Mécanique du point : Corrigé de l'examen de mathématiques générales 1 mécanique
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Exercice 1
푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =|3 2−1 /(푖,푗 ,푘
⃗ )푂퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ =|4 −12 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
4푖 −푗 +2푘
⃗ 푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =|4 35 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
4푖 +3푗 +5푘
⃗ 1) 퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ −푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =|−1 −1−6 /(푖,푗 ,푘
⃗ )푂퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ +30퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ =|15 −15 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
2/a) 푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ .푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =13푂퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ .푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =23푂퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ .(푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +30퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ )=−44 2/b) 푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ =|3 −10−11 /(푖,푗 ,푘
⃗ )푂퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =|13 −19−1 /(푖,푗 ,푘
⃗ )푂퐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =|−11 −1216 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
2/c) ‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= √38 ‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +30퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= √251 ‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 5√ 2 2/d) 푢⃗ =푂퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ +30퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ +30퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 1√ 251| 15−1 5/(푖 ,푗,푘 ⃗ )
(15푖 −푗 +5푘
⃗ ) (‖ 푢⃗ ‖
=1) 2/e)cos(퐶퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,푢⃗ )=퐶퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,푢
⃗⃗ ‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=− 44√ 38 .√ 251−̃−0,45 ⇒(퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푢⃗ )=116,77° 3) a) i) ‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푢⃗ ‖=‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖sin(퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푢⃗ )=√ 7602
251 −̃ 5,5
ii) 퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푢⃗ =1 √251 |−11 −8516 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
(−11푖 −85푗 +16푘
⃗ )⇒‖퐶퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푢⃗ ‖=√ 7602251 −̃ 5,5 b)
S : surface du parallelogramme construit par 퐶퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푒푡 푢⃗ 푆=‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.푏=‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.‖ 푢⃗ ‖
sin훼=‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.‖ 푢⃗ ‖sin(퐶퐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푢⃗ )=‖퐶퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푢⃗ ‖ 4) 푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =(푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .푖 )푖 +(푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .푗 )푗 +(푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ .푘
⃗ )푘
⃗ 푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =|푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ |[푐표푠훼푖 +푐표푠훽푗 +푐표푠훾푘
⃗ ] 푐표푠훼=푂퐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .푖 ‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 45 √2 푐표푠훽=푂퐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .푗 ‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 35 √2 푐표푠훾=푂퐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ .푘
⃗ ‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 1√ 2
Rq 푐표푠2 훼+푐표푠2 훽+푐표푠2 훾=1 5) a) (푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =(푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ =(푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ =−73 (푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ )=(푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ )=(푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ )=−73 Le produit mixte est invariant par permutation circulaire. b) La valeur absolue du produit mixte de 3vecteurs représente le volume du parallélépipède construit par les trois vecteurs. Figure 1 Figure 2 En effet V=Sh Or ℎ=‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푐표푠휑 ℎ=‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푐표푠[(푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ] et 푆=‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⟹푉=‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.‖푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푐표푠[(푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ] 푉=|(푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ).푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | 6) a) 푂퐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ )∧푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =|3 −10−11 ∧|4 35 =|−17 −5949 /(푖,푗 ,푘
⃗ )
b) (푢⃗ 1
,푢⃗ 2
,푢⃗ 3
) base OND 푢⃗ 1
,푢⃗ 2 ∈푝푙푎푛 (푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) Soit par exemple 푢⃗ 1= 푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 1√ 14=| 32 −1/(푖 ,푗,푘 ⃗ )
푢⃗ 3
⊥푝푙푎푛 (푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) Soit par exemple 푢⃗ 3= 푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖= 1√ 230| 3−10 −11( 푢⃗ 1
,푢⃗ 2
,푢⃗ 3) 푏푎푠푒 푂푁퐷 ⇒ 푢⃗ 1
=푢⃗ 3
∧푢⃗ 1= 1√ 805| 16−15 18/(푖 ,푗,푘 ⃗ )
c) 푂퐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(푂퐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .푢⃗ 1
)푢⃗ 1+(푂퐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .푢⃗ 2
)푢⃗ 2+(푂퐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .푢⃗ 3
)푢⃗ 3푂퐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−218 √14 푢⃗ 1+ 1495√ 805
푢⃗ 2푂퐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥푢⃗ 3⟹푂퐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈푝푙푎푛 (
푢⃗ 1
,푢⃗ 2) =푝푙푎푛 (푂퐴
⃗⃗⃗⃗⃗ ,푂퐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ) d) Figure 3 푂퐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗ =0⟹푂퐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥푂퐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Exercice 2
1) Soit 푉
⃗ =푉
⃗ (푡 )‖푉 ⃗ (푡)‖=푐푡푒 ‖푉
⃗ (푡)‖=푐푡푒⟹‖푉
⃗ ‖2 =푉
⃗ (푡 ).푉 ⃗ (푡 )
=푐푡푒 ⟹푑 푑푡(‖푉 ⃗ ‖2 )=2푉
⃗ (푡 ). 푑푉
⃗ (푡 )푑푡 =0⟹푉
⃗ (푡 )⊥ 푑푉
⃗ (푡 )푑푡 2) 푢⃗ =푐표푠휃푖 +푠푖푛휃푗
푣 =−푠푖푛휃푖 +푐표푠휃푗 푑푢⃗ 푑휃
=−푠푖푛휃푖 +푐표푠휃푗 =푣 푑푣 푑휃
=−푐표푠휃푖 −푠푖푛휃푗 =−푢⃗ 푑2 푢⃗ 푑휃2 =푑 푑휃( 푑푢⃗ 푑휃)= 푑푣 푑휃
=−푢⃗ 푑2 푣 푑휃2 =푑 푑휃( 푑푣 푑휃)=− 푑푢⃗ 푑휃
=−푢⃗
Exercice 3
푟 =푠푖푛푏푡푖 +푐표푠푏푡푗 +푡3 푘⃗ 휆( 푡) =푒−푎푡 푑푑푡 (
휆푟 )=푒 −푎푡[ (
푏푐표푠푏푡−푎푠푖푛푏푡) 푖 −( 푏푠푖푛푏푡+푎푐표푠푏푡) 푗 +푡2 (3−푎푡 )푘 ⃗ ] 푑푑푡 (휆푟 )푡=0 =푏푖 −푎푗
Exercice 4
Repère cylindrique 1) 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푥푖 +푦푗 +푧푗 Figure 4 {푥=휌푐표푠휑 푦=휌푠푖푛휑푧=푧 ⟹{휌=√푥 2+푦 2휑=퐴푟푐푡푔 푦푥 푧=푧
2) 푒 휌=(푒 휌
푖 )푖 +(푒휌 푗 )푗 +(푒휌 푘
⃗ )푘
⃗ 푒 휌
=푐표푠휑푖 +푠푖푛휑푗 푒 휑=(푒 휑
푖 )푖 +(푒휑 푗 )푗 +(푒휑 푘
⃗ )푘
⃗ 푒 휑
=−푠푖푛휑푖 +푐표푠휑푗 푒 푧= (푒 푧
푖 )
푖 +( 푒푧 푗 )
푗 +(푒푧 푘
⃗ )푘
⃗ 푒 푧=푘 ⃗ 3) Déplacement élémentaire de 푂푀퐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans (푖 푗 푘
⃗ ) 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푥푖 +푦푗 +푧푗 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕푥푑푥+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕푦푑푦+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕푧
푑푧 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑푥푖 +푑푦푗 +푑푧푘
⃗ Déplacement élémentaire d 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans (푒 휌
,푒 휑
,푒 푧
) 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =휌푒 휌+푧푘 ⃗ 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕휌푑휌+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕휑푑휑+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕푧
푑푧 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕휌
=푒 휌 ; 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕휑=휌 푑푒 휑휕휑 =휌푒 휑 ; 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 휕푧=푘 ⃗ 4) Elément de volume en coordonnées cartésiennes 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푥푖 +푦푗 +푧푗 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑푥푖 +푑푦푗 +푑푧푗 푑휌=( 푑푥)( 푑푦)( 푑푧) 푑휌=푑푥 푑푦 푑푧 Figure 5 Figure 6 Elément de volume en coordonnées cylindriques 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =휌푒 휌+푧푘 ⃗ 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑휌푒 휌
+휌푑휑푒 휑+푑푧푘 ⃗ 푑휌=(푑휌) (휌푑휑) (푑푧) 푑휌=휌 푑휌 푑휑 푑푧 5) Cylindre de rayon R et de hauteur h -Volume푑푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑휌푒 휌
+휌푑휑푒 휑+푑푧푘 ⃗ 푑휌=휌 푑휌 푑휑 푑푧 푉=∫∫∫푑휌=∫휌 푑휌푅 0∫푑휑 2휋0 ∫푑푧ℎ 0=휋푅 2
ℎ -surface latérale : 휌=푅=푐푡푒 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푅푑휑푒 휑
+푑푧푒 푧
푑푆=푅 푑휑 푑푧 푆=∫∫푑푆
푠푢푟푓푎푐푒 푙푎푡é푟푎푙푒=푅∫푑휑 2휋0 ∫푑푧ℎ 0
푆=2휋푅ℎ
Exercice 5
Repère sphérique 1) {
푥=휌푐표푠휑=푟푠푖푛휃푐표푠휑
푦=휌푠푖푛휑=휑푠푖푛휃푠푖푛휑푧=푟푐표푠휃 2) 푒 휌
=푐표푠휑푖 +푠푖푛휑푗 푒 휑
=−푠푖푛휑푖 +푐표푠휑푗 figure 8 Figure 7 figure 9 figure 10 {
푒 푟
=푠푖푛휃푒 휌+푐표푠휃푘 ⃗ =푠푖푛휃푐표푠휑푖 +푠푖푛휃푠푖푛휑푗 +푐표푠휃푘
⃗ 푒 휃
=푐표푠휃푒 휌−푠푖푛휃푘 ⃗ =푐표푠휃푐표푠휑푖 +푐표푠휃푠푖푛휑푗 −푠푖푛휃푘
⃗ 푒 휑
=푒 푟
∧푒 휃=푘 ⃗ ∧푒 휌
=−푠푖푛휑푖 +푐표푠휑푗 3) 푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푟푒 푟
푒 푟
=푒 푟
(휃,휑) 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =휕푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð푟푑푟+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð휃푑휃+ 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð휑
푑휑 휕푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð푟
=푒 푟휕푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð푟= 휕푒 푟ð휃 =푟[푐표푠휃푐표푠휑푖 +푐표푠휃푠푖푛휑푗 −푠푖푛휃푘
⃗ ]=푟푒 휃휕푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ð휃= 휕푒 푟ð휑 =푟[ −푠푖푛휃푐표푠휑푖 +푠푖푛휃푐표푠휑푗 ]
=푟푠푖푛휃푒 휑⟹푑푂푀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑푟푒 푟
+푟푑휃푒 휃
+푟푠푖푛휃푑휑푒 휑
4) -Elément de volume 푑푂푀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =푑푟푒 푟
+푟푑휃푒 휃
+푟푠푖푛휃푑휑푒 휑푑푒=푟 2
푠푖푛휃 푑푟 푑휃 푑휑 Elément de surface : Sur la surface 푟=푅=푐푡푒 ds=( 푅d휃)( 푅sin휃d휌) =R2 sin휃d휃 dρ 5) - Volume d’une sphère de rayon 푅 d휏=푟2 sin휃d푟 d휃 d휌 Figure 푉=∫∫∫d휏푠푝ℎè푟푒 =∫푟2 d푟∫sin휃d휃휋 0∫d휌= 43 휋푅3 2휋0 푅0 - Surface d’une sphère de rayon 푅 ds =R2 sin휃d휃 d휌 푆=∫∫d푠푠푝ℎè푟푒 =푅2 ∫sin휃휋 0d휃∫d휌 2휋0 =4휋푅2
Exercice 6
푓=| 푓푥 =4푥3 +3푦2 푧2 +10푥푧3 푓푦 =6푥푦푧2 +5푦+2푧푓 푧=15푥 2푧 2+2푦+6푥푦 2푧 1) 푟표푡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [−푔푟푎푑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푉]=| |
푖 휕휕푥 −휕푉 휕푥
푗 휕휕푦 −휕푉 휕푦푘 ⃗ 휕휕푧 −휕푉 휕푧| |=| 00 0=0 ⃗ 2) 푟표푡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푓=푉 ⃗ ∧푓= || 휕푓푧 휕푦− 휕푓푦 휕푧휕푓 푥휕푧 −휕푓 푧휕푥 휕푓푦 휕푥− 휕푓푥 휕푦휕푓 푧휕푦 =휕푓 푦휕푧 =12푥푦푧+2휕푓 푥휕푧 =휕푓 푧휕푥 =6푦2 푧+30푥푧2 휕푓푦 휕푥= 휕푓푥 휕푦=6푦푧 2} ⇒푟표푡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푓=0 ⃗ 푓 dérive d’une fonction scalaire ∃푈푓=−푔푟푎푑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 푈 3) 푈( 푥,푦,푧) =−푥4 −3푥푦2 푧2 −5푥2 푧3 −5 2푦 2
−2푦푧+퐶 푈( 0,0,0) =0⟹퐶=0
Exercice 7
푓( 휌,휑,푧) =휌2 푠푖푛휑+휌푧푐표푠휑+푧2 1) 푓=( 2휌푠푖푛휑+푧푐표푠휑) 푑휌+휌( 휌푐표푠휑−푧푠푖푛휑) 푑휑+( 휌푐표푠휑+푒−푧푠푖푛휑) 푑휑+( 휌푐표푠휑+푧) 푑푧 2) 푔푟푎푑푓=| 2휌푠푖푛휑+푧푐표푠휑
휌푐표푠휑−푧푠푖푛휑휌푐표푠+푧 /(푒휌 ,푒
⃗⃗ 휑,푒 푧
)