Cours 3 rappels de probabilités a notions de base b variabl

Probabilités et Statistiques : Cours 3 Rappels de probabilités A Notions de base B Variabl

Rappels de probabilités

Ce cours aborde les concepts fondamentaux des probabilités, structuré en plusieurs parties :

Notions de base
Variables aléatoires
Lois classiques
Convergence de variables aléatoires

A. Notions de base

La théorie des probabilités décrit le comportement de phénomènes dont le résultat est soumis au hasard. Elle permet de modéliser la fréquence de réalisation d’« événements » aléatoires.

A.1 Notions de base : Quelques définitions

Expérience aléatoire : Expérience dont le résultat ne peut pas être déterminé avec certitude a priori.

Univers (Ω) : Ensemble des résultats possibles de l'expérience E. On le note Ω.

Exemple 1 : Pour une expérience E : « lancer d’un dé régulier », l'univers est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Résultat élémentaire (ω) : Un résultat possible de l'expérience E. C’est un élément de Ω. Pour l'exemple 1, ω = 2 est un résultat possible.

Exemple 2 : Pour une expérience E : « jet de deux pièces de monnaie distinguables », l'univers est Ω = {(P,P) ; (P,F) ; (F,P) ; (F,F)}. ω = (P,P) est un résultat possible.

Exemple 3 : Pour une expérience E : « lancer d’un crayon sur une feuille de papier de dimensions l * L », l'univers est Ω = {(x,y) | x ∈ [0,l], y ∈ [0,L]}. Cet univers est infini. ω = (l/2, L/2) est un résultat possible.

A.2 Notions de base : Événements

Ensemble ℙ(Ω) des parties de Ω : Ensemble constitué de tous les sous-ensembles (parties) de Ω.

Événement (aléatoire) : Une partie (sous-ensemble) de Ω. C'est une assertion qui peut ou non se réaliser suivant l'issue de l'expérience E.

Exemple 0 : Si Ω = {a, b, c}, alors ℙ(Ω) a 2³ = 8 éléments : l'ensemble vide (∅), les parties à un élément ({a},{b},{c}), les parties à deux éléments ({b,c},{a,c},{a,b}) et les parties à trois éléments ({a,b,c}=Ω).

Réalisation d’un événement : Soit A un événement de Ω. Soit ω le résultat de l’expérience. L'événement A se réalise si et seulement si ω ∈ A.

A = Ω se réalise toujours. C'est l’événement certain.
A = ∅ ne se réalise jamais. C'est l’événement impossible.
A = {ω} s’appelle un événement élémentaire.

Exemple 1 : Pour le lancer de dé, A = « le lancer est pair » = {2,4,6}.

Exemple 2 : Pour le jet de deux pièces, A = « on obtient deux piles » = {(P,P)}. Si le résultat de l'expérience E est ω = (F,P) alors A ne se réalise pas.

Exemple 3 : Pour le lancer de crayon, A = « le lancer a une abscisse > l/2 » = ]l/2,l]*[0,L].

Opérations sur les événements

Complémentaire de A (noté Ä ou A¯) : Événement constitué des résultats élémentaires de Ω qui ne sont pas dans A. Se réalise si A ne se réalise pas.

Réunion de A et B (notée A ∪ B) : Événement constitué des résultats élémentaires de Ω qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux). Se réalise si A se réalise ou B se réalise.

Intersection de A et B (notée A ∩ B) : Événement constitué des résultats élémentaires de Ω qui appartiennent à la fois à A et à B. Se réalise si A et B se réalisent.

Relations particulières

Inclusion (A ⊂ B) : A est inclus dans B si tout élément de A appartient à B. (Si A est réalisé, alors B est réalisé).
Disjonction ou incompatibilité : A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅. (A et B n’ont pas d’éléments communs, donc sont incompatibles).

Système complet d’événements

Soient A₁, A₂, ..., A_n des événements. On dit que (A₁, A₂, ..., A_n) constitue un système complet d'événements s'ils forment une partition de Ω :

Ils sont deux à deux incompatibles (A_p ∩ A_q = ∅ pour tout p ≠ q).
Leur réunion est l'événement certain Ω (⋃_i=1ⁿ A_i = Ω).

Exemple : Un événement A et son complémentaire Ä forment un système complet d’événements.

Tribu d’événements (ou σ-algèbre) et espace probabilisable

Tribu d’un ensemble de parties de Ω : Soit ℳ une partie de ℙ(Ω). ℳ est une tribu (ou σ-algèbre) si elle contient Ω, est stable par complémentation et par réunion dénombrable. On dit alors que (Ω, ℳ) est un espace probabilisable.

Exemples :

Tribu grossière : ℳ = {∅, Ω}.
Tribu des parties (ou tribu discrète) : ℳ = ℙ(Ω).
Tribu des boréliens : Lorsque Ω = ℝ (ensemble des nombres réels), c'est la tribu engendrée par les intervalles ouverts (par exemple, de la forme ]a, +∞[).

Choix d’une tribu : Le choix se fait en fonction de l’information disponible sur le problème.

Lorsque l’univers est fini ou dénombrable, on travaille généralement avec la tribu discrète (ℙ(Ω)).
Lorsque l’univers est infini (Ω = ℝ ou un intervalle), on travaille avec la tribu borélienne.

A.3 Notions de base : Probabilité

Probabilité : Fonction permettant de « mesurer » la chance de réalisation d’un événement d'une tribu ℳ.

Définition : Soit (Ω, ℳ) un espace probabilisable. Une probabilité P sur (Ω, ℳ) est une application P : ℳ → [0,1] satisfaisant les 3 axiomes suivants :

P(A) ∈ [0,1] pour tout A ∈ ℳ.
P(Ω) = 1.
Pour un ensemble dénombrable d'événements disjoints (A_i)_{i∈ ℕ}, P(⋃_i A_i) = ∑_i P(A_i).

Dès lors que P est définie, (Ω, ℳ, P) s’appelle un espace probabilisé.

Propriétés des probabilités

Si P(A) = 0, alors A est presque impossible.
Si P(A) = 1, alors A est presque sûr.

Axiome des probabilités totales : Pour un système complet d’événements (A₁, ..., A_n), la probabilité d'un événement B est donnée par P(B) = ∑_i=1ⁿ P(B ∩ A_i).

Construction pratique d’une probabilité en univers fini ou dénombrable

On suppose que l'ensemble des résultats possibles est fini ou dénombrable, noté Ω = {ω₁, ..., ω_n, ...}. On définit la probabilité p_i = P({ω_i}) de chaque résultat élémentaire.

On a alors une suite (p₁, ..., p_n, ...) de nombres tels que 0 ≤ p_i ≤ 1 et ∑ p_i = 1.

La probabilité d’un événement quelconque A est donnée par P(A) = ∑_{ω_i ∈ A} p_i.

Cas d’un univers fini équiprobable

Lorsqu’il n’y a pas lieu d’attacher aux différents événements élémentaires des probabilités différentes, l’univers est dit équiprobable. Pour tout ω_i, p_i = p.

Lorsque l’univers est fini, de cardinal |Ω|, on a p = 1/|Ω|.

La probabilité P d'un événement A est alors P(A) = |A|/|Ω|. Cette probabilité est appelée probabilité uniforme sur Ω.

Exemple 2 (suite) : Pour le jet de deux pièces de monnaie distinguables, Ω = {(P,P) ; (P,F) ; (F,P) ; (F,F)} est équiprobable.

Soit A = « On obtient au moins une fois P » = {(P,P) ; (P,F) ; (F,P)}. Alors P(A) = 3/4.

Exemple 1 bis : Jet d’un dé pipé : le 6 apparaît 2 fois plus que les autres faces.

L'univers n'est pas équiprobable. Soient p₁=p₂=p₃=p₄=p₅=p et p₆=2p. Puisque ∑ p_i = 1, on a 5p + 2p = 1, donc 7p = 1, ce qui donne p = 1/7.

Si A = « le lancer est pair » = {2,4,6}, alors P(A) = p₂ + p₄ + p₆ = p + p + 2p = 4p = 4/7.

Exemple 3 (suite) : Lancer de la mine de crayon.

Si tous les emplacements sur la feuille ont la même chance d’être atteints, la probabilité d'un événement A (surface sur la feuille d'aire ℚ) est P(A) = Aire(A) / (l * L). Pour un univers continu comme celui-ci, la probabilité de tomber sur un point particulier P({(x,y)}) est nulle.

A.4 Notions de base : Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle de A sachant B : Probabilité que A se réalise sachant que B s'est réalisé. Notée P(A|B).

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), à condition que P(B) > 0. C’est une probabilité sur B.

Indépendance de deux événements A et B : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Cela implique également que P(A|B) = P(A) (si P(B)>0) et P(B|A) = P(B) (si P(A)>0).

Remarque : Deux événements disjoints ne sont pas indépendants, sauf si la probabilité de l'un d'eux est nulle.

Indépendance mutuelle d’une séquence d’événements : Une séquence d'événements (A_i)_i∈I est mutuellement indépendante si pour tout sous-ensemble fini J ⊂ I, P(⋃_j∈J A_j) = ∏_j∈J P(A_j).

Théorème de Bayes

Pour deux événements A et B :

P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B).

Généralisation pour un système complet d’événements (A₁, A₂, ..., A_n) :

P(A_i|B) = [P(B|A_i) * P(A_i)] / [∑_j=1ⁿ P(B|A_j) * P(A_j)].

B. Variables aléatoires

B.1 Variable aléatoire réelle (V.A.R) : Définition

Définition : Soit (Ω, ℳ, P) un espace probabilisé. Une variable aléatoire réelle X est une fonction X : Ω → ℝ (ou un sous-ensemble E de ℝ) qui attribue une valeur numérique à chaque résultat de l'expérience aléatoire. Elle est dite "mesurable", ce qui signifie que l'image réciproque X^-1(B) = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ B} est un événement de la tribu ℳ pour tout ensemble borélien B de ℝ.

Remarque : La mesurabilité de X dépend des tribus ℳ choisie sur Ω et de la tribu ℨ (généralement borélienne) sur l'ensemble des valeurs de X (E).

Lorsque X est une variable discrète, la séquence d’événements {X=x} pour chaque valeur x possible, forme une partition de l'univers Ω. On l’appelle partition engendrée par X.

Exemple 1 (suite) : Lancer d’un dé régulier. Soit X la fonction de Ω dans {0,1} valant 1 si le lancer est pair, 0 sinon. X est mesurable car :

{X=0} = {1,3,5} est un événement de ℙ(Ω).
{X=1} = {2,4,6} est un événement de ℙ(Ω).

Exemple 2 (suite) : On lance 2 pièces de monnaie régulières. Soit X le nombre de « Piles » obtenu. X prend les valeurs discrètes 0, 1 ou 2 (E={0,1,2}) :

Si ω=(F,F), X(ω)=0 ⇒ {X=0} = {(F,F)}.
Si ω=(F,P) ou ω=(P,F), X(ω)=1 ⇒ {X=1} = {(F,P), (P,F)}.
Si ω=(P,P), X(ω)=2 ⇒ {X=2} = {(P,P)}.

X est une variable aléatoire discrète.

Exemple 3 (suite) : Soit X l’abscisse de la mine de crayon. X prend des valeurs continues entre 0 et l (E=[0,l]). Si ω=(x,y), X(ω)=x. X est une variable aléatoire continue.

B.2 Variable aléatoire réelle (V.A.R) : Loi

Loi d’une variable aléatoire (P_X) : La mesurabilité de X permet de définir une mesure de probabilité sur l'ensemble des valeurs possibles de X, appelée loi de X et notée P_X. Pour tout ensemble B de valeurs, P_X(B) = P(X ∈ B).

Variable aléatoire réelle discrète (V.A.R.D.)

Définition : X prend ses valeurs dans un ensemble E discret de valeurs réelles.

Loi : La loi de X est la séquence des probabilités p_X(x) = P(X=x) pour chaque x ∈ E.

0 ≤ p_X(x) ≤ 1 pour tout x ∈ E.
∑_{x ∈ E} p_X(x) = 1.

La probabilité d’un événement B (sous-ensemble de E) est P(X ∈ B) = ∑_{x ∈ B} p_X(x).

Présentation : La loi de X est souvent présentée dans un tableau.

Représentation graphique : Diagramme en bâtons.

Variable aléatoire réelle continue (V.A.R.C.)

Définition : X prend ses valeurs dans un ensemble E continu de valeurs réelles (souvent un intervalle de ℝ).

Loi : La loi de X est définie par une fonction f : ℝ → ℝ appelée densité de probabilité.

f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.
∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1.

La probabilité d’un événement B est P(X ∈ B) = ∫_B f(x) dx.

Attention : Pour une V.A.R.C., P(X=x) = 0 pour tout x ∈ ℝ (la probabilité d'une valeur exacte est nulle).

Présentation : La loi de X est donnée par sa fonction de densité f.

Représentation graphique : Courbe de la densité.

Fonction de répartition (F.d.R.) de la loi de X

Définition : La fonction de répartition F_X est une application F_X : ℝ → [0,1] définie par F_X(x) = P(X ≤ x).

Propriétés :

F_X est croissante.
F_X est continue à droite.
lim_x→+∞ F_X(x) = 1 et lim_x→-∞ F_X(x) = 0.

Pour une variable discrète : F_X est une fonction en escalier, continue à droite.

F_X(x) = ∑_{y ∈ E, y ≤ x} P(X=y).

P(a < X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a).

Pour une variable continue : F_X est une fonction continue.

F_X(x) = ∫_-∞^x f(t) dt. De plus, f(x) = F'_X(x) (là où la dérivée existe).

P(a ≤ X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a) = ∫_a^b f(x) dx.

P(X > x) = 1 - F_X(x).

Exemple 2 (suite) : Loi pour le nombre de Piles

X prend les valeurs {0, 1, 2}.

P(X=0) = P({(F,F)}) = 1/4
P(X=1) = P({(F,P), (P,F)}) = 2/4 = 1/2
P(X=2) = P({(P,P)}) = 1/4

Tableau de la loi de X :

x	0	1	2
P(X=x)	1/4	1/2	1/4

Exemple 3 (suite) : Loi pour l'abscisse de la mine de crayon

X représente l'abscisse de la mine. Si les emplacements sont équiprobables, X suit une distribution uniforme sur l'intervalle [0,l]. La densité de probabilité f(x) est 1/l pour x ∈ [0,l], et 0 sinon. On note X ~ U([0,l]).

B.3 Variable aléatoire réelle (V.A.R) : Moments

Les moments d'une variable aléatoire caractérisent sa distribution, notamment sa tendance centrale et sa dispersion.

Espérance d’une V.A.R.

L'espérance E[X] est une mesure de la tendance centrale (moyenne) de la distribution de X.

Pour une V.A.R. discrète : E[X] = ∑_{x ∈ E} x ⋅ P(X=x).
Pour Y=g(X) où X est discrète : E[Y] = E[g(X)] = ∑_{x ∈ E} g(x) ⋅ P(X=x).
Pour une V.A.R. continue : E[X] = ∫_-∞^+∞ x ⋅ f(x) dx.
Pour Y=g(X) où X est continue : E[Y] = E[g(X)] = ∫_-∞^+∞ g(x) ⋅ f(x) dx.

Propriété : L’espérance peut ne pas exister si les sommes ou intégrales ne convergent pas absolument.

Variance et écart-type d'une V.A.R.

La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance.

Variance de X (V[X] ou σ²_X) : V[X] = E[(X - E[X])²]. C'est l'espérance du carré de l'écart à la moyenne.
Écart-type de X (σ_X) : σ_X = √(V[X]). C'est la racine carrée de la variance.

Foire Aux Questions

Qu'est-ce qu'un événement aléatoire ?

Un événement aléatoire est un ensemble de résultats possibles d'une expérience aléatoire. Par exemple, lors du lancer d'un dé, "obtenir un nombre pair" est un événement (les résultats {2, 4, 6}).

Quelle est la différence entre une variable aléatoire discrète et continue ?

Une variable aléatoire discrète prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs isolées (par exemple, le nombre de faces d'un dé, le nombre de personnes dans une file d'attente). Une variable aléatoire continue peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné (par exemple, la taille d'une personne, le temps d'attente à un guichet).

À quoi sert la fonction de répartition ?

La fonction de répartition F_X(x) donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, c'est-à-dire P(X ≤ x). Elle permet de calculer les probabilités pour des intervalles et de visualiser la distribution cumulative de la variable, qu'elle soit discrète ou continue.