Mécanique du point : Chapitre 3 dynamique du point materiel mécanique de point
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Année Universitaire 2012‐20131
CHAPITRE 3 :
Dynamique du point matériel
yq p96 9Dynamique:Etude des mouvements en les reliant à
leurs des causes (Forces).
1) Quantité de mouvement (Q.D.M):97 pmv=JGG 2) Lois de Newton:
La dynamique est basée sur 3 lois: Lois de Newton (1687).
2.1. 1ère loi: Loi d’inertie
« Un corps qui n’est soumis à aucune 98pq force est soit au repossoit en mouvement
rectiligne uniforme».
2.2. 2ème loi:
«La variation de la Q.D.M d’un corps = Résultante des forces
agissant sur celui-ci ». 99
Soit encore:dp Fmdt γ==∑ JGJGG La 2ème loi donne une définition précise de la force.
Remarque:100 1Nest la force appliquée à une masse de
1Kgpour lui communiquer une accélération de 1m/s2 .
Unité: Newton (N)
2.3. 3ème loi:
« A toute action correspond toujours une réaction égale en module et opposée en sens». 10112 12F JJG21 FJJJG 2112FF=− JJJGJJG
Pr. M. EL MOUDEN17/11/2013
Année Universitaire 2012‐20132L2 ème
lilé lRlti (
Remarque:2 èmeloi 1ère loi 2ème loi3 ème
loi 102
La 2ème loi est appelé alors: Relation (ou Principe) Fondamentale de la Dynamique R.F.D.
En effet:
1) Sialors d’après la RFDd’où.
Doncrepos
oumouvement rectiligne uniforme0F= JGG0γ= GGVCte= JG JJJG
2) Soit un système isolé () de 2 corpscetd.0F= ∑JGG 103∑ 1212 FJJG 21F JJJG
système isolé00 dpF dt⇒=⇒= ∑JG JG GGOr: 12ppp=+ JG JJGJJGDonc: 12dp dpdpdtdtdt =+
JJGJJGJGD’où: 12210FF+= JJG JJJGG 3) Référentiels inertiels:
Ce sont les référentiels où les lois de Newton sont valables.N.B: Ce sont les expériences qui déterminent si un référentiel est inertiel ou non.
Exemple:Référentiel de Copernic104 ™Origine: Centre du Soleil
™Axes: demi-droites joignant (S) à 3 étoiles très éloignées (
≈fixes / (S)S zS yS xS 4) Référentiels galiléens:
™Supposons qu’∃un référentiel inertiel ℜ.
™Dansℜ, nous avons:(RFD). ™La RFD ne peut pas être valable ∀le référentiel.
4.1. Définition
()Fm Mγℜ =∑ JG JJJJJJJG
En effet:105 En effet:
dépend du référentiel choisi: Caractère relatif
ne dépend pas du référentiel choisi: Caractère absoluF JGγ G
La RFD ne peut pas être valable que dans une certaine classe de référentiel où
prend un caractère absolu. Ce sont les référentiels galiléens.γ G
Quelle est la condition pour qu’un référentielℜ’soit
galiléen?' ()()
() ()0ec MMMMM γγγγ ℜℜ⇔= ⇔+=∀
JJJJJJJG JJJJJJJG
JJJJJJG JJJJJJGG ℜ’galiléen:106 Cette condition est satisfaite si:
(') 00Oetγωℜ ==
JJJJJJJGG JGGDonc: ℜ’est un référentiel galiléen si ℜ’est en translation rectiligne uniforme par rapport à ℜ.
Approximation:
ℜ’est un référentiel galiléen si:' () ()()ec MMMγγ γℜ +
JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJJG Choisissons comme référentiel inertiel le référentiel de Copernic.
4.2. Quelques référentiels galiléens
4.2.1. Référentiel géocentrique:
™Origine: Centre de la Terre
™Axes: // au axes de Copernicz S107 Sz TS yS xS Ty Tx T30/ Tvkms= (ℜT ) ℜT ≈galiléen si :
ou si : la durée de l’étude est courte
() ()()T ec
MMMγγ γℜ +
JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJJJG Pr. M. EL MOUDEN17/11/2013
Année Universitaire 2012‐20133
4.2.2. Référentiel terrestre:
™Origine: Centre de la Terre
™Axes: liés à la Terrez T(ℜ’ T
) z’T 108ℜ’ T
≈galiléen si :
ou si : la durée de l’étude est courte' () ()()T ec
MMMγγ γℜ +
JJJJJJG JJJJJJG JJJJJJJJG Ty Tx T
ω=1tr/24h
5) R.F.D dans un référentiel non galiléen:
Soit ℜun référentiel galiléen et ℜ’un référentiel non galiléenDans ℜ, nous avons:' ()()()() ec
Fm MmMmMmM γγγγ ℜℜ ==++ ∑
JG JJJJJJJG
JJJJJJJG JJJJJJG JJJJJJG109 : force d’inertie d’entrainement
: force d’inertie de Coriolis() ccFmMγ=− JJG JJJJJJG() eeFmMγ=− JJG JJJJJJG' ()ec FF F m Mγℜ ⇒++=∑ JGJJGJJG JJJJJJJGN.B: Dansℜ, Mressent:Dans ℜ’, Mressent:ec FF F++∑ JGJJGJJGF ∑JG 6) Types de forces:™Poids: ™Tension:Pmg= JG JGT JG
™Force de rappel d’un ressort:110 0
()Fkx x i=− −JGG Tx 0i Gx 0i Gx OO ™Force de contact:
6) Types de forces:
Définitionn RJJG RJG tR JJGM : Réaction du support (S) ou Force de contact111 RJG tR M(S) Lois expérimentales de Coulomb
M au repos:
™En voulant tirer M, on sent une résistance
(force de frottement)™SiFR t
( car)0 tFR+= JG JJGGt RJJG FJG nR JJGR JGt RJJG PJG 112
Loi de Coulomb: Rt max
= fs Rn fs : Coefficient de frottement statique.
™Si FRt ( car) ™Juste avant le mouvement de M, Rt = Rt max
(valeurs maximale de Rt )0 tFR+ P
Soit encore:R t≤f sR n
Loi de Coulomb: Rt = fc Rn fc : Coefficient de frottement cinétique.
M en mouvement:t RJJG s’oppose au mouvement (force de frottement)
Remarques:113 Remarques:
1) Si le frottement est négligeable, alors : fs ≈0et fc ≈0
2) fc ≤fs : Il est plus difficile de tirer un corps au repos que lorsqu’il est en mouvement.
3) fs ≤1 : Il est plus facile de tirer un corps que de le soulever.0 t
R⇒= ⇒JJGG supportR⊥JG Pr. M. EL MOUDEN17/11/2013
Année Universitaire 2012‐20134
Application:yO x’y’ Mzz’ ™ω= Constante
™Mse déplace sans frottement114 xx ω
Etude:ℜest un Référentiel Galiléenφ 'jJJG 'iJG xy Ox’ y’M R.F.D dans ℜ:
()PRm Mγℜ +=
JG JG JJJJJJJGPmgk=− JGGavec: ''
xy z
RRi Rj Rk=+ +JGGJGG ()?Mγℜ =
JJJJJJJG() 2
'()''()'2'OM riV Mri r jMr rir jφγφ φℜℜ =⇒ =+ ⇒ =− +
JJJJG G JJJJJJJG G JG JJJJJJJGGJG 2 x
mr mrRφ⎧ −=⎪ 115R.F.D:2 yz mrRmgR φ⎪ ⇒=⎨ ⎪= ⎩
Or Mse déplace sans frottement:
D’où:: C’est l’équation du mouvement0 xR⇒= 20rrω−=
Conditions initiales:
()()rAcht Bshtωω⇒=+0 0,0àtr r etr=== 0
()rrch tω⇒=
R.F.D dans ℜ’:' ()ec PRF F m Mγℜ ++ + =
JG JG JJGJJG JJJJJJJG() ()() 2
()'
() 2() 2'ee ccr
FmMmOMmri
FmM m VMmrj γωωωγωω =−=− ∧ ∧==−=− ∧=−
JJG JJJJJJG JG JG JJJJGG
JJG JJJJJJG JG JJJJJJGJG avec: ()'Mriγ=
JJJJJJJG G et:116 '()Mriγ ℜ= R.F.D:2 02 yz rrmrR mgRω ω⎧ −=⎪ ⇒=⎨ ⎪= ⎩ 0 ()rrch tω⇒=et: ou0 ()rrchφ=2 ème
Loi de Coulomb:
Remarque:
Si Mse déplace avec frottement:tcn RfR=JJGJJG Ici: RR=JJG 22RRR=+ JJGet 117tx RR=nyz RRR=+
et ()2 2222 xcyzc
RfR R mf
rgφ⇒= +=+
L’équation du mouvement devient:() 222 2c rrf r gφφ−=−+