Mécanique des Fluides : Exercices dynamique des fluides parfaits
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Exercice 3.1 : Débit
Un ascenseur hydraulique de 1500 kg doit être élevé à la vitesse v = 0,2 m/s. La distribution de l’eau se fait sous une pression p = 3 × 10⁶ Pa.
a) Quel est le volume d’eau dépensé par seconde ?
Les forces pressantes (pS) du piston hydraulique, de section S, s’opposent au poids (Mg) de l’ascenseur. La puissance mise en jeu, pendant l’ascension, est le produit de la force résultante par la vitesse :
P = pSv = pD = Mgv
D’où le débit D = (Mgv) / p et D = 10⁻³ m³/s.
b) Quelle est la vitesse de cette eau dans la conduite d’arrivée si celle-ci a une section de 20 cm² ? (g = 10 m/s²)
Le débit est le même dans tout le circuit hydraulique. La vitesse v' dans la conduite d’arrivée, de section S', est donnée par :
D = S'v' ⇒ v' = D / S'
Soit v' = 0,5 m/s.
Exercice 3.2 : Théorème de Bernoulli
Dans une canalisation horizontale de section S₁ = 100 cm², circule de l’eau à une vitesse V₁ = 0,4 m/s sous une pression P₁ = 6 × 10⁴ Pa. Quelles sont, dans un étranglement de section S₂ = 10 cm², la vitesse V₂ et la pression P₂ de l’eau ?
a) Calcul de la vitesse
Le long du tube de courant, situé à la cote z et parcouru par un fluide incompressible, de viscosité négligeable et de masse volumique ρ, à la vitesse v, on a la relation :
V₁S₁ = V₂S₂ ⇒ V₂ = 10V₁ = 4 m/s.
b) Calcul de la pression
L’écoulement est horizontal (z₁ = z₂) :
P₁ + (ρV₁²)/2 = P₂ + (ρV₂²)/2
Soit P₂ = 52 080 Pa.
Dans l’étranglement, la vitesse augmente mais la pression diminue.
Exercice 3.3 : Tube de Pitot
Le tube de Pitot permet d’évaluer la vitesse relative d’écoulement d’un fluide. Le manomètre à eau d’un tube de Pitot, installé dans un tunnel de soufflerie, présente une dénivellation de 10 cm.
Quelle est la vitesse v de l’air ? Masse volumique de l’air ρ = 1,29 kg/m³, de l’eau ρ' = 10³ kg/m³.
Un point A est un point d’arrêt (v_A = 0). La pression en A est la pression totale. La pression en B est la pression statique.
Le théorème de Bernoulli s’écrit (z_A = z_B) :
P_A = P_B + (ρv²)/2
La différence de pression entre A et B, c’est-à-dire la pression dynamique, est :
P_A - P_B = ρ'gh ⇒ v = √(2ρ'gh / ρ)
Soit v ≈ 39 m/s.
Exercice 3.4 : Formule de Torricelli
Un large vase vertical ouvert à l’air libre repose sur un plan horizontal. Un petit orifice (A) est pratiqué dans la paroi verticale à h = 20 cm, sous le niveau libre de l’eau supposée de hauteur fixe. La hauteur totale est de 100 cm.
a) Quelle est la vitesse d’écoulement de l’eau ?
Le liquide contenu dans le récipient s’écoule par un orifice bien plus petit que la surface libre ; la vitesse en B est négligeable devant v_A. La pression statique est la même en A et à la surface de l’eau ; elle est égale à la pression atmosphérique.
La formule de Bernoulli devient alors :
P_A + (ρv_A²)/2 = P_B + ρgh ⇒ v_A = √(2gh)
C’est la vitesse acquise par un mobile tombant de la hauteur h. Elle est indépendante de la nature du liquide.
Application numérique : v_A = 1,98 m/s.
b) À quelle distance du réservoir le jet atteindra-t-il le plan horizontal ?
Le jet suit une trajectoire parabolique dont les équations paramétriques sont :
X = v_A t
y = -½gt² + h'
Il atteint le sol à l’instant t = √(2h'/g). Soit à la distance X₀ = 2v_A√(h'h'/g).
Application numérique : X₀ = 80 cm.
c) À quelle hauteur peut-on percer un autre orifice pour que la portée du jet soit la même ?
La portée du jet est la même si on permute les valeurs de h et h' ; donc h = 20 cm ou 80 cm (A₁ et A₂).
d) À quelle hauteur devrait-on percer un orifice pour que la portée du jet soit maximale ?
X₀ = 2v_A√(h'h'/g) est maximale si h = h'/2 = 50 cm (A₃), valeur qui annule la dérivée.
FAQ
Qu’est-ce qu’un fluide parfait ? Un fluide parfait est un fluide incompressible, sans viscosité, dont l’écoulement est idéalisé pour simplifier les calculs.
À quoi sert le théorème de Bernoulli ? Le théorème de Bernoulli permet de calculer les variations de pression, de vitesse et d’altitude dans un écoulement fluide incompressible et sans viscosité.
Comment appliquer la formule de Torricelli ? La formule de Torricelli (v = √(2gh)) donne la vitesse de sortie d’un fluide par un orifice sous l’effet de la gravité, en fonction de la hauteur h.