Probabilités et Statistiques : Chapitre10 Probabilites conditionnelles Loi binomiale
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Ce document présente une série d'exercices de mathématiques pour les élèves de Terminale S, axés sur les probabilités conditionnelles et la loi binomiale.
Révisions de probabilités
Exercice 1
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 2
Détails de l'exercice manquant.
Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre événement s'est déjà produit. Elles sont fondamentales pour l'analyse de situations dépendantes.
Exercice 3
Un groupe d’élèves d’une classe de Terminale S souhaite organiser un concert de musique au lycée. Une enquête est réalisée pour connaître le nombre d’élèves désirant assister à ce concert. 450 élèves ont répondu à cette enquête : 270 filles et 180 garçons. Parmi eux, 144 filles et 72 garçons sont favorables à l'idée du concert. On note :
- F : l’événement « la fiche est celle d’une fille »
- G : l’événement « la fiche est celle d’un garçon »
- A : l’événement « l’élève souhaite assister au concert »
- A̅ : l’événement complémentaire de A (l'élève ne souhaite pas assister au concert)
- Dresser un arbre de probabilité.
- On tire une fiche au hasard parmi les 450 fiches réponses. Donner les probabilités P(G), P(A), P(A∩G) et P(A∪G).
- Les événements G et A sont-ils indépendants ?
- Calculer la probabilité P(F∩A) puis P(A|F).
- Calculer les probabilités des événements « A sachant G » et « G sachant A ».
- Compléter l’arbre des probabilités.
- Donner les probabilités suivantes : P(F∩A) et P(G∩A). En déduire P(A) de deux manières différentes.
Exercice 4
Lors d’une enquête réalisée auprès de familles d’une région concernant leur habitation principale, on apprend que 55% des familles interrogées sont propriétaires de leur logement, 40% en sont locataires et enfin 5% occupent leur logement gratuitement (ces familles seront appelées par la suite « occupants à titre gratuit »). Toutes les familles interrogées habitent soit une maison individuelle, soit un appartement ; toute habitation ne contient qu’une seule famille.
De plus, 60% des propriétaires habitent une maison individuelle, 80% des locataires habitent un appartement et enfin 10% des occupants à titre gratuit habitent une maison individuelle.
On interroge au hasard une famille de la région et on note :
- A : l’événement « la famille habite un appartement »
- L : l’événement « la famille est locataire »
- P : l’événement « la famille est propriétaire »
- G : l’événement « la famille occupe à titre gratuit »
Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies au millième.
-
a. Construire un arbre pondéré résumant la situation.
b. Préciser à l’aide de l’énoncé les probabilités suivantes : P(A|P), P(A|L) et P(A|G).
- Calculer la probabilité de l’événement « la famille est propriétaire et habite un appartement ».
- Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0,585.
- On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilité pour qu’elle en soit propriétaire.
Exercice 5
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 6
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 7
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 8
Détails de l'exercice manquant.
Loi binomiale
La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors d'une succession d'expériences aléatoires indépendantes et identiques (appelées épreuves de Bernoulli), n'ayant que deux issues possibles (succès ou échec). Elle est caractérisée par deux paramètres : n (le nombre d'épreuves) et p (la probabilité de succès pour une épreuve).
Exercice 9
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 10
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 11
Détails de l'exercice manquant.
Problèmes de synthèse
Cette section regroupe des exercices combinant plusieurs notions de probabilités, permettant d'appliquer les concepts étudiés dans des contextes plus complexes.
Exercice 12
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 13
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 14
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 15
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 16
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 17
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 18
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de 1/50 ou bien ne rien gagner. G désigne l’événement « le joueur gagne au grattage ». G̅ désigne l'événement « le joueur ne gagne rien au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. À cette loterie, il peut gagner 100 euros ou 200 euros ou bien ne rien gagner. L1 désigne l’événement « le joueur gagne 100 euros à la loterie ». L2 désigne l’événement « le joueur gagne 200 euros à la loterie ». R désigne l’événement « le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n’a rien gagné au grattage (G̅), la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est 1/70 et la probabilité qu’il gagne 200 euros à la loterie est 1/490.
-
a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
b. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.
c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.
- On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet. La probabilité de l’événement « X=90 » est 2/125. La probabilité de l’événement « X=190 » est 1/250.
a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 € à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage est égale à 1/10.
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage.
c. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique de X.
Exercice 19
Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :
- un disque A de rayon 1 cm.
- 8 secteurs S1, S2, ..., S8 de même aire délimités par les frontières du disque A et d'un disque A’ de même centre et de rayon 9 cm.
- une zone R entre le disque A’ et le bord du carré.
On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l’aire de cette zone.
-
a. Déterminer la probabilité P(A) pour que le point soit placé dans le disque A.
b. Déterminer la probabilité P(S1) pour que le point soit placé dans le secteur S1.
- Pour cette question 2, on utilisera les valeurs approchées suivantes : P(A)=0,008 et, pour tout k appartenant à {1, 2, ..., 8}, P(Sk)=0,0785.
À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :
- un point placé dans le disque A fait gagner 10 euros.
- un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k appartenant à {1, 2, ..., 8}.
- un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu. Calculer la probabilité P(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l’espérance de X.
Exercice 20
Détails de l'exercice manquant.
Exercice 21
Détails de l'exercice manquant.
Annales du baccalauréat
Cette section propose des exercices tirés d'annales du baccalauréat, offrant une préparation concrète aux examens.
Exercice 22
Source : Antilles-Guyane, 19 Juin 2014.
Détails de l'exercice manquant.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?
Une probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un événement A se réalise sachant qu'un autre événement B s'est déjà produit. Elle est notée P(A|B) et se calcule par P(A∩B) / P(B), à condition que P(B) soit non nulle.
Quand utilise-t-on la loi binomiale ?
La loi binomiale est utilisée pour modéliser le nombre de succès dans une série de n expériences de Bernoulli indépendantes, où chaque expérience a deux issues possibles (succès ou échec) avec une probabilité de succès p constante pour chaque essai.
Quelle est la différence entre P(A∩B) et P(A|B) ?
P(A∩B) représente la probabilité que les événements A ET B se produisent simultanément. P(A|B) représente la probabilité que l'événement A se produise ÉTANT DONNÉ que l'événement B s'est déjà produit. C'est une probabilité "mise à jour" à la lumière de l'information que B est vraie.