Examen session printemps smc4 m26 probabilités - probabilité

Probabilités et Statistiques : Examen Session printemps SMC4 M26 probabilités

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Université Ibn ZohrAnnée universitaire

2015/2016 Faculté des Sciences d’Agadir Filières : SMC Dépt. de Mathématiques Semestre : 4 Pr. Mostafa ELYASSA Juin 2016 Examen Session printemps SMC4-M26 : probabilités Durée : 1h30 I. ................................................................................................................................................................ (4 points) La durée de vie d'une particule radioactive peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Notons X la durée de vie exprimée en milliers d'années d'une particule de carbone 14, élément radioactif de demi-vie 5 700 ans (5,7 milliers d’années). a. Déterminer le paramètre ࣅ de la loi exponentielle suivie par X. En déduire la durée de vie moyenne en année d’une particule de carbone 14. (On arrondira la valeur de ߣ à 10ିସ ) b. Quelle est la probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000 ans ? c. Sachant qu'une particule de carbone 14 ne s'est pas désintégrée au bout de 5 000 ans, quelle est la probabilité qu'elle ne se désintègre pas dans les 10 000 années suivantes. d. Au bout de combien d'années cette particule se désintègre-elle avec une probabilité de 0,95 ? II. ................................................................................................................................................................ (5 points) Soit ܺ une variable aléatoire admettant une densité sous la forme : ࢌሺ ࢞ሻ ൌ൝૛ࡷ ࢞ି

∈࢞ ܑܛ,ሾ ૙ ,૚ሿ ૙

࢔࢕࢔࢏࢙ ,

a. Calculer la valeur de K. b. Déterminer la fonction de répartition de X. c. Calculer la valeur de ݉ tel que P

ሺ X ൑mሻ ൌ0,5. d. Calculer l’espérance de .ܺ III. (Dans cet exercice toutes les valeurs doivent être calculées à 10

ିସ près) ................................ (11 points) Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques par deux machines de production A et B. L'entreprise considère qu'une bille est conforme lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm. Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants :  96 % de la production totale est conforme.  La machine A produit 60 % de la production.  98% des billes produits par la machine A sont conformes. On définit les événements suivants : ࡭ = « la bille est fabriquée par la machine A » ; ࡮ = « la bille est fabriquée par la machine B » ; ࡯ = « la bille est conforme ». Partie A. (4pts) a. Calculer ሻ࡮∩࡯ሺࡼ. b. En déduire la proportion de billes conformes parmi la production de la machine ࡮. c. Montrer que 70 % des billes non conforme proviennent de la machine ࡮. Partie B. (4pts) On choisit au hasard un lot de ૚૙૙ billes. On appelle ࢅla variable aléatoire dont la valeur correspond au nombre de billes non conformes dans cet échantillon. a. Quelle est la loi de probabilité ܇ ? Quelles sont sa moyenne et sa variance ? b. Calculer la probabilité d’avoir au plus une bille non conforme dans le lot. c. Par quelle loi peut-on approximer de la loi de ࢅ ? Utiliser cette approximation pour calculer la probabilité d’avoir au moins 96% de billes conformes. Partie C. (3pts) Pour réduire le nombre de billes non conformes, l’entreprise modifie le réglage de la machine ࡮. Sous ce nouveau réglage la machine ࡮ produit des billes dont le diamètre est une variable aléatoire ࢄ qui suit une loi normale d'espérance μൌ૙,ૢૢ et d'écart-type ࣌ൌ ૙,૙૝. a. Quelle est la probabilité qu’une bille fabriquée par la machine ܤ soit conforme ? b. Recalculer le pourcentage des billes conformes dans la production totale ? Fonction de r ́epartition de la loi normale centr ́ee r ́eduite

(probabilit ́e F(z) de trouver une valeur inf ́erieure `a z)

z0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09

0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359

0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753

0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141

0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517

0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879

0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224

0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549

0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852

0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133

0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389

1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621

1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830

1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015

1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177

1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319

1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441

1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545

1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633

1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706

1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767

2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817

2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857

2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890

2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,99162,4 0,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936

2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952

2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964

2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974

2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981

2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986

Table pour les grandes valeurs de z

z3,03,13,23,33,43,53,63,73,83,9

F(z)0,9986500,9990320,9993130,9995170,9996630,9997670,9998410,9998920,9999280,999952

z4,04,14,24,34,44,54,64,74,84,9

F(z)0,9999680,9999790,9999870,9999910,9999950,9999970,9999980,9999990,9999991,000000