Mécanique du point : Annales mecanique du point materiel mécanique de point
Télécharger PDFAnciens Examens de Mécanique du Point Matériel : Filières SMIA et SMPC
Session Janvier 2015, Filière SMPC
Les trois exercices sont indépendants.
Exercice 1
Soit (O, i, j, k) le repère absolu et (O, i₁, j₁, k) un repère mobile par rapport à (O, i, j, k). On a :
i₁ = OO sin(ωt) et l’angle θ = ωt, où ω est une constante strictement positive.
Un point matériel M est défini dans le repère (O, i₁, j₁, k) par :
x = 2 sin(ωt), y = 2 cos(ωt).
Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans le repère (O, i₁, j₁, k).
1. Calculer les vecteurs vitesses suivants : V⃗M, V⃗R, V⃗e et en déduire V⃗a.
2. Calculer le vecteur accélération relative Γ⃗r(M) et en déduire que Γ⃗r(M) = 1Γ⃗O(M) - Γ⃗Mr, où Γ⃗Mr est une constante strictement positive à déterminer.
3. Calculer les vecteurs accélérations suivants : Γ⃗e(M), Γ⃗ce(M) et en déduire Γ⃗a(M).
Exercice 2
Considérons un pendule simple constitué d’un fil inextensible de longueur L = OM et d’une boule assimilée à un point matériel M de masse m.
En plus de son poids et de la tension du fil, le point M est soumis à une force électrostatique orthogonale au plan du pendule, définie par :
⃗F = e⃗j + f⃗k, où e et f sont des constantes strictement positives.
Le référentiel d’étude est galiléen. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base polaire (⃗uₙ, ⃗uₜ).
1. Déterminer la vitesse V⃗(M).
2. Déterminer le moment cinétique au point O du point M relativement à la base (⃗uₙ, ⃗uₜ).
3. Déterminer les moments au point O des forces appliquées au point M.
4. Par application du théorème du moment cinétique, déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par l’amplitude θ(t).
5. Sachant qu’à l’instant t = 0, θ = θ₀ et ̇θ = 0, déterminer θ(t) dans le cas des petites oscillations.
Exercice 3
Un point matériel se déplace de B vers A sous l’action de champs de force. Calculer le travail du champ de force en suivant :
a) Le chemin (1) :
b) Le chemin (2) :
c) Que peut-on conclure ?
Session Février 2015, Filière SMPC
Exercice 1
Dans un repère orthonormé direct (O, i, j, k), un point matériel M décrit une trajectoire dans le plan Oxy définie par ses coordonnées cartésiennes x(t) et y(t) :
x(t) = 2 cos(ωt), y(t) = sin(ωt), où ω est une constante strictement positive.
1. Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire, en déduire sa nature et la dessiner.
2. Déterminer les composantes du vecteur vitesse V⃗(M) et en déduire son module ||V⃗(M)||.
3. Déterminer le vecteur tangent T⃗(M) et en déduire le vecteur normal N⃗(M).
4. Déterminer les composantes du vecteur accélération A⃗(M) et en déduire la composante normale du vecteur accélération.
5. Déterminer le rayon de courbure R.
Exercice 2
Un point matériel M de masse m se déplace sans frottement sur la face intérieure d’un cercle de centre O et de rayon a.
Le point M est repéré par ses coordonnées polaires r et θ, où r = a et θ(t) est l’angle.
On lance la particule avec une vitesse horizontale V₀ au point le plus bas du cercle.
À t = 0, θ = 0 et ̇θ = 0.
Le point M est soumis aux forces suivantes : le poids et la réaction du cercle.
Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base polaire (⃗uₙ, ⃗uₜ).
1. Déterminer le vecteur vitesse V⃗(M) et l’accélération A⃗(M).
2. Par application du principe fondamental de la dynamique, déterminer deux équations différentielles vérifiées par le mouvement du point M.
3. Déterminer une équation de la forme ̇θ = f(θ).
4. Montrer que la réaction du cercle peut être exprimée sous la forme algébrique : ||⃗N|| = m(̇r² + r̈) + mg cos(θ).
5. Montrer que le point M reste en contact avec le cercle lorsque la vitesse initiale est supérieure à une valeur minimale à déterminer en fonction de a et g.
Session Janvier 2014, Filière SMIA
Exercice 1
Soit (O, i, j, k) un repère fixe et (O, I, J, K) un repère mobile par rapport à (O, i, j, k).
Le repère (O, I, J, K) se déduit de (O, i, j, k) par une rotation uniforme autour de l’axe fixe Oz d’angle ωt.
Un point matériel M a pour coordonnées relatives x₁(t) et y₁(t) dans le repère (O, I, J, K), reliées par :
x₁² + y₁² = r², où r est une constante.
Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base relative (O, I, J, K).
1. Calculer en fonction de ̇x₁ et ̇y₁ le vecteur V⃗₁(M) et en déduire ||V⃗₁(M)||.
2. Calculer en fonction de ̇x₁, ̇y₁, x₁ et y₁ le vecteur A⃗₁(M). En déduire le vecteur A⃗a(M).
3. Calculer en fonction de ̈x₁, ̈y₁, ̇x₁, ̇y₁, x₁ et y₁ les vecteurs accélérations suivants : A⃗r(M), A⃗e(M), A⃗ce(M) et en déduire A⃗a(M).
Exercice 2
Un point matériel M de masse m se déplace librement dans l’espace, repéré par ses coordonnées cylindriques r(t), θ(t) et z(t).
À t = 0, r = r₀, ̇r = 0, θ = θ₀, ̇θ = 0 et z = z₀.
Le point M est soumis aux forces suivantes :
⃗F = -e⃗j + f⃗k, où e et f sont des constantes strictement positives.
1. Exprimer les vecteurs vitesse V⃗(M) et accélération A⃗(M).
2. Par application du principe fondamental de la dynamique au point M :
a) Déterminer trois équations vérifiées par le mouvement du point M.
b) Montrer que le point P (projection de M sur le plan Oxy) vérifie la loi des aires : r² ̇θ = constante.
c) Déterminer la fonction z(t) et une équation de la forme r̈ = f(r, ̇r).
3. Calculer la puissance de la résultante des forces extérieures.
4. Expliciter l’intégrale première de l’énergie.
FAQ
Qu’est-ce qu’un repère galiléen ?
Un repère galiléen est un repère de référence dans lequel le principe d’inertie est valable. Cela signifie qu’un point matériel non soumis à des forces extérieures reste au repos ou se déplace à vitesse constante.
Comment calculer le travail d’un champ de force ?
Le travail d’un champ de force est donné par l’intégrale de la force le long du chemin suivi : W = ∫⃗F · d⃗l. Il dépend de la nature du champ (conservatif ou non) et du chemin emprunté.
Quelle est la loi des aires ?
La loi des aires stipule que le moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point fixe est constant si aucune force extérieure n’agit sur lui. Cela se traduit par : r² ̇θ = constante.