Travaux dirigés de mécanique des fluides - mécanique des flu

Mécanique des Fluides : Travaux dirigés de mécanique des fluides

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8)56FLHQFHV

%G/DYRLVLHU

$QJHUV&HGH[  ̈ 

//LFHQFHPHQWLRQ3K\VLTXH&KLPLH

7UDYDX['LULJpVGH 0pFDQLTXHGHV)OXLGHV 6&KDXVVHGHQW

'E

VWHSKDQHFKDXVVHGHQW#XQLYDQJHUVIU

fiKWWSHDGXQLYDQJHUVIU(FKDXVVHG 7PKXGTUKV√F#PIGTU

7(45EKGPEGU

..KEGPEGOGPVKQP2J[UKSWG%JKOKG

5%JCWUUGFGPV  

*[FTQUVCVKSWG 

'Z Formuler l'équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas où le fluide est uniformément accéléré. Appliquer ce résultat au cas d'un tube en U partiellement rempli d'un liquide et subissant une accélération uniforme a

& horizontale (voir figure 1.1). Les deux branches du U étant distantes de O, trouver ainsi la différence de ni-

veau K due à cette accélération. 

'Z La porte rectangulaire CD de la figure1.2 apour longueur

/ = 2 m et largeur " = 1,8 m (sui-

vant la perpendiculaire au plan de la figure). Son épaisseur étant né-

gligeable, on donne la masse sur-

facique du matériau homogène la constituant : σ = 5110 kg.m-2 . Cette porte a la possibilité de pi-

voter autour de l'axe C. On se propose de déterminer la hauteur d'eau +

à partir de laquelle la porte s'ouvre pour laisser l'eau s'écouler. 1. Déterminer la force de pression hydrostatique s'exerçant sur la porte. 2. Déterminer la position du point d'application de cette force. 3. Calculer, d'une part le moment de la force hydrostatique par rapport à l'axe de rotation, et d'autre part le moment du poids de la porte par rapport à l'axe de rotation. En déduire la hauteur d'eau + nécessaire pour qu'il y ait ouverture automatique de la porte. 

'Z La masse volumique de la digue représen-

tée sur la figure 1.3 est de 2360 kg.m-3 . Dé-

terminer le coefficient de friction minimal requis entre la digue et ses fondations pour qu'il y ait absence de glissement. (effectuer l'analyse pour une unité de longueur de la digue).  eau +

K= 1,6 m /= 2 m C D - figure 1.2 - - figure 1.1 - KO a& 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

12 m 5 m 2 m 4 m - figure 1.3 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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5%JCWUUGFGPV   'Z Un réservoir de 1 m de diamètre et de masse 90 kg est clos à son extrémité supérieure. L'autre extrémité est ouverte et descendue dans l'eau à l'aide d'un bloc d'acier de masse volumique 7840 kg.m

-3 (voir figure 1.4). On suppose que l'air emprisonné dans le réser-

voir est comprimé à température constante. Déterminer : 1. la lecture d'un manomètre donnant la

pression dans le réservoir ; 2. le volume du bloc d'acier.  'Z On cherche à caractériser la force de pression hydrostatique s’exerçant sur l’arc circulaire de la figure 1.5. On raisonnera sur une largeur unité. 1. Exprimer la pression hydrostatique en tout point de l’arc en fonction de +, 5, ρ, g et θ. 2. En déduire les deux composantes d)

[ et d)

] de la force de pression élémentaire en chaque point de l’arc. 3. Exprimer les deux résultantes )

[ et )

] en fonction de +, 5, ρet g. 4. Si on note A le point de l’arc où s’applique la force, montrer que le moment de cette force par rapport au point O est nul. En déduire, en fonc-

tion de +et 5, l’expression de l’angle θ

$ repérant la position de A. 5. Quelles valeurs limites peut prendre l’angle θ

$ en fonction des variations de + ? 

'Z En tenant compte de la compressibilité de l’air atmosphérique, et en supposant que la tempé-

rature de l’atmosphère obéit à la loi 7(]) = T

0 – B.], déterminer la limite d’altitude de l’atmosphère selon ce modèle. On prendra 7

0 = 293 K comme température au niveau du sol, et B = 7,5 K.km-1 . 

7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

3 m 0,6 m - figure 1.4 - 5θ - figure 1.5 - ][ +

O 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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%KP√OCVKSWG 

'Z 1. Ecrire l'équation de continuité en symétrie sphérique pour l'écoulement stationnaire et conservatif d'un

fluide incompressible. En déduire l'expression de la vitesse en un point quelconque lorsque cet écoule-

ment est radial, dirigé vers l'origine. 2. On suppose que de l'eau coule en régime permanent à travers l'entonnoir représenté sur la figure 2.1.

L'écoulement étant considéré comme radial, centré en O, l'expression de la vitesse est celle établie dans la question précédente. Déterminer l'accélération aux points A et B sachant que la vitesse en A est de 0,6 m.s-1 . 

'Z On considère l'écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide incompressible à l'inté-

rieur de la buse représentée figure 2.2. La vitesse du fluide le long de l'axe est donnée par : ()[H H/[Y9& &

+=1 où H

Y est la vitesse à l'entrée de la buse et / sa longueur. 1. Déterminer l'accélération d'une par-

ticule fluide traversant la buse le long de l'axe. 2. Déterminer, en fonction du temps, la position d'une particule initiale-

ment située à l'entrée de la buse. En déduire son accélération. 3. Les deux accélérations calculées

sont-elles différentes ? Pourquoi ? 

'Z Un modèle d’écoulement stationnaire autour d’un cylindre (voir figure 2.3) a permis de formuler l’expression de la vitesse du fluide en tout point M de la surface : θθH9Y &&sin2 0

=. Déterminer l’accélération normale et tangentielle en fonc-

tion de D, θet 90 . 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

r A B 0,12 m 0,2 m 0,1 m 9

O - figure 2.1 - 0 /[ [HHY9 && =)0( )(/9& - figure 2.2 - D

θ M9 0

- figure 2.3 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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'Z L'écoulement d'eau à travers les orifices de la rampe d'arrosage représentée figure 2.4 génère un champ de vecteurs vitesse tel que ()[] \[

HYHY\WX9

&&& 000

sin+−=ω, où 0

X, 0

Y et ω sont des constantes. Ainsi, la composante de la vitesse se-

lon l'axe y reste constante : ()0 ;,YW\[Y= et celle se-

lon l'axe x coïncide, en 0= \, avec la vitesse de dé-

placement de la rampe d'arrosage : ()()WXW\[Xωsin;0,0 ==. 1. Déterminer la ligne de courant passant par l'ori-

gine à 0=W ; à ωπ2=W. 2. Déterminer la trajectoire de la particule émise à l'origine à 0=W ; à ωπ2=W. 3. Déterminer l'allure de la ligne d'émission relative à l'origine, à un instant t quelconque. 

'Z La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide in-

compressible est donnée par l'équation : 32

3\\[−=Ψ, où Ψest en m3 .s

-1 et [, \ sont en m. 1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine. 2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de la figure 2.5.  'Z L'écoulement plan de la figure 2.6 correspond au potentiel des vitesses suivant : θφcosBlnAUU+=, où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer la fonction de courant Ψassociée et localiser d'éventuels points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en s'aidant de la représentation qui en est donnée. 

7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

O x y - figure 2.4 - A(1;0) B(0;1) [\ - figure 2.5 - - figure 2.6 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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5%JCWUUGFGPV  'Z On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants, avec un vortex centré sur l'origine. En supposant que la ligne de courant 0=Ψ passe par le point de coordonnées (2;0), déterminer son équation. 

'Z De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s

-1 (voir la figure 2.8). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débit volumique de 4 l.s

-1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible, l'écou-

lement peut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits. 1. Localiser l'endroit où la vitesse de l'eau est nulle et déterminer l'équa-

tion de la ligne de courant passant par ce point. 2. A quelle hauteur + par rapport à la surface doit se situer une particule fluide pour ne pas être aspirée par la pompe ? 

'Z On peut modéliser l'écoulement plan d'un tourbillon par superposition des deux écoulements plans suivants : un puits de débit -TY  situé à l'origine, et un vortex de circulation Γ cen-

tré sur l'origine. 1. Déterminer le potentiel complexe de l'écoulement résultant. En déduire le potentiel des vi-

tesses et la fonction de courant. 2. Déterminer l'équation d'une ligne de courant. En déduire l'allure des lignes de courant et des équipotentielles. 3. Déterminer le champ de vitesse et vérifier que l'écoulement est irrotationnel. Calculer la circulation du vecteur vitesse sur un cercle centré sur l'origine. Calculer le débit volumi-

que à travers le même cercle. Que peut-on remarquer ? Quelle propriété remarquable pré-

sente l'angle (U HY

&&

,) ? 4. Donner les coordonnées )(WU et )(Wθ d'une particule se trouvant à 0

UU= et 0=θ à l'ins-

tant 0=W. Quel temps met-elle pour atteindre l'origine ? 5. L'écoulement étant irrotationnel, la dynamique des fluides permet de montrer que dans ce cas la pression totale 22 1YJ]33 W

ρρ++= est constante en tout point de l'écoulement, c'est-à-dire ()]U,,θ∀, 3 étant la pression hydrostatique, et ] repérant un plan horizontal dans lequel s'observe l'écoulement plan étudié précédemment. On considère alors un ré-

servoir d'eau d'étendue infinie et de profondeur K (selon l'axe ]) qui serait le siège d'un tel tourbillon. Déterminer la pression totale W

3 en un point de la surface libre, loin du tourbil-

lon dont l'axe est confondu avec l'axe ]. En déduire l'équation de la surface libre en fonc-

tion des coordonnées de l'espace (

]U,,θ). Schématiser l'allure de cette surface libre. 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

A +

- figure 2.8 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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&[PCOKSWG0CXKGT5VQMGU 

'Z Soit l'écoulement permanent d'un fluide réel incompressible entre deux plaques planes infinies horizontales situées en ] = -K et ] = +K. L'écoulement s'effectue suivant l'axe horizontal 2[. $/HVGHX[SODTXHVVRQWIL[HV

1. Déterminer le profil de vitesse. 2. Déterminer le tenseur des contraintes. En déduire les contraintes appliquées au fluide. 3. Déterminer l'expression du débit volumique à travers la surface délimitée par les deux plaques et la longueur unité suivant l'axe 2\. 4. Montrer que la pression diminue avec les [ croissants. %/DSODTXHVXSpULHXUHVHGpSODFHDYHFXQHYLWHVVH8 VXLYDQW2[

Déterminer le profil de vitesse en discutant les différentes solutions possibles. 

'Z On considère le système constitué d'un fluide visqueux, incompressible, remplissant l'espace compris entre deux cylindres infiniment longs de même axe. Le cylindre intérieur, de rayon U , tourne à la vitesse angulaire constante ω , alors que le cylindre extérieur, de rayon U , est maintenu fixe. On considérera l'écoulement du fluide permanent et on négligera les forces de pesanteur. 1. Etablir les équations différentielles qui régissent l'écoulement du fluide. 2. Montrer que l'expression de la vitesse UEDUY+=

θ est solution. Déterminer les constan-

tes D et E. 3. Déterminer les contraintes et en déduire l'expression du couple nécessaire pour assurer une rotation du cylindre intérieur à vitesse angulaire constante. Quelle peut être l'utilité d'un tel dispositif ? 

'Z Une lame de verre partiellement immergée dans un liquide visqueux est tirée verticalement vers le haut avec une vitesse constante 9 , comme l'illustre la fi-

gure 3.3. Grâce aux forces de viscosité, la lame en-

traîne dans son mouvement ascendant un film de li-

quide d'épaisseur K. A l'opposé, les forces de pesan-

teur vont agir de façon à entraîner le film fluide vers le bas. En supposant l'écoulement laminaire, perma-

nent et uniforme, déterminer l'expression de la vitesse moyenne du film fluide lorsque son mouvement est globalement ascendant (on négligera la tension superficielle). 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGUJ [] K9  - figure 3.3

Section d'entrée (S1 )

Section de sortie (S2 ) +'  ' T 9 - figure 4.1 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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(NWKFGURCTHCKVU'WNGT$GTPQWNNK 

'Z Déterminer la force nécessaire pour maintenir en place l'embout conique d'un robinet quand le débit d'eau est de 0,6 l.s

-1 (voir figure 4.1). La masse de l'embout est de 0,1 kg ; ses diamètres d'entrée et de sortie sont respectivement de 16 mm et 5 mm. L'axe de l'embout est vertical et la distance axiale entre les sections d'entrée et de sortie vaut 30 mm. On donne la pression de l'eau à l'entrée : 464 kPa. 

'Z Une conduite cylindrique horizontale, de diamètre constant '= 1 m, présente un coude de 30° (voir figure 4.2). Le volume de ce coude est de 1,2 m3 , et son poids (à vide) vaut 4 kN. Le liquide qui y est transporté est de densité G = 0,94, et le débit volumique de T

Y = 2 m3 .s-1 . La pression du liquide à l'intérieur du coude étant supposée constante et égale à 75 kPa, déterminer la force nécessaire pour maintenir le coude en place. 

'Z L'appareil présenté sur la figure 4.3 est utilisé pour disperser un mélange approprié d'eau et d'insecticide. Le débit d'insecticide doit être de 4

L = 75 ml.min

-1 quand le débit d'eau vaut 4

H = 4 l.min-1 . Déterminer, dans ces conditions, la valeur de la pression au point A, ainsi que le diamètre ' requis pour ce dispositif. 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

α=30° '\ [

- figure 4.2 - A insecticide eau eau + insecticide 2,5 mm '

0,4 mm 15 cm - figure 4.3 - Auget 9

S 9M θ - figure 4.5b 9

S 9M - figure 4.5a 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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5%JCWUUGFGPV  'Z On considère un réservoir comportant une ouverture de diamètre G. On veut comparer le débit de vidange de ce réservoir, d'une part avec la seule ouverture, et d'autre part en prolongeant l'ouverture par un tube ver-

tical de longueur / (voir la figure 4.4). Le liquide sera par ailleurs considéré parfait. 1. Déterminer, dans les deux cas, la vi-

tesse du liquide à la distance verticale / en dessous de l'ouverture , ceci lorsque le réservoir est rempli d'une hauteur K. 2. Quelle est la vitesse du liquide au niveau de l'ouverture dans les deux cas ? 3. En déduire le débit de vidange dans l'un et l'autre cas. Quel est le dispositif le plus effi-

cace ? 4. Quelle est la longueur maximale de tube que l'on peut utiliser sans qu'il y ait cavitation ? Que vaut le débit pour cette longueur ? A.N. : K = 5 m ; G = 20 cm ; pression de vapeur du liquide à 20°C = 2,34 kPa. 

'Z Un jet d’eau de vitesse M9 &

heurte normalement

une plaque plane qui se déplace à la vitesse S9 &

dans le même sens que le jet comme indiqué sur la figure 4.5a. L’eau sera

supposée incompressible et son écoulement uni-

forme et stationnaire. 1. La section du jet incident est 6M . On négligera les poids du jet et de la plaque et on suppo-

sera que le jet se divise en deux demi-jets égaux de sections 6M /2, l’un dirigé vers le haut et l’autre vers le bas. En se plaçant dans le référentiel de la plaque, appliquer le théorème d’(XOHU pour déterminer la force exercée par le jet sur la plaque. 2. La plaque n’est plus plane mais en forme d’auget et dévie le jet dans une direction θ par rapport à l’horizontale (figure 4.5b). En supposant que le jet se divise toujours en deux demi-jets égaux, déterminer la force exercée sur la plaque. 3. Si l’auget précédent fait partie intégrante d’une turbine et est situé à la distance 5 de l’axe de cette turbine, le déplacement à la vitesse 9

S est la vitesse tangentielle correspondant à une vitesse angulaire ω. Dans ces conditions, quelle est l’expression du couple dévelop-

pé ? En déduire la puissance fournie par le jet à la turbine. 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGUK /GG - figure 4.4 - 107 m 7 m 87,4 m ρ

eau = 10

3 kg.m-3 ν

eau = 10

-6 m2 .s-1 conduite (2) T

9 = 28,3 l.s-1 conduite (1) T9 A pompe A0 6 m - figure 5.1 - 30° A1 A2 '1 '1 '

1 = 200 mm 6,5 m - figure 5.2 - 7PKXGTUKV√F#PIGTU

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2GTVGUFGEJCTIG$GTPQWNNKI√P√TCNKU√ 

'Z Le dispositif suivant vise à alimenter deux réservoirs, situés en hauteur à deux altitudes diffé-

rentes, en utilisant deux conduites connectées à une même pompe qui aspire l'eau dans un ré-

servoir principal (voir la figure 5.1). La conduite (1) présente un diamètre nominal '

1 = 150 mm, une rugosité absolue ε

 = 0,09 mm, une longueur /

 = 1232 m et transite un débit T9 . Elle possède une vanne pa-

pillon et un clapet anti-retour à battant. En régime établi, le coefficient de perte de charge dans ce clapet est estimé à .

&/ = 0,17 et la vanne papillon est totalement ouverte (.

9 = 0,24). La conduite (2) présente un diamètre nominal '

1 = 200 mm et une rugosité absolue ε

 = 0,15 mm. Le long du profil en long, la perte de charge due aux singularités est estimée à 7% de la perte de charge régulière. Elle comporte une vanne à opercule totalement ouverte (.

9 = 0,07) et un clapet à battant dont le coefficient de perte de charge est .

&/ = 0,23. Sa longueur est /

 = 2450 m et elle transite un débit T

9 = 28,3 l.s-1 . Les pertes de charge dans le té des conduites et à l'aspiration de la pompe seront négligées. On donne en annexe le diagramme de 0RRG\ permettant de connaître le coefficient de friction en fonction du nombre de 5H\QROGV et du coefficient de rugosité relative ε/'. 1. Calculer la charge à la sortie de la pompe. 2. Si la charge à la sortie de la pompe est de 128 m d'eau, déterminer le débit T

9 dans la conduite (1). (Pour déterminer la perte de charge régulière dans la conduite il est néces-

saire de connaître la vitesse, donc le débit ; on ne peut donc résoudre le problème que par approximations successives). 3. Calculer, en intensité et en direction, l'action de l'eau sur le té de raccordement A (voir figure 5.2). 7'

/√ECPKSWGFGU(NWKFGU

7PKXGTUKV√F#PIGTU

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