Mécanique du point : Mecanique du point materiel td filiere smpc 2007 2008 fssm
Télécharger PDFContrôle N°1 : Mécanique du Point Matériel
Exercice 1
On considère un point matériel M se déplaçant dans un référentiel R muni de la base (⃗⃗⃗⃗). Les coordonnées du point M dans R sont données par : ⃗⃗⃗⃗(t) = ⃗⃗⃗⃗(t), ⃗⃗⃗⃗(t), ⃗⃗⃗⃗(t) (t étant le temps).
a) Donner l’équation de la trajectoire de M dans R. En déduire sa nature.
b) Calculer la vitesse ⃗⃗⃗⃗ et l’accélération ⃗⃗⃗⃗ du point M.
Exercice 2
On considère une courbe (C) sur laquelle se déplace un point matériel M d’abscisse curviligne s(t). La vitesse du point M dans R(O,xyz) est ⃗⃗⃗⃗ de module v = ⃗⃗⃗⃗.
On définit la base locale (ou base de Frenet) (⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗) telle que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
a) Que désignent les vecteurs ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ ?
b) Montrer que l’accélération du point M est donnée par : ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, où r est le rayon de courbure de la trajectoire (C) au point M.
c) Exprimer r en fonction de ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗.
Exercice 3
On considère la base (⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗) attachée à un référentiel absolu R(O,xyz) et la base (⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗) liée à un référentiel R1(O,x1y1z1). Un point M est assujetti à se déplacer sur une tige (T1). La tige (T1) est solidaire en O1 avec une tige (T) en rotation autour de l’axe (Oz) d’un angle θ(t).
La tige (T1) est située dans le plan vertical (⃗⃗⃗⃗). Le point O1 est repéré par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et le point M est repéré sur la tige (T1) par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ fait un angle α constant avec le vecteur ⃗⃗⃗⃗.
Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗).
I. Étude de la cinématique de M par calcul direct :
a) Vérifier que la vitesse de rotation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
b) Exprimer ⃗⃗⃗⃗ en fonction de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗ et l’angle α.
c) Donner l’expression du vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
d) Déterminer la vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
e) Déterminer l’accélération absolue de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
II. Étude de la cinétique de M par décomposition de mouvement :
a) Déterminer la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
b) Déterminer la vitesse d’entraînement de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
c) En déduire la vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
d) Déterminer l’accélération relative de M, ⃗⃗⃗⃗⃗.
e) Déterminer l’accélération d’entraînement de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
f) Déterminer l’accélération de Coriolis de M, ⃗⃗⃗⃗⃗.
g) En déduire l’accélération absolue de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Questions Fréquentes (FAQ)
1. Qu’est-ce qu’un référentiel absolu en mécanique du point matériel ?
Un référentiel absolu est un référentiel fixe, souvent considéré comme immobile par rapport à l’espace environnant, servant de cadre de référence pour étudier le mouvement d’un point matériel.
2. Comment déterminer la nature d’une trajectoire ?
Pour déterminer la nature d’une trajectoire, il faut éliminer le paramètre temps t des équations des coordonnées x(t), y(t), et z(t) du point matériel. Cela permet d’obtenir une équation cartésienne de la trajectoire, dont la forme (droite, cercle, parabole, etc.) révèle sa nature.
3. Qu’est-ce que la base de Frenet ?
La base de Frenet est une base locale composée de trois vecteurs unitaires : le vecteur tangent ⃗⃗⃗⃗, le vecteur normal ⃗⃗⃗⃗ et le vecteur binormal ⃗⃗⃗⃗. Elle permet de simplifier les calculs de vitesse et d’accélération en mouvement curviligne.