Epreuves corrigés mécanique du point materiel pdf

Mécanique du point : Annales mecanique du point materiel mécanique de point

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EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI ANNALES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL Réalisé par : Pr. R. SEHAQUI EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI Session janvier 2015, Filière SMPC ENONCE NB : Les trois exercices sont indépendants.

Exercice 1

Soit kiO ,j , ;0  le repère absolu et soit 

11111 , , ;kjiO

, un repère mobile par rapport au repère 0 est le repère relatif tel que : 

itaOO sin1 

,et l’angle  ttii, 1 , et 

sont des constantes strictement positives (voir figure). Un point matériel M est définit dans le repère 1

 par : taytax 2sin , 2cos11 

. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans le repère 11111 , , ;kjiO

1 – Calculer les vecteurs vitesses suivants: MVMVer , , en déduire  MVa . 2 – Calculer le vecteur accélération relative, M r

 , en déduire que 1 MOkMr 

où est une constante strictement positive à déterminer. 3 – Calculer les vecteurs accélérations suivants: MMce  , ,

, en déduire M a

Exercice 2

Considérons un pendule simple constitué d’un fil inextensible longueur LOM

de masse négligeable et d’une boule assimilée à un point matériel Mde masse m. (voir figure). On lâche le pendule simple sans vitesse initiale, à partir de l’angle0 

.En plus son poids ⃗ et de la tension du fil ⃗ , le point M est soumis à une force électrostatique ⃗⃗⃗

orthogonale à

( et constantes strictement positives). Le référentiel d’étude⃗ est galiléen. Les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base polaire.

⃗ ⃗ 푗 1

O 푖 푗 푖 1

x y 휃 휔 푡 ⊙ 푘

⃗ ≡푘

⃗ 1푒 푟

⃗⃗⃗ 푒휃 ⃗⃗⃗⃗ 푖 푗 푘

⃗ M 휃 ⊙ 푂 L Figure EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 1) Déterminer la vitesse⃗ . 2) Déterminer le moment cinétique au point O du point M relativement à ;

. 3) Déterminer les moments au point O des forces appliquées au point M. 4) Par application du théorème du moment cinétique, déterminer l’équation différentielle du second ordre vérifiée par l’amplitude

. 5) Sachant qu’à l’instant t = 0, et ̇ , déterminer

dans le cas des petites oscillations

1 .

Exercice 3

Un point matériel se déplace de B vers A sous l’action de champs de force

. Calculer le travail du champ de force

, en suivant : a) Le chemin (1) :

. b) Le chemin (2) :

. c) Que peut-on conclure ? SOLUTION

Exercice 1

1 – Calcul des vecteurs vitesses suivants: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗ Par définition on a : ⃗⃗⃗ ( 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗ ( 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )1 11 1[ 11 ]

Finalement : ⃗⃗⃗ [1 1] Par définition on a : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 1

⃗⃗ (1 ⁄)1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )1 ⃗⃗⃗⃗ 11 11 11 11 y x O A(1,0) 푖 푗 (2) (1) (1) C(1,1) B(0,1) EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI En remplaçant 1 et 1

par leurs expressions et1 1

on obtient : ⃗⃗⃗[( ) 1 (

) 1

] D’après la loi de de composition des vitesses : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ On obtient : ⃗⃗⃗[( ) 1 (

) 1

] Remarques

a) On peut obtenir ⃗⃗⃗ par le calcul direct en dérivant :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par rapport au repère

. on effet ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

. b) Notations :

⃗ (1 ⁄

) et ⃗⃗⃗ ⃗ (1 ⁄) méthode du point fixe ⃗⃗⃗ ⃗ (⁄ ) 2 – ⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗ ]

[ ]

⃗⃗ [] Soit : ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Avec

3 – Calcule des vecteurs accélérations suivants: ⃗⃗⃗ ⃗ et . ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 1

[ ⃗⃗ (1 ⁄)]1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) [ ⃗⃗ (1 ⁄) 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donc

[ ⃗⃗ (1 ⁄)]

⃗ ⃗⃗⃗ ( 1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )1 ⃗⃗⃗⃗

[ 1

⃗⃗⃗⃗ 11 11 ]1 11 1

En remplaçant 1 et 1

par leurs expressions et1 1 on obtient : ⃗⃗⃗ [(

) 1 (

) 1

] ⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) ⃗⃗⃗ 1

⃗⃗⃗⃗ {[ 11 ]}

⃗⃗⃗ [1 1] EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI D’après la loi de de composition des accélérations : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ On obtient : ⃗⃗ [(

) (

) ] Après simplification on obtient : ⃗⃗ [(

) (

) ] Remarques

a) On peut obtenir

par le calcul direct en dérivant ⃗⃗⃗ : par rapport au repère

. on effet ( ⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

. b) Notations : (1 ⁄

) et ⃗⃗⃗ ⃗ (1 ⁄) méthode du point fixe ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⁄ )

Exercice 2

1 - ⃗ (

⁄) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (

⁄) ⃗⃗⃗ ̇

⃗⃗⃗⃗ 2 -( ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⁄) ̇

⃗ 3- Bilan des forces extérieures : Le Poids : ⃗ La Tension : ⃗ La force Electrostatique : ⃗⃗⃗ Le moment de la résultante des forces extérieur est : ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ )( )( ⃗ ) () (

⃗ )

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 4 – Théorème du moment cinétique en un point O : [ (

⁄)] ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Ce qui donne :̈ ⃗ ⃗ . Soit après simplification : ̈

5 – Dans le cas des petites oscillations,

1 l’équation (E) devient : ̈

Equation Différentielle avec Second Membre, dont la solution générale est (Voir Chapitre outils mathématiques) : Avec : √

. D’après les conditions initiales [ ̇ ] on obtient : Soit finalement la solution générale :

( )

Exercice 3

a) Le travail le long du chemin(1) :

. On a :1 1 On a1 1 ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∫∫ 11 ∫1 EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI b) Le travail le long du chemin(2) :

c’est le long de la droite d’équation1 .Soit

. Ce qui donne :

∫ 1∫ 1

1 ∫1 c) le long du chemin (1) est différent de le long du chemin (2), donc le champ de force n’est pas conservatif, car le travail dépend du chemin suivis. 2ème Session Février 2015, Filière SMPC ENONCE

Exercice 1

Dans l’espace rapporté au repère

orthonormé direct de vecteurs unitaires ( ⃗⃗ ). Un point matériel M, décrit le plan , dans le sens positifla courbe définie par ces coordonnées cartésiennes

et y

fonctions du temps t, par :

constante strictement positive. 1) Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire, en déduire sa nature, la dessiner. 2) Déterminer les composantes du vecteur vitesse ⃗⃗ (

⁄)en déduire son module ‖ ⃗⃗ (

⁄)‖. 3) Déterminer le vecteur tangent ⃗ (

⁄), en déduire le vecteur normal ⃗⃗ . 4) Déterminer les composantes du vecteur accélération ⃗⃗ (

⁄)en déduire la composante normale du vecteuraccélération. 5) Déterminer le rayon de courbure .

Exercice 2

Par rapport à un repère orthonormé direct (

⃗⃗ ), ( verticale ascendante). Une particule ponctuelle M, de masse m, placée dans un champ de pesanteur, peut se déplacer sans frottement sur la face intérieure d’un cercle de centre O et de rayon a (a constante strictement positive). Le point M est repéré par ces coordonnées polaires habituels :

‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂

) tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . On lance cette particule avec une vitesse horizontale ⃗⃗ du point le plus bas du cercle (voir figure). A t = 0,

et ̇

. Le point M est soumis dans tout l’exercice aux seules forces suivantes : le poids ⃗⃗ et à la y x O A(1,0) 푖 푗 (2) (1) (1) C(1,1) B(0,1) EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI réaction du cercle

⃗⃗⃗ ⃗ , N fonction inconnue du problème. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base ( ⃗ ⃗ ⃗⃗ ). 1) Déterminer le vecteur vitesse ⃗⃗ (

⁄) et accélération ⃗⃗ (

⁄). 2) Par application du principe fondamental déterminer deux équations différentielles vérifiées par le mouvement du point dans le repère . 3) Déterminer une équation de la forme : ̇

. 4) Montrer que la réaction

peut être exprimée sous la forme algébrique :[ ]. 5) Montrer que le point M reste en contact avec le cercle pendant son mouvement, lorsque la vitesse initiale est supérieure valeur minimale

que l’on déterminera en fonction de

. SOLUTION

Exercice 1

Equation cartésienne de la trajectoire :1 Soit : (

) 1 La trajectoire est une ellipse de demi grand axe est égal à 2 et de demi petit axe égal à 1. 푒 휃

푖 푗 푔 푘

⃗ 푉

푗 푎 푀 휽 ⊙ 퐹푖푔푢푟푒 EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 2) ⃗ (

⁄) ̇̇ ⃗⃗ ‖ ⃗ (⁄)‖ √√ 1

3)Vecteur tangent :( ⁄) ⃗ (⁄) ‖ ⃗ (⁄)‖ ⃗√ 1

Vecteur normal. Etant donné que le mouvement est dans le

plan et s’effectue dans le sens positif, donc le vecteur bi normale ⃗ ⃗ . Par définition du trièdre de Frenet : ⃗

⃗ ⃗ Soit :⃗ ⃗√ 1

4) (

⁄) ̈̈ ⃗⃗ Composante normale de l’accélération :( ⁄) ⃗⃗ ⃗√ 1

푖 푒 푟

푗 푘

⃗ 푀 ⊙ 퐹푖푔푢푟푒 푥 y 4 EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI √1 √1 5) Rayon de courbure ‖ ⃗ (⁄)‖ 1√ 11 ⁄

Exercice 2

1) Vecteur vitesse : ⃗ (

⁄) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (⁄) ̇

Vecteur accélération :( ⁄) [ ⃗ (

⁄)] (

⁄) [ ̇] ̇̈ 2) Application du principe fondamental de la dynamique. ∑( ⁄)

⃗ ⃗ Ce qui donne :( ̇̈ )( ̇̈ ) ̇1 -̈ 3) Multiplions l’équation (2) par ̇ puis intégrons par rapport au temps t : ̇̇ ̈1 ̇

Où C estnue constante déterminée par les conditions initiales à t = 0. 11 Soit : 1̇ 1

Finalement : ̇

1 EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 4) Equation 1) donne : ̇

En remplaçant ̇ par son expression trouvée à la question précédente, on obtient :

1 Soit :[ ] 5) Le point M est en contact avec le cercle tant que

, donc :[ ]

Soit : [ ]√ Session janvier 2015, Filière SMIA ENONCE Problème Dans un repère supposé galiléen de vecteurs unitaires 

kji ; ; (

k étant la verticale ascendante). Une tige dont l’une des extrémités est fixé au point O, est destinée à tourner dans le plan horizontal Oxy autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire constante . Un point matériel M de masse m enfilé sur cette tige peut glisser sans frottement. Soit , , ;1 zZYXOR de vecteurs unitaires 

kK ; ;  JI

le repère lié à la tige. (OX Étant l’axe de la tige). En plus de son poids P et de la réaction de la tige R

, le point M est rappelé vers le point O par une force F dirigée du point M

vers le point O, et proportionnelle à

OM de coefficient de proportionnalité k :OMkF . Le point

est repéré par ses coordonnées polaires ,r

. OùOMr et

( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂) . On donne à 0t : 0 0rr

et 00r 

. Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base 

kK ; ;  JI

1 – Calculer  ,/ ,/10 MVRMVRMVe et vérifier la loi de composition des vitesses. EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 2 - Calculer MMRMRM ce

 , ,/ ,/10 et vérifier la loi de composition des accélérations. 3 - a) Déterminer les équations

obtenues par application de la loi fondamentale de la dynamique dans le repère galiléen . b) Retrouver les équations

obtenues à la question précédente par application de la loi fondamentale de la dynamique dans le repère relatif . c) Déterminer la loi horaire 

tr ; ainsi que les composantes de la réaction de la tige sur le pointM d) Déterminer la position d’équilibre relatif du point M. 4 – a) Calculer l’énergie cinétique du pointM , 1/RME c

, la puissance totale des forces appliquées au point M dans son mouvement par rapport à ,  1/RMFP  ; et montrer qu’on peut écrire l’intégrale première de l’énergie. b) Retrouver l’équation du mouvement obtenue par application de la loi fondamentale de la dynamique à la question 3.

z kO ji yZ YM ⃗⃗⃗ xX SOLUTION Problème 1 – ⃗ (⁄ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (⁄ ) ( )

̇ ⃗ (1 ⁄

) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (1 ⁄

) ( ) ̇ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI O point fixe donc ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ Remarque : on peut obtenir ⃗⃗⃗ par la formule de composition des vitesses. ⃗⃗⃗ ⃗ (⁄ )

⃗ (1 ⁄) 2 - ⃗ (⁄ ) ( ⃗ (⁄ ))

⃗ (⁄ ) ( ̇ ) ̈

̇ (1 ⁄

) ( ⃗ (1 ⁄)) (1 ⁄

) ( ̇ )

̈ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗ (1 ⁄)]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) [ ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] O point fixe donc ⃗⃗⃗⃗ ⃗ et ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donc [ ⃗⃗ (1 ⁄)]

⃗ Finalement : ⃗⃗⃗ ⃗⃗

[ ⃗⃗ ]

⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) ⃗ (1 ⁄

) ⃗⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ Remarque : on peut obtenir ⃗⃗⃗ par la formule de composition des accélérations. ⃗⃗⃗ ⃗ (⁄ )( 1⁄ ) ⃗⃗⃗

̇ 3 – a) Loi fondamentale de la dynamique dans un repère galiléen ∑ ⃗ (⁄ )

⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

[ ̈

̇ ] Soit par projection on obtient :̈ 1̇ b) Loi fondamentale de la dynamique dans un repère mobile 1

⃗ (1 ⁄

) ∑ Avec : ⃗ ⃗

̈ ⃗⃗ ⃗⃗̇ Soit par projection on obtient : EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI { ̈̈ 1̇ ̇

c) L’équation du mouvement (1) :

̈ () La solution de cette équation différentielle dépend du signe de (

). Premier cas : si () Posons() L’équation (1) à résoudre devient : ̈

, qui admet comme solution : à t = 0 on a : et ̇ , ce qui donne : Soit la solution générale de l’équation (1) devient : √( ) Deuxième cas : si () Posons() L’équation (1) à résoudre devient : ̈

, qui admet comme solution : à t = 0 on a : et ̇ , ce qui donne : Soit la solution générale de l’équation (1) devient : Troisième cas : si () Posons() L’équation (1) à résoudre devient : ̈ , qui admet comme solution : d) Position d’équilibre relatif : ⃗ (1 ⁄) ⃗ ̈ , donc ̇

̇ , soit

. 4 –

a) Energie cinétique relative :( 1⁄ ) 1

‖ ⃗ (1 ⁄)‖ 1̇ la puissance totale des forces appliquées au point M dans son mouvement par rapport à 1 . EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI [( 1⁄ )

] (∑ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )

⃗⃗ (1 ⁄

) [( 1⁄ )

] (

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̇) ̇

Soit finalement : [( 1⁄ )] ̇( )( 11 )

Donc on peut écrire l’intégrale première de l’énergie : (1 ⁄) (1 ⁄) Soit : 1̇ 11 b) par dérivation par rapport au temps de l’intégrale première de l’énergie, on retrouve l’équation du mouvement trouvée à la question 3. 1

̇ ̈ 1

̇ 1 ̇ . Après simplification on obtient :

̈ () 2ème Session Février 2015, Filière SMIA ENONCE Problème Soit (

⃗⃗ ), un repère supposé galiléen. Un pendule simple dans le plan vertical , est constitué d’un point matériel de masse , suspendu à l’origine O du repère

par un fil sans masse et de longueur . On note θ(t) l’angle que fait le fil avec la verticale descendante O (voir figure). On donnera tous les résultats vectoriels dans la base mobile( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )liée au point , et défini par :

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . En plus de son poids ⃗⃗ et la tension du fil ⃗⃗ , le point M est soumis à la force ⃗⃗ définie par ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

où est une constante strictement positive et

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1- Déterminer le vecteur vitesse ⃗⃗ et accélération ⃗⃗ . 2- a) Faire le bilan des forces extérieures s’exerçant sur le point dans son mouvement par

rapport au repère . Donner leurs expressions. b) Par application du principe fondamentale de la dynamique au point dans son

mouvement par rapport au repère , Déterminer un système des deux équations différentielles. c) En déduire que la période T de mouvement dans le cas de faible amplitude () est donnée par : √( )

d) Déterminer l’expression du module de la tension ‖ ⃗⃗ ‖ en fonction de . 3- a) Calculer le moment cinétique au point O du point M dans son mouvement par rapport

EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI

à , ⃗⃗ (

⁄). b) Par application du théorème du moment cinétique en un point fixe , retrouver l’équation différentielle obtenue par application du principe fondamental de la dynamique (question 2 c). 4- a) Calculer la puissance de la résultante des forces extérieures s’exerçant sur dans son

mouvement par rapport à , (∑ ⃗⃗ ⁄

). b) En déduire l’énergie potentielle

dont dérive ∑

⃗⃗ . c) Montrer qu’on peut écrire l’intégrale première de l’énergie. d) Retrouver l’équation du mouvement obtenue à la question (2 c) par application du théorème de l’énergie mécanique dans

SOLUTION 1 – ⃗ (

⁄) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (⁄) ⃗ ̇ (

⁄) ( ⃗ (

⁄)) (

⁄) ( ̇ )

̇ ⃗̈ 2 – a) Bilan des forces extérieures s’exerçant sur le point dans son mouvement par rapport au repère : Le Poids : ⃗⃗ La Tension : ⃗

⃗ La force : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

[ ⃗] b) Par application du principe fondamentale de la dynamique au point dans son

mouvement par rapport au repère , on obtient : ∑( ⁄)

⃗ ⃗ 푢⃗ 푣 푖 푗 푘

⃗ M 휃 ⊙ 푂 퐿 Figure A EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI (

̇ ⃗

̈ )⃗ ⃗

[ ⃗] Par projection on obtient le système de deux équations différentielles suivant ; {̇ 1

1 ̈

c) L’équation (2) s’écrit : ̈ () Dans le cas de mouvement de faible amplitude (

), l’équation différentielle à résoudre est : ̈ () (

)est la pulsation du mouvement, la période des petites oscillations est par définition : √( )

d) On multiplie l’équation (2) par ̇ puis on l’intègre par rapport au temps t ce qui donne : ̈̇ ̇̇ Après intégration on obtient : 1̇ Soit : ̇

On reportant cette dernière expression dans l’équation (1), on obtient l’expression du module de la tension .

‖ ⃗ ‖̇ 1La est déterminer par les conditions initiales. 3 – a) Le moment cinétique au point O du point M dans son mouvement par rapport

à , ⃗⃗ (

⁄). (⁄) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⁄) ̇

⃗ b) Théorème du moment cinétique en un point O : [ (

⁄)] ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ )( )( ⃗⃗ ⃗ ⃗ ) (1 )( ⃗⃗ ⃗ ⃗ )

∑ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI Ce qui donne :̈ ⃗ ⃗ . Soit après simplification : ̈ () C’est bien l’équation obtenue à la question (2-c). 4 – a) La puissance de la résultante des forces extérieures s’exerçant sur dans son

mouvement par rapport à , (∑ ⃗⃗ ⁄

). (∑ ⃗⃗ ⁄

) (∑ ⃗⃗ )

⃗⃗ (

⁄) (∑ ⃗⃗ ⁄

) ( ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ )

⃗⃗ (⁄) ̇

b) (∑ ⃗⃗ ⁄) Soit : c) Donc on peut écrire l’intégrale première de l’énergie : (⁄ )( ⁄) Soit : 1̇ d) Par dérivation par rapport au temps de l’intégrale première de l’énergie, on obtient : ̇̈ ̇

Soit après simplification : ̈ () C’est bien l’équation obtenue à la question (2-c). Session Janvier 2014, Filière SMPC ENONCE

Exercice 1

Soit 

zyxO ; ;;0  de vecteurs unitaires 

kji ; ; un repère fixe 

, , ;1 ZYXO de vecteurs unitaires 

kKJI ; ; mobile par rapport à . 1 se déduit de

par une rotation uniforme autour de l’axe fixe Oz et d’angle ,

, constante strictement positive, l’angle (̂ ) (̂ )

, (voir figure). repère absolu,

repère relatif. Un point matériel M a pour coordonnées relatives

fonctions du temps t. et sont EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI reliés par la relation :

. On donne

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Tous les résultats vectoriels doivent être exprimés dans la base relative 

kKJI ; ; 1

1 – Calculer en fonction de

̇ le vecteur

⃗⃗⃗ en déduire ‖ ⃗⃗⃗ ‖ . 2 – Calculer en fonction de

et le vecteur ⃗⃗⃗ . En déduire le vecteur ⃗⃗⃗ . 3 - Calculer en fonction dė ̈

et , les vecteurs accélérations suivants : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ en déduire le vecteur accélération absolue ⃗⃗⃗⃗ .

Exercice 2

Principe Fondamental de la Dynamique dans un repère Galiléen. Soit (

⃗⃗ ) un repère orthonormé direct supposé galiléen, ( ⃗⃗ ) verticale ascendante. Un point matériel M de masse m est libre dans l’espace il est repéré par ces coordonnées cylindriques habituelles fonctions du temps t [ ]

, auxquelles on associe le repère (

⃗ ⃗ ⃗ ≡ ⃗⃗ ), on appelle P la projection de M sur le plan jiO ; ;. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ . Dans tout l’exercice on considérera les conditions initiales suivantes : à t=0,̇ ̇

Le point M est soumis aux seules forces suivantes :  zz

ezhemkFemgP , 2, constantes strictement positives. 1- Exprimer les vecteurs vitesse    0 MV et accélération    0 Ma . 2- Par application de la relation fondamentale de la dynamique au point M dans son mouvement par rapport au repère . a) Déterminer trois équations vérifiées par le mouvement du point M. b) Montrer que le point P vérifie la loi des aires ̇ , constante des aires. c) Déterminer la fonction z(t) et une équation de la forme f 2

 . 3 – Calculer la puissance de la résultante des forces extérieures. En déduire l’énergie Potentielle

dont dérive la résultante des forces extérieures. 4 - Expliciter l’intégrale première de l’énergie. SOLUTION

Exercice 1

1- x y 퐼퐽 휃 휔푡 푌 푋 EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI ⃗⃗⃗ ⃗ (1 ⁄

) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗ ( )

( )

Soit : ⃗⃗⃗ ̇

( )

‖ ⃗⃗⃗ ‖ | ̇| √1 2 - ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( )( ) Formule de composition des vitesses donne : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

[( ̇

) (̇ )]̇ 2 - ⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ (1 ⁄)) ⃗⃗⃗⃗ ( ̇

( )) [ ̈ ( ̈̇ ) ] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗ (1 ⁄)]

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) [ ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] O point fixe donc ⃗⃗⃗⃗ ⃗ et ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ donc [ ⃗⃗ (1 ⁄)]

⃗ Finalement : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) [ ⃗⃗ (1 ⁄)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]⃗⃗ [ ⃗⃗

( )] ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (1 ⁄) ⃗ (1 ⁄

) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ̇

( )̇ ̇

Par la formule de composition des accélérations on a :( ⁄) (1 ⁄

) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗( ⁄

) [( ̈̇ )

( ̈̇ ̇

) ]

Exercice 2

EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI 1 - Vitesse : ⃗ (⁄ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗ (⁄ ) (

) ̇ ̇

̇ Accélération :.( ⁄

) ( ⃗ (⁄ )) (⁄ ) ( ̇ ̇

̇ ) ( ̈̇ )

( ̇ ̇̈ )

̈ 2 – a) Par application du principe fondamentale de la dynamique au point dans son

mouvement par rapport au repère , on obtient : ∑( ⁄) ⃗ [( ̈̇ )

( ̇ ̇̈ )

̈ ][ ] Par projection on obtient le système de trois équations différentielles suivant ; { ( ̈̇ )

1 ( ̇ ̇̈ )̈ b) Equation (2) entraîne : ( ̇ ̇̈ ) 1

( ̇) Soit : ̇

. Loi des aires de centre O pour le point P projection du pont M dans le plan (xoy). c) L’équation (3) entraînë équation différentielle du second à coefficient constant avec second membre. Après intégration et prise en compte des conditions initiales on obtient :( )̇ On remplace dans l’équation (1), l’expression de ̇ tirée de de la loi des aires : ̇

L’équation (1)( ̈̇ )

et ̇

donne : EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI ̈ En multipliant à droite et à gauche par ̇, puis par intégration par rapport au temps t on obtient: 1 ̇1 soit : ̇

3 – a) La puissance de la résultante des forces extérieures s’exerçant sur dans son

mouvement par rapport à , (∑ ⃗⃗ ⁄

). (∑ ⃗⃗ ⁄

) (∑ ⃗⃗ )

⃗⃗ (⁄ ) (∑ ⃗⃗ ⁄

) ( ⃗⃗ ⃗⃗ )

⃗⃗ (⁄ )̇ ̇

̇ (∑ ⃗⃗ ⁄

) () ( (⁄ )) Donc : (⁄ )

4 – Energie potentielle existe, donc on peut écrire l’intégrale première de l’énergie. (⁄ )( ⁄) Avec : (⁄ ) 1

‖ ⃗ (1 ⁄)‖ 1

( ̇

̇ ̇

) Soit : 1

( ̇

̇ ̇

) Soit finalement après simplification par : 1

( ̇

̇ ̇

) .Session Janvier 2014, Filière SMIA ENONCE EPREUVES DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL FILIERES SMIA, SMPC Université Hassan II de Casablanca Faculté des Sciences AïnChock Pr. R. SEHAQUI Problème Soit kjiORR  ,,,0  un repère Galiléen ; avec iO 

, verticale ascendante. Un point matériel M de masse m

se déplace dans le plan vertical jiO 

,, sur le cercle de centre O e