Ce document, préparé par H. DOUZI, présente un corrigé d'exercices de travaux dirigés (TD) en méthodes numériques, spécifiquement destiné aux étudiants universitaires des filières SM4 et SMP4.
Il couvre les notions fondamentales suivantes :
- Les méthodes itératives pour la résolution des systèmes linéaires (Jacobi, Gauss-Seidel) ;
- Les approches pour la résolution des problèmes non linéaires ;
- L'analyse de l'ordre de convergence des méthodes numériques.
H. DOUZI Corrigé de TD n°3 SM4-SMP4 (2017) Méthodes itératives pour les systèmes linéaires
Exercice 1
1. Jacobi converge et Gauss-Seidel non convergente.
2. Ici, Gauss-Seidel converge et Jacobi non convergente.
Exercice 2
Méthodes pour les problèmes non linéaires
g(x) = x - ex / 3, donc g'(x) = 1 - ex / 3. Par conséquent, |g'(x)| < 1 si et seulement si x ∈ [1, log(6)].
Exercice 3
1. Ordre de convergence de la méthode 1
La méthode est d'ordre 1. Pour une méthode itérative xk+1 = g(xk) convergeant vers une racine α, l'ordre 1 est caractérisé par g'(α) ≠ 0. Le terme d'erreur est proportionnel à la puissance 1 de l'erreur précédente, ce qui indique une convergence linéaire.
2. Ordre de convergence de la méthode 2
La méthode est au moins d'ordre 2. Pour qu'une méthode itérative xk+1 = g(xk) soit d'ordre 2, il faut que g'(α) = 0 et g''(α) ≠ 0. Cela signifie que l'erreur décroît quadratiquement à chaque itération, ce qui conduit à une convergence plus rapide.
FAQ - Questions Fréquentes
Qu'est-ce que le rayon spectral et son rôle dans la convergence ?
Le rayon spectral d'une matrice d'itération (comme celles utilisées pour Jacobi ou Gauss-Seidel) est la plus grande valeur absolue de ses valeurs propres. Pour qu'une méthode itérative converge, le rayon spectral de sa matrice d'itération doit être strictement inférieur à 1.
Quelle est la distinction entre les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel ?
Ces deux méthodes sont des techniques itératives pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. La principale différence réside dans la manière dont elles utilisent les nouvelles valeurs calculées. Gauss-Seidel utilise immédiatement les composantes du vecteur solution nouvellement calculées pour les itérations suivantes au sein de la même étape, tandis que Jacobi utilise uniquement les valeurs de l'itération précédente.
Comment détermine-t-on l'ordre de convergence d'une méthode itérative ?
L'ordre de convergence d'une méthode itérative, comme xk+1 = g(xk), est déterminé par la première dérivée non nulle de g(x) évaluée à la racine α. Si g'(α) ≠ 0, la méthode est d'ordre 1 (linéaire). Si g'(α) = 0 et g''(α) ≠ 0, la méthode est d'ordre 2 (quadratique), et ainsi de suite. Un ordre plus élevé signifie généralement une convergence plus rapide.