Exercices corrigés théorème de superposition electrocinetiq

Ce document pédagogique est destiné aux étudiants universitaires en physique et génie électrique, et se concentre sur un aspect essentiel de l'électrocinétique. Il propose un exercice corrigé approfondi sur l'application du théorème de superposition.

Ce support didactique vise à renforcer la maîtrise de ce principe fondamental. Il couvre les notions suivantes :

La démarche pas à pas pour déterminer un courant par superposition.
Le calcul des contributions individuelles de chaque source de tension.
Les principes, conditions d'applicabilité et méthodes de désactivation des sources.

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Physique : Électrocinétique - Exercice

Exercice 2.6 : Énoncé - Théorème de Superposition

Déterminer le courant I en utilisant le théorème de superposition. Les composants du circuit sont désignés par E₁, E₂, R₁, R₂, r₁, r₂ et R_I.

Corrigé : Théorème de Superposition

Pour appliquer le théorème de superposition, nous considérons l'effet de chaque source de tension indépendante séparément, en « éteignant » les autres sources. « Éteindre » une source de tension signifie la remplacer par un court-circuit (un fil de résistance nulle, ce qui revient à annuler sa tension).

Étape 1 : Calcul du courant partiel dû à E₁ (E₂ désactivée)

Nous commençons par « éteindre » la source de tension E₂ (en la remplaçant par un court-circuit). Nous calculons alors le courant partiel I_E2(0), qui représente la contribution de E₁ au courant total I.

Après avoir établi le schéma équivalent et effectué les calculs nécessaires en utilisant les lois fondamentales de l'électrocinétique (lois d'Ohm, lois de Kirchhoff, diviseurs de tension et de courant), l'expression du courant I_E2(0) est la suivante :

I_E2(0) = (E₁ · R_I · r₂) / (r₁R₁ + r₁R₂ + r₁R_I + R₁R₂ + R₁R_I + r₂R₁ + r₂R₂ + r₂R_I)

Étape 2 : Calcul du courant partiel dû à E₂ (E₁ désactivée)

Ensuite, nous « éteignons » la source de tension E₁ (en la remplaçant par un court-circuit) et calculons le courant partiel I_E1(0), qui représente la contribution de E₂ au courant total I.

Les mêmes calculs, en tenant compte de la polarité de E₂ et du sens de référence du courant I, conduisent à l'expression suivante :

I_E1(0) = (-E₂ · R_I · r₁) / (r₁R₁ + r₁R₂ + r₁R_I + R₁R₂ + R₁R_I + r₂R₁ + r₂R₂ + r₂R_I)

Le signe « moins » devant E₂ dans cette expression indique que le courant I_E1(0) généré par E₂ seule s'oppose au sens de référence initialement choisi pour I.

Étape 3 : Superposition des résultats

Conformément au théorème de superposition, le courant total I est la somme algébrique des courants partiels calculés lorsque chaque source agit individuellement. Ainsi, le courant final est :

I = I_E2(0) + I_E1(0)

En substituant les expressions obtenues précédemment, on obtient :

I = (E₁ · R_I · r₂ - E₂ · R_I · r₁) / (r₁R₁ + r₁R₂ + r₁R_I + R₁R₂ + R₁R_I + r₂R₁ + r₂R₂ + r₂R_I)

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le théorème de superposition en électrocinétique ?

Le théorème de superposition est un principe fondamental pour l'analyse des circuits électriques linéaires. Il stipule que la réponse (courant ou tension) en n'importe quel point d'un circuit linéaire, contenant plusieurs sources indépendantes, est égale à la somme algébrique des réponses produites par chaque source agissant seule, avec toutes les autres sources indépendantes mises à zéro (désactivées).

Quand peut-on appliquer le théorème de superposition ?

Ce théorème est strictement applicable aux circuits linéaires, c'est-à-dire ceux composés d'éléments (résistances, condensateurs, bobines) dont le comportement est décrit par des équations linéaires. Il ne peut pas être utilisé pour calculer des grandeurs non linéaires comme la puissance dissipée, car la puissance n'est pas une fonction linéaire du courant ou de la tension.

Comment « éteindre » une source de tension ou de courant dans un circuit ?

Pour appliquer le théorème de superposition, il est nécessaire de désactiver les sources non étudiées pour un calcul donné. Concrètement :

Une source de tension indépendante est « éteinte » en la remplaçant par un court-circuit (sa tension est mise à zéro).
Une source de courant indépendante est « éteinte » en la remplaçant par un circuit ouvert (son courant est mis à zéro).

Il est important de noter que les sources dépendantes, si elles sont présentes, ne doivent jamais être éteintes ; elles restent actives et leurs valeurs continuent de dépendre des tensions ou courants dans le reste du circuit.