Mécanique du point : Controle mecanique du point materiel k
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Exercice 1 (2014/2015)
Un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon a et de centre C dans le plan (O,x,y,z). À l’instant t=0, M se trouve en A de coordonnées A(2a,0,0) avec la vitesse v₀. On désigne par r et θ les coordonnées polaires de M, et l’équation de la trajectoire est donnée par r = 2a cos(θ).
1) Représentation des bases polaire et de Frenet
Représenter sur la figure la base polaire (e_r, e_θ) et la base de Frenet (t, n, b) du point M. Justifier que l’angle entre e_r et t vaut θ.
2) Composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
3) Abscisse curviligne s(t)
Préciser le sens du mouvement de M et déterminer l’expression de s(t) en fonction de θ.
4) Composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives les composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
5) Vecteurs unitaires de la base de Frenet
Exprimer les vecteurs unitaires t, n, b en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire (e_r, e_θ).
6) Composantes radiale et ortho-radiale par une autre méthode
En déduire avec une autre méthode les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
Exercice 1 (Partie 2 : 2009/2010)
Un cercle vertical de rayon a et de centre C tourne à la vitesse angulaire constante θ̇ = ω₁ autour de l’axe vertical Oz. Un point matériel M, initialement en B, parcourt la circonférence du cercle avec une vitesse angulaire constante θ̇ = 2ω.
1) Vecteur vitesse de rotation
Déterminer le vecteur vitesse de rotation Ω dans la base de R.
2) Position du mobile M dans R'
Repérer le mobile M dans le repère R'(C,x',y',z').
3) Vecteurs vitesse relative et d’entraînement
Déterminer par leurs composantes dans la base de R' les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M.
4) Vecteurs accélération relative, d’entraînement et de Coriolis
Déterminer par leurs composantes dans la base de R' les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M.
5) Vecteurs vitesse absolue et accélération absolue
Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de composition de mouvement.
6) Vecteurs vitesse et accélération par dérivation directe
Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et du vecteur vitesse absolue.
Exercice 1 (2009/2010)
Un point M décrit une trajectoire définie par les équations paramétriques suivantes : x = 2 sin(2ωt), y = 2 cos(2ωt), z = ωt.
1) Équation polaire de la projection
Déterminer l’équation polaire (r,θ) de la projection du point M dans le plan (O,x,y).
2) Abscisse curviligne s(θ)
Établir l’expression de s(θ) et sa valeur à θ=1 rad.
3) Composantes des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M.
4) Angle constant du vecteur vitesse
Montrer que le vecteur vitesse fait un angle constant avec l’axe Oz.
5) Rayon de courbure à θ=1 rad
Calculer le rayon de courbure de la trajectoire pour θ=1 rad.
6) Vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Serret-Frenet
Écrire l’expression des vecteurs vitesse absolue et accélération absolue dans le repère de Serret-Frenet.
Exercice 1 (2010/2011)
Un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon a et de centre C. À l’instant t=0, M se trouve en A de coordonnées A(2a,0,0) avec la vitesse v₀. On désigne par r et θ les coordonnées polaires de M.
1) Équation polaire de la trajectoire
Montrer que l’équation de la trajectoire de M en coordonnées polaires est donnée par r = 2a cos(θ).
2) Base polaire de M
Représenter sur la figure la base polaire (e_r, e_θ) de M.
3) Composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
4) Abscisse curviligne s(t)
Déterminer l’expression de s(t) en fonction de θ.
5) Base de Serret-Frenet
Représenter sur la même figure la base de Serret-Frenet (t, n, b) de M.
6) Composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives les composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
7) Vecteurs unitaires de la base de Frenet
Exprimer les vecteurs unitaires t, n, b en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire (e_r, e_θ).
8) Composantes radiale et ortho-radiale par une autre méthode
En déduire avec une autre méthode les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse V_M et accélération γ_M.
Exercice 1 (2011/2012)
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe par ses coordonnées cylindriques ρ, φ, z telles que ρ = C, φ = 2ωt, z = 2aωt.
1) Rayon vecteur OM dans les repères cylindrique, sphérique et cartésien
Donner l’expression vectorielle du rayon vecteur OM dans les repères cylindrique, sphérique et cartésien.
2) Composantes des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques
Déterminer dans le repère cylindrique les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M.
3) Modules et conclusion
En déduire leurs modules et conclure.
4) Longueur parcourue entre t₁=10s et t₂=20s
Calculer la longueur parcourue par M entre les instants t₁=10s et t₂=20s.
5) Vecteur unitaire tangent t
a) Déterminer l’expression du vecteur unitaire tangent t dans le repère cylindrique.
b) Déterminer l’expression du vecteur tR dt dans le repère cylindrique.
6) Accélération dans le repère de Frenet
a) Exprimer dans la base cylindrique les vecteurs d’accélération tangentielle tγ et normale nγ.
b) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire et déduire sa nature.
c) En déduire la norme du vecteur accélération γ_M et la comparer avec celle trouvée en question 3.
Exercice 1 (2012/2013)
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) telles que θ = ωt et z = hθ.
1) Schéma du point M en coordonnées cylindriques
Construire le schéma du point M dans la base cylindrique.
2) Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques
Donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques dans la base (e_r, e_θ, e_z).
3) Vecteur position OM en coordonnées cartésiennes
Écrire l’expression du vecteur position OM en coordonnées cartésiennes dans la base (e_x, e_y, e_z).
4) Trajectoire dans le plan xOy et selon Oz
Quelle est la trajectoire du point M dans le plan xOy et suivant la direction de l’axe Oz ?
5) Composantes cartésiennes et modules des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer les composantes cartésiennes et le module des vecteurs vitesse et accélération.
6) Abscisse curviligne s(t)
Calculer l’abscisse curviligne s(t) du point M, sachant que dS = V dt et que s(0) = 0.
7) Composantes tangentielle et normale du vecteur accélération
Quelles sont les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération selon les vecteurs unitaires T et N du trièdre de Frenet ?
8) Rayon de courbure ρ
Calculer le rayon de courbure ρ de la trajectoire de M.
9) Angle constant de la vitesse avec Oz
Montrer que la vitesse fait un angle constant α avec l’axe Oz et le calculer.
Exercice 1 (2013/2014)
Un point matériel M est repéré par le vecteur position OM = t i + a t² j, où a est une constante positive.
1) Équation de la trajectoire et allure graphique
Trouver l’équation de la trajectoire de M dans le repère R et donner graphiquement l’allure de cette trajectoire.
2) Composantes cartésiennes et modules des vecteurs vitesse et accélération
Déterminer les composantes cartésiennes et le module du vecteur vitesse et du vecteur accélération.
3) Abscisse curviligne s(t)
Donner sous forme d’intégrale l’abscisse curviligne s(t) du point matériel à l’instant t, sachant que s(0) = 0.
4) Vecteurs vitesse et accélération dans la base de Frenet
Déterminer par leurs composantes dans la base de Frenet le vecteur vitesse et le vecteur accélération.
5) Rayon de courbure par deux méthodes
Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire par deux méthodes.
6) Coordonnées polaires du mobile M
Donner les coordonnées polaires du mobile M.
FAQ
1) Qu’est-ce qu’un référentiel fixe et un référentiel mobile ?
Un référentiel fixe est un système de coordonnées immobile par rapport à l’observateur. Un référentiel mobile est un système de coordonnées en mouvement par rapport au référentiel fixe.
2) Comment calculer l’abscisse curviligne s(t) ?
L’abscisse curviligne est obtenue par l’intégration de la norme de la vitesse V sur le temps : s(t) = ∫ V dt.
3) À quoi sert le repère de Serret-Frenet ?
Le repère de Serret-Frenet permet d’étudier les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération dans le cadre d’un mouvement curviligne.