Probabilités et Statistiques : TD série 1 SMC4‐M26 probabilités et statistiques
Télécharger PDFCet article propose une série d'exercices corrigés en analyse combinatoire et probabilités, des concepts fondamentaux en statistique et en mathématiques appliquées. Ces exercices couvrent le dénombrement, les probabilités d'événements simples et composés, les probabilités conditionnelles et l'indépendance.
Analyse Combinatoire
Exercice 1
À l'oral d'un examen, un étudiant doit choisir 8 questions sur 10.
a) Combien de choix y a-t-il ?
b) Combien de choix y a-t-il si les trois premières questions sont obligatoires ?
c) Combien de choix y a-t-il s'il doit choisir au moins 3 questions parmi les 4 premières ?
Exercice 2
Soit A l'ensemble des nombres à 7 chiffres significatifs et ne comportant aucun 1.
a) Déterminer le nombre d'éléments de l'ensemble A.
b) Calculer le nombre d'éléments de l'ensemble A ayant 7 chiffres différents.
c) Déterminer le nombre d'éléments pairs de l'ensemble A. (Indication : un nombre est pair si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8).
Exercice 3
On souhaite ranger sur une étagère 15 livres différents : 4 de mathématiques, 6 de physique et 5 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement :
a) si les livres peuvent être mélangés ;
b) si les livres doivent être groupés par matières ;
c) si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ;
Probabilités
Exercice 1
Soit (Ω, A) un espace probabilisable et trois événements A, B et C de A. Traduire à l'aide des opérations sur les ensembles les expressions pour les événements suivants :
a) A seul se réalise ;
b) A et C se réalisent mais pas B ;
c) au moins l'un des trois événements se réalise ;
d) au moins deux des trois événements se réalisent ;
e) les trois événements se réalisent ;
f) aucun ne se réalise ;
g) au plus l'un des trois se réalise ;
h) au plus deux des trois se réalisent ;
Exercice 2
Soit A et B deux événements, d'un même espace de probabilité (Ω, A, P), tels que :
P(A) = 2/3
P(B) = 1/3
P(A ∩ B) = 1/4
a) Calculer la valeur de la probabilité conditionnelle de A sachant B et celle de B sachant A.
b) Quelle est la probabilité qu'exactement un des deux événements se réalise ?
Exercice 3
Soit A, B et C trois événements, d'un même espace de probabilité (Ω, A, P), tels que :
P(A) = 2/5
P(C) = 1/2
P(A ∪ B) = 3/4
P(A|B) = 3/10
P(A|C) = 1/4
a) Calculer la valeur de P(C|A).
b) Calculer la valeur de P(A|C̅).
c) Calculer la valeur de P(B).
Exercice 4
Une entreprise fabrique des vêtements de sport pouvant présenter un défaut de tissu ou un défaut de couture (un vêtement peut avoir les deux défauts) :
- la probabilité que le tissu présente un défaut est 0,010 ;
- la probabilité d'un défaut de couture est 0,020.
On suppose que les deux défauts sont indépendants.
a) On note :
- DT l'événement « le vêtement a un défaut de tissu »,
- DC l'événement « le vêtement présente un défaut de couture ».
i) Calculer la probabilité qu'un vêtement ait les deux défauts.
ii) Calculer la probabilité qu'un vêtement ait un et un seul défaut.
iii) Calculer la probabilité qu'un vêtement soit sans défaut.
Exercice 5
Un laboratoire d'analyse chimique reçoit un lot de tubes à essai. Ces tubes sont fournis par trois sociétés différentes A, B et C dans les proportions suivantes : 50%, 30% et 20%.
2% des tubes fabriqués par A, 3% de ceux fabriqués par B et 4% de ceux fabriqués par C présentent des défauts.
On choisit au hasard un tube à essai dans le lot reçu.
a) Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ?
b) Sachant que le tube choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne de la société A ?
Exercice 6
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
- la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ;
- s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;
- s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.
On note, pour tout entier naturel n non nul :
- Gn l'événement « le joueur gagne la nième partie » ;
- pn la probabilité de l'événement Gn : pn = P(Gn).
a) Calculer la valeur de p2.
b) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
c) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
d) Calculer la valeur de pn+1 en fonction de pn (relation de récurrence).
e) Montrer que vn = (3/4 - pn) est une suite géométrique. En déduire la convergence de la suite (pn)n et la valeur de sa limite.
FAQ - Questions Fréquemment Posées
Qu'est-ce que l'analyse combinatoire ?
L'analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie les différentes manières d'organiser, de disposer ou de sélectionner des éléments d'un ensemble, souvent pour dénombrer des possibilités sans les énumérer toutes. Elle est fondamentale en probabilités et en informatique.
Quelle est la différence entre probabilité conditionnelle et événements indépendants ?
La probabilité conditionnelle P(A|B) est la probabilité que l'événement A se produise sachant que l'événement B s'est déjà produit. Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire si P(A|B) = P(A) et P(B|A) = P(B). Dans ce cas, P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Quand utilise-t-on le théorème de Bayes ?
Le théorème de Bayes est utilisé pour calculer la probabilité conditionnelle d'un événement en fonction d'une connaissance a priori d'autres événements. Il est particulièrement utile lorsque l'on souhaite mettre à jour une probabilité à la lumière de nouvelles preuves, par exemple pour le diagnostic médical ou la détection de spam. Il permet de calculer P(A|B) à partir de P(B|A).