Mécanique du point : Mecanique du point materiel td filiere smpc 2007 2008 fssm
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Télécharger packEdition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 6 Mécanique du point matériel : Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM :
Exercice 1
On considère un point matériel M se déplaçant dans un référentiel
muni de la base
⃗ ⃗ ⃗⃗ Les coordonnées du point M dans R sont données par :
, (t étant le temps). a) Donner l’équation de la trajectoire de M dans R .En déduire sa nature ; b) Calculer la vitesse ⃗⃗⃗
et l’accélération ⃗
du point M.
Exercice 2
On considère une courbe (C) sur laquelle se déplace un point matériel M d’abscisse curviligne s(t).La vitesse du point M dans R(O,xyz) est ⃗⃗⃗
de module
. On défini la base locale(ou base de Frenet) ( ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
).telle que ⃗⃗⃗
⃗. a) Que désigne les vecteurs ⃗ ⃗⃗⃗⃗ . b) Montrer que l’accélération du point M est donnée par : ⃗ ⃗
⃗⃗ ; r étant le rayon de courbure de la trajectoire (C) au point M. c) Exprimer r en fonction de ⃗⃗⃗⃗ .
Exercice 3
On considère la base ( ⃗ ⃗ ⃗⃗
) attachée à un référentiel absolu R(O,xyz) et la base ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) lié à un référentiel R1 (O,x1 y1 z1 ).Un point M est assujetti à se déplacer sur un tige(T1 ). La tige (T1 ) est solidaire en O
1 avec une tige (T) en rotation autour de l’axe (Oz) d’angle (t) , (voir figure). La tige (T1 ) est située dans le plan vertical ( ⃗⃗⃗⃗ ). Le point O
1 est repéré par⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ et le point M est repéré sur la tige (T1 ) par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (
).Le vecteur ⃗⃗ fait un angle α constant avec le vecteur ⃗⃗
N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗
) I. Etude de la cinématique de M par calcul direct : a) Vérifier que la vitesse de rotation ⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗
. b) Exprimer ⃗⃗ en fonction de
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗ et l’angle α. c) Donner l’expression du vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d) Déterminer la vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗
. e) Déterminer l’accélération absolue de M, ⃗
. II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 7 x1 ZX y(T 1
) y
1 O
1 O푒⃗ 휌푒⃗ 휑푖⃗ 푗⃗푘 ⃗⃗푢⃗⃗ 훼 (T) Figure M 휑 a) Déterminer la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗ . b) Déterminer la vitesse d’entrainement de M,⃗⃗⃗ . c) En déduire la vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗
. d) Déterminer l’accélération relative de M, ⃗
. e) Déterminer l’accélération d’entrainement de M , ⃗
. f) Déterminer l’accélération de Coriolis de M , ⃗
. g) En déduire l’accélération absolue de M, ⃗⃗
. hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 8 − lim푡→±∞ 푦 푡
∞ 푦′ 푡 →푥
푡 − 푏⃗⃗ 푛⃗⃗ 휏⃗ 푉⃗⃗ 푀 Corrigés Contrôle N :1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM:
Exercice 1
a) Soit un point matériel M de coordonnées
et z(t)=0 (3). L’équitation de la trajectoire de M dans R
− on remplace dans l’équitation– .
Donc la trajectoire décrit par le point M est un Parabole. b) Calculons : la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| [⃗⃗ () ⃗] | ⃗
⃗ Alors :⃗⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗| ⃗| ⃗⃗⃗| L’accélération⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗ ⃗ |⃗ ⃗⃗
⃗
Exercice 2
a) ⃗⃗ : Vecteur unitaire tangent en M, elle a le même sens du mouvement. ⃗⃗ : Vecteur unitaire à ⃗ dirigé vers le centre de courbure. ⃗⃗ : Vecteur unitaire au plan qui contient les deux vecteurs ⃗ et ⃗⃗ . b) Montrons que ⃗ ⃗
⃗⃗ (avec r le rayon de courbure). On a ⃗⃗⃗⃗⃗ l⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗
| ⃗⃗
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⁄ ⃗⃗
( ⃗⃗ ⃗⃗| )⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗ |⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗ (
) ⃗⃗⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗
⃗⃗ c) R en fonction de ⃗⃗⃗ et⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗⁄ ⃗ ( | ⃗) ( ⃗
⃗⃗) ⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖ ) ‖⃗⃗⃗ ⁄⃗ ⁄ ‖‖ ⃗⃗⃗⁄ ⃗
⁄ ‖h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 9 ⃗ ⃗ ⃗⃗
ρ ⃗⃗φ φ φ ⃗⃗ρ =
φ ⃗ i φ ⃗ ⃗⃗
φ i φ ⃗
φ ⃗φ |
φ φ φ
−푠푖푛휑 휑̇ ⃗⃗ρ ⃗⃗ ⃗⃗ α
Exercice 2
R(O,x,y,z)
⃗ ⃗ ⃗⃗
) Référentiel absolu
et R1(O,x1y1z1).
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) Référentiel relatif. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗
̂ ⃗⃗) ̂
. ⃗| ⃗| ⃗⃗⃗| ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗| ⃗⃗| ⃗⃗⃗| ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( I. Etude de la cinématique de M par calcul direct a) La vitesse de rotation ⃗⃗⃗
⁄ En effet : ⃗⃗| ⃗⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗
⃗ i ⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗
⃗ i ⃗
| ̇
− i ⃗
⃗ ̇ ⃗⃗
⃗ i ⃗
| ̇ ⃗⃗ ⃗⃗ l⃗⃗⃗ ⁄
̇ ⃗⃗
b) L’expression de ⃗⃗ en fonction de ⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ α⃗⃗ ⃗⃗i ⃗⃗⃗
c) L’expression de⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ On a⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗( ⃗⃗i ⃗⃗⃗) Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ a) La vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗
On a : ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) | (⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) |
⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗ ⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 10 b) L’accélération absolue de M : ⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| (̇ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| | ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇( − ⃗⃗⃗⃗⃗) ( ̈ ̇) − ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗
| − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗ Donc :⃗⃗ { ̈
− ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̈̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement a) la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| l
′ i i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )⃗⃗⃗ ⁄ (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )
b) vitesse d’entrainement de M⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗) | ̇ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ c) La vitesse absolue de M,⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ ) ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ d) L’accélération relative de M, ⃗
⁄ [( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
] ⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ |[ (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )]| ⃗⃗
e) L’accélération d’entrainement de M , ⃗
A B C hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 11 ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗
⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ [⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ( ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗) [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| [ ̈
− ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̇ ̇ ̈] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ i⃗⃗⃗ )) ⃗⃗⃗
⁄ |( ̇⃗⃗⃗ )
| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ )
) ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ [⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ( ̇ ⃗⃗) [( ̇ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ i⃗⃗⃗ )) ]
( ̇ ⃗⃗) [ ̇⃗⃗ ]
− ̇⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗ ⃗⃗
[ ̈
− ̇[ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( )
̇ ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗ f) L’accélération de Coriolis : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⁄ l i
l i⃗⃗ ( ̇ ⃗⃗) [( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )]
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ g) L’accélération absolue de M, ⃗
⁄ ⃗⃗⁄ ⃗⃗⁄ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ [ ̈
− ̇[ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( )
̇ ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ D’où : ⃗⃗
⁄ {
[ ̈
− ̇[ ]
] ̈( )
̇ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Il ne faut pas beaucoup d'esprit pour ce qu'on soit mais il en faut infiniment pour enseigner ce qu'on ignore Montesquieu hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 12 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: Toute les bases considérées sont orthonormées directes Exercice1 Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel (
⃗ ⃗ ⃗⃗
) sont données en fonction du temps par : −
− Dans un deuxième référentiel ( , ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), elles ont pour expression : (t)= +t=2
(t)=-2 +5
(t)=3 -7 1) Déterminer les expressions des vitesses ⃗⃗
⁄ et⃗⃗ ⁄ 2) Exprimer la vitesse⃗⃗⃗ ⁄ en fonction de la vitesse⃗⃗⃗ ⁄ 3) Exprimer l’accélération ⃗⃗( ⁄
) en fonction de l’accélération ⃗⃗( ⁄
) 4) Quelle est la nature du mouvement du référentiel par rapport au référentiel
? 5) Supposons
galiléen. est-il aussi galiléen ? Justifier votre réponse.
Exercice 2
Soient R( ⃗ ⃗ ⃗⃗) un référentiel fixe et (
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
) un référentiel mobile tel que : ⃗⃗
⁄ =at ⃗⃗⃗ où a est une constante positive. Soit (
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
) un deuxième référentiel, lié à une particule mobile M (point matériel) et tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=l ⃗⃗⃗⃗ où l est une constante positive et l’angle (
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) = (voir figure) Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
A. Considérer (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel absolu et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel relatif 1) Quelle est la nature de la trajectoire de M dans
? (sans faire de calcul) 2) Déterminer l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗
( ⁄
) 3) déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗⃗ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗⃗
. 4) Quelle est la nature du mouvement de par rapport à R ? 5) Déterminer l’expression des vecteurs accélérations relatives ⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M).En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗
B. Considérer R( ⃗⃗ ⃗⃗⃗) comme référentiel absolu et (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel relatif 1) Donner l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗
⁄ .En déduire le vecteur rotation ⃗⃗⃗
⁄ 2) Déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗
⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗
⁄ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 13 3) Déterminer l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M) et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) 4) Comparer les expressions de la vitesse absolue ⃗⃗
(M/R) déterminé dans les équations A-3 et B-2 5) Comparer les expressions de l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) déterminées dans les equation A-5 et B-3 퐽⃗ 푖⃗ 푘⃗⃗ 푖⃗푗⃗ 푒⃗휑 푒⃗휌 푂 푂
푀 hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 14 Corrigé du contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM:
Exercice 1
Soit{ −− ;
{ − − 1) Les expressions des vitesses ⃗⃗
⁄ et⃗⃗ ⁄ L’expression de la vitesse ⃗⃗
(M/ ) ⃗⃗
(M/ ) = ⁄ (( −⃗− ⃗⃗⃗ ⃗⃗
(M/ ) =(2t -4) ⃗ -8
⃗ +6t ⃗⃗ L’expression de ⃗⃗
(M/ ) ⃗⃗
(M/ ) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| =⃗⃗⃗ (( )⃗ () ⃗⃗) |
⃗ −⃗ ⃗⃗
2) ⃗⃗⃗
(M/ ) en fonction de la vitesse ⃗⃗
(M/ ) On a ⃗⃗
(M/ ) = (2t -4) ⃗ -8
⃗ +6t ⃗⃗
=(2t +1) ⃗ -5 ⃗-8 ⃗ +6t ⃗⃗⃗⃗ (M/ ) = ⃗⃗
(M/ ) -5 ⃗ 3) ⃗ (M/ ) en fonction de ⃗ (M/ ) ⃗ (M/ ) = ⃗⃗⃗⁄ / = ( ⃗⃗
(M / )-5 ⃗)
⃗ (M/ ) = ⃗ (M/ ) + ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ (M/ )= ⃗(M/ ) Où bien : On a⃗⃗ (M/ ) = (2t -4 ) ⃗ – 8
⃗ +6 t ⃗⃗et ⃗⃗
(M/ ) = ( 2t + 1) ⃗ -8
⃗ + 6t ⃗⃗ ⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
| = 2 ⃗ – 24
⃗ + 6 ⃗⃗et ⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄| = 2 ⃗ – 24
⃗ + 6 ⃗⃗
Finalement
⃗(M/ ) = ⃗(M/ ) 4) La nature du mouvement du
par rapport à
On a ⃗⃗⃗
⁄ = ⃗⃗
translation ⃗⃗( ⁄ - ⃗⃗( ⁄ = -5 ⃗
Rectiligne
⃗(M/ ) = ⃗(M/ )
Uniform est en translation rectiligne uniforme 5) Si
est galiléen alors
est aussi galiléen 6) Car
est en translation réctiligne uniforme par rapport à .
Exercice 2
R (O, ⃗ ⃗ ⃗⃗
Référentiel fixe ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗
Référentiel mobile ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Référentiel lié à M. ⃗⃗ (
= at ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗ avec:
et ( ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ) = (t) A. R (O, ⃗⃗ ⃗⃗⃗
référentiel absolu et ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
relatif. hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 15 휑 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푖⃗ 휑 휑 푗⃗ 푖⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗푒 휑
⃗⃗⃗⃗⃗ − i 휑푖⃗
휑푗⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗
휑푖⃗ i 휑푗⃗ La nature de la trajectoire de M dans ⃗⃗⃗⃗⃗ On a ║ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
║ = l = cste Donc dans
la trajectoire de M est circulaire de centre 1) l’expression du ⃗⃗⃗⁄ ) Le référentiel
ne fait aucune rotation par rapport à R alors :⃗⃗⃗ ⁄
) = ⃗⃗
2) Expressions des vitesses relative et d’entrainement Vitesse relative ⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗⃗⃗⃗| = |
= ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =at ⃗=at( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse absolue⃗⃗⃗ (M/⃗⃗⃗ (M/ = ⃗⃗⃗
(M/ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3) On a
⃗⃗⃗ ( ⃗⃗
translation ⃗⃗
= at ⃗
réctiligne 4) L’accélération relative ⃗⃗( )= ⃗⃗⃗( )| =( ̇⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ – () ⃗⃗⃗⃗ Avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × = - ̇ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
=− ̇ ⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗ L’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(M) = = ⃗
| = a ⃗ =a ( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗(M) = a i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ L’accélération de Coriolis (
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 16 휑 휑 푗⃗ 푖⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗
휑푖⃗ i 휑푗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ − i 휑푖⃗
휑푗⃗ L’accélération absolue⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
= ⃗⃗⃗⃗
+ ⃗⃗⃗⃗(M) +⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ - ̇
⃗⃗⃗⃗+ a i
⃗⃗⃗⃗ + a
⃗⃗⃗⃗⃗ B. R (O, ⃗⃗ ⃗⃗⃗ comme referential absolu et
comme relatif. 1) L’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ i ⃗ |⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗ ̇ ( - i
⃗ +
⃗)= ⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗= ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗
L’expression de ⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗
= ̇ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗
2) l’expression de la vitesse relative ⃗⃗
⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗
⁄ Vitesse relative⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| = ⃗⃗⃗⃗⃗ ( M/
= ⃗⃗ Vitesse d’entrainement⃗⃗⃗⃗⃗ (M) ⃗⃗⃗⃗(M)= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + ⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M)= = at ⃗+ ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗=at( i⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗+ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗)⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
)+ ⃗⃗⃗⃗⃗
(M)= ⃗⃗
+ ⃗⃗⃗⃗⃗
(M) ⃗⃗i ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( a i - ̇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ( ̈ + a
⃗⃗⃗⃗⃗ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 17 3) l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M) et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) Accélération relative : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗ Accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗ (M) ⃗⃗⃗⃗ (M) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + ⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) Or:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = ( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ =
̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ̇
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (M) = (a i − ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ + (a
̈ ⃗⃗⃗⃗⃗
L’accélération de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) ⃗⃗⃗⃗(M) =2 ⃗⃗⃗
⃗⃗ = ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗ -L’accélération absolue
⃗⃗⃗⃗(M) ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗(M/ ) + ⃗⃗⃗⃗(M) + ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M)+ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M) =
⃗⃗⃗⃗(M) 4) Les expressions des vitesses absolues obtenues en A-3 et 8-2 sont identiques 5) Les expressions de l’accélération absolue obtenue en A-5 et B-3 sont identiques le calcul de l’accélération est indépendant de choix de référentiel hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 18 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM Toutes les bases considérées dans les exercices sont orthonormées directes Exercice :1 Soient
un référentiel absolus fixe et
référentiel relatif en mouvement de rotation de vitesse angulaire ̇ par rapport à Un point M décrit un mouvement circulaire dans
auteur de l’axe . M est repéré par ses coordonnées cylindriques (voir figure 1). On pose :et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où a et b sont des constantes. 1) Rappeler les lois de composition des vitesses et des accélérations? 2) Déterminer dans la base orthonormée directe (
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗) a) Le vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) Le vecteur rotation de
par rapport à c) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗
d) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. e) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗
f) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗
g) vecteur accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
h) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗
i) Le vecteur accélération absolue ⃗⃗⃗⃗
Exercice :2 Un point matériel M de masse m est en mouvement sans frottement sur le plan horizontal XOY d’un référentiel galiléen R(OXYZ). Un opérateur exerce une force de module F dirigée constamment vers le point O. M est repéré par ses coordonnées (voir figure 2). 1) Représenter sur un schéma les forces appliquées à M 2) Appliquer le PFD dans le référentiel R et en déduire les deux équations suivantes: {( − () )3) a) En utilisant l’équation (2) montrer que
où A est constante. b) Sachant que les conditions initiales à l’instant
sont les suivantes : , ̇̇, et ̇
̇ (le point sur les grandeurs indique ) en déduire que
̇ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 19 4) On suppose ̇nulle, ̇nulle et F constant. a) Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M. b) Calculer le temps t
1 qu’il faut à M pour arriver au point O. 5) On suppose ̇ nulle, ̇ non nulle et la force F nulle. Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M. hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 20 Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM : Exercice : 1 Soit
Un référentiel absolu Et
Un référentiel relatif |
̇ ,et 1) Les lois de compositions des vitesses: ⃗⃗( ⁄) ⃗⃗( ⁄) ⃗⃗⃗⃗
Avec ⃗⃗( ⁄) →| où O origine de R ⃗⃗⃗⃗→ |⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Les lois de compositions des accélérations: ⃗(⁄ ) ⃗( ⁄) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec⃗ (⁄ )→ |⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⁄ où ⃗⃗
⁄ est la vitesse relative 2) Déterminons dans la base orthonormée directe (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
c) Le vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ On a⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(relation de shale) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
d) Le vecteur rotation ⃗⃗⃗⁄ ⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗ | ⃗ : fixe dans R donc ⃗| ⃗⃗ avec ⃗
⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ − i ̇
⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ̇
− i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
⃗ ̇⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗̇ ̇( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗⁄ ⃗ (̇ ⃗⃗
) ⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ Finalement on trouve⃗⃗⃗ ⁄ ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) : Référentiel absolu (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) : Référentiel relatif Figure : 1 Figure : 2 hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 21 3) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⁄ →| ⁄( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Puisque :
et ⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗ Alors⃗⃗⃗⃗ ⁄( ⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗ finalement⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ a) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Puisque le piont O fixe dans le Repére
et de plus⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Alors →| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗̇ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Alors⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ b) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇̇ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ c) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗| ( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
)| ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ Finalement ⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ )
d) Vecteur d’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗̈ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )̇ ⃗⃗ ( ̇⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) )̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ e) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗̇ ⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ −̇ ̇
⃗⃗⃗⃗ Vecteur d’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ )
− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈⃗⃗⃗⃗⃗− ̇̇ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ( ̇̇ ̇̇ )⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈
) ⃗⃗⃗⃗⃗ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 22 푀 퐹⃗ 푃⃗⃗ 푅푧 ⃗⃗⃗⃗⃗
Plan (ZOM) Exercice : 2 est un référentiel galiléen et M en mouvement sans frottement sur le plan (XOY) alors les deux composantes et
sont nuls ( 1) Représentation graphique : sur le plan (ZOM)
la réaction : ⃗⃗
⃗⃗ la force : ⃗ − ⃗⃗⃗⃗ le poids : ⃗⃗ −⃗⃗ 2) On applique le PFD dans le référentiel R
⃗ ∑ ⃗
⃗ −⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗
Avec ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (⃗⃗⃗⃗⃗ )| (⃗⃗⃗⃗⃗ )| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗) |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗− () ⃗⃗⃗⃗ ⃗ [
− () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗[ − () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗( − () )⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
− − )⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ la projection sur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { [
− () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗} ⃗⃗⃗⃗⃗{ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗
} − [
− () ] la projection sur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { [
− () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗} ⃗⃗⃗⃗⃗{ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗
} [ ]h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 23 3)
a) Montrons que Première méthode : On a
équation(3) Équation ̇
̇ Donc ( )∫ (
( ) )
Deuxième méthode On a ( ) b) en déduire que
̇ ̇: ̇
̇ Donc
̇ 4) On suppose ̇nulle, ̇nulle et F constant. ̇ ̇̇ On remplacedans on trouve− − −⌊ ̇
⌋ −h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 24 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : Toutes les bases considérées sont orthonormées directes Exercices 1 : Soit
⃗ ⃗ ⃗⃗ (ou
un référentiel Soit un point matériel se déplacant dans le référentiel le long d’une courbe d’équations p aramétriques : Où
L’unité de longueur est le centimètre.
1) Exprimer dans la base ⃗ ⃗ ⃗⃗ : le vecteurposition⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,le vecteur vitesse ⃗⃗
et le vecteur accélération ⃗
. 2) Calculer les normes ‖⃗⃗ ‖ et ‖ ⃗‖ . 3) Exprimer, dans la base ⃗ ⃗ ⃗⃗
, les vecteus ⃗ et ⃗⃗ de la base de Frenet. 4) Calculer le rayon de courbure
.
Exercice 2
Un anneau assimilé à un point matériel M de masse m coulisse sans frottement sur un axeL’axe est horizontal et en rotation à vitesse angulaire constant autour d’un axe vertical.Soit ⃗ ⃗ ⃗⃗ le référentiel du labaratoire supposé galiléen et soit
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ le référentiel lié à l’axe
est repéré par ses coordonnées polaire et .(Voir figures) Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la se⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. Etude dans le référentiel 1) Quelles sont les forces appliquées à dans le référentiel
? 2) Ecrire chacune de ces forces dans la base
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 3) Calculer ⃗
; vecteur accélération de par rapport au référentiel 4) Ecrire le principe fondamental de la dynamique
dans le référentiel . 5) Par projection du suivant ⃗ déduire l’équation différentielle du mouvement. D. Etude dans le référentiel R : 1) Calculer ⃗
; vecteur accélération de par rapport au référentiel
2) Ecrire, sous forme vectorielle, le principe fondamental de la dynamique
dans le référentiel . hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 25 휑 휔푡 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 휔푡 푘⃗⃗ 푋 푍 푌 푀 푂 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 휔푡 푗⃗ 푋 푂 푌 휑 휔푡 푀 푖⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푘⃗⃗ 3) En déduire l’équation différentielle du mouvement. hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 26 Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM Exercices 1 : Soit
⃗ ⃗ ⃗⃗ un référentiel 1) Vecteur position
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
i ⃗
⃗⃗ Vecteur vitesse ⃗⃗ : ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗ ⃗⃗| i ⃗⃗ ⃗⃗
On a ⃗| ⃗| ⃗⃗| ⃗ ⃗
⃗⃗ Vecteur accélération ⃗
⁄ : ⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =⃗⃗⃗ ⁄ |⃗ ⃗⃗⃗ |
Alors : ⃗⁄ −⃗ ⃗ 2) Les normes ‖⃗⃗ ⁄ ‖
‖ ⃗
⁄ ‖ : ‖⃗⃗ ⁄ ‖√ i () √ i √
= √‖ ⃗⃗
⁄ ‖√ A.N :‖ ⃗⃗⃗‖ ‖ ⃗
⁄ ‖√ √ i ‖ ⃗
⁄ ‖√ A.N :
3) les vecteus ⃗ et ⃗⃗ de la base de Frenet
Vecteur tangentiel ⃗ : ⃗ ⃗⃗( )‖ ⃗⃗
⁄ ‖
i ⃗⃗ ⃗⃗
√ ⃗ √ ⃗ √ ⃗ √
⃗⃗ Vecteur normal ⃗⃗ hh Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 27 On a : ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ trièdre direct
⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ (
) (− √√ √) (√ √
) Alors : ⃗⃗ √ ⃗
⃗ 4) Le rayon de courbure
Méthode 1 On a le rayon de courbure définie par :‖ ⃗⃗⃗‖ ‖⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ‖23 23232232 0, 3cos0,1 0, 3
0, 3 sin
(/)(/)0, 3sin0, 3 cos0,1 0, 3cos00,1 (0, 3)cos(0, 3)sint tM RV MRttt tt
Méthode 2 : On a 2(/) ()n c
V MRM R On a : 22(/ )0, 3cos0, 3sinM
Rt it j (/ )()()n MRMM nn
Donc : (/) nnM R
Avec 0, 3
(cossin)0,1 nt it j2 2
0, 3cos 0,1
0, 3cos
0, 3
(/)sin0, 3sin0,1 00 nt tnMRtt
222222222222 (0, 3)(0, 3)(0, 3)(0, 3)
cossin(cossin)
0,10,10,10,11 ntttt
22 (0, 3)0,1 n h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 28 Et 22 (/)0,1(/ )0,1V M
RV M
R 2(/ )c n
V MR R = 22 0,10,1
0, 3 √
Exercice 2
Un point matériel de masse m Coulisse sans frottement sur O 0R
( , , , )R O i j k
le référentiel du laboratoire supposé Galiléen 1
( ,,
, )R O e ek
le référentiel lié à l’axe (O ) OMe
Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base
(,, )ee k E. Etude dans le référentiel 1
R : 1) Les forces appliquées à M dans 1R sont : Le poids P Frottement R Les forces d’inertieic F, ieF 2) Les expressions des forces dans la base
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . On a : Pm gmg k
Frottement : z
RR eR eR k
Comme le point matériel M coulisse sans frottement sur
et le vecteur directeur de
est ⃗⃗⃗⃗⃗ donc la composante de⃗⃗⃗⃗ suivant ⃗⃗⃗⃗⃗ est nul
) z RR eR k forces d’inertie Force de Coriolis icF On a ()ic cFmM avec 11
()2 (/)(/) c
MRRV M
R
On a kk (car t
) et OMe h h
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 29 111 1(/) RRR d ed e
d OM
V MRe dtdtdt 1
(/)V MRe Donc ()
() (Car )ic Fmkemekee ic Fme Force d’entrainement ieF : On a : ()ie e
FmM Avec 1(/ )()() eR RdRR d OOMOMOM dtdt 1 (
/)R Rk 1( /)R dRR dt et 0R d OOdt :Alors ()ie Fm kke
= ()m ke (car()kee )2 ieFme 3) Le principe fondamentale de la dynamique dans 1
R : 1(/) iciem M
RPRFF
Avec 111 221 22() (/)()R RR
d OMdedM Redtdtdt 1(/)M Re ( 10 Rde dt
Car e
est fixe dans1 R
) 2 z
m emg kR eR kmeme
2 ()()z m emeRmeRmg k
2 ,,,, 0()0 ()z eek eek m emRm Rmg
4) La projection du PFD suivant e
: 1(/)() iciem MRePRFF
2 ()()z emeR