Probabilités et Statistiques : Td probabilité sans correction f
Télécharger PDFCet article présente une série d'exercices détaillés en probabilités et statistiques, parfaits pour approfondir votre compréhension des concepts clés tels que les probabilités conditionnelles, la loi binomiale et la loi normale. Chaque problème est conçu pour renforcer vos compétences analytiques dans des contextes concrets de production et d'analyse de données.
Exercice 1 : Analyse de production et pièces défectueuses
Un atelier de fabrication comprend trois machines (A, B, C) ayant les mêmes fonctions dans la production de pièces cylindriques. La machine A, la plus récente, assure 60 % de la production totale et 2 % de sa production est défectueuse. La machine B assure 30 % de la production totale et son taux de rebut est de 3 %. La machine C assure les 10 % restants de la production avec 5 % de pièces présentant un défaut. Les volumes de production sont trop importants pour permettre une vérification exhaustive de chaque pièce.
1. Probabilité qu'une pièce soit défectueuse
Quelle est la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard à la sortie de l'atelier soit défectueuse ? Ce calcul s'effectue en utilisant la loi des probabilités totales.
2. Contribution de chaque machine aux défauts
Afin d'identifier l'origine des défectuosités, nous cherchons à déterminer la part de chaque machine dans les causes de défauts. Sachant qu'une pièce est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle ait été produite par :
a. La machine A
b. La machine B
c. La machine C
Ces calculs nécessitent l'application du théorème de Bayes.
Exercice 2 : Contrôle qualité et loi binomiale
Une entreprise produit des stylos en grande quantité. La probabilité qu'un stylo présente un défaut est de 0,1. Un nouveau système de contrôle qualité est mis en place pour améliorer la production.
1. Étude de la production initiale par la loi binomiale
On prélève successivement et avec remise huit stylos de cette production. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. On admet que X suit une loi binomiale.
a) Donner les paramètres (n et p) de cette loi binomiale.
b) Calculer la probabilité des événements suivants :
A : « Il n’y a aucun stylo avec un défaut »
B : « Il y a au moins un stylo avec un défaut »
C : « Il y a exactement deux stylos avec un défaut »
2. Impact d'un contrôle qualité
Le contrôle qualité accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. Soit D l’événement « le stylo présente un défaut » et E l’événement « le stylo est accepté ».
a) Construire un arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé pour visualiser les différentes issues.
b) Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.
c) Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022, arrondi au millième près.
3. Probabilité de défaut après contrôle
Après le contrôle, on prélève successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1)b) et commenter l'amélioration de la qualité après le processus de contrôle.
Exercice 3 : Analyse de la consommation de lait par la loi normale
Une enquête auprès de familles de 4 personnes vise à connaître leur achat de lait sur un mois. La consommation de lait forme une population gaussienne (loi normale) avec une moyenne de 20 L et un écart-type de 6 L. Ces données sont utilisées pour concevoir une campagne publicitaire ciblée.
1. Calcul des pourcentages de consommateurs
Calculer le pourcentage des faibles consommateurs (c'est-à-dire moins de 10 L/mois) et le pourcentage des grands consommateurs (c'est-à-dire plus de 10 L/mois).
2. Détermination de quantiles inférieurs
Au-dessous de quel nombre de litres achetés se trouvent 75 % des consommateurs ? Cette valeur correspond au 75ème percentile de la distribution.
3. Détermination de la médiane
Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs ? Cette valeur représente la médiane de la consommation.
4. Détermination de quantiles supérieurs
Au-dessus de quelle consommation se trouve un tiers (1/3) de la population et deux tiers (2/3) de la population ? Ces valeurs sont des quantiles importants pour l'analyse des habitudes de consommation.
FAQ : Concepts clés en probabilités et statistiques
Qu'est-ce que la loi des probabilités totales ?
La loi des probabilités totales permet de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant en une somme de probabilités conditionnelles. Si des événements forment une partition de l'univers, la probabilité d'un événement A est la somme des probabilités de A intersecté avec chacun de ces événements.
Quand doit-on utiliser une loi binomiale ?
Une loi binomiale est appropriée lorsque l'on compte le nombre de "succès" dans un nombre fixe (n) d'épreuves indépendantes de Bernoulli. Chaque épreuve doit avoir seulement deux issues (succès ou échec) et la probabilité de succès (p) doit être constante pour toutes les épreuves.
Quel est l'intérêt de la loi normale en statistiques ?
La loi normale, ou loi de Gauss, est l'une des distributions de probabilité les plus importantes. Elle est caractérisée par sa forme en cloche et est utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes naturels ou sociaux (tailles, poids, erreurs de mesure). Elle est fondamentale pour l'inférence statistique et les tests d'hypothèses grâce au théorème central limite.