Probabilités et Statistiques : Cours 3 Rappels de probabilités A Notions de base B Variabl
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Cours 3: Rappels de probabilités
A- Notions de base
B- Variables aléatoires
C- Lois classiques
D-Convergence de v.a.
A Notions de base
Théorie des probabilités
Décrit le comportement de phénomènes dont le résult
at est soumis au
hasard
permet de modéliser la fréquence de réalisation d’«
évènements »
aléatoires.
A.1 Notions de base : quelques définitions
Expérience aléatoire
:
expérience dont le résultat ne peut pas être déterminé avec certitude a priori.
Univers de
E
= ensemble des Ex1 : E
: “ lancer d’un dé régulier “
Ω
={1,2,3,4,5,6}=[|1,6|],
ω
=2 est un résultat possibleEx2 : E
: “jet de deux pièces de
monnaie distinguables “. ε Univers de
E
= ensemble des
résultats possibles de
E
. On le note .
Résultat élémentaire de
E
=
résultat possible de
E
. C’est un
élément de
Ω
. On le note
monnaie distinguables “.
Ω
={(P,P) ; (P,F) ; (F,P) ; (F,F)}.
ω
= (P,P) est un résultat possible
Ex3: E : “ lancer d’un crayon sur une
feuille de papier de dim l* L. Chaque point de la feuille est repéré par son abscisse et son ordonnée.
Ω
=={(x,y), x
∈
[0,l], y
∈
[0,L]}
infini
ω
=(l/2,L/2)
Ω
ω
A.2 Notions de base: évènements
Ensemble P ( Ω
ΩΩΩ
) des parties de
Ω
Ω Ω Ω
:
ensemble constitué de tous les
sousensembles (parties) de Ω Evènement (aléatoire)=une partie (sousensemble) de
Ω
= assertion, qui peut ou non se réaliser suivant l'issue de E . Ex0
: Si Ω = { a, b, c } ,
P( Ω ) a 8
éléments.
l'ensemble vide :
∅
les parties à un élt. : { a },{b}, {c}
les parties à deux élts. : {b,c},{a,c},{a,b}
réaliser suivant l'issue de E .
Réalisation d’un événement
:
Soit A un évènement de
Ω
. Soit ω le résultat de l’expérience
CP
: A=
Ω
se réalise toujours. On
l’appelle évènement certain.A= ∅ ne se réalise jamais. On
l’appelle évènement impossible.
A={w} s’appelle événement
élémentaire.
les parties à deux élts. : {b,c},{a,c},{a,b}les parties à trois éléments : {a,b, c}=Ω Ex1 :
A=« le lancer est pair »={2,4,6}.
Ex2
: A= « on obtient deux
piles »={(P,P)}
Si le résultat de
Eest ω =(F,P) alors A ne
se réalise pas.
Ex3
: A=« le lancer a une abscisse
>l/2 »=]l/2,l]*[0,L]
se réalise A A ω
⇔
∈
A.2 Notions de base: évènements
Opérations sur les évènements
Complémentaire de A
: événement constitué des résultats élémentaires de
Ω
qui
ne sont pas dans A. Soit
ω
le résultat de l’expérience :
(
se réalise ssi A ne se réalise pas : non A).{ , }A A ωω = ∈ Ω∉ A ΩA Réunion
de A et B:
évènement constitué des résultats élémentaires de
Ω
qui
appartiennent à A ou
à B (ou aux deux). Soit
ω
le résultat de l’expérience :
(
se réalise ssi A se réalise ou B se ré
alise : A ou B).
Intersection de A et B
: évènement constitué des résultats élémentaires de
Ω
qui
appartiennent à la fois à A et à B. Soit
ω
le résultat de l’expérience
se réalise ssi A et B se réalisent : A et B).{ , ou } A BA B ωω ω ∪
=
∈ Ω∈ ∈ AB ∪ (A B ∩A B {
,
et } A BA B ωω ω ∩
=
∈ Ω∈ ∈ A
B
A.2 Notions de base: évènements
Relations particulières
:
• Inclusion
: A est inclus dans B ssi tout élément de A apparti
ent à B :
(Si A est réalisé alors B est réalisé).
() A BA B ωω ⊂ ⇔∈ ⇒ ∈A B (Si A est réalisé alors B est réalisé).
• Disjonction ou incompatibilité
: A et B sont disjoints ssi A et B n’ont pas
d’éléments communs :
(A et B disjoints : A et B sont incompatibles).
et
disjoints
() A BA B ⇔
∩
= ∅B A B
A.2 Notions de base: évènements
Système complet d’évènements
: Soient A
1
, A
2
, ... , A
n
n
événements. On dit que (A
1
, A
2
, ... , A
n)
constitue un système
complet d'événements si ils forment une partition de Ω :
ils sont deux à deux incompatibles
ils sont deux à deux incompatibles
si leur réunion est l'événement certain
Ω
Ex :
forme un système complet
d’évènements.p q AA p q
∀ ≠
∩
= ∅1 n pA p =
= Ω
∪
( , )
A AA2 A1 A3
A4
Ω
A.2 Notions de base: évènements
Tribu d’évènements de
Ω,
Ω, Ω, Ω,
espace probabilisable
Tribu d’un ensemble de parties de
Ω
: Soit A ∈P ( Ω
) .
A
est une tribu ou sigma
algèbre si elle contient
Ω
et est stable par complémentation et réunion
dénombrable. On dit alors que (Ω , A
) est
un espace probabilisable
.
Exemples :
Tribu grossière A ={ ∅, Ω }
Tribu des parties (appelée aussi tribu discrète)
A = P (
Ω
)
Tribu des boréliens
A
={]a,+
∝
[, a∈ Q (ouR ) }, lorsque Ω = R
Tribu des boréliens
A
={]a,b[, a<b, (a,b)∈ I² }, lorsque Ω = I
intervalle de
R
Autres exemples de tribus
A
={A, ,
∅, Ω} Ω
={a,b,c,d}, A ={ ∅
,{a},{b,c,d},Ω }
Choix d’une tribu
: se fait en fonction de l’information qu’on a sur
le problème.
lorsque l’univers est fini ou dénombrable, on trava
ille généralement avec la tribu
discrète. Lorsque l’univers est infini (Ω = R
ou I) on travaille avec la tribu
borélienne.
A
A.3 Notions de base: probabilité
Probabilité
= fonction permettant de « mesurer » la chance de réa
lisation
d’un évènement de P ( Ω
) (ou plus généralement d’une tribu A )
Définition
: Soit (Ω , A
) un espace probabilisable. Une probabilité sur ( Ω ,
A
) est une application
satisf
aisant les 3 axiomes ( Ω ,
A
) est une application
satisf
aisant les 3 axiomes
suivants :
Dès lors que P est définie, (Ω , A
,P) s’appelle un
espace probabilisé. : [0,1]A P →
0
( ) 1,
( )1( ) (), ( )
ensemble dénombrable
d'évènements di
sjointsA i i
i ii i P AA PP A
P AA ∈ ∈∈ ≤ ≤ ∀ ∈
Ω == ∀ ∑∪ N N
N
A.3 Notions de base: probabilité
Opérations sur les probabilités: CP : Si P(A)=0 alors A est
presque
impossible. On écrit
Si P(A)=1 alors A est
presque
sûr. On écrit
Axiome des probabilités totales
:
système complet d’évènements :1 ( )
i
i n
A
≤ ≤1 , ( )( ) An i i
B
P B
P BA = ∀ ∈= ∩ ∑.s. A p
= ∅p.s. A = ΩA1 A2 A3
A4
A.3 Notions de base: probabilité
Construction pratique d’une probabilité en univers fini
ou
dénombrableO
n suppose que l'ensemble des événements possibles e
st fini ou
dénombrable. On note
l'ensemble des résultats
dénombrable. On note
l'ensemble des résultats
possibles.
on définit la probabilité
de chaque résultat
élémentaire
on a alors une suite (p
1
,...,p
n....
) de nombres tels que :
la probabilité d’un événement quelconque A est donn
é par0 1 11 p in p ii ≤ ≤= ∑ =
( )
P Ap i Ai ω =∑ ∈ ,....{ ,..., }1 n ω
ω
Ω =i p i
ω
A.3 Notions de base: probabilité
CP d’un univers fini équiprobable :
Lorsqu’il n’y a pas lieu d’attacher
aux différents évènements élémentaires des probabil
ités différentes, on
a pour tout
ω
i, p
i
= p. On dit que l’univers est
équiprobable
.
Lorsque
l’univers est fini, de cardinal |
Ω
|, on a p
i
= p =1/|
Ω
|.On définit alors la
probabilité P comme précédemment : soit A un événeme
nt quelconque.
Cette probabilité est appelée
probabilité uniforme sur Ω . |
|
( )| | A
P A
=
Ω
A.3 Notions de base: probabilité
Ex 2: E : “jet de deux pièces de monnaie distinguables “.
Ω
={(P,P) ; (P,F) ;
(F,P) ; (F,F)} est équiprobable. Soit A= “On obtient
au moins une fois
P ”={(P,P) ; (P,F) ; (F,P) }. P(A)=3/4
Ex1bis: E : « jet d’un dé pipé : le 6 apparaît 2 fois plus que
les autres ». W
non équiprobable : p1=p2=p3=p=p5=p; p6=2p, p tel qu
e :5p+2p=1,
non équiprobable : p1=p2=p3=p=p5=p; p6=2p, p tel qu
e :5p+2p=1,
p=1/7
A=« le lancer est pair »; P(A)=p2+p4+p6=4/7.
Ex3 :
E
=« lancer de la mine de crayon ». Soit A un événement
(surface sur
la feuille) de
Ω
d’aire
A
. Si tous les emplacements sur la feuille ont la
même chance d’être atteints, intuitivement, on peut
définir P(A)=A /l*L Par contre, P({(x,y})=0 (lorsque
Ω
est infini, on admet que la
probabilité de tomber sur un point particulier est
nulle).
A.4 Notions de base: probabilité
conditionnelle, indépendance
Probabilité conditionnelle de A sachant B
:
(probabilité que A se réalise sachant que B se réal
ise). C’est une
probabilité sur B. ( ) ( / )
( )
P A
B
P A B
P B∩ =
Indépendance de deux évènements A et B
Rq : Deux évènements disjoints ne sont pas indépendants. Indépendance mutuelle d’une séquence d’évènements( ) ( ) ( )
( / )
( )
( / )
( )
P A
B
P A P B
P A B
P A
P B A
P B∩ = ==( ) i
A
(2,.. ),( ) () P ii I II n P
A
P A
∀ ∈= ∏ ∩
A.4 Notions de base: probabilité
conditionnelle, indépendance
Théorème de Bayes
pour deux évènements A et B
:
( / ) ( )
( / )
( )
P B A P A
P A B
P B= Généralisation pour un système complet d’évènement
s A
1
, A
2
, ... , An : 1
( )
( /
) () n ii i P B
P B A P A= = ∑
1
( /
) () ( / )
( /
) () i ii n ii i P B A P A
P A B
P B A P A= = ∑
B.1 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
définition
Définition
:
On suppose une expérience dont l’univers est muni d
’une tribu
A
d’évènements et d’une probabilité P ( (Ω , A
,P) espace probabilisé) . Une variable
aléatoire réelle X est une caractère quantitatif,
discret ou continu, dont la valeur
est
fonction
du résultat de l’expérience :: X E
Ω →
(E est l’ensemble des valeurs possibles de X) qui est
mesurable
, c’est à dire telle que l’image réciproque
de tout élément B de la tribu
B
associée à E est un événement de
A
.
Rq : Notation :
Alors, on peut attribuer une chance de réalisation
à tout élément B de B Rq : la mesurabilité de X dépend des tribus
Aet B choisie sur
Ω ετ Ε
. La tribu
B
est généralement
P
( E) en discret, la tribu borélienne en continu.
( )X x ωω → =1 , ( )B A BX B −
∀ ∈∈ 1 ( ){ , ( )} X BX B ωω − =
∈ Ω∈ 1 ( ){ } XB X B− = ∈
B.1 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
définition
Rq
: Lorsque X est une variable discrète, la séquence
d’évènements
forme une partition de V. On l’appelle partition en
gendrée par X. { } Xx = Ex1 : lancer d’un dé régulier. (
Ω
, P(
Ω
), P) est un espace probabilisé. Soit X
la fonction de
Ω
dans {0,1} valant 1 si le lancer est pair , 0 sinon
. X est
une fonction du résultat de l’expérience et elle es
t mesurable. En effet,
B
={{0},{1},{0,1},∅ } On a {X=0}={1,3,5}∈ P (Ω)
•
{X=1}={2,4,6} ∈ P (Ω)
•{X ∈ {0,1}}={X=0 ou X=1}=
Ω ∈P (Ω) •
{X
∈ ∅
}=
∅ ∈
P
(Ω)
B.1 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
définition
Ex2
: On fait l’expérience E : « on lance 2 pièces de monn
aie régulières ».
Soit X le nombre de « P » obtenu : X prend les valeurs
quantitatives
discrètes 0, 1ou 2 (E={0,1,2}), selon le résultat de
l’expérience :
w=(F,F) X(w)=0w=(F,F) X(w)=0w=(F,P) ou w=(P,F) X(w)=1w=(P,P) X(w)=2
X est donc une variable aléatoire discrète. L’évènement engendré par la valeur 0 est l’évènemen
t
L’évènement engendré par la valeur 1 est l’évènemen
t
L’évènement engendré par la valeur 2 est l’évènemen
t
On a :
{
0} {( , )}
X
F F= = {
1} {( , ), ( , )}
X
P F
F P= = {
2} {( , )}
X
P P= = {0} { 1}{ 2} XX X =∪ = ∪
=
= Ω
B.1 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
définition
Ex 3
: Soit X l’abscisse de la mine : X prend des valeur
s
quantitatives continues entre 0 et l (E=[0,l]), sel
on le résultat de
l’expérience : si le résultat de l’expérience est
ω
=(x,y) X(
ω
)=x.
On associe à E et à
Ω
les tribus boréliennes
A
et
B
respectivement engendrées par les ouverts de [0,l]
et de
respectivement engendrées par les ouverts de [0,l]
et de
[0,l]*[0,L] (qui contiennent tous les intervalles a
ssociés à ces
ensembles). Alors, l’image réciproque de tout élém
ent de
B
(tout intervalle I de [0,l] est dans
A
(c’est un intervalle de
[0,l]*[0,L])
{X
∈ Ι}={ω
=(x,y), x
∈ Ι ,y ∈[0, L
]} ∈
B
X est donc une variable aléatoire (continue).
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
Loi d’une variable aléatoire
:
La mesurabilité de X assure que l'image réciproque
de tout élément B ∈ est dans
A
donc possède une probabilité. On peut ainsi définir, sur une mesure de probabilité, appelée loi de X et noté
e
( , )B E BP sur une mesure de probabilité, appelée loi de X et notée par 1
,
( )
(
( ))( ) X
B
P B
P X
B
P XB − ∀ ∈= = ∈
B
( , )B E X
P
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
Variable aléatoire réelle discrète
Déf
: X prend ses valeur dans un
ensemble E discret de valeurs réelles (v.a.r.d.).
Loi
: Séquence des probabilités :
variable aléatoire réelle continue
Déf
: X prend ses valeur dans un
ensemble E continu de valeurs réelles (v.a.r.c.).
Loi : Loi
: Séquence des probabilités :
Propriétés: Loi
:
Par contre La loi de X est définie via la fonction f de
Rdans R , appelé
densité de
probabilité
:
Propriétés
:
( )( ), Xp x P Xx x E= = ∈
0
( )
1
( )1 , ( )
( )B p xX p x
X
x EB p Bp x X
X
x B≤ ≤ =∑ ∈ ∀ ⊂= ∑ ∈
( )
(
[ ,
[)
f x dx
P X
x xdx = ∈+ 0 ( )
( )1 , ( )
( )
B
f x
f x dxB p B
f x dxX ≤ =
∫
∀ ⊂= ∫ RR , () 0 x
E P X
x
∀ ∈= = (
[ ,[) 0 P X
x xdx ∈ +
≠
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
Présentation
: la loi de X est
présentée dans un tableau (tableau de la loi de X ou tableau en fréquences):
Présentation
: La loi de X est
donnée par la fonction f
Représentation graphique
: courbe
de la densité
Représentation graphique
:
diagramme en bâtons
de la densité
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
Fonction de répartition de la loi de XDéfinition: : [0,1]( ) F R
x
P Xx → →
≤
Propriétés
: (i) F est croissante
(ii) F est continue à droite(iii) lim ( )
1, lim
( )0 x x
F x
F x→+∞ →−∞ =
=
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
Variable discrete
F est une fonction en escalier, continue
à droite
Variable continue
F est une fonction continue
( )
( ), ( )
( )
( )( ) 1
( )
F xp y X
y x y E
P aX b F b
F a
P X
x
F x= ∑ ≤∈ ≤ <= − >
= −
Aire sous la courbe de la densité avant
x
'( )
( )
( )
( )( ) (
)
( )
( )
( )( ) () 1 ( )
( )
F x
f x
x
F x
f t dt
b
P aX b P aX b F b
F a
f x dx
a
P X
x
P X
x
F x
f t dtx = == ∫ −∞
≤
<= ≤ ≤= − =∫ +∞ >= ≥ = −
=
∫
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
B.2 Variable aléatoire réelle (v.a.r): Loi
•
Exemple 2
: On fait l’expérience E :
« on lance 2 pièces de monnaie régulières ». Soit X le nombre de « P » obtenu .
•
Exemple 3
:
E: lancer de la mine de
crayon. X= abscissef(x)dx=P[x<X<x+dx]=P({
ω
=(t,u),
x<t<dx, O<u<L})=dx*L/l *L si
0<=x<=l, 0 sinon. Donc f(x)=1/l si 0<=x<=l, 0 sinon. Donc f(x)=1/l si 0<=x<=l, O sinon. On reconnaît :
- 10 1 2
3
0.00.20.40.60.81.0
f d r d e Xx f(x) l1/l 1 l
[0, ]X l ∼
U
B.3 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
moments
Espérance d’une v.a.r.d.Espérance de Y=g(X), X v.a.r.d.
Espérance d’une v.a.r.c.Espérance de Y=g(X), X v.a.r.c.( ) ( )
X
x E
E Xxp x ∈= ∑ ( )
( )
( )
E Y
g x px = ∑( ) ( )
R
E X
xf x dx= ∫ ( )
( ) ( )
E Y
g x f x dx= ∫ Propriétés
:
Rq : L’espérance peut ne pas exister
( )
( )
( )
X
x E
E Y
g x px ∈ =
∑
( )
( ) ( )
R
E Y
g x f x dx
=
∫
B.3 Variable aléatoire réelle (v.a.r):
moments
Définitions
Variance de X Ecart
type de X( ) 2( ) (( ))² X
V XE X E Xσ = =− ( )
X
V Xσ =