Probabilités et Statistiques : Examen Session printemps SMC4 M26 probabilités
Télécharger PDFExercice 1 : Modélisation de la durée de vie radioactive avec la loi exponentielle
La durée de vie d'une particule radioactive peut être modélisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Soit X la durée de vie, exprimée en milliers d'années, d'une particule de carbone 14, un élément radioactif dont la demi-vie est de 5 700 ans (soit 5,7 milliers d'années).
Questions :
- Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle suivie par X. En déduire la durée de vie moyenne, en années, d'une particule de carbone 14. (Arrondir la valeur de λ à 10-4).
- Quelle est la probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000 ans ?
- Sachant qu'une particule de carbone 14 ne s'est pas désintrégrée au bout de 5 000 ans, quelle est la probabilité qu'elle ne se désintègre pas dans les 10 000 années suivantes ?
- Au bout de combien d'années cette particule se désintègre-t-elle avec une probabilité de 0,95 ?
Exercice 2 : Étude d'une variable aléatoire continue
Soit X une variable aléatoire continue admettant une fonction de densité f(x) définie comme suit :
f(x) = 2Kx si x ∈ [0, 1]
f(x) = 0 sinon
Questions :
- Calculer la valeur de K.
- Déterminer la fonction de répartition F(x) de X.
- Calculer la valeur de m telle que P(X ≤ m) = 0,5.
- Calculer l'espérance de X, E(X).
Exercice 3 : Contrôle qualité et probabilités en production industrielle
Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques à l'aide de deux machines de production, A et B. Une bille est considérée conforme si son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm.
Une étude du fonctionnement des machines a révélé les informations suivantes :
- 96 % de la production totale est conforme.
- La machine A produit 60 % de la production totale.
- 98 % des billes produites par la machine A sont conformes.
Les événements sont définis comme suit :
- A = « la bille est fabriquée par la machine A »
- B = « la bille est fabriquée par la machine B »
- C = « la bille est conforme »
Partie A : Probabilités conditionnelles
- Calculer P(B ∩ C).
- En déduire la proportion de billes conformes parmi la production de la machine B.
- Montrer que 70 % des billes non conformes proviennent de la machine B.
Partie B : Loi binomiale et approximation
On choisit au hasard un lot de 100 billes. Soit Y la variable aléatoire correspondant au nombre de billes non conformes dans cet échantillon.
- Quelle est la loi de probabilité de Y ? Quelles sont sa moyenne et sa variance ?
- Calculer la probabilité d'avoir au plus une bille non conforme dans le lot.
- Par quelle loi peut-on approximer la loi de Y ? Utiliser cette approximation pour calculer la probabilité d'avoir au moins 96% de billes conformes.
Partie C : Amélioration de la production avec la loi normale
Afin de réduire le nombre de billes non conformes, l'entreprise modifie le réglage de la machine B. Avec ce nouveau réglage, la machine B produit des billes dont le diamètre est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance μ = 0,99 et d'écart-type σ = 0,04.
- Quelle est la probabilité qu'une bille fabriquée par la machine B soit conforme ?
- Recalculer le pourcentage des billes conformes dans la production totale.
Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Cette table fournit la probabilité F(z) = P(Z ≤ z) pour une variable aléatoire Z suivant une loi normale centrée réduite N(0, 1), c'est-à-dire la probabilité de trouver une valeur inférieure ou égale à z.
| z | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0 | 0,5000 | 0,5040 | 0,5080 | 0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 0,5239 | 0,5279 | 0,5319 | 0,5359 |
| 0,1 | 0,5398 | 0,5438 | 0,5478 | 0,5517 | 0,5557 | 0,5596 | 0,5636 | 0,5675 | 0,5714 | 0,5753 |
| 0,2 | 0,5793 | 0,5832 | 0,5871 | 0,5910 | 0,5948 | 0,5987 | 0,6026 | 0,6064 | 0,6103 | 0,6141 |
| 0,3 | 0,6179 | 0,6217 | 0,6255 | 0,6293 | 0,6331 | 0,6368 | 0,6406 | 0,6443 | 0,6480 | 0,6517 |
| 0,4 | 0,6554 | 0,6591 | 0,6628 | 0,6664 | 0,6700 | 0,6736 | 0,6772 | 0,6808 | 0,6844 | 0,6879 |
| 0,5 | 0,6915 | 0,6950 | 0,6985 | 0,7019 | 0,7054 | 0,7088 | 0,7123 | 0,7157 | 0,7190 | 0,7224 |
| 0,6 | 0,7257 | 0,7291 | 0,7324 | 0,7357 | 0,7389 | 0,7422 | 0,7454 | 0,7486 | 0,7517 | 0,7549 |
| 0,7 | 0,7580 | 0,7611 | 0,7642 | 0,7673 | 0,7704 | 0,7734 | 0,7764 | 0,7794 | 0,7823 | 0,7852 |
| 0,8 | 0,7881 | 0,7910 | 0,7939 | 0,7967 | 0,7995 | 0,8023 | 0,8051 | 0,8078 | 0,8106 | 0,8133 |
| 0,9 | 0,8159 | 0,8186 | 0,8212 | 0,8238 | 0,8264 | 0,8289 | 0,8315 | 0,8340 | 0,8365 | 0,8389 |
| 1,0 | 0,8413 | 0,8438 | 0,8461 | 0,8485 | 0,8508 | 0,8531 | 0,8554 | 0,8577 | 0,8599 | 0,8621 |
| 1,1 | 0,8643 | 0,8665 | 0,8686 | 0,8708 | 0,8729 | 0,8749 | 0,8770 | 0,8790 | 0,8810 | 0,8830 |
| 1,2 | 0,8849 | 0,8869 | 0,8888 | 0,8907 | 0,8925 | 0,8944 | 0,8962 | 0,8980 | 0,8997 | 0,9015 |
| 1,3 | 0,9032 | 0,9049 | 0,9066 | 0,9082 | 0,9099 | 0,9115 | 0,9131 | 0,9147 | 0,9162 | 0,9177 |
| 1,4 | 0,9192 | 0,9207 | 0,9222 | 0,9236 | 0,9251 | 0,9265 | 0,9279 | 0,9292 | 0,9306 | 0,9319 |
| 1,5 | 0,9332 | 0,9345 | 0,9357 | 0,9370 | 0,9382 | 0,9394 | 0,9406 | 0,9418 | 0,9429 | 0,9441 |
| 1,6 | 0,9452 | 0,9463 | 0,9474 | 0,9484 | 0,9495 | 0,9505 | 0,9515 | 0,9525 | 0,9535 | 0,9545 |
| 1,7 | 0,9554 | 0,9564 | 0,9573 | 0,9582 | 0,9591 | 0,9599 | 0,9608 | 0,9616 | 0,9625 | 0,9633 |
| 1,8 | 0,9641 | 0,9649 | 0,9656 | 0,9664 | 0,9671 | 0,9678 | 0,9686 | 0,9693 | 0,9699 | 0,9706 |
| 1,9 | 0,9713 | 0,9719 | 0,9726 | 0,9732 | 0,9738 | 0,9744 | 0,9750 | 0,9756 | 0,9761 | 0,9767 |
| 2,0 | 0,9772 | 0,9778 | 0,9783 | 0,9788 | 0,9793 | 0,9798 | 0,9803 | 0,9808 | 0,9812 | 0,9817 |
| 2,1 | 0,9821 | 0,9826 | 0,9830 | 0,9834 | 0,9838 | 0,9842 | 0,9846 | 0,9850 | 0,9854 | 0,9857 |
| 2,2 | 0,9861 | 0,9864 | 0,9868 | 0,9871 | 0,9875 | 0,9878 | 0,9881 | 0,9884 | 0,9887 | 0,9890 |
| 2,3 | 0,9893 | 0,9896 | 0,9898 | 0,9901 | 0,9904 | 0,9906 | 0,9909 | 0,9911 | 0,9913 | 0,9916 |
| 2,4 | 0,9918 | 0,9920 | 0,9922 | 0,9925 | 0,9927 | 0,9929 | 0,9931 | 0,9932 | 0,9934 | 0,9936 |
| 2,5 | 0,9938 | 0,9940 | 0,9941 | 0,9943 | 0,9945 | 0,9946 | 0,9948 | 0,9949 | 0,9951 | 0,9952 |
| 2,6 | 0,9953 | 0,9955 | 0,9956 | 0,9957 | 0,9959 | 0,9960 | 0,9961 | 0,9962 | 0,9963 | 0,9964 |
| 2,7 | 0,9965 | 0,9966 | 0,9967 | 0,9968 | 0,9969 | 0,9970 | 0,9971 | 0,9972 | 0,9973 | 0,9974 |
| 2,8 | 0,9974 | 0,9975 | 0,9976 | 0,9977 | 0,9977 | 0,9978 | 0,9979 | 0,9979 | 0,9980 | 0,9981 |
| 2,9 | 0,9981 | 0,9982 | 0,9982 | 0,9983 | 0,9984 | 0,9984 | 0,9985 | 0,9985 | 0,9986 | 0,9986 |
Table complémentaire pour les grandes valeurs de z
| z | F(z) |
|---|---|
| 3,0 | 0,998650 |
| 3,1 | 0,999032 |
| 3,2 | 0,999313 |
| 3,3 | 0,999517 |
| 3,4 | 0,999663 |
| 3,5 | 0,999767 |
| 3,6 | 0,999841 |
| 3,7 | 0,999892 |
| 3,8 | 0,999928 |
| 3,9 | 0,999952 |
| 4,0 | 0,999968 |
| 4,1 | 0,999979 |
| 4,2 | 0,999987 |
| 4,3 | 0,999991 |
| 4,4 | 0,999995 |
| 4,5 | 0,999997 |
| 4,6 | 0,999998 |
| 4,7 | 0,999999 |
| 4,8 | 0,999999 |
| 4,9 | 1,000000 |
Foire Aux Questions (FAQ) sur les Probabilités et les Lois Statistiques
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Une variable aléatoire est une fonction qui associe une valeur numérique à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier des événements incertains, comme la durée de vie d'une particule ou le nombre de défauts dans un lot de production.
Quand utilise-t-on une loi exponentielle ?
La loi exponentielle est souvent utilisée pour modéliser la durée de vie de systèmes ou de phénomènes sans "vieillissement", c'est-à-dire dont la probabilité de défaillance future est indépendante de leur âge actuel (propriété d'absence de mémoire). Par exemple, elle est appropriée pour la durée de vie de composants électroniques ou de particules radioactives.
Pourquoi approximer une loi binomiale par une loi normale ?
La loi binomiale, qui décrit le nombre de succès dans une série d'essais indépendants, peut être difficile à calculer pour de grands nombres d'essais (n élevé). Lorsque n est grand et que la probabilité de succès p n'est pas trop proche de 0 ou 1 (généralement np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5), la loi normale offre une bonne approximation qui simplifie les calculs tout en restant précise.