Exercices td cryptologie chiffrement hill et affaiblissement
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Exercice 1
Considérons la fonction de chiffrement suivante : E(x) = (11x + 5) mod 26. Chiffrer le message m = CRYPTOLOGIE.
Notons m₁, m₂, ..., mₙ les lettres du message avec la correspondance usuelle entre lettres et chiffres : A = 0, B = 1, ..., Z = 25.
Exercice 2 : Temps nécessaire pour identifier un mot de passe
Un système est protégé par un mot de passe. Après un essai infructueux, le système attend 1 seconde avant de redemander.
Combien de temps faudra-t-il pour s’identifier dans les cas suivants ?
1) Un mot de passe composé de 5 chiffres.
2) Un mot de passe de 8 caractères.
3) Un mot du dictionnaire (le dictionnaire comporte 200 000 mots).
Exercice 3 : Chiffrement de Hill
Soit la matrice A = (5 8 17 5). En utilisant le déchiffrement de Hill, déchiffrer le message : OTHZZLWRMICW.
Solution de l’Exercice 1
Le message CRYPTOLOGIE correspond aux chiffres suivants :
C : 2, R : 17, Y : 24, P : 15, T : 19, O : 14, L : 11, O : 14, G : 6, I : 8, E : 4.
Chiffrement de chaque lettre :
E(2) = (11 × 2 + 5) mod 26 = 1 → B
E(17) = (11 × 17 + 5) mod 26 = 10 → K
E(24) = (11 × 24 + 5) mod 26 = 9 → J
E(15) = (11 × 15 + 5) mod 26 = 14 → O
E(19) = (11 × 19 + 5) mod 26 = 6 → G
E(14) = (11 × 14 + 5) mod 26 = 3 → D
E(11) = (11 × 11 + 5) mod 26 = 22 → W
E(14) = (11 × 14 + 5) mod 26 = 3 → D
E(6) = (11 × 6 + 5) mod 26 = 19 → T
E(8) = (11 × 8 + 5) mod 26 = 15 → P
E(4) = (11 × 4 + 5) mod 26 = 23 → X
Le cryptogramme est : BKJOGDWDTPX.
Solution de l’Exercice 2
1) Un mot de passe de 5 chiffres (0-9) donne 10⁵ = 100 000 combinaisons possibles. Avec un délai de 1 seconde par essai, le temps total serait de 100 000 secondes, soit environ 1 jour, 3 heures, 46 minutes et 40 secondes.
2) Pour 8 lettres minuscules (26 possibilités), il y a 26⁸ combinaisons, soit environ 208 827 064 576 combinaisons. Avec un délai de 1 seconde par essai, cela représente environ 6600 années.
Si l’on inclut les majuscules, chiffres et signes de ponctuation (77 caractères), le temps devient 77⁸ secondes, soit environ 4 × 10⁶ années.
3) Un dictionnaire de 200 000 mots nécessite 200 000 essais. Avec un délai de 1 seconde par essai, cela représente environ 2 jours et 7 heures.
Solution de l’Exercice 3
La matrice A = (5 8 17 5) est utilisée pour déchiffrer le message OTHZZLWRMICW.
Le déterminant de A est det(A) = -111 ≡ 19 mod 26. L’inverse de 19 mod 26 est 11.
La matrice inverse A⁻¹ est calculée comme suit :
com(A) = (5 -8 -17 5) → transposée et multipliée par l’inverse du déterminant.
La matrice A⁻¹ = (3 16 21 3).
Le message chiffré OTHZZLWRMICW correspond aux blocs suivants :
(14 19), (7 25), (11 22), (17 12), (8 16), (20 4).
Déchiffrement :
M₁ = (3 16 21 3) × (14 19) = (8 3) → I N
M₂ = (3 16 21 3) × (7 25) = (5 14) → F O
M₃ = (3 16 21 3) × (11 22) = (17 12) → R M
M₄ = (3 16 21 3) × (17 12) = (0 19) → A T
M₅ = (3 16 21 3) × (8 16) = (8 16) → I N
M₆ = (3 16 21 3) × (20 4) = (20 4) → U Q
Le message clair est : INFORMATIQUE.
FAQ
Comment fonctionne le chiffrement affine ?
Le chiffrement affine utilise une fonction linéaire de la forme E(x) = (ax + b) mod m, où a et b sont des clés et m est la taille de l’alphabet (26 pour l’alphabet latin). Chaque lettre est transformée en un chiffre selon sa position dans l’alphabet.
Quelle est la différence entre un mot de passe numérique et alphanumérique ?
Un mot de passe numérique utilise uniquement des chiffres (0-9), tandis qu’un mot de passe alphanumérique inclut des lettres (majuscules/minuscules), chiffres et signes de ponctuation, augmentant ainsi le nombre de combinaisons possibles.
À quoi sert le déterminant dans le chiffrement de Hill ?
Le déterminant permet de vérifier si une matrice est inversible. Pour déchiffrer un message, il faut que le déterminant soit inversible modulo 26, ce qui garantit l’existence d’une matrice inverse.