Mécanique du point : Controle de mecanique des fluides semestre 1 mécanique de p
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Télécharger packEdition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 1 Remerciement : Nous vous présentons ce manuel dans sa première partie, qui comprend des séries des examens de l’année précédente, accompagné par des modèles de solutions rédigées d'une façon simple et bien détaillée. Ce support sera utile pour les étudiants de 1er année universitaire pour les filières de physique, chimie et mathématique de faculté des sciences, de sciences et technique ou de classe préparatoire aux grandes écoles. Il contient à la fois mécanique de point, thermodynamique, chimie générale, l'analyse et l'algèbre. C’est avec un réel plaisir que nous avons effectué ce modeste travail pour que les étudiants : puissent avoir une idée préconçue sur le niveau et le degré de difficulté des examens. Puissent bien assimiler leurs cours. Puissent avoir des supports conçus afin de bien se préparer aux examens, et d’avoir de bonnes notes par la suite. Nous conseillons les étudiants de bien assimiler leurs cours de chaque matière et aussi de bien travailler les séries de travaux dirigés avant d'aborder la résolution des examens dont le but de bien comprendre les concepts et pour que vous puissiez reconnaitre votre niveau. Nos remerciements et notre gratitude s’adressent à tous les collègues qui ont participé à la rédaction de tous les documents, merci pour leurs bénédiction efforts, merci à : AARICHE Mohamed Chakib, AQRIM Rahma, AITSAID Abdennacer, AGHOUTANE Bilal, BEN ABOU Mustapha, BELLHAMAMA Loubna, BICHER Mona, CHAFAI Abdelilah, DAMIR Abdelilah, HARRATI Youssef, HYHY Yassine, ELADRAOUI Elalami, ELBAHI Ilham, ELFERNANE Abderrazzak, ELGUAMRANI Yassine, ELHAFFAD Imane ELMOTIAA Ismail, ERRABOULI Marouane , EZZOUHIR Younes, LEGHFOUR Zakaria, LEMSAOUI Younes, SAKTINE Jalal Eddine, TAZROURATE Mohcine, ZAGMOUZI Amina, ZAGMOUZI Soumaya et d'autres qu’on n'a pas mentionné leurs noms merci Nous tenons à remercier tous les amis qui ont contribué de loin ou de proche avec leurs encouragement pour la sortie de ce modeste effort sans oublier de remercier tous les fidèles de site RapideWay.org. Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 2 Très important : Si vous souhaitez nous écrire, On vous propose les adresses suivantes : Notre adresse électronique : rapideway@gmail.com.
Notre site web Notre page Facebook. rapideway En particulier, nous remercions chaleureusement tous ceux d'entre vous qui prennent la peine de nous signaler les petites erreurs qu'ils trouvent dans nos documents. Nous autorisons quiconque le souhait à placer sur son site un lien vers nos documents, mais on n'autorise personne à les héberger directement. On interdit par ailleurstoute utilisation
commercialede nos
documentstoute modification
ou reproduction sans notre accord. Copyright © 2012 RapideWay.org Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 3 Sommaire : Remerciement : 1 Très important : 2 Sommaire : 3 Mécanique du point matériel : 6 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 6
Exercice 1
6
Exercice 2
6
Exercice 3
6 Corrigés Contrôle N :1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM: 8
Exercice 1
8
Exercice 2
8
Exercice 2
9 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: 12 Exercice1 12
Exercice 2
12 Corrigé du contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: 14
Exercice 1
14
Exercice 2
14 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM 18 Exercice :1 18 Exercice :2 18 Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM : 20 Exercice : 1 20 Exercice : 2 22 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 24 Exercices 1 : 24
Exercice 2
24 Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM 26 Exercices 1 : 26
Exercice 2
28 Thermodynamique : 31 Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 4 Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 31 Questions de cours : 31
Exercice 1
31
Exercice 2
31 Corrigé de contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM : 33 Question de cours 33
Exercice 1
33
Exercice 2
35 Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM: 38 Questions de cours 38 Exercice : 38 Corrigé du contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM: 40 Question Cours : 40
Exercice 2
40 Contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM: 44 Question de cours : 44 Problème : 44 Corrigé du contrôle N : 1 Thermodynamique Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM: 45 Question de Cours : 45 Problème : 46 Algèbre 1 : 50 Contrôle N : 1 Algèbre Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 50 Exercices 1 : 50
Exercice 2
50 Exercices 3 : 50 Corrigé de Contrôle N : 1 Algèbre Filière SMPC/SMA 2009-2010 FSSM : 51 Exercices 1 : 51 Exercices 2 : 52 Exercices 3 : 53 Chimie générale 1 : 54 Contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC 2007-2008 FSSM : 54 Problème I 54 Problème II : 54 Corrigé du contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC 2007-2008 FSSM : 56 Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 5 Problème I : 56 Problème II 58 Contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC/SMA 2008-2009 FSSM : 62
Exercice 1
62
Exercice 2
62
Exercice 3
63 Corrigé du contrôle N : 1 Chimie générale Filière SMPC/SMA 2008-2009 FSSM : 64
Exercice 1
64
Exercice 2
64
Exercice 3
66 Série des exercices de l’atomistique en Chimie générale 69
Exercice 1
69
Exercice 2
69
Exercice 3
69
Exercice 4
70 Corrigé de la série des exercices de l’atomistique en Chimie générale 71
Exercice 1
71
Exercice 2
73 Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 6 Mécanique du point matériel : Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM :
Exercice 1
On considère un point matériel M se déplaçant dans un référentiel
muni de la base
⃗ ⃗ ⃗⃗ Les coordonnées du point M dans R sont données par :
, (t étant le temps). a) Donner l’équation de la trajectoire de M dans R .En déduire sa nature ; b) Calculer la vitesse ⃗⃗⃗
et l’accélération ⃗
du point M.
Exercice 2
On considère une courbe (C) sur laquelle se déplace un point matériel M d’abscisse curviligne s(t).La vitesse du point M dans R(O,xyz) est ⃗⃗⃗
de module
. On défini la base locale(ou base de Frenet) ( ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
).telle que ⃗⃗⃗
⃗. a) Que désigne les vecteurs ⃗ ⃗⃗⃗⃗ . b) Montrer que l’accélération du point M est donnée par : ⃗ ⃗
⃗⃗ ; r étant le rayon de courbure de la trajectoire (C) au point M. c) Exprimer r en fonction de ⃗⃗⃗⃗ .
Exercice 3
On considère la base ( ⃗ ⃗ ⃗⃗
) attachée à un référentiel absolu R(O,xyz) et la base ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) lié à un référentiel R1 (O,x1 y1 z1 ).Un point M est assujetti à se déplacer sur un tige(T1 ). La tige (T1 ) est solidaire en O
1 avec une tige (T) en rotation autour de l’axe (Oz) d’angle (t) , (voir figure). La tige (T1 ) est située dans le plan vertical ( ⃗⃗⃗⃗ ). Le point O
1 est repéré par⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ et le point M est repéré sur la tige (T1 ) par ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ (
).Le vecteur ⃗⃗ fait un angle α constant avec le vecteur ⃗⃗
N.B : Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗
) I. Etude de la cinématique de M par calcul direct : a) Vérifier que la vitesse de rotation ⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗
. b) Exprimer ⃗⃗ en fonction de
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗ et l’angle α. c) Donner l’expression du vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d) Déterminer la vitesse absolue de M, ⃗⃗⃗
. e) Déterminer l’accélération absolue de M, ⃗
. II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 7 x1 ZX y(T 1
) y
1 O
1 O푒⃗ 휌푒⃗ 휑푖⃗ 푗⃗푘 ⃗⃗푢⃗⃗ 훼 (T) Figure M 휑 a) Déterminer la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗ . b) Déterminer la vitesse d’entrainement de M,⃗⃗⃗ . c) En déduire la vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗
. d) Déterminer l’accélération relative de M, ⃗
. e) Déterminer l’accélération d’entrainement de M , ⃗
. f) Déterminer l’accélération de Coriolis de M , ⃗
. g) En déduire l’accélération absolue de M, ⃗⃗
. Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 8 − lim푡→±∞ 푦 푡
∞ 푦′ 푡 →푥
푡 − 푏⃗⃗ 푛⃗⃗ 휏⃗ 푉⃗⃗ 푀 Corrigés Contrôle N :1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2007-2008 FSSM:
Exercice 1
a) Soit un point matériel M de coordonnées
et z(t)=0 (3). L’équitation de la trajectoire de M dans R
− on remplace dans l’équitation– .
Donc la trajectoire décrit par le point M est un Parabole. b) Calculons : la vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| [⃗⃗ () ⃗] | ⃗
⃗ Alors :⃗⃗⃗ ⃗
⃗ ⃗⃗ ⃗| ⃗| ⃗⃗⃗| L’accélération⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗ ⃗ |⃗ ⃗⃗
⃗
Exercice 2
a) ⃗⃗ : Vecteur unitaire tangent en M, elle a le même sens du mouvement. ⃗⃗ : Vecteur unitaire à ⃗ dirigé vers le centre de courbure. ⃗⃗ : Vecteur unitaire au plan qui contient les deux vecteurs ⃗ et ⃗⃗ . b) Montrons que ⃗ ⃗
⃗⃗ (avec r le rayon de courbure). On a ⃗⃗⃗⃗⃗ l⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗
| ⃗⃗
| ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⁄ ⃗⃗
( ⃗⃗ ⃗⃗| )⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗ |⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗ (
) ⃗⃗⃗⃗ ⁄ | ⃗⃗
⃗⃗ c) R en fonction de ⃗⃗⃗ et⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗⁄ ⃗ ( | ⃗) ( ⃗
⃗⃗) ⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗ ‖ ) ‖⃗⃗⃗ ⁄⃗ ⁄ ‖‖ ⃗⃗⃗⁄ ⃗
⁄ ‖
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 9 ⃗ ⃗ ⃗⃗
ρ ⃗⃗φ φ φ ⃗⃗ρ =
φ ⃗ i φ ⃗ ⃗⃗
φ i φ ⃗
φ ⃗φ |
φ φ φ
−푠푖푛휑 휑̇ ⃗⃗ρ ⃗⃗ ⃗⃗ α
Exercice 2
R(O,x,y,z)
⃗ ⃗ ⃗⃗
) Référentiel absolu
et R1(O,x1y1z1).
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) Référentiel relatif. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗
̂ ⃗⃗) ̂
. ⃗| ⃗| ⃗⃗⃗| ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) ⃗⃗| ⃗⃗| ⃗⃗⃗| ( ⃗ ⃗ ⃗⃗) Toutes les expressions vectorielles doivent être exprimées dans la base ( ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( I. Etude de la cinématique de M par calcul direct a) La vitesse de rotation ⃗⃗⃗
⁄ En effet : ⃗⃗| ⃗⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗
⃗ i ⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗
⃗ i ⃗
| ̇
− i ⃗
⃗ ̇ ⃗⃗
⃗ i ⃗
| ̇ ⃗⃗ ⃗⃗ l⃗⃗⃗ ⁄
̇ ⃗⃗
b) L’expression de ⃗⃗ en fonction de ⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ α⃗⃗ ⃗⃗i ⃗⃗⃗
c) L’expression de⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ On a⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗( ⃗⃗i ⃗⃗⃗) Alors :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ a) La vitesse absolue de M , ⃗⃗⃗
On a : ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) | (⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) |
⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗ ⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗ | ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 10 b) L’accélération absolue de M : ⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| (̇ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| | ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇( − ⃗⃗⃗⃗⃗) ( ̈ ̇) − ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗
| − ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗ Donc :⃗⃗ { ̈
− ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̈̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ II. Etude de la cinétique de M par décomposition de mouvement a) la vitesse relative de M, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| l
′ i i
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )⃗⃗⃗ ⁄ (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )
b) vitesse d’entrainement de M⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗) | ̇ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )
⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ c) La vitesse absolue de M,⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ ) ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ d) L’accélération relative de M, ⃗
⁄ [( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
] ⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ |[ (
⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )]| ⃗⃗
e) L’accélération d’entrainement de M , ⃗
A B C Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 11 ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗
⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ [⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ( ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗) [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| [ ̈
− ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̇ ̇ ̈] ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ i⃗⃗⃗ )) ⃗⃗⃗
⁄ |( ̇⃗⃗⃗ )
| ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ )
) ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ [⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ( ̇ ⃗⃗) [( ̇ ⃗⃗
) ( (⃗⃗ i⃗⃗⃗ )) ]
( ̇ ⃗⃗) [ ̇⃗⃗ ]
− ̇⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − ⃗⃗ ⃗⃗
[ ̈
− ̇[ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( )
̇ ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗ f) L’accélération de Coriolis : ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⁄ l i
l i⃗⃗ ( ̇ ⃗⃗) [( ⃗⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗ )]
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ g) L’accélération absolue de M, ⃗
⁄ ⃗⃗⁄ ⃗⃗⁄ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ [ ̈
− ̇[ ]] ⃗⃗⃗⃗⃗ [ ̈( )
̇ ̇] ⃗⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ D’où : ⃗⃗
⁄ {
[ ̈
− ̇[ ]
] ̈( )
̇ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Il ne faut pas beaucoup d'esprit pour ce qu'on soit mais il en faut infiniment pour enseigner ce qu'on ignore Montesquieu Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 12 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM: Toute les bases considérées sont orthonormées directes Exercice1 Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel (
⃗ ⃗ ⃗⃗
) sont données en fonction du temps par : −
− Dans un deuxième référentiel ( , ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), elles ont pour expression : (t)= +t=2
(t)=-2 +5
(t)=3 -7 1) Déterminer les expressions des vitesses ⃗⃗
⁄ et⃗⃗ ⁄ 2) Exprimer la vitesse⃗⃗⃗ ⁄ en fonction de la vitesse⃗⃗⃗ ⁄ 3) Exprimer l’accélération ⃗⃗( ⁄
) en fonction de l’accélération ⃗⃗( ⁄
) 4) Quelle est la nature du mouvement du référentiel par rapport au référentiel
? 5) Supposons
galiléen. est-il aussi galiléen ? Justifier votre réponse.
Exercice 2
Soient R( ⃗ ⃗ ⃗⃗) un référentiel fixe et (
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
) un référentiel mobile tel que : ⃗⃗
⁄ =at ⃗⃗⃗ où a est une constante positive. Soit (
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
) un deuxième référentiel, lié à une particule mobile M (point matériel) et tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=l ⃗⃗⃗⃗ où l est une constante positive et l’angle (
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) = (voir figure) Toutes les grandeurs vectorielles doivent être exprimées dans la base (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
A. Considérer (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel absolu et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel relatif 1) Quelle est la nature de la trajectoire de M dans
? (sans faire de calcul) 2) Déterminer l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗
( ⁄
) 3) déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗⃗ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗⃗
. 4) Quelle est la nature du mouvement de par rapport à R ? 5) Déterminer l’expression des vecteurs accélérations relatives ⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M).En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗
B. Considérer R( ⃗⃗ ⃗⃗⃗) comme référentiel absolu et (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) comme référentiel relatif 1) Donner l’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗
⁄ .En déduire le vecteur rotation ⃗⃗⃗
⁄ 2) Déterminer l’expression de la vitesse relative ⃗⃗
⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗
⁄ Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 13 3) Déterminer l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M) et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) 4) Comparer les expressions de la vitesse absolue ⃗⃗
(M/R) déterminé dans les équations A-3 et B-2 5) Comparer les expressions de l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) déterminées dans les equation A-5 et B-3 퐽⃗ 푖⃗ 푘⃗⃗ 푖⃗푗⃗ 푒⃗휑 푒⃗휌 푂 푂
푀 Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 14 Corrigé du contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2008/2009 FSSM:
Exercice 1
Soit{ −− ;
{ − − 1) Les expressions des vitesses ⃗⃗
⁄ et⃗⃗ ⁄ L’expression de la vitesse ⃗⃗
(M/ ) ⃗⃗
(M/ ) = ⁄ (( −⃗− ⃗⃗⃗ ⃗⃗
(M/ ) =(2t -4) ⃗ -8
⃗ +6t ⃗⃗ L’expression de ⃗⃗
(M/ ) ⃗⃗
(M/ ) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| =⃗⃗⃗ (( )⃗ () ⃗⃗) |
⃗ −⃗ ⃗⃗
2) ⃗⃗⃗
(M/ ) en fonction de la vitesse ⃗⃗
(M/ ) On a ⃗⃗
(M/ ) = (2t -4) ⃗ -8
⃗ +6t ⃗⃗
=(2t +1) ⃗ -5 ⃗-8 ⃗ +6t ⃗⃗⃗⃗ (M/ ) = ⃗⃗
(M/ ) -5 ⃗ 3) ⃗ (M/ ) en fonction de ⃗ (M/ ) ⃗ (M/ ) = ⃗⃗⃗⁄ / = ( ⃗⃗
(M / )-5 ⃗)
⃗ (M/ ) = ⃗ (M/ ) + ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ (M/ )= ⃗(M/ ) Où bien : On a⃗⃗ (M/ ) = (2t -4 ) ⃗ – 8
⃗ +6 t ⃗⃗et ⃗⃗
(M/ ) = ( 2t + 1) ⃗ -8
⃗ + 6t ⃗⃗ ⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
| = 2 ⃗ – 24
⃗ + 6 ⃗⃗et ⃗(M/ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄| = 2 ⃗ – 24
⃗ + 6 ⃗⃗
Finalement
⃗(M/ ) = ⃗(M/ ) 4) La nature du mouvement du
par rapport à
On a ⃗⃗⃗
⁄ = ⃗⃗
translation ⃗⃗( ⁄ - ⃗⃗( ⁄ = -5 ⃗
Rectiligne
⃗(M/ ) = ⃗(M/ )
Uniform est en translation rectiligne uniforme 5) Si
est galiléen alors
est aussi galiléen 6) Car
est en translation réctiligne uniforme par rapport à .
Exercice 2
R (O, ⃗ ⃗ ⃗⃗
Référentiel fixe ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗
Référentiel mobile ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Référentiel lié à M. ⃗⃗ (
= at ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗ avec:
et ( ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ ) = (t) A. R (O, ⃗⃗ ⃗⃗⃗
référentiel absolu et ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
relatif. Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 15 휑 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푖⃗ 휑 휑 푗⃗ 푖⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗푒 휑
⃗⃗⃗⃗⃗ − i 휑푖⃗
휑푗⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗
휑푖⃗ i 휑푗⃗ La nature de la trajectoire de M dans ⃗⃗⃗⃗⃗ On a ║ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
║ = l = cste Donc dans
la trajectoire de M est circulaire de centre 1) l’expression du ⃗⃗⃗⁄ ) Le référentiel
ne fait aucune rotation par rapport à R alors :⃗⃗⃗ ⁄
) = ⃗⃗
2) Expressions des vitesses relative et d’entrainement Vitesse relative ⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗⃗⃗⃗| = |
= ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =at ⃗=at( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse absolue⃗⃗⃗ (M/⃗⃗⃗ (M/ = ⃗⃗⃗
(M/ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3) On a
⃗⃗⃗ ( ⃗⃗
translation ⃗⃗
= at ⃗
réctiligne 4) L’accélération relative ⃗⃗( )= ⃗⃗⃗( )| =( ̇⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ – () ⃗⃗⃗⃗ Avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ × = - ̇ ⃗⃗⃗⃗ ⃗
=− ̇ ⃗⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗⃗⃗ L’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(M) = = ⃗
| = a ⃗ =a ( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗(M) = a i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ L’accélération de Coriolis (
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 16 휑 휑 푗⃗ 푖⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ 푒휌 ⃗⃗⃗⃗
휑푖⃗ i 휑푗⃗ 푒휑 ⃗⃗⃗⃗⃗ − i 휑푖⃗
휑푗⃗ L’accélération absolue⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
= ⃗⃗⃗⃗
+ ⃗⃗⃗⃗(M) +⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ - ̇
⃗⃗⃗⃗+ a i
⃗⃗⃗⃗ + a
⃗⃗⃗⃗⃗ B. R (O, ⃗⃗ ⃗⃗⃗ comme referential absolu et
comme relatif. 1) L’expression du vecteur rotation ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ i ⃗ |⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗| ⃗⃗ ̇ ( - i
⃗ +
⃗)= ⃗⃗⃗( ) ⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗= ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗
L’expression de ⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗
= ̇ ⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗
2) l’expression de la vitesse relative ⃗⃗
⁄ et de la vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. En déduire la vitesse absolue ⃗⃗
⁄ Vitesse relative⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| = ⃗⃗⃗⃗⃗ ( M/
= ⃗⃗ Vitesse d’entrainement⃗⃗⃗⃗⃗ (M) ⃗⃗⃗⃗(M)= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + ⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (M)= = at ⃗+ ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗=at( i⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗+ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗)⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ Vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
)+ ⃗⃗⃗⃗⃗
(M)= ⃗⃗
+ ⃗⃗⃗⃗⃗
(M) ⃗⃗i ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( a i - ̇
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ( ̈ + a
⃗⃗⃗⃗⃗ Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 17 3) l’expression des vecteurs accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⁄ , d’entrainement ⃗⃗⃗⃗(M) et de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) . En déduire l’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗(M) Accélération relative : ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |
= ⃗⃗ Accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗ (M) ⃗⃗⃗⃗ (M) =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| + ⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) Or:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = ( i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ =
̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ = ̇ ⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ = − ̇
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (M) = (a i − ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ + (a
̈ ⃗⃗⃗⃗⃗
L’accélération de Coriolis ⃗⃗⃗⃗(M) ⃗⃗⃗⃗(M) =2 ⃗⃗⃗
⃗⃗ = ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗ -L’accélération absolue
⃗⃗⃗⃗(M) ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗(M/ ) + ⃗⃗⃗⃗(M) + ⃗⃗⃗⃗(M) = ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M)+ ⃗⃗
⃗⃗⃗⃗(M) =
⃗⃗⃗⃗(M) 4) Les expressions des vitesses absolues obtenues en A-3 et 8-2 sont identiques 5) Les expressions de l’accélération absolue obtenue en A-5 et B-3 sont identiques le calcul de l’accélération est indépendant de choix de référentiel Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 18 Contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM Toutes les bases considérées dans les exercices sont orthonormées directes Exercice :1 Soient
un référentiel absolus fixe et
référentiel relatif en mouvement de rotation de vitesse angulaire ̇ par rapport à Un point M décrit un mouvement circulaire dans
auteur de l’axe . M est repéré par ses coordonnées cylindriques (voir figure 1). On pose :et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où a et b sont des constantes. 1) Rappeler les lois de composition des vitesses et des accélérations? 2) Déterminer dans la base orthonormée directe (
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗) a) Le vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) Le vecteur rotation de
par rapport à c) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗
d) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
. e) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗
f) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗
g) vecteur accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗
h) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗
i) Le vecteur accélération absolue ⃗⃗⃗⃗
Exercice :2 Un point matériel M de masse m est en mouvement sans frottement sur le plan horizontal XOY d’un référentiel galiléen R(OXYZ). Un opérateur exerce une force de module F dirigée constamment vers le point O. M est repéré par ses coordonnées (voir figure 2). 1) Représenter sur un schéma les forces appliquées à M 2) Appliquer le PFD dans le référentiel R et en déduire les deux équations suivantes: {( − () )3) a) En utilisant l’équation (2) montrer que
où A est constante. b) Sachant que les conditions initiales à l’instant
sont les suivantes : , ̇̇, et ̇
̇ (le point sur les grandeurs indique ) en déduire que
̇ Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 19 4) On suppose ̇nulle, ̇nulle et F constant. a) Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M. b) Calculer le temps t
1 qu’il faut à M pour arriver au point O. 5) On suppose ̇ nulle, ̇ non nulle et la force F nulle. Etablir l’équation horaire (t) du mouvement du point M. Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 20 Corrigés de contrôle N : 1 Mécanique de point Filière SMPC/SMA 2006-2007 FSSM : Exercice : 1 Soit
Un référentiel absolu Et
Un référentiel relatif |
̇ ,et 1) Les lois de compositions des vitesses: ⃗⃗( ⁄) ⃗⃗( ⁄) ⃗⃗⃗⃗
Avec ⃗⃗( ⁄) →| où O origine de R ⃗⃗⃗⃗→ |⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Les lois de compositions des accélérations: ⃗(⁄ ) ⃗( ⁄) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ avec⃗ (⁄ )→ |⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⁄ où ⃗⃗
⁄ est la vitesse relative 2) Déterminons dans la base orthonormée directe (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
c) Le vecteur position⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ On a⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(relation de shale) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
d) Le vecteur rotation ⃗⃗⃗⁄ ⃗| ⃗⃗⃗⁄ ⃗⃗ | ⃗ : fixe dans R donc ⃗| ⃗⃗ avec ⃗
⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ − i ̇
⃗⃗⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ̇
− i⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄
⃗ ̇⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗̇ ̇( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗⁄ ⃗ (̇ ⃗⃗
) ⃗ ⃗⃗⃗⁄ ⃗ ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗⁄ Finalement on trouve⃗⃗⃗ ⁄ ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) : Référentiel absolu (⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) : Référentiel relatif Figure : 1 Figure : 2 Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 21 3) Le vecteur vitesse relative ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⁄ →| ⁄( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Puisque :
et ⃗⃗| ⃗⃗⃗⃗ Alors⃗⃗⃗⃗ ⁄( ⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗ finalement⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ a) Le vecteur vitesse d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Puisque le piont O fixe dans le Repére
et de plus⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Alors →| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗̇ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ̇⃗⃗ ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Alors⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ b) Le vecteur vitesse absolue ⃗⃗⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇̇ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ c) Le vecteur accélération relative ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗| ( ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
)| ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ Finalement ⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ )
d) Vecteur d’accélération d’entrainement ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ →| ⃗⃗⃗
⁄ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗̈ ⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )̇ ⃗⃗ ( ̇⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) )̈ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇⃗⃗ ̇
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈
⃗⃗⃗⃗⃗ e) Le vecteur accélération Coriolis ⃗⃗⃗⃗
On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⁄ ⃗⃗
⁄ ⃗⃗⃗
⁄ ⃗⃗̇ ⃗⃗
̇ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ −̇ ̇
⃗⃗⃗⃗ Vecteur d’accélération absolue ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
( ̈ ⃗⃗⃗⃗⃗− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ )
− ̇⃗⃗⃗⃗⃗ ̈⃗⃗⃗⃗⃗− ̇̇ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ( ̇̇ ̇̇ )⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ − ( ̇ ̇) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ̈
) ⃗⃗⃗⃗⃗ Edition : 2012 DANI Fouad - BOUKHARROUB Hicham Page 22 푀 퐹⃗ 푃⃗⃗ 푅푧 ⃗⃗⃗⃗⃗
Plan (ZOM) Exercice : 2 est un référentiel galiléen et M en mouvement sans frottement sur le plan (XOY) alors les deux composantes et
sont nuls ( 1) Représentation graphique : sur le plan (ZOM)
la réaction : ⃗⃗
⃗⃗ la force : ⃗ − ⃗⃗⃗⃗ le poids : ⃗⃗ −⃗⃗ 2) On applique le PFD dans le référentiel R
⃗ ∑ ⃗
⃗ −⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
⃗ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗
Avec ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| (⃗⃗⃗⃗⃗ )| (⃗⃗⃗⃗⃗ )| ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗⃗) |
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗− () ⃗⃗⃗⃗ ⃗ [
− () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗[ − () ] ⃗⃗⃗⃗ [ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗− ⃗⃗( − () )⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
− − )⃗⃗⃗⃗⃗