Electricité: Electrocinetique : Exercices corrigés générateurs de thévenin et de norton équ
Télécharger PDFÉlectrocinétique : Exercice d'oral
Énoncé : Générateurs de Thévenin et de Norton équivalents
Le circuit ci-contre, non représenté ici, est composé des résistances R0, R1, R2, R3 et de sources de tension E1 et E2, connectées entre deux bornes A et B.
Déterminer les générateurs de Thévenin et de Norton équivalents au circuit donné.
Même question lorsqu'on remplace les deux sources de tension par des sources de courant identiques I.
Corrigé : Générateurs de Thévenin et de Norton équivalents
1) Détermination des générateurs de Thévenin et de Norton
Remarque préliminaire : Il ne faut pas confondre « modèle de Thévenin » avec « théorème de Thévenin » (ou modèle de Norton avec théorème de Norton). On peut très bien déterminer un modèle de Thévenin en utilisant le théorème de Norton, puis convertir le générateur de Norton obtenu en générateur de Thévenin, et réciproquement. Il est aussi possible de combiner ces approches avec le théorème de superposition ou les diviseurs de tension et de courant.
Utilisation du théorème de Thévenin
Calcul de la résistance équivalente de Thévenin (R_Th)
Pour calculer la résistance équivalente de Thévenin (R_Th), nous « éteignons » les sources de tension (supposées autonomes), c’est-à-dire que nous les remplaçons par un fil de résistance négligeable.
Dans cette configuration, la résistance R2 ne joue aucun rôle, car elle est court-circuitée par le fil remplaçant la source de tension. Le circuit équivalent pour le calcul de R_Th se compose de R1 en parallèle avec R3, le tout en série avec R0.
La résistance équivalente de Thévenin est donc donnée par : R_Th = (R1 × R3) / (R1 + R3) + R0.
Calcul de la force électromotrice de Thévenin (E_Th)
La f.e.m. de Thévenin (E_Th) est la tension à vide (circuit ouvert) aux bornes A et B.
Dans ce calcul, la résistance R0 ne joue aucun rôle puisqu’aucun courant ne la parcourt en circuit ouvert. Nous appliquons le théorème de superposition :
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En éteignant d'abord la source E2 (remplacée par un court-circuit) :
On reconnaît une structure de diviseur de tension. La tension aux bornes A et B due à E1 est E_Th1 = E1 × R3 / (R1 + R3).
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En éteignant ensuite la source E1 (remplacée par un court-circuit) :
La tension aux bornes A et B due à E2 est E_Th2 = E2 × R1 / (R1 + R3).
Finalement, par superposition, la f.e.m. de Thévenin totale est la somme de ces contributions : E_Th = E_Th1 + E_Th2 = (E1 × R3 + E2 × R1) / (R1 + R3).
Modèle de Norton équivalent
Calcul de la résistance équivalente de Norton (R_N)
La résistance équivalente de Norton est la même que la résistance de Thévenin, soit R_N = R_Th. Elle se place en parallèle sur la source de courant de Norton.
Calcul du courant de Norton (I_N)
Le courant de Norton s’obtient par la relation de conversion entre les modèles de Thévenin et de Norton : I_N = E_Th / R_Th.
2) Cas où les sources de tension sont remplacées par des sources de courant (I)
Pour cette seconde question, nous appliquons le théorème de Norton.
Utilisation du théorème de Norton
Calcul de la résistance équivalente de Norton (R_N)
Pour calculer la résistance équivalente de Norton, nous « éteignons » les sources de courant en les remplaçant par des circuits ouverts.
Dans cette configuration, la résistance R1 n’intervient pas car la branche où elle se trouve est ouverte. Le circuit équivalent pour le calcul de R_N se compose alors des résistances R0, R2 et R3 en série.
La résistance équivalente de Norton est donc donnée par : R_N = R0 + R2 + R3.
Calcul du courant de Norton (I_N)
Pour calculer le courant de Norton (ou courant de court-circuit I_cc) aux bornes A et B, nous mettons le dipôle AB en court-circuit. Nous appliquons le théorème de superposition.
La résistance R1 n’intervient pas directement dans le calcul des courants, car le courant est imposé par la source de courant I.
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Contribution de la première source de courant (I1) :
En éteignant la deuxième source de courant (circuit ouvert), et en considérant la première source de courant I en parallèle avec R2, ce groupement étant connecté à la branche (R0 + R3), le courant de Norton dû à cette source est obtenu par la formule du diviseur de courant : I_N1 = I × R2 / (R2 + R0 + R3).
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Contribution de la deuxième source de courant (I2) :
En éteignant la première source de courant, et en considérant la deuxième source de courant I qui alimente une branche contenant R0 + R3 en série, le tout étant en parallèle avec R2, le courant de Norton dû à cette source est : I_N2 = I × R2 / (R2 + R0 + R3).
On obtient finalement le courant de Norton total par superposition : I_N = I_N1 + I_N2 = I × R2 / (R2 + R0 + R3) + I × R2 / (R2 + R0 + R3), ce qui simplifie à I_N = 2 × I × R2 / (R2 + R0 + R3).
Comme dans la première question, la résistance équivalente est la même pour les deux modèles (Thévenin et Norton), et l'on a toujours la relation I_N = E_Th / R_N si on voulait convertir un modèle à l'autre.
Foire aux questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un générateur de Thévenin équivalent ?
Un générateur de Thévenin équivalent est un modèle simplificateur d'un circuit linéaire, qui représente l'ensemble du circuit par une source de tension idéale (E_Th) en série avec une résistance équivalente (R_Th) vue depuis les bornes d'observation. Cette source E_Th est la tension à vide aux bornes, et R_Th est la résistance équivalente du circuit avec toutes les sources indépendantes éteintes.
Qu'est-ce qu'un générateur de Norton équivalent ?
Un générateur de Norton équivalent est une autre simplification d'un circuit linéaire, qui représente l'ensemble du circuit par une source de courant idéale (I_N) en parallèle avec une résistance équivalente (R_N) vue depuis les bornes d'observation. Le courant I_N est le courant de court-circuit entre les bornes, et R_N est la même résistance que R_Th.
Quand doit-on utiliser le théorème de superposition ?
Le théorème de superposition est utilisé dans les circuits linéaires contenant plusieurs sources indépendantes (tensions ou courants) pour calculer une tension ou un courant particulier. Il stipule que la réponse totale est la somme des réponses obtenues en considérant chaque source indépendante individuellement, toutes les autres sources indépendantes étant éteintes (sources de tension remplacées par des courts-circuits, sources de courant par des circuits ouverts).