Probabilités et Statistiques : TD série 1 Probabilités et Statistiques
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Université Ibn Zohr Année universitaire 2016/2017
Faculté des Sciences‐Agadir SMC4‐M26 : Probabilités et Statistiques
Dépt. de Mathématiques
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TD : série 1
Probabilités
i. Soit ሺષ,ऐ ሻ un espace de probabilisable et trois événements A, B et C de ऐ. Traduire à l’aide des
opérations sur les ensembles les expressions pour les événements suivants :
a. A seul se réalise ;
b. A et C se réalisent mais pas B ;
c. au moins l’un des trois événements se réalise ;
d. les trois événements se réalisent ;
e. aucun ne se réalise ;
f. au plus l’un des trois se réalise ;
g. au plus deux des trois se réalisent.
ii. Soit ሺષ,ऐ,ࡼሻ un espace de probabilité.
a. Montrer que si ࢚ࢋ sont indépendants alors il en va de même pour ࢚ࢋ
ഥ
et pour
ഥ
࢚ࢋ
ഥ
.
b. Montrer que si ࢚ࢋ , sont mutuellement indépendants, alors ܣ est indépendant de ∩
et de ∪ܤ.
iii. On considère deux événements indépendants A et B de probabilités respectives 1/4 et 1/3. Calculer :
a. la probabilité que les deux événements aient lieu ;
b. la probabilité que l’un au moins des deux événements ait lieu ;
c. la probabilité qu’exactement l’un des deux événements ait lieu .
iv. Soit et deux évènements, d’un même espace de probabilité ሺષ,ऐ,ࡼሻ, tels que : 211, 334 PAPBetPAB
.
a. Calculer la valeur de la probabilité conditionnelle de sachant et celle de sachant .
b. Quelle est la probabilité qu’exactement un des deux évènements se réalise ?
v. Soit A, B et C trois évènements, d’un même espace de probabilité (ሺષ,ऐ,ࡼሻ,, tels que : ܲ ሺ ܣ
ሻ
ൌ 2 5⁄ ܲ, ሺܥ ሻ ൌ 1 2
⁄ܲ, ሺ ܤ∪ܣሻ ൌ34 ⁄ܲ, ሺ ܣ/ܤሻ ൌ310 ⁄
ܲ ݐ݁ ሺ ܣ/ܥ ሻൌ14 ⁄ .
a. Calculer la valeur de ܣ൫ܲ
൯ܥ/ .
b. Calculer la valeur de ܣ൫ܲ/ ഥ ൯.
c. Calculer la valeur de ሻܤሺܲ .
vi. Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
On y effectue 3 tirages successifs au hasard et sans remise. Calculer les probabilités :
a. de ne tirer que 3 jetons verts ;
b. de ne tirer aucun jeton vert ;
c. de tirer au plus 2 jetons verts ;
d. de tirer exactement 1 jeton vert.
Université Ibn Zohr Année universitaire 2016/2017
Faculté des Sciences‐Agadir SMC4‐M26 : Probabilités et Statistiques
Dépt. de Mathématiques
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vii. L’oral d’un concours comporte au total 100 sujets ; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent
alors le sujet a traité parmi ces trois. Un candidat se présente en ayant préparé 60 sujets sur les 100.
Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé :
a. aucun des trois sujets tirés.
b. un sujet sur les trois tirés ;
c. au moins deux sujets sur les trois tirés.
viii. Une maladie affecte statistiquement une personne sur 1000. Un test de dépistage permet de détecter la
maladie avec une fiabilité de 99% (i.e. test positif parmi les malades), mais il y a 0,2% de chances que le
test donne un faux positif (i.e. une personne est déclarée malade sans l’être).
a. Une personne est testée positivement. Quelle est la probabilité qu’elle soit réellement malade ?
b. Une personne est testée négativement. Quelle est la probabilité qu’elle soit quand même malade ?
ix. Un laboratoire d’analyse chimique reçoit un lot de tubes à essai. Ces tubes sont fournis par trois sociétés
différentes ࢚ࢋ , dans les proportions suivantes : 50%, 30% et 20%.
2% des tubes fabriqués par A, 3% de ceux fabriqués par B et 4% de ceux fabriqués par C présentent des
défauts. On choisit au hasard un tube à essai dans le lot reçu.
a. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?
b. Sachant que le tube choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de la société A ?
x. Une boîte contient n boules noires et b boules blanches ሺ݊1,ܾ 1ሻ. On tire au hasard une boule puis on
la remet dans la boite avec ݇ ሺ݇0ሻ nouvelles boules de la même couleur que la boule tirée. On choisit de
nouveau une boule au hasard dans la boite. Soit ܰ
ଵ
l’événement « la première boule tirée est noire » et
ܰ
ଶ
l’événement « la deuxième boule tirée est noire ».
a. Calculer la probabilité de ܰ
ଵ
.
b. Calculer la probabilité de tirer deux boules noires.
c. Calculer la probabilité de ܰ
ଶ
. Déduire de ce qui précède que ܰሺܲଵ ܰ/ ଶܰሺܲሻൌ ଶ ܰ/
ଵ
ሻ.
xi. On considère n urnes numérotées de 1 à ݊. L’urne numéro ݇ contient ݇ boules blanches et ݇െ݊ boules
noires. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans cette urne. Soit
la probabilité d’obtenir
une boule blanche.
a. Déterminer la valeur de
ଵ
et celle de
ଶ
.
b. Calculer la valeur de
pour 2݊.
xii. Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :
la probabilité qu'il gagne la première partie est de 0,1 ;
s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;
s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6 .
On note, pour tout entier naturel n non nul : ܩ
l'événement « le joueur gagne la n -ième partie »;
la
probabilité de l'événement ܩ
: ܩሺܲൌ
ሻ .
a. Calculer la valeur de
ଶ
.
b. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première.
c. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
d. Calculer la valeur de
ାଵ
en fonction de
(relation de récurrence). En déduire la valeur limite de
cette probabilité lorsque n tend vers l’infini.