Probabilités et Statistiques : TD série 1 SMC4‐M26 probabilités et statistiques
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Télécharger packUniversité Ibn Zohr Année universitaire 2015/2016 Faculté des Sciences‐Agadir SMC4‐M26 : Probabilités et Statistiques Dépt. de Mathématiques
Pr. Mostafa ELYASSA février 2016 TD : série 1 SMC4‐M26 : probabilités et statistiques Analyse combinatoire 1) A l’oral d’un examen, un étudiant doit choisir 8 questions sur 10. a) Combien de choix y-a-t-il ? b) Combien de choix y-a-t-il, si les trois premières questions sont obligatoires ? c) Combien de choix y-a-t-il, s’il doit choisir au moins 3 questions parmi les 4 premières ? 2) Soit A l'ensemble des nombres à 7 chiffres significatifs et ne comportant aucun 1. a) Déterminer le nombre d'éléments de l’ensemble ܣ. b) Calculer le nombre d'éléments de l’ensemble ܣ ayant 7 chiffres différents. c) Déterminer le nombre d'éléments pairs de l’ensemble ܣ. (ind. : un nombre est pair si son chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8). 3) On souhaite ranger sur une étagère 15 différents livres : 4 de mathématiques, 6 de physique, et 5 livres de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement : a) si les livres peuvent être mélangés ; b) si les livres doivent être groupés par matières ; c) si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés ; Probabilités 1) Soit ሺષ,ऐ ሻ un espace de probabilisable et trois événements A, B et C de ऐ. Traduire à l’aide des opérations sur les ensembles les expressions pour les événements suivants : a) A seul se réalise ; b) A et C se réalisent mais pas B ; c) au moins l’un des trois événements se réalise ; d) au moins deux des trois événements se réalisent ; e) les trois événements se réalisent ; f) aucun ne se réalise ; g) au plus l’un des trois se réalise ; h) au plus deux des trois se réalisent ; 2) Soit et deux évènements, d’un même espace de probabilité ሺષ,ऐ,ࡼሻ, tels que : 211, 334
PAPBetPAB
. a) Calculer la valeur de la probabilité conditionnelle de sachant et celle de sachant . b) Quelle est la probabilité qu’exactement un des deux évènements se réalise ? 2) Soit A, B et C trois évènements, d’un même espace de probabilité (ሺષ,ऐ,ࡼሻ,, tels que : ܲ ሺܣ ሻ
ൌ 2 5⁄ ܲ,ሺ ܥሻ ൌ 1 2⁄ ܲ, ሺܤ∪ܣ ሻൌ34 ⁄
ܲ, ሺܣ/ܤ ሻൌ310 ⁄
ܲ ݐ݁ ሺܣ/ܥ ሻൌ14 ⁄ . a) Calculer la valeur de ܣ൫ܲ
൯ܥ/ . b) Calculer la valeur de ܣ൫ܲ/ ഥ ൯ c) Calculer la valeur de ሻܤሺܲ . Université Ibn Zohr Année universitaire 2015/2016 Faculté des Sciences‐Agadir SMC4‐M26 : Probabilités et Statistiques Dépt. de Mathématiques
Pr. Mostafa ELYASSA février 2016 3) Une entreprise fabrique des vêtements de sport pouvant présenter un défaut de tissu ou un défaut de couture (un vêtement peut avoir les deux défauts) : - la probabilité que le tissu présente un défaut est 0,010 ; - la probabilité d'un défaut de couture est 0,020. On suppose que les deux défauts sont indépendants. a) On note : - DT l’événement « le vêtement a un défaut de tissu », - DC l’évènement « le vêtement présente un défaut de couture ». i) Calculer la probabilité qu'un vêtement ait les deux défauts. ii) Calculer la probabilité qu'un vêtement ait un et un seul défaut. iii) Calculer la probabilité qu'un vêtement soit sans défaut. 4) Un laboratoire d’analyse chimique reçoit un lot de tubes à essai. Ces tubes sont fournis par trois sociétés différentes ࢚ࢋ , dans les proportions suivantes : 50%, 30% et 20%. 2% des tubes fabriqués par A, 3% de ceux fabriqués par B et 4% de ceux fabriqués par C présentent des défauts. On choisit au hasard un tube à essai dans le lot reçu. a) Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? b) Sachant que le tube choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de la société A ? 5) Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ; s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6 . On note, pour tout entier naturel n non nul : ࡳ
l'événement « le joueur gagne la nième partie » ;
la probabilité de l'événement ܩ : ܩሺܲൌ ሻ . a) Calculer la valeur de ଶ . b) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. c) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. d) Calculer la valeur de ାଵ en fonction de
(relation de récurrence). e) Montrer que ݒ ൌቀ ଷସ െ ቁ est une suite géométrique. En déduire la convergence de la suite ሺ ሻ et la valeur de sa limite.