotation uniforme de la Terre, de vecteur rotation−→ Ω =ω T−→ eS→N et de vitesse angulaireωT = 7,29.10−5 rad.s−1 autour de son axe sud-nord. Commenter.
Rép :v1 = 410m.s−1 ;v2 = 212m.s−1 ;v3 = 323m.s−1 ;v4 = 402m.s−1 ;v5 = 465m.s−1 .
Ex-M7.9 ́
Etude des plan`etes
1) Première loi de Kepler :« Dans le référentiel deKépler, une planète (pointM, massem)
décrit une ellipse de foyer le soleil (pointS, masseMS ) ».
En choisissant correctement la direction des axesSxetSy, l’équation polaire d’une telle trajec-
toire est :r=p 1 +eavece= ca etp=b 2a aest de demi grand-axe ;ble demi petit-axe ;c= ΩS;ple paramètre etel’excentricité.
L’excentricitée, comprise entre 0 et 1, donne une
indication précise de la forme de la trajectoire. Plus
l’excentricité est grande, plus l’ellipse est écrasée ;
au contraire, une excentricité de zéro est celle d’un
cercle (r=a=b=p).
L’aphélie (A) est le point de la trajectoire le plus
éloigné du soleil et le périhélie (P) le point le plusproche. →Montrer que :rA =a(1 +e)etrP =a(1−e)x yθ rS F’M ab cΩ aA P(R K) ve re θ
Les planètes du système solaire ayant une excentricité faible (voire très faible), par la suite, nous
ferons toujoursl’approximation d’un mouvement circulairede centreSet de rayonRpour leurs
trajectoires (a∼ =b≡R). 36
page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI
PlanèteMercure Vénus Terre Mars Jupiter Saturne Uranus
Excentricité0,2056 0,0068 0,0167 0,0934 0,0484 0,0542 0,0472
Période (ans)
0,2410,61511,8811,929,584,0
2)Rappeler la définition du référentiel héliocentrique.
3)En appliquant lePFD, déterminer la vitessevde la planète en fonction deG,MS etR.
4) Troisième loi de Kepler :«T 2a 3
=Ctepour toutes les planètes »
4.a)Démontrer que la valeur deT 2R 3
est identique pour toutes les planètes (redémontrer la
troisième loi de Kepler).
4.b)Application de la troisième loi deKépler: Calculer numériquement les valeurs deRenua
(unité astronomique) pour toutes les planètes sachant que pour laterre,R≡1ua.
4.c)Autre application de la troisième loi deKepler: Sachant que1an= 365,25jourset
1ua= 1,49.108 km, déterminer la masseMS du soleil.
5)Calculer alors la valeur numérique de la vitessevde la terre dans le référentiel héliocentrique.
Ex-M7.10Orbite g ́eostationnaire (t ́el ́ecommunications, t ́el ́evision, m ́et ́eo)
Un corps se trouvant sur une orbite géostationnaire possède unepériode de révolution égale à la
période de rotation de la Terre sur elle-même (24h). Il paraît immobile par rapport à la surface
de la Terre. L’orbite est circulaire.Le maintien nécessite des manœuvresde correction d’orbite
consommant des ergols1 , leur épuisement étant la cause principale de fin de vie du satellite. Au1 er
janvier 2005, on dénombrait 1 124 objets de plus d’1msur l’orbite géostationnaire. Parmi
eux, 346 seulement sont des satellites opérationnels !
La ceinture deVan Allen2 est, pour simplifier, à une altitude comprise entre2000kmet22 000km.
Elle est constituée de particules chargées piégées dans le champ magnétique terrestre qui aveuglent
les équipements des satellites.
La masse de la terre estMT = 6.1024 kget son rayonRT = 6 400km.
1)En appliquant lePFD, déterminer le rayonRde l’orbite, puis son altitudeh, et vérifier qu’il
n’est pas dans la ceinture deVan Allen.
2)Déterminer les formules donnant la vitesse et l’énergie en fonction deG,R,msat etMT .
3)En orbite, un réservoir d’appoint du satellite explose et lui procure lavitessev= 6km.s−1 .
Est-ce suffisant pour l’arracher à l’attraction terrestre ?
4) Chute du satellite
4.a)En admettant que les deux formules établies en2)restent correctes par la suite, déterminer
la loi donnant l’évolution deRau cours du temps dans le cas du frottement du satellite dans
l’atmosphère (de masse volumiqueρ) :−→ f=−kρ−→ v. On utilisera le théorème de l’énergie méca-nique. 4.b)Dans le cas d’un satellite spot (msat = 2tonnes) de coefficientk= 1,35.105 uSI, à822km
d’altitude la masse volumique de l’air estρ= 3.10−14 kg.m−3 . Calculer de combien de mètres le
satellite chute en 1 jour.
4.c)S’il évoluait à250kmd’altitude, la masse volumique de l’air seraitρ= 6,8.10−11 kg.m−3 .
Effectuer le même calcul et conclure.
Rép. : 1)R= 42 300km;h= 35 900km;2)Em =−1 2G MT .msat R;3)E m=m sat
.(8,5.106 )>0;
4.a)R(t) =R(0).exp −2kρ msat .t ;4.b)∆z=−2,5m/jour;4.c)∆z=−5,3km/jours
Ex-M7.11La station spatiale internationale
En faisant l’hypothèse queISSa un mouvement circulaire (excentricité = 0,00031) et une altitude
de384km, déterminer sa vitessevainsi que sa périodeTen fonction uniquement deRT ,g 0=G(R T
)(champ gravitationnel terrestre à la surface de la Terre) etRISS .
1. Produits initiaux, s ́epar ́es, utilis ́es dans un syst`eme propulsif `a r ́eaction (constitu ́es d’ ́el ́ements oxydant et
r ́educteur).
2. James AlfredVan Allen, USA (1914 - 2006)
jpqadri@gmail.com37
page facebookpage facebook
PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
Effectuer les applications numériques.Données :RT = 6 400km
Rép. :v=q g0 .R2 TR ISSetT= r4π 2R 3ISS g0 R2 T
Approche des orbites elliptiquesM7 Ex-M7.12M ́ethode du vecteur excentricit ́e[d’apr`es ́ecole de l’air 1987]
On se propose d’étudier le mouvement d’un satellite autour de la Terre. La seule force est l’at-
traction newtonienne de la Terre−→ F=−m r2 −→e r
. Le satelliteMde massemest repéré par ses
coordonnées polairesretθ.
1)Établir la relation différentielle liant la vitesse−→ vet−→ eθ . Cette relation s’intègre sous la forme−→ v=α(−→ eθ +−→ e)où−→ eest un vecteur constant appelé vecteur excentricité etαune constante à
déterminer en fonction deetC(oùCest la constante des aires).
2)Calculer le produit scalaire−→ v.−→ eθ . En déduire l’équation polaire de la trajectoire sous la
forme :
r(θ) =p 1 +ecos (θ−θ0 )oùe=|| −→e||etθ 0
= (−→ ey ,−→ e).
Exprimerpen fonction deetC.
3)Montrer que l’on peut exprimer l’énergie totaleEsous la forme :E=k(e2 −1). Exprimerk
en fonction de, Cetm.
Rép : 1)d −→v dt= C d−→ eθ dt→ −→v= C (−→ eθ +−→ e);2)k= 2m 2C2 Ex-M7.13Vecteur de Runge-Lentz (*)
On considère une particule ponctuelleMde massemdont la position est repérée par ses coordon-
nées cylindriques(r, θ, z)dans un référentielRgaliléen de repère(Oxyz). Sa vitesse dansRestnotée −→
v. La particule est plongée dans un champ de force dérivant du « potentiel »V(r) =−α r
(avecα >0; il s’agit d’une autre manière de parler de l’énergie potentielle :Ep =V(r)).
1)Montrer que−−−→ LO/R (M) =−→ r×m−→ v, moment cinétique deMpar rapport àOdans R, est un
vecteur constant. ExprimerLz =LO/R en fonction dem,ret ̇
θ. Cette relation est une intégrale
première du mouvement.
2)Montrer que l’énergieE=Ek +V(r)est une intégrale première du mouvement. ExprimerE
en fonction der, ̇r, ̇θ,metα. 3) a)Montrer que le vecteur−→ A=−→ v×−−−→ LO/R −α−→ rr est une intégrale première.
Comment sont disposés l’un par rapport à l’autre les vecteurs−→ Aet−−−→ LO/R ? Quelles sont les
coordonnées polairesAr etAθ de−→ Adans le repère mobile(−→ er ,−→ eθ )?
Nous prendrons−→ ex suivant−→ A(soitAx =A). Montrer que dans ces conditionsr, ̇
θet ̇rpeuvent
être exprimés comme des fonctions de la seule variableθet des paramètresLz ,A,metα. Donner
ces expressions.
b)Mettre l’expression dersous la forme :p r
= 1 +ecosθ
À quelle courbe correspond cette fonction ? Exprimerpeteen fonction des paramètresLz ,A,metα. c)CalculerEeta=p 1−e2 en fonction des paramètresLz ,A,metα.
Quelle valeur maximaleAmax peut prendreApour que le mouvement reste de dimension finie ?
Pour une valeur deAinférieure àAmax tracer l’allure de la courbe en indiquant la position duvecteur −→A. Rép : 1)Lz =mr
2 ̇θ;2)E= 12 ( ̇r2 + ̇r
2 ̇θ 2)− αr =Cte;3.a)−→ A⊥−→ LO ;Ar =mr
3 ̇θ 2−αet Aθ =−mr
2 ̇r ̇
θ; en tenant compte de la constante des airesC=r
2 ̇θ= Lz m
, si on impose−→ A=A−→ ex 38
page facebookpage facebook
2011-2012Exercices – M ́ecanique|PTSI(soit −→A=Acosθ −→e r−Asinθ −→e θ
), on a :r=L 2z αm1 1 +A αcosθ ; ̇θ= Lz mr2 =m L3 z
(Acosθ+α)2 ; ̇r=Asinθ Lz ;3.b)p=L 2z αmete= Aα ;3.c)E=m 2L2 z(A 2−α 2)eta= αLz m(α2 −A2 ). Ex-M7.14Transfert d’orbite (*,Ü`a voir absolument)
On veut transférer un satelliteSde masseminitia-
lement sur une orbite circulaire basse de rayonr1 =
6 400+500km(autour de la Terre de masseMT ) à une
orbite circulaire haute de rayonr2 = 6 400+36 000km.
Pour cela, on utilise une ellipse de transfert (deAàB)
dite ellipse deHohmanndont la Terre est un foyer.
Données :masse de la Terre :MT =5,97.10 24
kg; constante de gravitation universelle :
G= 6,67.10−11 N.m2 .kg−1 .
1)Exprimer et calculer la vitessev1 du satellite sur
l’orbite basse.
2)Exprimer l’énergie mécanique du satelliteEm1 sur
sa trajectoire basse.r 1Terre BO r2 (1)(2) (3)A 3)Exprimer l’énergie mécanique du satelliteEm3 sur l’ellipse de transfert.
4)Que faire pour que le satellite au pointApasse de sa trajectoire circulaire initiale à l’ellipse
deHohmann?
Exprimer et calculer l’écart de vitesse∆vA =vA,(3) −vA,(1) nécessaire.
5)Quelle action faut-il avoir sur le satellite enBpour qu’il passe sur l’orbite circulaire haute ?
Exprimer et calculer l’écart de vitesse∆vB =vB,(2) −vB,(3) nécessaire.
6)Exprimer et calculer la durée du transfert (entreAetB).
Rép : 1)v1 =r GMT r1 = 7 600m.s−1 ;2)Em1 =−Ek1 =E p12 =−1 2GM Tm r1 <0;3)E m3=− GMT mr 1+r 2
<0;4)∆vA =v1 r 2r2 r1 +r2 −1 ≃2 370m.s−1 ;
5)En posantv2 =vB,(2) =r GMT r2 :∆vB =v2 1− r2r 1r 1+r 2 ≃1 440m.s−1 ;6)∆t A→B= π2 √2GM T(r 1+r 2) 3/2
≃5h21min
Autres exercicesM7 Ex-M7.15Exp ́erience de Rutherford
L’expérience deRutherfordest l’expérience historique qui
a établi le caractère lacunaire de la matière, l’essentiel de
la masse d’un atome étant concentrée dans un noyau très
petit devant les dimensions de l’atome.
On se propose d’étudier la déviation angulaireφde la tra-
jectoire d’une particuleαpar un noyau massif de masseM
et de chargeZe. Une particuleαest un noyau d’hélium de
massemet de charge2e(ion hélion).
La particuleαarrive avec une vitesse−→ v0 =v0 −→e x
et une ordonnéebloin du noyau, situé à l’origine
des coordonnées.
1)En supposant la masseMsuffisamment grande pour que le noyau massif reste pratiquement
immobile, déterminer deux constantes du mouvement de la particuleα.
2)En déduire que le mouvement est plan, et déterminer la vitesse−→ v1 loin du noyau massif, après
l’interaction.3) jpqadri@gmail.com39
page facebookpage facebook
PTSI|Exercices – M ́ecanique2011-2012
3.a)Montrer que la composante selon−→ ey de l’accélération de la particuleαpeut s’exprimer en
fonction deθet de ̇
θ, oùretθreprésentent les coordonnées polaires de la particuleαdans le
plan de la trajectoire.
3.b)Déterminer la composante selon−→ ey de−→ v1 et en déduire l’angle de déviationφ.
4)On répète l’expérience deRutherforden envoyant sur une cible fixe dans le référentiel du
laboratoire et constitué par une très mince feuille d’or, des hélions d’énergieE0 = 5M eV. On
supposera la masse des atomes d’or grande devant la masse des hélions. On observe une déviation
des hélions atteignant150◦ au maximum.
4.a)Calculer la valeur minimalebmin du paramètre d’impact.
4.b)Calculer la plus petite distance d’approcher0 d’un hélion et d’un noyau d’or, lorsque le
paramètre d’impact a pour valeurbmin . En déduire une borne supérieure de la valeur du rayon
du noyau de l’atome d’or.
Donnée :Numéro atomique de l’orZ= 79.
Rép : 3.b)tanφ 2= 2Ze2 4πǫ0 mbv2 0;4.b)b min
= 6,17.10−15 m;4.b)r0 = 4,5.10−14 m.
Solution Ex-M7.4
Q :Masse de la terre ?
On travaille dans le Référentiel géocentrique, supposé galiléen.
SystèmeS={Lune}.
Hypothèse :trajectoire circulaire car excentricité proche de 0.
PFD :mL − v2 R−→ er +dv dt−→ eθ | {z}
Mvmt circulaire=−G MT .mL R2 −→e r
, d’oùv=r G.MT R
Or, pour un mouvement circulaire :v=Rω=2π.R T
, donc :MT =4π 2G .R 3T 2
= 6,0.1024 kg
Solution Ex-M7.11
On travaille dans le Référentiel géocentrique, supposé galiléen.
SystèmeS={Station Spatiale Internationale}.
Hypothèse :trajectoire circulaire car excentricité proche de 0.
PFD :mISS − v2 RISS −→e r+ dvdt −→e θ |{z} Mvmt circulaire=−G MT .mISS R2 ISS−→ er , d’oùv=r G.MT RISS Déf :le champ gravitationnel en un pointMest la force gravitationnelle que subit un point
matériel placé enMdivisée par sa massem:−→ G(M) =−→ Fgrav m
Donc, le champ gravitationnel dû à la Terre de masseMT est, à la surface de la Terre :G(R T
) =GM TR 2T CommeG.MT =G(RT ).R2 T
, on peut écrire :v=s G(RT ).R2 TR ISS
Or, en identifiant pour un corps de massemquelconque le champ gravitationnel dû à la Terre avec
le champ de pesanteur, on a :G(RT ) =g0 ≃9,8m.s−2 , et donc :v=s g0 .R2 TR ISS
≃7,7km.s−1 Commev=RISS ω=RISS .2π T
pour un mouvement circulaire, on a :T= s4π 2g 0.R 2T .R3 ISS
≃1h32min40 page facebookpage facebook