Intelligence Artificielle AI - Prolog : Travaux Dirigés 1 – La Logique des Propositions
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Exercice 1
On considère un système logique qui est sain (consistant) mais pas complet. Que pensez-vous des deux affirmations suivantes, prises globalement :
a) Dans ce système, tout théorème est vrai.
b) Dans ce système, tout ce qui est vrai n’est pas forcément un théorème.
En utilisant les atomes Est_Theoreme et Est_Vrai, la représentation logique est :
Est_Theoreme → Est_Vrai et Est_Vrai → ¬Est_Theoreme.
Exercice 2
On considère les propositions atomiques B, R, C et S représentant respectivement les assertions :
- B : Angelina J. est belle.
- R : Angelina J. est riche.
- C : Angelina J. est célèbre.
- S : Nous vivons dans une société du paraître.
1. Traduction des propositions
a) ¬B : Angelina J. n’est pas belle.
b) ¬B ∧ ¬R : Angelina J. n’est ni belle ni riche.
c) ¬(B ∨ R) : Angelina J. n’est ni belle ni riche.
d) (B ∧ R) → C : Si Angelina J. est belle et riche, alors elle est célèbre.
e) C → (B ∨ R) : Si Angelina J. est célèbre, alors elle est belle ou riche.
f) S → (B ↔ C) : Si nous vivons dans une société du paraître, alors Angelina J. est belle si et seulement si elle est célèbre.
g) ((B ∨ R) ∧ ¬C) → ¬S : Si Angelina J. est belle ou riche mais pas célèbre, alors nous ne vivons pas dans une société du paraître.
2. Propositions où les parenthèses sont inutiles
Les propositions b et c.
Exercice 3
Ali, Hassan, Omar, Karim et Kamal ont été sélectionnés pour les Jeux Olympiques. Ils sont alignés sur un podium pour recevoir les félicitations du Ministère de sports.
Qui fait de la boxe ? Qui a eu une médaille d’or ?
Exercice 4
Traduire dans la logique des propositions les énoncés suivants :
- P ∧ S → A : S’il pleut (P) et que le soleil brille (S) en même temps, alors il y a un arc-en-ciel (A).
- V_ouest → P et ¬V_est ∨ ¬P : Si le vent d’ouest (V_ouest) amène la pluie (P), alors un vent d’est (V_est) n’est jamais porteur de pluie.
- T ∧ O → T et T ∧ O → O : Typhon (T) et ouragan (O) sont deux noms différents pour exprimer le même phénomène.
Exercice 5
Représenter dans le formalisme de la logique des propositions les théorèmes de géométrie suivants :
- Équilatéral(T) → Isocèle(T) : Si un triangle est équilatéral, alors il est isocèle.
- Rectangle(T) → ¬Équilatéral(T) : Un triangle rectangle n’est jamais équilatéral.
- Rectangle(R) → (Parallélogramme(R) ∧ Quadrilatère_rectangle(R)) : Un rectangle est à la fois un parallélogramme et un quadrilatère rectangle.
- Losange(L) → ¬(Quadrilatère_rectangle(Q) ∨ Triangle(T)) : Un losange n’est ni un quadrilatère rectangle ni un triangle.
- Coplanaires(D1, D2) → (Sécantes(D1, D2) ∨ Parallèles(D1, D2)) : Deux droites coplanaires sont soit sécantes, soit parallèles.
- Non_sécantes(D1, D2) ∧ Espace(R3) → (Parallèles(D1, D2) ∨ ¬Coplanaires(D1, D2)) : Dans l’espace R3, deux droites non sécantes sont parallèles ou non coplanaires.
- Non_sécantes(D1, D2) ∧ Plan(R2) → Parallèles(D1, D2) : Dans le plan R2, deux droites non sécantes sont parallèles.
- ¬(Sécantes(D1, D2) ∧ Parallèles(D1, D2)) : Deux droites ne peuvent être à la fois sécantes et parallèles.
Exercice 6
Traduire chacune des phrases suivantes en une formule du langage des propositions :
- ¬(M ∧ ¬B) : Il ne me rencontre jamais sans me dire bonjour (B).
- ¬B → F : Lorsqu’il ne me dit pas bonjour (¬B), c’est qu’il est fâché (F).
- F → ¬M : Il s’arrange pour ne jamais me rencontrer (¬M) lorsqu’il est fâché (F).
- B ∨ F : Ou bien on va se dire bonjour (B) ou bien il est fâché (F).
Exercice 7
Traduire chacune des phrases suivantes en une formule du langage des propositions :
- ¬(N ∧ S) : Parler de Nicolas Sarkozy (N) n’est pas la seule solution pour vendre un magazine (S).
- (N ∧ C) → V : Parler de Nicolas Sarkozy (N) et parler de Cecilia Sarkozy (C), voilà deux façons d’avoir une vente assurée (V).
- Changement_épouse(N) → ¬Augmentation_popularité(N) : Ce n’est pas parce que Nicolas Sarkozy a changé d’épouse que sa côte de popularité va augmenter.
Exercice 8
Représentation des informations en logique des propositions :
- Plat_du_jour(P) → Eau(E) : Si le client a commandé un plat du jour (P), on accompagnera le repas d’une carafe d’eau (E).
- (Menu_consequent(M) ∨ À_la_carte(C)) → Vin(V) : Si le client a demandé un menu plus conséquent (M) ou a commandé à la carte (C), on servira obligatoirement du vin (V).
- Vin(V) → (Blanc(B) ∨ Rosé(R) ∨ Rouge(Rg)) : Trois sortes de vins peuvent être servis : du blanc (B), du rosé (R) ou du rouge (Rg).
- Viande(Vt) → (Rouge(Rg) ∧ (Rosé(R) ∨ Blanc(B))) et Poisson(P) → (Blanc(B) ∧ ¬(Rouge(Rg) ∨ Rosé(R))) : Avec de la viande, on servira du vin rouge et du rosé ou du blanc avec le poisson.
Exercice 9
Traduction en logique des propositions :
- Fin_gisements(F) ∧ Hausse_conso_chinoise(H) → Cherté_pétrole(C) : La fin des gisements (F) et la hausse de la consommation chinoise (H) sont deux causes de la cherté du pétrole (C).
- Cherté_pétrole(C) → ¬Réduction_conso_chinoise(R) : Ce n’est pas parce que le pétrole sera plus cher (C) que les Chinois réduiront leur consommation (R).
- Ventes_frauduleuses(V) ∧ Cherté_pétrole(C) : Il va y avoir des ventes frauduleuses d’essence (V) et le pétrole reste cher (C).
- Cherté_pétrole(C) → Rouler_moins_vite(Rm) : C’est parce que le pétrole est cher (C) que les gens roulent moins vite (Rm).
- Baisse_prix_pétrole(Bp) → (Réduction_conso(Rc) ∨ Énergies_nouvelles(En)) : Pour que le prix du pétrole baisse (Bp), il faut réduire notre consommation (Rc) ou qu’on utilise les énergies nouvelles (En).
Exercice 10
Traduction en logique des propositions des affirmations d’Alphonse Oboulo :
- Grève(G) → (Retard(T) ∨ Annulé(A)) : En cas de grève (G), le train sera en retard (T) ou annulé (A).
- (¬Audition(¬Au) ∨ Rendez-vous_manqué(Rm)) → ¬Embauche(¬E) : Ne pas réussir l’audition (¬Au) et manquer le rendez-vous (Rm) sont les deux causes les plus sures de ne pas être embauché (¬E).
- Pré_sélection(Ps) ∧ Audition(Au) → Embauche(E) : Compte tenu de la pré-sélection (Ps), réussir à l’entretien (Au) est synonyme d’embauche (E).
- Retard(T) → Rendez-vous_manqué(Rm) : Qui dit train en retard (T) dit rendez-vous manqué (Rm).
- ¬Audition_manquée(¬Am) : Une chose est sûre, je ne raterai pas l’audition.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un système logique sain mais pas complet ?
Un système logique est dit sain (ou consistant) s’il ne contient pas de contradictions, c’est-à-dire que toutes ses formules sont vraies dans au moins un modèle. Il est dit non complet s’il existe des formules qui ne sont ni théoriques (démontrées) ni contradictoires dans ce système.
2. Pourquoi les parenthèses sont-elles parfois inutiles en logique des propositions ?
Les parenthèses sont inutiles lorsque l’ordre des opérations est clairement défini par la priorité des connecteurs logiques (¬, ∧, ∨, →, ↔). Par exemple, ¬B ∧ ¬R n’a pas besoin de parenthèses car la négation a une priorité plus élevée que la conjonction.
3. Comment traduire une implication logique en français ?
Une implication P → Q se traduit en français par : « Si P alors Q ». Elle signifie que Q est vrai chaque fois que P est vrai, mais ne précise pas ce qui se passe lorsque P est faux.