Mécanique du point : Mecanique du point chap 1 rappels de maths mécanique de poi
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Tabledesmatières
1Rapp elsmathématiquesdesnotionsfondamentales13
1.1Grandeurscalaire&Grandeurvectorielle.........................14
1.1.1Lesgrandeursphysiquesscalaires........................14
1.1.2Unegrandeurphysiquevectorielle.......................14
1.1.3Représentationgraphiqued'unvecteur.....................14
1.1.4Vecteurunitaire.................................14
1.2Op érationssurlesvecteurs................................15
1.2.1Additionvectorielle...............................15
1.2.2Soustractionvectorielle.............................15
1.3Pro duitscalaire......................................16
1.3.1Dé nitionetexpression.............................16
1.3.2Casparticuliers..................................16
1.3.3FormeAnalytique................................16
1.3.4Propriétés.....................................16
1.4Pro duitvectoriel......................................17
1.4.1Dé nition.....................................17
1.4.2Formeanalytique.................................17
1.4.3Propriétés.....................................17
1.5Pro duitMixte.......................................17
1.6Applicationsdupro duitvectorielenphysique......................18
1.6.1Momentd'unvecteurparrapp ortàunp oint.................18
1.6.2Momentd'unvecteurparrapp ortàunaxe..................18
1.6.3Conditionp ourquedeuxvecteurssoientparallèles..............18
1.7Op érateursdiérentiels..................................18
1.7.1Dé nitionsetnotations.............................18
1.7.2LeGradient....................................19
1.7.3LaDivergence..................................19
CyclepréparatoireA.Khaled
2Tabledesmatières
1.7.4LeRotationnel..................................19
2Systèmesdeco ordonnées21
2.1Généralités.........................................22
2.2Systèmedeco ordonnéescartésiennes...........................22
2.2.1Lerep èrespatial(O,X,Y,Z)..........................22
2.2.2Lerep èreplan(O,X,Y).............................22
2.2.3Lerep èrerectiligne................................23
2.3Systèmedeco ordonnéesp olaires.............................23
2.4Systèmedeco ordonnéescylindriques...........................23
2.5Systèmedeco ordonnéessphériques............................24
2.6Systèmedeco ordonnéescurviligne............................26
3Cinématiquedup oint27
3.1Intro duction........................................28
3.2Équationshoraires.....................................28
3.3Étudedumouvementenco ordonnéescartésiennes....................28
3.3.1Vecteurvitesse..................................29
3.3.2Vecteuraccélération...............................30
3.4Étudedumouvementenco ordonnéescylindriques....................31
3.4.1Levecteurvitesseenco ordonnéescylindriques................31
3.4.2Levecteuraccélérationenco ordonnéescylindriques.............32
3.5Étudedumouvementenco ordonnéessphériques....................32
3.5.1Vecteurvitesseenco ordonnéessphériques...................32
3.5.2Vecteuraccélérationenco ordonnéessphériques................33
3.6Étudedumouvementenco ordonnéesp olaire:Mouvementplan............33
3.6.1Vecteurvitesseenco ordonnéesp olaires....................33
3.6.2Vecteuraccélérationenco ordonnéesp olaires.................34
3.6.3Casparticulier:Mouvementcirculaire.....................34
3.7Mouvementdanslerep èredeFrenet...........................35
3.8Mouvementsrectilignes..................................36
3.8.1Mouvementrectiligneuniforme(MRU)....................36
3.8.2Mouvementuniformémentvarié(MUV)....................36
4Changementderéférentiel:Mouvementrelatif37
4.1Notiondevitesserelativededeuxmobiles........................38
4.2Transformationduvecteurvitesse............................38
CyclepréparatoireA.Khaled
Tabledesmatières3
4.2.1Relationentrelesp ositions...........................38
4.2.2Relationentrelesvitesses............................39
4.3Transformationduvecteuraccélération..........................39
4.4Mouvementrelatifdetranslation.............................40
4.4.1Dé nitiond'unetranslation...........................40
4.4.2Vitessed'entrainement..............................40
4.4.3Accélérationd'entrainementetaccélérationdeCoriolis...........40
4.5Mouvementderotationautourd'unaxe.........................41
4.5.1Positionduproblème...............................41
4.5.2Vitessed'entrainement..............................41
4.5.3Accélérationd'entrainementetaccélérationdeCoriolis...........42
4.6Casgénéral........................................42
4.6.1Expressiongénéraledelavitessed'entrainement...............42
4.6.2Expressiongénéraledesaccélérations......................43
4.7Formulefondamentaledeladérivationtemp orelledansunrep èremobile......43
5Dynamiquedup oint45
5.1Lesprincipauxfondamentauxdeladynamique......................46
5.1.1Premierprincip e:princip ed'inertie......................46
5.1.2Deuxièmeprincip edeNewton..........................47
5.1.3Troisièmeprincip e:Princip edel'actionetdelaréaction..........47
5.2Notiondeforce&Loideforce..............................47
5.2.1Notiondeforce..................................47
5.2.2Loideforce:ouloidesin uencesmutuelles..................48
5.3Princip edelagravitationuniverselle...........................48
5.3.1Poids&accélérationgravitationnelle......................49
5.4Forcesdecontactetdefrottements...........................49
5.4.1Forcesdecontact.................................49
5.4.2Forcesdefrottements..............................50
5.5Momentd'uneforce....................................51
5.6Momentcinétique.....................................51
5.7Théorèmedumomentcinétique..............................52
5.8Applicationàunmouvementàforcecentrale......................52
5.8.1Mouvementàforcecentrale...........................52
5.8.2Conservationdumomentcinétique&Loidesaires..............52
CyclepréparatoireA.Khaled
4Tabledesmatières
6Travail&Énergie55
6.1Travailetpuissanced'uneforce..............................56
6.1.1Puissanced'uneforce..............................56
6.1.2Travailélémentaired'uneforce.........................56
6.1.3Travaild'uneforce................................57
6.1.4Relationentretravailetpuissance.......................57
6.2Énergiecinétique.....................................57
6.2.1Dé nition.....................................57
6.2.2Théorèmedel'énergiecinétique.........................57
6.3Forcesconservativeseténergiesp otentielles.......................58
6.3.1Dé nition.....................................58
6.3.2Interprétation...................................58
6.3.3Uneautredé nitiond'uneforceconservative.................58
6.3.4Exemplesdeforcesconservatives........................59
6.4Énergiemécanique.....................................60
6.4.1Dé nition.....................................60
6.4.2Théorèmedel'énergiemécanique........................60
6.5Notiond'équilibre,énergiep otentielleetstabilité....................61
6.5.1Notiond'équilibre................................61
6.5.2Énergiep otentielleetp ositionsd'équilibre...................61
6.5.3Stabilitédeséquilibres..............................61
7Oscillateursmécaniques63
7.1Oscillateurharmoniquehorizontal:Mouvementsansfrottements............64
7.1.1Positionduproblème...............................64
7.1.2Descriptiondusystème.............................64
7.2Équationdiérentielledumouvement..........................65
7.3Solutiondel'équationdumouvementetcaractéristiques................66
7.3.1Notiondepulsationpropreetdep ério depropre...............66
7.3.2Expressiondelasolution............................66
7.3.3Alluredelasolution...............................66
7.4Oscillateurharmoniquevertical:Mouvementsansfrottements.............67
7.4.1Positionduproblème...............................67
7.4.2Équationdiérentielledumouvement.....................67
7.5Étudedup endulesimple.................................68
7.5.1Positionduproblème...............................68
CyclepréparatoireA.Khaled
Tabledesmatières5
7.5.2Référentieletbase................................69
7.5.3Équationdiérentielledumouvement.....................70
7.6Systèmemasse-ressortavecamortissement........................71
7.6.1Équationdiérentielledumouvement.....................71
7.6.2Solutiondel'équationdiérentielle.......................71
8Étudedescollisions75
8.1Positionduproblème...................................76
8.2Élémentscinétiques....................................76
8.2.1Centred'inertiedusystème...........................76
8.2.2Résultantecinétique...............................76
8.2.3Momentcinétique................................77
8.2.4Centrebarycentrique...............................77
8.2.5Théorèmedelarésultantecinétique......................77
8.3Théorèmedumomentcinétique.............................77
8.4Étudedescho csélastiques................................78
8.4.1Conservationdelaquantitédemouvement..................78
8.5Collisionélastique....................................78
8.5.1Collisionélastiquedirecteouunidimensionnel(1D)..............78
8.5.2Collisionélastiqueplanoubidimensionnel(2D)................80
App endices83
ARelationstrigonométriques85
CyclepréparatoireA.Khaled
6Tabledesmatières
CyclepréparatoireA.Khaled
MécaniqueduPoint
Tabledes gures
1.1Représentationd'unvecteur..............................14
1.2Vecteurunitaire.....................................14
1.3Sommededeuxvecteurs.................................15
1.4Diérencededeuxvecteurs...............................15
1.5Sommedeplusieursvecteurs..............................15
1.6Momentparrapp ortaup ointO............................18
1.7Momentparrapp ortàl'axeOz.............................18
2.1Vecteurp ositionenco ordonnéescartésiennes.....................22
2.2Positiondumobiledansleplan(x,y).........................22
2.3Lesco ordonnéesp olaires(r,θ)etlabaseasso ciée..................23
2.4Lesco ordonnéescylindriques(r,θ,z)etlabaseasso ciée................24
2.5Lesco ordonnéessphériques(r,φ,θ)etlabaseasso ciée.................25
2.6Rotationdesbases....................................25
2.7Rotationdesvecteursunitaires.............................26
2.8Lesco ordonnéescurvilignes................................26
3.1Tra jectoired'unmobile.................................28
3.2Référentielcartésien...................................29
3.3Vecteurdéplacementdumobile.............................29
3.4Vecteuraccélération...................................30
3.5Rep érageenco ordonnéescylindriques.........................31
3.6Mouvementcirculaire..................................34
3.7Rep èredeFrenet....................................35
3.8MRU,lep ointMsedéplacesurunedroiteàvitesseconstante............36
4.1Vitesserelativededeuxmobiledansleréférentiel<.................38
4.2Référentielabsolu<a etrelatif<r ...........................39
4.3Mouvementdetranslationde<r parrapp ortà<a ..................40
CyclepréparatoireA.Khaled
8Tabledes gures
4.4Mouvementderotationde<r (O′ ,i′ ,j′ ,k′ )autourde<a (O,i,j,k)suivantl'axecom-
munOz..........................................41
4.5Mouvementderotationde<r parrapp ortà<a ....................42
5.1IsaacNewton(25décembre164220mars1727)estunphilosophe,mathématicien,
physicien,alchimiste,astronomeetthéologienAnglais.................45
5.2Quantitédemouvement.................................46
5.3Princip ed'actionetderéaction.............................47
5.4Corpsenchutelibre...................................48
5.5Forced'attractionentrelescorps1et2........................48
5.6Forcesdecontact.....................................49
5.7Forcesdefrottementsstatique-Corpsaurep os-...................50
5.8Forcesdefrottementscinétique-Corpsenmouvement-...............51
5.9Momentd'uneforce...................................51
5.10Momentcinétique.....................................51
5.11Laloidesaires......................................53
6.1Puissanced'uneforce...................................56
6.2Travailélémentaired'uneforce.............................56
6.3Ressortélastiquehorizontal...............................59
6.4Positionsd'équilibre"maximum"enfonctiondupro ldeEp ............61
6.5Positionsd'équilibre"minimum"enfonctiondupro ldeEp ............62
7.1Oscillateurharmoniquehorizontal...........................64
7.2Forces'exerçantsurlamasseaccro chéeauressorthorizontal............65
7.3Oscillationsharmoniques................................67
7.4Oscillationsd'unemassesusp endueàunressortvertical...............68
7.5Balançoire........................................68
7.6Pendulesimpleetbasep olaire..............................69
7.7Bilandesforces......................................70
7.8Oscillationspseudo-p ério diques.............................72
7.9Régimesap ério diques..................................73
8.1Systèmededeuxp ointseninteraction.........................76
8.2Undesdeuxcorpsestinitialementimmobile:collisionplane............78
8.3Collisiondirecte......................................78
8.4Pro jectileetcibledemêmemasse............................79
8.5Pro jectilelourd,ciblelégère...............................79
CyclepréparatoireA.Khaled
Tabledes gures9
8.6Pro jectileléger,ciblelourde...............................80
8.7Collisionàdeuxdimensions...............................80
8.8Collisionentredeuxbillesdebillard..........................81
CyclepréparatoireA.Khaled
10Tabledes guresFFF Avant-prop os
Commentprépareruncours?FFF C
equ'onvousprop osedansce
"avant-prop os"c'esttoutsimplementune
métho dep ouroptimiservosacquisnon
seulementenmécaniquemaisaussidans
touteslesautresmatières.Uneécouteatten-
tiveetactivelorsdelaséanceestfortement
recommandée.Ellenécessitedelaconcen-
tration.Ellep eutêtreaccompagnéed'une
prisedenotessurunsupp ortquiserviraà
complétervotrep olycopiéetl'ensembledes
do cumentsquiconstituentlecours.Lors-
qu'unélémentducoursn'estpasbiencom-
pris,p oserdesquestions.Éviterl'installation
dedoutesdansvotreapprentissage.Pourre-
teniruncours,ilestnécessairedelerelire
plusieursfois:
unefoisquelquesheuresaprèslaséance ;
unefoislasemainesuivante; unefoisunmoisplustard(quandcela
restep ossible);
eten n,durantlap ério dederévision
proprementdite.
Relevezlesintitulésetlessujetsab ordés.
Rep érezlesdé nitionsetlevo cabulaire.
Véri ezaussilesdémonstrationsqui
p ermettentdeconstruirelesformulesim-
p ortantesducours.
Vousp ouvezconstruiresurfeuille,sortede
cartementaleducourssurlaquellep eutap-
paraitrelesgrandesidées,lesdé nitions,les
loisouencorelesformulesainsiquelesliens
quiexistententreelles.LesexercicesdeTD
sontencorrélationdirecteaveclecours.Il
estinévitablederefairelesexercices.Ilest
p ossibledetrouveretdefairedesexercices
supplémentairessurinternetouàlabiblio-
thèque.Apprenezlesformulesetsic'esten-
visageable,leursdémonstrations,danslebut
d'encomprendrelesens.Larévisionneseli-
mitepasàundéchirageducours.Ellep eut
s'étendreàlarecherchedusenslieauthèmetraite. Finalement,àl'appro chedel'examen,ilest
p ossibledes'organiserenplani antvotreac-
tivitéderévision.Unesemaineavantladate
del'épreuve,lecoursestrelu.Uneoudeux
séancesserontenvisagéesdurantcettep é-
rio dea ndesollicitervosfacultés,sinonde-
mandezdesexplicationssupplémentairesà
votreprofesseur.
Éviterlesrévisionsintensiveslaveillede
l'évaluation.
CyclepréparatoireA.Khaled
Tabledes gures11FFF Intro ductiongénéraleFFF L
ecoursdemécaniqueprésentéiciconcernelamécaniquedup oint.Pratiquementelle
concernelesob jetsmatérielsdontl'extensionspatialeesttrèsfaible:leursdéformationsetl'éner-
gieliéeàleurmouvementproprederotationp euventainsiêtrenégligéesdevantlesénergiesmises
enjeu.Cep endantunob jetaussivolumineuxquelaterreoulesoleilp eutdanscertainscasêtre
assimilableàunp ointencequiconcerne,parexemple,sonactionsurdescorpsdanssonentourage.
Nousn'étudieronspasdesystèmesdetrèsp etitesdimensions,àl'échelleatomique,domainep our
lequelilaétémontréilyaunsièclequelesnotionsdemécaniqueclassiquedoiventêtreremplacées
parcellesdemécaniquequantique.
Demêmelamécaniquerelativistesortducadredecetteprésentationetnousn'envisageronsque
desmobilesdontlavitesseestfaibledevantcelledelalumière(mécanique"classique").Toutefois
leprincip efondamentaldeladynamiqueseradonnédanslecadrerelativiste,sonexpressionétant
trèssimpleàpartirdelaquantitédemouvement,etnousendéduironslesrelationsclassiquement
utiliséesquesontlesloisdeNewton.
Noussupp oseronsqu'untempsuniquep eut-êtredé nientoutp ointdel'espace,etqueleslon-
gueurs,masses,temps,etforcessontinvarianteslorsd'unchangementderéférentiel.
CyclepréparatoireA.Khaled
12Tabledes gures
CyclepréparatoireA.Khaled
MécaniqueduPoint
Chapitre1 Rapp elsmathématiquesdesnotions
fondamentales
pLepremierchapitredececoursestconsacréprincipalementauxrappelsmathématiquesdu
calculvectorieletdesopérateursdiérentiels,utiliséspourexprimerlesloisdelamécanique.L'ob-
jectifdecettepremièrepartieestdoncd'introduirelesdiérentestechniquesetoutilsdecalcul
diérentieletvectorieletdesefamiliariseraveclesnouvel lesnotations.q
CyclepréparatoireA.Khaled
141.1.Grandeurscalaire&Grandeurvectorielle
1.1Grandeurscalaire&Grandeurvectorielle
Enphysique,onutilisedeuxtyp esdegrandeurs:lesgrandeursscalairesetlesgrandeurs
vectorielles.
1.1.1Lesgrandeursphysiquesscalaires
Cesgrandeurssontentièrementdé niesparunnombreetuneunitéappropriée,exemples:la
massemd'uncorps,lalongueurld'unob jet,l'énergieEd'unsystème...
1.1.2Unegrandeurphysiquevectorielle
C'estunequantitésp éci éeparunnombreetuneunitéappropriéeplusunedirectionetun
sens.Géométriquement,elleestreprésentéeparunvecteurayantlamêmedirection,lemêmesens
etunmo dulemesuréenchoisissantuneunitégraphiquecorresp ondante,c'est-à-direl'échelle.On
p eutcitercommegrandeursvectorielleslavitesse:Lavitesse−→ v,lepoids−→ Pd'uncorps,lechamps
magnétique−→ B,laforce−→ F...
1.1.3Représentationgraphiqued'unvecteur
Unvecteurestreprésentéparunsegmentorienté.−→ V:Représentelevecteur(avecsesquatrecaractéristiques:origine,
direction,sens,mo dule).‖ −→
V‖=V:Représentelemo duleoul'intensitéduvecteur.
Figure1.1Représen-
tationd'unvecteur
1.1.4Vecteurunitaire
C'estunvecteurdemo duleégalàl'unité(lenombreun).Onexprimer
unvecteurparallèleauvecteurunitairesouslaforme:−→ V=−→ u V=V−→ u
Figure1.2Vecteur
unitaire
CyclepréparatoireA.Khaled
Chapitre1.Rapp elsmathématiquesdesnotionsfondamentales15
1.2Op érationssurlesvecteurs
1.2.1Additionvectorielle
Lasommededeuxvecteurslibres−→ Aet−→ B,notée −→A+ −→
Bestunvecteurlibre−→ R,obtenu
parlarègledesparallélogramme.
Oncalculelemo duleduvecteurrésultantà
partirdelaloidescosinus:
Figure1.3Sommededeuxvecteurs‖ −→R‖= √A 2+B 2
−2A.B.cos(_ −→A, −→B)(1.1) Propriétés:
Commutativité:−→ A+−→ B=−→ B+−→ A
1.2.2Soustractionvectorielle
Soitlesdeuxvecteurs−→ Aet−→ B,ladiérencenotée−→ R=−→ A−−→ B,ouencore−→ R=−→ A+ (−−→ B).Onp eutalorsappliquer
larègleduparallélogramme.
Figure1.4Diérencede
deuxvecteurs
Remarque
Lorsquelenombredevecteursàadditionnerestsup érieur
àdeuxonappliquelamétho degéométriquequiconsisteà
lesplacerlesvecteursb outàb outcommemontrésurla
gure1.5.
Figure1.5Sommedeplu-
sieursvecteurs
CyclepréparatoireA.Khaled
161.3.Pro duitscalaire
1.3Pro duitscalaire
1.3.1Dé nitionetexpression
Lepro duitscalairededeuxvecteurs−→ Aet−→ B,noté−→ A.−→ B,estlescalaire(nombreréel)dé nitpar: −→A. −→B=‖ −→A‖.‖ −→
B‖.cosθ=A.B.cosθ(1.2)
L'angleθ= (_ −→A, −→
B)estl'angleentrelesdeuxvecteurs.
Remarque
Lepro duitscalaireestdoncp ositifp ourthetaaigu,négatifp ourthetagrand.
1.3.2CasparticuliersSi −→A= −→0et −→B= −→0⇒ −→A. −→
B= 0Si −→A6= −→0et −→B6= −→0alors: ⇒ −→A. −→
B= 0⇒cos(π 2
) = 0⇒(_ −→A, −→
B) =π 2⇒ −→A⊥ −→B −→A. −→
B=A.B⇒cos(0) = 1⇒(_ −→A, −→
B) = 0⇒−→ A‖−→ B
1.3.3FormeAnalytique
Soitlesdeuxvecteurs−→ Uet−→ Vdontlescomp osantessontexpriméesdanslabaseorthonormée( −→
i ,−→ j ,−→ k) durep ère<(x,y,z)telque:−→ U= U xU yU z −→ V= V xV yV z
lepro duitscalairedecesdeuxvecteursestlescalairedé niparlarelation:−→ U .−→ V= U xU yU z . Vx Vy Vz = U x.V xU y.V yU z.V z
d'où,−→ U .−→ V=Ux .Vx +Uy .Vy +Uz .Vz (1.3)Car( −→
i .−→ i=−→ j .−→ j=−→ k .−→ k= 1et−→ i .−→ j=−→ j .−→ k=−→ k .−→ i= 0)
1.3.4Propriétés
Commutativité:−→ U .−→ V=−→ V .−→ U
Distributivitéparrapp ortàl'addition:(−→ U+−→ V).−→ W=−→ U .−→ W+−→ V .−→ W
Linéarité:(α.−→ U).(β.−→ V) = (α.β)(−→ U .−→ V)
CyclepréparatoireA.Khaled
Chapitre1.Rapp elsmathématiquesdesnotionsfondamentales17
1.4Pro duitvectoriel
1.4.1Dé nition
Onapp ellepro duitvectorieldedeuxvecteurs−→ Uet−→ Vlevecteurnoté−→ W=−→ U∧−→ Vdontles
caractéristiquessont:
Direction:Perp endiculaireauplancontenantlesdeuxvecteurs−→ Uet−→ V(−→ W⊥−→ Uet−→ W⊥−→ V)
Sens:Sensdutrièdredirect(−→ U ,−→ V ,−→ W)
Module:‖ −→W‖=‖ −→U‖.‖ −→V‖.sin( _−→ U ,−→ V)(1.4)
Remarque−→ i∧−→ i=−→ j∧−→ j=−→ k∧−→ k=−→ 0−→ i∧−→ j=−→ k;−→ j∧−→ k=−→ i;−→ k∧−→ i=−→ j
1.4.2Formeanalytique
Commeprécédemment,onexprimelescomp osantesdesvecteurs−→ Uet−→ Vdanslabaseortho-normée (−→ i ,−→ j ,−→ k) ,lepro duitvectorieldesdeuxvecteursestlevecteurdé niparl'équation:−→ W=−→ U∧−→ V=∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣+−+ −→i −→j −→k Ux Uy Uz Vx Vy Vz ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ = (Uy Vz −Uz Vy )︸ ︷︷︸W x−→ i−(Ux Vz −Uz Vx )︸ ︷︷︸W y−→ j+ (Ux Vy −Uy Vx )︸ ︷︷︸W z−→ k
Lemo duleduvecteurestdonnéparl'expression:W= √(U yV z−U zV y) 2
+ (Uz Vx −Ux Vz )2 + (Ux Vy −Uy Vx )2 (1.5)
1.4.3Propriétés
Anticommutatif:−→ U∧−→ V=−−→ V∧−→ U
Nonasso ciatif:−→ U∧(−→ V∧−→ W)6= (−→ U∧−→ V)∧−→ W
Distributifparrapp ortàlasomme:−→ U∧(−→ V∧−→ W) = (−→ U∧−→ V) + (−→ U∧−→ W)
1.5Pro duitMixte
Lepro duitmixtedetroisvecteurs−→ U,−→ V,−→ Westlaquantitéscalairedé niepar:−→ V .(−→ U∧−→ W) =∣ ∣∣ ∣∣ ∣U xU yU zV xV yV zW xW yW z∣ ∣∣ ∣∣ ∣
= (Vy Wz −Wy Vz )Ux −(Vx Wz −Wx Vz )Uy + (Vx Wy −Wx Vy )Uz CyclepréparatoireA.Khaled
181.6.Applicationsdupro duitvectorielenphysique
1.6Applicationsdupro duitvectorielenphysique
1.6.1Momentd'unvecteurparrapp ortàunp oint
Lemomentd'unvecteurparrapp ortàunp ointdel'espace
estlevecteurdé nipar:−→ M−−→ AB/O= −→OA∧ −−→AB(1.6) Figure1.6Momentpar
rapp ortaup ointO
1.6.2Momentd'unvecteurparrapp ortàunaxe
Lemomentd'uneforce−→ F,appliquéeaup ointMdel'es-
pace,parrapp ortàunaxe(Oz)muniduvecteurunitaire−→ kestdonnéparlarelation:M −→
F /Oz= −→k( −−→OM∧ −→F)(1.7) Figure1.7Momentpar
rapp ortàl'axeOz
1.6.3Conditionp ourquedeuxvecteurssoientparallèles
Soitdeuxvecteurslibres−→ Uet−→ V,p ourquelesdeuxvecteurssoientparallèlesilfautque:−→ U‖−→ V⇒ ‖−→ U‖.‖−→ V‖sin(−→ U ,−→ V) = 0Soit−→ U∧−→ V=−→ 0(1.8)
1.7Op érateursdiérentiels
1.7.1Dé nitionsetnotations
Onditquelafonctionf(x,y,z)estunchampscalairesilafonctionf(x,y,z)