Td 4 filtrage numerique des images -Traitement d'image - Tél
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1. Transformée de Fourier Discrète Bidimensionnelle
La transformée de Fourier est un outil fondamental en traitement d'images, permettant d'analyser les fréquences spatiales présentes dans une image. Pour des images en niveaux de gris, on calcule leur transformée de Fourier pour observer la répartition des fréquences.
Il est intéressant de représenter la norme de la transformée de Fourier, car elle représente l'amplitude des fréquences spatiales de l'image. Pour la visualisation, on utilise une méthode qui permet d'utiliser toute la gamme dynamique de l'image. Une technique courante permet de recentrer les fréquences pour visualiser l'amplitude du contenu fréquentiel avec les basses fréquences au centre de l'image, ce qui est appelé le domaine principal.
La phase du contenu fréquentiel de l'image est plus difficile à appréhender. Afin de se rendre compte de l'importance de l'information contenue dans la phase, on peut manipuler les valeurs des images transformées. Par exemple, en annulant la phase de leurs coefficients, ou en donnant le même module à tous les coefficients. Une autre manipulation consiste à créer une image à partir de la phase d'une première image et du module d'une seconde image.
L'information portée par la phase de l'image semble nettement plus significative que celle portée par le module. En effet, la phase informe sur l'emplacement et l'orientation de tous les contours de l'image, alors que le module ne renseigne que sur l'intensité de ces contours.
2. Filtrage par Convolution et Transformée de Fourier
Le filtrage d'une image peut s'effectuer par convolution spatiale ou en passant par le domaine fréquentiel (transformée de Fourier). Pour un système ayant en entrée une image, et en sortie l'image après filtrage avec un certain filtre, plusieurs approches sont possibles.
Le filtrage par convolution est immédiat. Par exemple, l'application d'un filtre particulier peut créer un "flou horizontal" s'il s'agit d'un filtre passe-bas horizontal très prononcé. De même, un filtrage passe-bas vertical produira un flou vertical. Dans le cas d'un filtre isotrope, le résultat est un flou passe-bas uniforme.
Si on passe par le domaine fréquentiel, le filtrage s'obtient en calculant la transformée de Fourier de l'image et du filtre, en multipliant ces transformées, puis en effectuant une transformée de Fourier inverse pour revenir à l'image spatiale filtrée. Il est important de noter l'adjonction de zéros à la matrice de manière à respecter la taille de l'image d'entrée.
Des légères différences peuvent apparaître entre les résultats obtenus par les deux méthodes. Dans le domaine fréquentiel, lorsque le filtrage s'applique près des bords de l'image, l'image est répétée de part et d'autre (puisqu'on est dans le domaine de Fourier). Cet "effet de bords" est souvent visible. Dans le cas de la convolution, des zéros sont ajoutés à l'image originale (cette technique est appelée "padding" ou remplissage par zéros) lorsque le filtre s'approche des bords, créant un autre type d'effet de bords bien connu.
3. Filtrage d'une image par Laplacien
L'opérateur Laplacien discret bidimensionnel est un filtre très utile. Son application à une image permet la détection des contours. Le résultat obtenu après filtrage d'une image par le Laplacien met en évidence les lignes et les frontières.
Si l'on effectue la différence entre l'image originale et l'image ainsi filtrée par le Laplacien, on opère un "rehaussement" des contours de l'image originale, les rendant plus marqués et visibles.
La réponse fréquentielle du Laplacien peut être calculée et représentée. Cette réponse met en évidence comment le filtre affecte les différentes fréquences de l'image.
Remarque : si l'on tente de filtrer l'image via la transformée de Fourier avec le Laplacien, il faut tenir compte d'un point important concernant la représentation du filtre. En effet, les matrices ont généralement leur origine au premier élément de la première ligne. Il faut donc réarranger les éléments du filtre avant d'appliquer la transformée. Il faut également penser à ajouter des zéros lors de la transformée de Fourier pour un traitement correct.
FAQ - Questions Fréquentes
Qu'est-ce que la transformée de Fourier en traitement d'images ?
La transformée de Fourier permet de décomposer une image en ses différentes fréquences spatiales. Elle révèle comment les variations d'intensité se produisent dans l'image, ce qui est essentiel pour comprendre sa texture et ses motifs.
Quelle est l'importance de la phase par rapport au module dans la transformée de Fourier ?
Bien que le module de la transformée de Fourier indique l'intensité des différentes fréquences, la phase est cruciale car elle contient l'information sur l'emplacement précis et l'orientation des contours et des détails dans l'image. Sans la phase, une image reconstruite perdrait sa structure reconnaissable.
Pourquoi observe-t-on des "effets de bords" lors du filtrage d'images ?
Les effets de bords apparaissent car les opérations de filtrage (convolution ou traitement dans le domaine fréquentiel) nécessitent des informations au-delà des limites de l'image. Selon la méthode, cela peut être géré par la répétition de l'image (domaine de Fourier) ou l'ajout de zéros (convolution spatiale), ce qui peut introduire des artefacts visibles aux frontières de l'image.