Ce document, destiné aux étudiants de 4ème année en Génie Informatique de l'Université M'hamed Bougara - Boumerdes, constitue un examen du module d'Analyse des Données. Il vise à évaluer la compréhension des concepts fondamentaux et des méthodes statistiques appliquées dans ce domaine.
Il couvre les notions suivantes :
- L'Analyse en Composantes Principales (ACP), incluant la détermination des vecteurs propres et l'interprétation des axes factoriels.
- La régression linéaire simple et multiple, avec l'estimation des coefficients par la méthode des moindres carrés, les tests de signification et le calcul du coefficient de détermination.
Examen Analyse des données Data mining
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Faculté des Sciences, Département d'Informatique
Examen de synthèse
- Durée : 02 H
- Documents : Non autorisés
- Module : Analyse des données
- Filière : Génie Informatique
- Année : 4ème (2005/2006)
- Responsable : A. BERRICHI
- Barème : Exercice 1 (12 points) ; Exercice 2 (8 points)
Exercice 01 : Analyse en Composante Principale
Trois voitures (v1, v2 et v3) ont été notées par six spécialistes auto (les individus) désignés par A, B, C, D, E, F. Les résultats ont été consignés dans un tableau R, non fourni ici.
- Montrer que les vecteurs u₁ = (2, -1, -1) et u₂ = (1, 1, 1) sont des vecteurs propres de la matrice à diagonaliser, relativement à deux valeurs propres λ₁ et λ₂ que l'on déterminera. En déduire la troisième valeur propre et le vecteur propre correspondant.
- Représenter le nuage des individus et des variables dans le plan d'inertie maximum. Interpréter le premier axe factoriel.
- Situer le nouveau spécialiste G (8, 1, 3) parmi les autres spécialistes sur le graphique précédent.
- Reconstituer de façon approchée le tableau de notes à partir du premier facteur.
Note : L'information est mesurée en termes d'inertie.
Exercice 02 : Régression Linéaire Multiple
Neuf observations de trois variables Y, X₁ et X₂ ont été effectuées. Les résultats, consignés dans un tableau de données, ne sont pas fournis dans ce document.
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On pose comme premier modèle : Y = β₀ + β₁X₁ + ε. Avec ε qui suit une loi normale N(0, σ²).
- Estimer β₁ et β₀.
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Devant ces résultats, on cherche à expliquer Y par X₁ et X₂ et l'on pose le modèle : Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ε.
- Montrer que le vecteur des coefficients β = (β₁, β₂)ᵀ peut être estimé par la formule : β = (XᶜᵀXᶜ)⁻¹XᶜᵀYᶜ et que le coefficient β₀ peut être estimé par : β₀ = Ȳ - X̄β (selon la méthode des Moindres Carrés).
- En déduire que β = Vxx⁻¹Vxy.
- Donner une estimation de β₁ et β₂. Tester leur signification au niveau α.
- Calculer le coefficient de détermination. Interpréter et comparer avec la question précédente.
Définitions et Notations :
- Ȳ : La moyenne de Y.
- X̄ : Le vecteur ligne des moyennes des variables X.
- Xᶜ : La matrice des données centrées.
- Yᶜ : Le vecteur des Y centrées.
- Vxx : La matrice de variances-covariances des variables X.
- Vxy : Le vecteur [cov(Y, X₁), cov(Y, X₂)]ᵀ.
Foire aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'Analyse en Composante Principale (ACP) ?
L'Analyse en Composante Principale (ACP) est une méthode statistique utilisée pour réduire la dimensionnalité d'un ensemble de données. Elle transforme des variables corrélées en un ensemble de variables non corrélées, appelées composantes principales, qui capturent la majeure partie de la variance des données.
Pourquoi le plan d'inertie maximum est-il important en ACP ?
Le plan d'inertie maximum est le plan formé par les deux premières composantes principales. Il est crucial car il contient la plus grande proportion de l'information (inertie) totale des données, permettant ainsi une visualisation optimale et une interprétation pertinente des relations entre les individus et les variables.
Quelle est la différence fondamentale entre la régression linéaire simple et multiple ?
La régression linéaire simple modélise la relation entre une variable dépendante et une seule variable explicative. En revanche, la régression linéaire multiple étend ce concept en modélisant la relation entre une variable dépendante et deux ou plusieurs variables explicatives, offrant ainsi une analyse plus complexe des facteurs influençant la variable cible.