Théorie des graphes : Chapitre 7 solutions des problèmes
Télécharger PDFChapitre 7 – Solutions des problèmes 1. Modifications à apporter à un réseau. Dans le réseau proposé, la tâche H ne précède pas la tâche F, contrairement à ce qui est spécifié dans le tableau des prédécesseurs immédiats donné dans l'énoncé du problème.
Un réseau corrigé, conforme aux données du tableau, est présenté ci-dessous. 2. Énumération des chemins d'un réseau. Les chemins possibles, ainsi que leurs durées, sont énumérés dans le tableau ci-dessous. L'unique chemin critique, de longueur 28, est
: 1 3 4 5 6. Chemin Durée 1 2 3 4 5 6 26 1 2 3 5 6 22 1 2 4 5 6 25 1 3 4 5 6 28 1 3 5 6 24 3. Chemin critique. (a) Un réseau qui représente ce projet est donné ci-dessous (voir page suivante).
Afin de faciliter le calcul des réponses aux questions (b) et (c), ont été ajoutés les moments au plus tôt des différents sommets et, lorsqu'ils diffèrent, les moments au plus tard
(cette convention sera respectée dans toutes les figures du présent fichier où il est pertinent d'indiquer les moments). 2 Chapitre 7 – La gestion de projets (b) La date d'achèvement au plus tôt du projet est 13. (c) L'unique chemin critique est
: L M G F1 S. 4. Moments au plus tôt et au plus tard. (a) Un réseau qui représente ce projet est donné ci-dessous. Cette fois encore, les moments au plus tôt des différents sommets et, lorsqu'ils diffèrent, les moments au plus tard ont été ajoutés, afin d'illustrer les réponses aux questions (b), (c) et (d). (bc) Les moments au plus tôt et au plus tard des différentes tâches sont donnés dans le tableau reproduit au haut de la page suivante. (d) L'unique chemin critique, de longueur 38, est
: L M H S P. Solutions des problèmes 3 MOG7-04 Moments au plus tôt et au plus tard
: tableau des moments Tâche ES EF LS LF L 0 8 0 8 M 8 13 8 13 N 8 12 9 13 H 13 19 13 19 S 19 26 19 26 T 12 21 17 26 P 26 38 26 38 F1 12 12 13 13 5. Marge des tâches. (a) Un réseau qui représente ce projet est donné ci-dessous.
Conformément à la convention mentionnée précédemment, les moments au plus tôt des différents sommets et, lorsqu'ils diffèrent, les moments au plus tard ont été ajoutés, afin de faciliter le calcul des réponses aux questions subséquentes. (b) L'unique chemin critique, de longueur 28, est
: A C F H. (c) La marge de F est nulle, car la tâche F fait partie du chemin critique
: en effet, marge de F = L(5) – E(4) – d
F = 21 – 9 – 12 = 0. Par contre, G ne fait pas partie du chemin critique et sa marge est positive
: marge de G = L(6) – E(3) – d
G = 28 – 7 – 8 = 13. 4 Chapitre 7 – La gestion de projets 6. Suppression d'une tâche. (a) Un réseau qui représente ce projet est donné ci-dessous. (b) L'unique chemin critique, de longueur 36, est : A C F H J K L. (c) La suppression de J entraînerait les modifications suivantes : la tâche G se terminerait au sommet terminal commun de H et de I; ce sommet 8 deviendrait le sommet initial de K; les sommets 10 et 11 seraient renumérotés 9 et 10 respectivement; le chemin critique deviendrait A B D E G K L et la durée minimale du projet diminuerait à 35 périodes. 7. Modification de la durée des tâches et chemin critique. Les moments au plus tôt et au plus tard du réseau sont donnés dans le tableau ci-dessous.
La durée minimale du projet est de 22 jours et l'unique chemin critique est : B G H. Sommet s 1 2 3 4 5 E(s) 0 6 9 17 22 L(s) 0 6 14 17 22 (a) Notons d'abord que la marge de la tâche A est de 11 jours
: marge de A = L(3) – E(1) – d
A = 14 – 0 – 3 = 11. Pour que A appartienne à un chemin critique, il faudrait que sa durée augmente de 11 jours ou plus. (b) La durée de la tâche G devrait être diminuée de plus de 5 jours. Dans un tel cas, le projet pourrait être parachevé en 17 jours et le chemin critique serait B E D. (c) On peut poursuivre cette opération jusqu'à ce que la durée de la tâche H soit nulle ou qu'un autre chemin devienne critique. Ici, ces deux cas surviennent simultanément
: lorsque la durée de H est diminuée de 5 jours, les chemins B E D et B G H sont tous deux critiques. Solutions des problèmes 5 8. Tâche critique. Pour que la tâche K appartienne à un chemin critique, sa durée doit être égale ou supérieure à la durée minimale du projet, qui est de 35 jours. 9. Chemin critique et modèle linéaire. (a) Les tâches de marge nulle sont celles représentées par les arcs 1 2, 2 3, 3 6, 6 7 et 7 8. (b) L'unique chemin critique, d'une longueur de 34 jours, est composé des arcs donnés en (a). (c) Considérons les durées sur les arcs comme des coûts et cherchons à maximiser le coût total lorsque le sommet 1 émet une unité de flot, que les sommets 2 à 7 sont des sommets de transbor-
dement et que le sommet 8 absorbe l'unique unité de flot qui transite dans le réseau. Le modèle linéaire associé à ce réseau donnera, à l'optimum, un chemin le plus long.
Noter que, à l'optimum, la quantité de flot sur chacun des arcs sera nulle ou égale à 1.
Il est donc possible d'utiliser comme variables de décision les variables binaires v
ij définies ainsi
ij = 1 si l'arc i j fait partie du chemin critique où i j est l'un des arcs du réseau. L'objectif consiste à maximiser z, où z = 4 v
z = 34 (jours). Note. Les contraintes «Sommet 1» et «Sommet 8» sont redondantes dans ce modèle : en leur absence, les variables v
12 et v
78 prendraient quand même leur valeur maximale 1 à l'optimum, car leurs coefficients dans la fonction-objectif sont positifs. Ces deux équations sont incluses malgré tout, car elles facilitent la lecture du modèle en indiquant explicitement quel est le sommet émetteur du réseau et quel en est le 6 Chapitre 7 – La gestion de projets sommet récepteur.
Ces contraintes associées aux sommets extrêmes, qui sont redondantes quand on recourt à des variables binaires comme variables de décision, deviennent nécessaires si on utilise, conformément à l'approche générale décrite en section 5.1.4, des variables entières xij , où x
ij = nombre d'unités de flot transitant par l'arc i j. 10. Hydro-Québec. Un réseau représentant ce projet est reproduit ci-dessous.
Le 1
er des deux tableaux qui suivent cette figure donne les moments au plus tôt et au plus tard des sommets du réseau (sauf le sommet 1, dont les moments sont nuls, comme dans tous les projets); dans le 2
e tableau, on retrouve les marges des différentes tâches. Sommet s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 E(s) 21 26 50 36 50 62 40 59 72 83 62 L(s) 21 26 57 41 57 67 40 59 72 83 67 Sommet s 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 E(s) 83 98 114 137 137 137 158 168 178 198 258 L(s) 83 116 114 137 137 148 158 168 178 198 258 Tâche A B C D E F G H I J K Marge 0 0 7 5 7 7 0 5 0 13 7 Tâche L M N O P Q R S T U V Marge 7 0 5 0 0 18 18 29 0 11 0 Tâche W X Y Z F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 Marge 0 0 0 0 5 8 10 0 33 0 11 Le projet exige 258 jours. Les tâches critiques sont celles qui forment l'unique chemin critique
: A B G I M O F4 P T F6 V W X Y Z. Solutions des problèmes 7 11. Planification familiale en Tataouine. Un réseau représentant ce projet est reproduit ci-dessous.
Le 1
er des deux tableaux ci-dessous (voir page suivante) donne les moments au plus tôt et au plus tard des sommets du réseau; le 2e , les marges des différentes tâches. Le projet exige 718 jours.
Il existe deux chemins critiques, qui ne diffèrent que par la dernière tâche
: A B1 B2 B3 B4 C1 I1 I2 I3 I4 J1 J2 J3 J4 A B1 B2 B3 B4 C1 I1 I2 I3 I4 J1 J2 J3 K4. 8 Chapitre 7 – La gestion de projets MOG7-11 Planification familiale en Tataouine
: tableaux des moments et des marges Sommet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 E(s) 0 15 17 19 29 39 42 62 20 100 43 48 L(s) 0 15 17 19 29 39 42 80 31 111 43 48 Sommet 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 E(s) 58 63 102 45 65 110 113 133 173 73 93 44 L(s) 58 63 120 88 108 121 652 672 712 73 93 73 Sommet 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 E(s) 64 713 16 96 17 111 112 67 667 75 75 718 L(s) 93 713 32 112 118 122 123 118 718 118 118 718 Tâche A B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 Marge 0 0 0 0 0 0 18 18 18 539 539 539 Tâche C8 D1 D2 D3 E1 E2 E3 F1 F2 G1 G2 G3 Marge 539 11 11 11 16 16 16 21 21 11 11 11 Tâche H1 H2 I1 I2 I3 I4 J1 J2 J3 J4 K1 K2 Marge 43 43 0 0 0 0 0 0 0 0 29 29 Tâche K3 K4 L1 L2 L3 M1 M2 M3 X1 X2 X3 X4 Marge 29 0 51 51 51 48 43 43 57 56 51 43 12. Belladone. (a) Selon la figure ci-dessous (voir page suivante), la durée minimale du projet, si toutes les tâches sont exécutées à la vitesse normale, est de 74 jours. L'unique chemin critique est formé des arcs, tâches, 1-2, 2-3, 3-5, 5-7 et 7-8. (b) Parmi les tâches critiques, 5-7 est celle dont le coût d'accélération est le plus faible.
On accélère donc la tâche 5-7 d'un jour, ce qui réduit la durée du projet d'un jour et coûte 100 $. (c) Après l'accélération retenue à la question (b), l'unique chemin critique est encore formé des arcs 1-2, 2-3, 3-5, 5-7 et 7-8. On choisit à nouveau d'accélérer la tâche 5-7. Ainsi, en accélérant la tâche 5-7 de 2 jours, ce qui coûte 200 $, on réduit d'autant la durée du projet. Solutions des problèmes 9 MOG7-12 Belladone (d) Si on ne tient pas compte des coûts à assumer, on utilisera les durées accélérées. La durée minimale du projet est alors de 53 jours. 13. Implantation d'un progiciel de gestion de paie et des ressources humaines. (a) Un réseau représentant ce projet est reproduit à la page suivante. Le tableau ci-dessous donne les moments au plus tôt et au plus tard des 13 sommets du réseau.
L'étude préliminaire exigera 76 jours. Sommet s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 E(s) 0 7 10 18 24 31 39 59 20 59 47 71 76 L(s) 0 7 10 18 24 31 39 59 59 59 71 71 76 (b) Le réseau admet un seul chemin critique
: A B D F H J L F1 Q T. (c) Le tableau suivant donne les marges demandées. Tâche C D E M Marge 24 0 38 8 10 Chapitre 7 – La gestion de projets MOG7-13 Implantation d'un progiciel de gestion de paie et des ressources humaines (d) Le modèle linéaire utilisé comporte, comme d'habitude, des variables de décision réelles qui indiquent le moment où seront atteint chacun des sommets du réseau et des variables donnant le nombre de périodes d'accélération des tâches dont la durée peut être réduite en faisant participer des utilisateurs
: x
s = moment où se produit l'événement s Acc
t = réduction (en jours) de la durée de la tâche t grâce à l'accélération, où s = 1, 2, ..., 13 et où t = D, F, H, I, J. On ajoute des variables binaires pour tenir compte de la possibilité d'ajouter des consultants spécialisés en implantation de progiciels
: v
t = 1 si on recourt à des consultants pour accélérer la tâche t, où t = A, L, M, O, P, Q, T, U. L'objectif consiste à minimiser le coût total z
J 3. L'entreprise devrait recourir à des consultants pour accélérer les tâches A et L; de plus, on devrait faire participer les utilisateurs selon les recommandations du tableau ci-dessous. Le coût total z d'accélération s'élèvera à 30 000 $. Durée (en jours) de la collaboration des utilisateurs Tâche D F H I J Durée (en jours) 2 1 3 0 2 12 Chapitre 7 – La gestion de projets 14. CPM et PERT. (a) Un réseau qui représente ce projet est donné ci-dessous.
Conformément à la convention mentionnée précédemment, les moments au plus tôt des différents sommets et, lorsqu'ils diffèrent, les moments au plus tard ont été ajoutés, afin de faciliter le calcul des réponses aux questions subséquentes. (b) La durée minimale du projet est de 105 périodes. (c) L'unique chemin critique du projet est
: A B D G N R T W Y Z CC FF GG. Les tâches critiques sont celles qui forment ce chemin critique. (d) On utilise un modèle linéaire dont les variables de décision sont définies de la façon suivante
: x
s = moment où se produit l'événement s Acc
t = réduction (en jours) de la durée de la tâche t grâce à l'accélération, Solutions des problèmes 13 où t = A, B, C, D, E, F, G, AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG. L'objectif consiste à minimiser le coût total z d'accélération, où z = 200 (Acc
t 1 t = A, B, C, D, E, F, G, AA, BB, CC, DD, EE, FF, GG. Le coût z d'accélération minimal est de 700 dollars. Il existe plusieurs solutions optimales; l'une d'elles recommande d'accélérer les tâches D, G, CC, FF et GG de 1 période chacune. (e) Notons D la longueur du chemin critique mentionné en (c). Conformément à la convention mentionnée à la section 7.5 (voir page 400), on considérera que P(D
<
120) constitue un estimé valable de la probabilité pour que la durée du projet soit de moins de 120 périodes.
La valeur espérée de la variable D est égale à 105. Et, pourvu que l'on admette l'hypothèse standard que les durées des différentes tâches sont des variables aléatoires indépendantes, l'écart type σ
D est égal à 1,20185
: Var(D) = 13 ( 2/ 6 )
2 = 13 / 9 = 1,201852 . Il en résulte que P(D
<
120) = P(퐷−휇 퐷휎 퐷
<120−105 1,20185
) = P(Z
<
12,48) = 1. Par conséquent, il est presque assuré que le projet durera moins de 120 périodes. 15. Cheminée d'épuration. L'échéancier optimal pour la firme d'ingénieurs sera déterminé à partir du modèle linéaire suivant. Les variables de décision sont
: v
d = 1 si le projet dure d semaines x
s = moment où se produit l'événement s Acc
t = réduction (en semaines) de la durée de la tâche t grâce à l'accélération C : constante introduite pour tenir compte du coût total à durée normale. L'objectif consiste à maximiser les revenus nets (en 000 $) de la firme d'ingénieurs : Max z = Honor – Coût Solutions des problèmes 15 où Honor = 990 v