Probabilités et Statistiques : Probabilite exercices corriges detaillé 2014
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Télécharger pack[http://] édité le 9 janvier 2014Enoncés1
Probabilités
Construction d’une probabilité
Exercice 1[ 03821 ][correction]
Déterminer une probabilité surΩ ={1,2,...,n}telle que la probabilité de
l’événement{k}soit proportionnelle àk.
Exercice 2[ 03822 ][correction]
Déterminer une probabilité surΩ ={1,2,...,n}telle que la probabilité de
l’événement{1,2,...,k}soit proportionnelle àk2 .
Exercice 3[ 03823 ][correction]
A quelle(s) condition(s) surx,y∈Rexiste-t-il une probabilité surΩ ={a,b,c}
vérifiant
P({a,b}) =xetP({b,c}) =y?
Exercice 4[ 03824 ][correction]
SoientA,Bdeux parties d’un ensembleΩfini vérifiant
A∩B6=∅,A∩ ̄
B6=∅, ̄
A∩B6=∅et ̄
A∩ ̄B6=∅ A quelle condition sur(a,b,c,d)∈]0,1[4 existe-t-il une probabilitéPsurΩ
vérifiant
P(A|B) =a,P(A| ̄
B) =b,P(B|A) =cetP(B| ̄
A) =d?
Exercice 5[ 03829 ][correction]
SoientAetBdeux événements d’un espace probabilisé.Montrer max{0,P(A) +P(B)−1}6P(A∩B)6min{P(A),P(B)}
Probabilités conditionnelles
Exercice 6[ 03361 ][correction]
SoientAetBdeux évènements avecP(A)>0. Comparer les probabilités
conditionnelles
P(A∩B|A∪B)etP(A∩B|A)
Exercice 7[ 03826 ][correction]
On considèreNcoffres. Avec une probabilitépun trésor à été placé dans l’un de
ses coffres, chaque coffre pouvant être choisi de façon équiprobable. On a ouvert
N−1coffres sans trouver le trésor. Quelle est la probabilité pour qu’il figure dans
le dernier coffre ?
Exercice 8[ 03828 ][correction]
On se donneN+ 1urnes numérotées de 0 àN. L’urne de numérokcontientk
boules blanches etN−kboules noires. On choisit une urne au hasard, chaque
choix étant équiprobable. Dans l’urne choisie, on tire des boules avec remise.
a) Quelle est la probabilité que(n+ 1)-ième boule tirées soit blanche sachant que
lesnprécédentes l’étaient toutes ?
b) Que de vient cette probabilité lorsqueN→+∞?
Exercice 9[ 03831 ][correction]
SoientAetBdeux événements d’un espace probabilisé.
On suppose0< P(B)<1. Etablir
P(A) =P(A|B)P(B) +P(A| ̄
B)P( ̄B) Exercice 10[ 03841 ][correction]
Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
a) Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure à l’intérieur du
tirage ?
b) Sachant qu’une boule noire figure dans le tirage. Quelle est la probabilité que
la première boule tirée soit noire ?
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[http://] édité le 9 janvier 2014Enoncés2
Formule des probabilités totales
Exercice 11[ 03842 ][correction]
Une urne contient 8 boules blanches et deux boules noires.
On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire ?
Exercice 12[ 02417 ][correction]
Une urne contient initialementbboules blanches etrboules rouges. On tire de
celle-ci une boule, on note sa couleur et on la remet accompagnée dedboules de
la même couleur. On répète l’expérience à l’envi.
Déterminer la probabilité que la boule tirée soit blanche lors dun-ième tirage.
Exercice 13[ 03827 ][correction]
Une succession d’individusA1 ,...,An se transmet une information binaire du
type « oui »ou « non ».
Chaque individuAk transmet l’information qu’il a reçu avec la probabilitépà
l’individuAk+1 ou la transforme en son inverse avec la probabilité1−p. Chaque
individu se comporte indépendamment des autres.
Calculer la probabilitépn pour que l’information reçu parAn soit identique à celle
émise parA1 .
On suppose0< p <1. Quelle est la limite depn quandntend vers l’infini ?
Variable aléatoire
Exercice 14[ 03369 ][correction]
Une variable aléatoire réelleXsuit une loi binomiale de taillenet de paramètre
p∈]0,1[.
Pour quelle valeur dek, la probabilitép k=P(X=k) est-elle maximale ?
Exercice 15[ 03846 ][correction]
SoitXune variable aléatoire de paramètresnetpavecp∈]0,1[. On note
b(k,n,p) =P(X=k)
a) Pour quelle valeurmdek, le coefficientb(k,n,p)est-il maximal ?
b) Etudier la monotonie de la fonctionf:x7→xm (1−x)n−m sur[0,1].
c) Vérifier que sim∈[np,(n+ 1)p]alorsb (m,n, m
n+ 1) 6b(m,n,p)6b( m,n,m n) d) Proposer en encadrement analogue pourm∈[(n+ 1)p−1,np].
e) On donne la formule de Stirlingn!∼ √2πnn ne −n
Donner un équivalent simple deb(m,n,p).
Evénements indépendants
Exercice 16[ 03819 ][correction]
Soitnun entier naturel supérieur à 2. On définit une probabilité uniforme sur
l’ensemble{1,2,...,n}.
Pour un entierpdivisantn, on introduit l’événementA p
={16k6n/pdivisek}
a) CalculerP(Ap )
b) Soientpetqdeux diviseurs den. On suppose quepetqsont premiers entre
eux. Montrer que les événementsAp etAq sont indépendants. Plus généralement
montrer que sip1 ,...,pr sont des diviseurs deux à deux premiers entre eux alors,
les événementsAp 1,...,A pr sont indépendants.
c) On note
B={16k6n/ketnsont premiers entre eux}Montrer p(B) =∏ pdiviseur
premier den( 1−1 p) Exercice 17[ 03830 ][correction]
SoientAetBdeux événements d’un espace probabilisé.
On supposeA∩B=∅. A quelle condition les événementsAetBsont-ils alors
indépendants ?
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[http://] édité le 9 janvier 2014Enoncés3
Indépendance de variables aléatoires
Exercice 18[ 03817 ][correction]
Deux variables aléatoires indépendantesXetYsuivent des lois binomiales de
taillesnetmet de même paramètrep. Peut-on identifier la loi suivie par la
variable aléatoireZ=X+Y?
Exercice 19[ 03818 ][correction]
SoientXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes.
Les variables aléatoiresX+YetX−Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 20[ 03825 ][correction]
SoientXetYdeux variables aléatoires prenant pour valeursa1 ,...,an avecP(X=a i
) =P(Y=ai ) =pi On suppose que les variablesXetYsont indépendantes.
Montrer que
P(X6=Y) =n ∑i=1 pi (1−pi )
Formule de Bayes
Exercice 21[ 03820 ][correction]
Dans une population, une personne sur 10 000 souffre d’une pathologie. Un
laboratoire pharmaceutique met sur le marché un test sanguin. Celui-ci est positif
chez 99 % des malades mais aussi faussement positif chez 0,1 % des personnes non
atteintes. Un individu passe ce test et obtient un résultat positif.
Quelle est sa probabilité d’être malade ? Qu’en conclure ?
Inégalité de Markov
Exercice 22[ 03832 ][correction]
SoientXune variable aléatoire réelle etg:R+ →R+ une fonction strictement
croissante.
Montrer que
∀a>0,P(|X|>a)6
E(g(|X|))g(a) Exercice 23[ 03816 ][correction]
Une variable aléatoireXsuit une loi du binôme de paramètrepet de taillen.
Etablir pourε >0,P (∣ ∣∣ ∣X n−p ∣∣ ∣∣ >ε) 6√ p(1−p)a √n Exercice 24[ 03834 ][correction]
SoitXune variable aléatoire suivant une loi binomiale de taillenet de paramètrep. Montrer que pour toutλ,ε >0
P(X−np > nε)6E(exp(λ(X−np−nε))
Espérance et variance
Exercice 25[ 03833 ][correction]
SoitXune variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. EtablirE(X) 26E (X 2) Exercice 26[ 03835 ][correction]
SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dans{0,1,...,N}.Etablir E(X) =N−1 ∑n=0 P(X > n)
Exercice 27[ 03836 ][correction]
SoitXune variable aléatoire à valeur dans{0,1,...,n}telle qu’il existea∈R
vérifiant
P(X=k) =a( nk )
Calculer l’espérance et la variance deX.
Exercice 28[ 03837 ][correction]
Une urne contientnboules blanches etnboules rouges. On tire simultanémentn
boules dans celle-ci et on noteXle nombre de boules rouges obtenues lors de cetirage. Quelle est la loi deX, son espérance, sa variance ?
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[http://] édité le 9 janvier 2014Enoncés4
Exercice 29[ 03838 ][correction]
SoitXune variable aléatoire binomiale de taillenet de paramètrep∈]0,1[.
Calculer l’espérance de la variableY= 1
X+ 1
Exercice 30[ 03839 ][correction]
On se propose d’analyser le sang d’une population deNindividus pour y déceler
l’éventuelle présence d’un virus dont on sait qu’il affecte une personne donnée
avec la probabilitépindépendamment des autres.
On dispose pour cela de deux protocoles :
Protocole 1 :
On analyse le sang de chacun desNindividus.
Protocole 2 :
On regroupe les individus par groupe den(on supposeNdivisible parn). On
rassemble la collecte de sang des individus d’un même groupe et on teste
l’échantillon. Si le résultat est positif, on analyse alors le sang de chacun des
individus du groupe.
a) Préciser la loi de la variable aléatoireXégale au nombre de groupes positifs.
b) SoitYla variable aléatoire déterminant le nombre d’analyse effectuée dans le
deuxième protocole.
Exprimer l’espérance deYen fonction den,Netp.
c) Comparer les deux protocoles pour les valeursN= 1000,n= 10etp= 0,01.
Exercice 31[ 03840 ][correction]
Dans une urne contenantnboules blanches etnboules rouges, on prélève
successivement et sans remise les boules. On noteXle nombre de tirages juste
nécessaire à l’obtention de toutes les boules rouges.
a) Déterminer la loi deX.
b) Calculer son espérance et sa variance
Exercice 32[ 03847 ][correction]
Dans cet exercice, les variables aléatoires sont toutes supposées prendre leurs
valeurs dansZ.
On appelle fonction caractéristique d’une variable aléatoireXl’applicationφ X
:R→Cdéfinie parφ X
(u) =E( eiuX )
a) Vérifier queφX est2π-périodique et de classeC∞ .
CalculerφX (0). Comment interpréterφ′ X(0)etφ ′′X (0)?
b) Calculer la fonction caractéristique d’une variableXsuivant une loi de
Bernoulli de paramètrep.
Même question avec une loi binomiale de paramètresnetp.
c) SoientXune variable aléatoire réelle etx0 un entier. VérifierP(X=x 0
) =1 2π∫ 2π0 φX (u)e−iux 0du En déduireφ X=φ Y⇒X=Y d) SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes. Vérifierφ X+Y=φ Xφ Y
e) Exploiter ce résultat pour retrouver la fonction caractéristique d’une variable
aléatoire suivant une loi binomiale.
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[http://] édité le 9 janvier 2014Corrections5
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Par hypothèse, il existeα∈Rtel queP({k}) =αk. Or par additivitén ∑k=1 P({k}) =P(Ω) = 1donc α=2 n(n+ 1)
Exercice 2 :[énoncé]
SiPest une probabilité solution alors, par hypothèse, il existeα∈Rtel que
P({1,2,...,k}) =αk2 On a alors
P({k}) =P({1,...,k})−P({1,...,k−1}) =α(2k−1)
Puisque par additivitén ∑k=1 P({k}) =P(Ω) = 1
on obtient
α= 1/n2 Inversement, la probabilité définie par
P({k}) =2k−1 n2 est bien solution.
Exercice 3 :[énoncé]
Une probabilité solutionPsera entièrement déterminée par les valeurs de
p=P({a}),q=P({b})etr=P({c})sous les conditions
p,q,r>0etp+q+r= 1
Nous auronsP({a,b}) =xetP({b,c}) =ysi
p+q=xetq+r=y
Le système p+q=xq+r=y p+q+r= 1
a pour solution
p= 1−y,q=x+y−1etr= 1−x
Cette solution vérifiep,q,r>0si, et seulement si,
x61,y61etx+y>1
ce qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes que doivent respecterxety.
Exercice 4 :[énoncé]
SoitPune probabilité solution. Posons
x=P(A∩B),y=P(A∩ ̄
B),z=P( ̄
A∩B)ett=P( ̄
A∩ ̄B) On ax,y,z,t>0et par additivité
x+y+z+t=P(A) +P( ̄
A) = 1
Inversement, six,y,z,tsont quatre réels positifs de somme égale à 1, on peut
déterminer une probabilitéPsurΩvérifiant les conditions ci-dessus : il suffit
d’introduire un élément de chacun des ensembles disjointsA∩B,A∩ ̄
B, ̄
A∩Bet ̄
A∩ ̄
B, de poser la probabilité de l’événement élémentaire associé égale àx,y,zet
trespectivement, puis les probabilités des autres événements élémentaires égaux à0. Le problème revient alors à déterminer sous quelle condition, il existex,y,z,t>0
de somme égale à 1 tels que
P(A|B) =a,P(A| ̄
B) =b,P(B|A) =cetP(B| ̄
A) =d
Par additivité
P(A) =x+yetP(B) =x+z
On a alorsP(A|B) =asi, et seulement si,x=a(x+z).
De même, les autres conditions fournissent les équations
y=b(1−(x+z)),x=c(x+y)etz=d(1−(x+y))
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[http://] édité le 9 janvier 2014Corrections6
ce qui nous conduit à un système linéaire de quatre équations et trois inconnues (1−a)x−az= 0
bx+y+bz=b
(1−c)x−cy= 0
dx+dy+z=d
Les trois premières équations conduisent à la solutionx= abc
a(1−c) +bc,y= ab(1−c)
a(1−c) +bcetz= (1−a)bc
a(1−c) +bc
avec le dénominateur commun non nul car somme de quantités strictement
positives.
La quatrième équation du système est alors vérifiée si, et seulement si,
ad(1−b)(1−c) =bc(1−a)(1−d)
La solution(x,y,z)alors obtenue vérifiex,y,z>0etx+y+z61de sorte qu’on
peut encore déterminert>0tel quex+y+z+t= 1.
Finalement, il existe une probabilité telle que voulue si, et seulement si,
ad(1−b)(1−c) =bc(1−a)(1−d)
ce qui, en divisant parabcd, peut encore s’énoncer( 1−1 b)( 1−1 c) =( 1−1 a)( 1−1 d) Exercice 5 :[énoncé]
On aA∩B⊂AdoncP(A∩B)6P(A)et de mêmeP(A∩B)6P(B)donc
P(A∩B)6min{P(A),P(B)}
Bien évidemmentP(A∩B)>0. De plusP(A∪B)61or
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)donc P(A∩B)>P(A) +P(B)−1puis max{0,P(A) +P(B)−1}6P(A∩B)
Exercice 6 :[énoncé]
PuisqueA⊂A∪B, on aP(A∪B)>P(A)puisP(A∩B) P(A∪B)6 P(A∩B)P(A) i.e.
P(A∩B|A∪B)6P(A∩B|A)
Exercice 7 :[énoncé]
Considérons l’événementA: un trésor est placé dans l’un des coffres. Par
hypothèse
P(A) =p
Considérons l’événementAi : un trésor est placé dans le coffre d’indicei. Par
hypothèseP(Ai ) =P(Aj )et puisque les événementsAi sont deux à deux
incompatiblesP(A i
) =p/N
La question posée consiste à déterminerP(A N
| ̄A 1
∩...∩ ̄A N−1) On a
P( ̄A 1
∩...∩ ̄A N−1
) = 1−P(A1 ∪...∪AN−1 ) = 1−N−1 Np etP(A N
∩ ̄A 1
∩...∩ ̄A N−1
) =P(AN ) =p Ndonc P(AN | ̄A 1
∩...∩ ̄A N−1
) =p N−(N−1)p
Exercice 8 :[énoncé]
a) Dans l’urne d’indicek, la probabilité de tirer une boule blanche vautk/N.
Dans cette même urne, la probabilité de tirer une succession denboules blanches
vaut(k/N)n .
Par la formule des probabilités totales, la probabilité qu’après choix d’une urne,
nous tirions une succession denboules blanches vautπ n= 1
N+ 1N ∑k=0 (k N) n
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[http://] édité le 9 janvier 2014Corrections7NotonsA k
l’événement, la boule tirée lors duk-ième tirage est une boule blanche
La probabilité conditionnée cherchée vautP(A n+1|A 1∩...∩A n
) =P(A 1∩...∩A n+1) P(A1 ∩...∩An )avec P(A1 ∩...∩An ) =πn doncP(A n+1|A 1∩...∩A n
) =1 NN ∑k=0 kn+1 N∑ k=0k n
b) Par somme de Riemann, on a1 NN ∑k=1 (k N) n−−−−−→ N→+∞∫ 10 tn dt=1 n+ 1
En adaptant quelque peu l’expression, on obtientπ n−−−−−→ N→+∞1 n+ 1donc P(An+1 |A1 ∩...∩An )−−−−−→N→+∞ n+ 1
n+ 2
Exercice 9 :[énoncé]
On a
P(A) =P(A∩(B∪ ̄
B)) =P( (A∩B)∪(A∩ ̄B) )
Les événementsA∩BetA∩ ̄
Bétant disjoints
P(A) =P(A∩B) +P(A∩ ̄B) OrP(A∩B) =P(A|B)P(B)etP(A∩ ̄
B) =P(A| ̄
B)P( ̄B). Exercice 10 :[énoncé]
a) Distinguons les boules. Il existe10×9×8tirages possibles.
Les tirages commençant par une boule noire et se poursuivant par deux boules
blanches sont au nombre de2×8×7. De même, on dénombre, les tirages
comportant une boule noire en deuxième ou troisième position. Ceci donne un
total de3×2×8×7tirages comportant une boule noire et une seule.
Il reste à dénombrer les tirages comportant les deux boules noires. Il y a deux
façons d’ordonner les boules noires, 3 façons de choisir la position de la boule
blanche et 8 façons de choisir celle-ci. Au total2×3×8possibilités. La
probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage est donc
3×2×8×7 + 2×3×810×9×8 =6×8 10×9= 815 b) NotonsAl’événement, la première boule tirée est noire. En raisonnant comme
au dessus
p(A) =
9×8 + 9×810×9×8 =1 5
L’événementB, au moins une boule tirée est noire a été mesurée ci-dessus et donc
p(A|B) =p(A∩B) p(B)= p(A)p(B) =3 8
Exercice 11 :[énoncé]NotonsA i
l’événement la boule obtenue lors dui-ème tirage est noire.
On introduit un système complet d’événements en considérantB1 ,...,B4 égaux àA 1∩A 2,A 1
∩ ̄A 2
, ̄A 1∩A 2
et ̄A 1
∩ ̄A 2
Par la formule des probabilités totalesp(A 3
) =4 ∑k=1 p(A3 |Bk )p(Bk )
Il ne reste plus qu’à évaluer. . .p(A 3|B 1
) = 0p(A 3|B 2
) =p(A3 |B3 ) = 1/8avecp(B2 ) =p(B3 ) = 8/10×2/9et p(A3 |B4 ) = 2/8avecp(B4 ) = 8/10×7/9
Au finalp(A 3
) =2 5× 19 +1 5× 79 =9 45= 15 C’est aussi la probabilité que la première boule tirée soit noire et par un argument
de symétrie ce n’est pas si étonnant. . .
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[http://] édité le 9 janvier 2014Corrections8
Exercice 12 :[énoncé]
Au premier tirage, la probabilité que la boule tirée soit blanche estb b+r
Au deuxième tirage, il faut tenir compte du résultat du précédent tirage. La
probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche sachant que la première l’était
est(b+d)/(b+r+d). Si la première était rouge, on obtientb/(b+r+d). Par la
formule des probabilités totales, la probabilité d’obtenir une boule blanche au
deuxième tirage estb+d b+r+d× bb+r +b b+r+d× rb+r =b b+r
Par récurrence surn∈N, montrons que la probabilité que la boule soit blanche
lors dun-ième tirage vaut toujoursb/(b+r). Supposons cette propriété acquise
jusqu’au rangnet étudions le résultat dun+ 1-ième tirage selon le nombrekde
boules blanches tirées lors des précédents tirages. Par hypothèse de récurrence, le
nombreksuit une loi binomiale de taillenet de paramètrep=b/(b+r). La
probabilité de tirer une boule blanche aun+ 1-ième tirage sachant quekboules
blanches ont déjà été tirées vautb+dk b+r+nd
Par la formule des probabilités totales, la probabilité d’obtenir une boule blanche
aun+ 1-ième tirage vautn ∑k=0 (n k) b+dkb+r+nd (b b+r) k( rb+r )n−k On sépare la somme en deux et l’on exploitek (n k) =n( n−1k−1 )
pour obtenir1 b+r+nd n ∑k=0 (n k) b( bb+r )k (r b+r) n−k+ n−1∑ j=0( n−1j )bnd b+r( bb+r )j (r b+r) n−1−j
et l’on conclut à l’aide de la formule du binôme.
Exercice 13 :[énoncé]
On ap1 = 1etp2 =p.
Supposons connupn . Selon queAn émet la même information queA1 ou non, on
a par la formule des probabilités totalesp n+1=pp n
+ (1−p)(1−pn )
La suite(pn )vérifie donc la relation de récurrencep n+1
= (2p−1)pn + 1−p
Sachant la condition initialep1 = 1, cette suite arithmético-géométrique à pour