Mécanique du point : Controle mecanique du point materiel k
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Télécharger packECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES DE KENITRA Contrôles continus et examens Mécanique du point matériel PROF : M.BENBRAHIM 1ère année cycle préparatoire ENSAK – 1ère année cycle universitaire SMI/SMPC Année universitaire : 2014 – 2015
Isaac Newton (1642-1727) Johannes Kepler (1571-1630) Nicolas Copernic (1473-1543) Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 2 DS : 2008 ---> 2015 Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 3
Année universitaire : 2008/2009 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe R(O, i, j , k
) par ses coordonnées cylindriques
, ,z telles que : 1 R , 2 at2 , zb
. 1
R , a et b sont des constantes positives. 1) Quelle est la trajectoire du point matériel dans R(O, i, j , k
). 2) Ecrire l’expression du vecteur position
OM en coordonnées cartésiennes. 3) Calculer le vecteur vitesse /R d OM
V M Rdt
en coordonnées cartésiennes et déduire son module en fonction de a, R
1 et φ. 4) Calculer l’abscisse curviligne s(t) du point M à l’instant t sachant qu’au temps t=0, s=0 et l’exprimer en fonction de R
1 et φ. 5) Ecrire l’expression du vecteur position OM
en coordonnées cylindriques. 6) Calculer, en coordonnées cylindriques, l’expression de la vitesse absolue et de l’accélération absolue. 7) Ecrire l’expression des vecteurs vitesse absolue et accélération absolu du point M dans le repère de Serret-Frenet
, , ,R M t n b
. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 4
Exercice 2
Soient deux axes Ox’ et Ax’’ en mouvement de rotation dans le plan (xOy). Ils sont repérés respectivement par ,Ox Ox et ,Ax Ax
, avec t
,avec
étant la vitesse angulaire constante. (Voir figure). Un point matériel M est en mouvement sur l’axe Ax’’ repéré par (variable)AMr . On considère le mobile R’(A,'i , 'j ,k
) par rapport à R tel que (constante)OA
.
, , ,R O i j k
le repère fixe et le repère
'', , ,R
A u v k
un repère mobile par rapport à R et R’. 1) Que vaut
'/RR ,
''/
'RR et
''/RR . 2) Exprimer en fonction de u et v
les vecteurs 'i et 'j . 3) Déterminer par ses composantes dans la base
,,u v k
. a- Le vecteur vitesse relatif. b- Le vecteur vitesse d’entraînement. c- Le vecteur vitesse absolue. 4) Retrouver l’expression de la vitesse absolue par la méthode de dérivation directe du vecteur position. 5) Déterminer par ses composantes dans la base
,,u v k
. a- Le vecteur accélération relatif. b- Le vecteur accélération d’entraînement. c- Le vecteur accélération de Coriolis. d- Le vecteur accélération absolue. 6) Retrouver l’expression de la vitesse absolue par la méthode de dérivation directe du vecteur vitesse absolue. M
A x’’ x' x y
θ 'i
x 'j x u x v x k x O Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 5
Année universitaire : 2009/2010 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 1h 45min
(ENSAK)
Exercice 1
Dans un repère (O,x,y,z) rapporté à une base de coordonnées cartésiennes, un point M décrit une trajectoire définie par les équations paramétriques suivantes : 2sin2cos tt txet yetze
On peut poser : θ=ωt. 1) Déterminer l’équation de la courbe décrite par la projection m du point M dans le plan (O,x,y,z) en coordonnées polaires (r,θ). (L’équation obtenue est l’équation polaire d’une spirale exponentielle). 2) Etablir l’expression de l’abscisse curviligne s(θ) sur la trajectoire de M et sa valeur à θ=1rad. ( s(0)=0 ). 3) Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M. 4) Montrer que le vecteur vitesse fait un angle constant avec l’axe Oz. 5) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire pour θ=1rad. 6) Ecrire l’expression des vecteurs vitesse absolue et accélération absolu du point M dans le repère de Serret-Frenet
, , ,R M t n b
.
Exercice 2
Soit R(O,x,y,z) un repère cartésien fixe de la base orthonormée directe i, j,k
. Une tige rigide T faisant un angle θ constant avec l’axe Oz, tourne par rapport à celui-ci avec une vitesse angulaire ω constante. L’une des extrémités O
1 de la tige reste dans le plan (O,x,y) à une distance l fixe par rapport à O ( 1 lOO
). Le mouvement de la tige est repéré dans R par Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 6 l’angle ,iu
=ωt. On associe à la tige le référentiel mobile R
1 d’origine O
1 et de base orthonormée directe
e , e , e
r tel que e r
est colinéaire à la tige et eku
. Un petit anneau de masse m, au départ immobile en O1 , coulisse sans frottement le long de la tige T. (Figure 1 et 2) La position de l’anneau est repérée dans R
1 , à chaque instant t, par la distance r(t)=1 OM . On rappelle que, dans le cas général, le vecteur rotation de la base sphérique par rapport à la base cartésienne est égal à : 1 /RRek . Tous les résultats doivent être exprimés dans la base
e , e , e
r . 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation 1 /RR
. 2) Déterminer le vecteur position OM de M. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R1 , les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de R1 , les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 5) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. 6) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M z x y(T) z O O
1 φ=ωt θ u k i j e re e
Figure 1 z z
(T) MO 1 u k O e re e Figure 2 Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 7
Année universitaire : 2010/2011 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
Dans le plan (O,x,y,z) d’un repère R(O,x,y,z) cartésien de base
,,i j k
, un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon a et de centre C (voir figure 1). A l’instant t=0, M se trouve en A de coordonnées A(2a,0,0) et possède la vitesse v0 . On désigne par r et θ les coordonnées polaires de M. 1) Montrer que l’équation de la trajectoire de M en coordonnées polaires est donnée par la relation suivante :
2 cosra
. 2) Représenter sur la figure, la base polaire , ree
de M. 3) Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse
/V M R et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. 4) Soit s(t) l’abscisse curviligne de M à l’instant t. Préciser le sens du mouvement sur la figure et déterminer l’expression de s en fonction de θ. 5) représenter sur la même figure la base de Serret-Frenet , tnuu de M. 6) Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse /V M R
et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. 7) Exprimer les vecteurs unitaires de la base de Frenet ,tn uu
en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire , ree
. 8) En déduire avec une autre méthode les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse
/V M R et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 8
Exercice 2
Un système formé par une tige de longueur d=OC et un disque de centre C et de rayon a solidaires entre eux, tourne uniformément autour d’un axe perpendiculaire au plan (yOz), à la vitesse angulaire 1 constante. Sur la face verticale du disque, on fixe un tube cylindrique de faible section, de longueur a, une extrémité en C et l’autre extrémité à son haut (figure 2). Une masse ponctuelle peut coulisser à l’intérieur du tube. Elle est repérée par CM=r(t)=variable (où t est le temps) et par l’angle 0cte . On désigne par
, , ,R O x y z
repère cartésien de base
,,i j k
et
', ', ', 'R C x y z
le repère mobil par rapport à R de base
', ', 'i j k
. 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation
'/RR
. 2) Repérer le mobile M dans R’. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 5) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R’) 6) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M M y O x
A O C θ r 0V k
x C y’ z
y Figure 1 z' θ i x 'i x Figure 2 Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 9
Année universitaire : 2011/2012 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
Un point matériel M mobile par rapport au repère fixe , ,, xyz
R O e e e
est repéré par ses coordonnées cylindriques ρ, φ, z
M telles que C , 22t , 22M za
t où C, a et ω sont des constantes positives. 1) Donner l’expression vectorielle du rayon vecteur OM
dans le repère cylindrique , ,, Cz
R O e e e
, sphérique
, ,, Sr
R O e e e et cartésienne , ,, xyz
R O e e e
. 2) Déterminer dans le repère cylindrique ; les composantes des vecteurs vitesse et accélération du mobile dans son mouvement par rapport au repère R. 3) En déduire leurs modules et conclure. 4) Calculer la longueur parcourue par le mobile sur sa trajectoire entre les instants t1 =10 secondes et t2 =20 secondes. 5) Soit te un vecteur unitaire tangent à la trajectoire en tout point. a) Déterminer l’expression du vecteur te dans le repère cylindrique. b) Déterminer l’expression du vecteur tR dedt dans le repère cylindrique. 6) Soit le vecteur accélération du mobile M dans le repère du Frenet : / nt
MR
. a) Exprimer dans la base cylindrique, les expressions vectorielles des vecteurs d’accélération tangentielle t et d’accélération normale n
. b) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire et déduire la nature de la trajectoire. c) En déduire la norme du vecteur accélération /MR
et la comparer avec celle trouvée en question 3. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 10
Exercice 2
On considère un cercle de centre C et de rayon a placé dans un plan vertical. Soit R(O,x,y,z) un repère fixe de base
,,i j k
et R’(O,X,Y,Z) de base
', ', 'i j k
un référentiel mobile lié au cercle. Ce cercle est animé d’un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe vertical OY à la vitesse angulaire constante 1 relativement à R. La distance du centre C à la droite verticale OY est OC=2a. Un point M du cercle est animé d’un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire 2
relativement à R’. 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation
'/RR
. 2) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 4) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R’) 5) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M
X Y Z y 2a
a O C x z X Z θ ω1 t ω1 t ω
1 yY
Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 11
Année universitaire : 2012/2013 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
Un point matériel M est repéré dans un référentiel fixe (Oxyz) par ses coordonnées cylindriques (r,θ,z) telles que θ=ωt et z=hθ. (r et ω sont des constantes positives et t le temps) 1) Construire le schéma du point M dans la base cylindrique. 2) Donner les expressions des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques dans la base ,, r
e e e
, et montrer que le vecteur accélération est colinéaire au vecteurOM
. 3) Ecrire l’expression du vecteur position OM
en coordonnées cartésiennes dans la base ,, xyz
e e e
. 4) Quelle est la trajectoire du point M dans le plan xOy et suivant la direction de l’axe Oz ? 5) Déterminer les composantes cartésiennes et le module des vecteurs vitesse et accélération. 6) Calculer l’abscisse curviligne s(t) du point M sachant que dS=Vdt, et à l’instant initial t=0, s(t)=0. 7) Quelles sont les composantes tangentielle et normale du vecteur accélération selon les vecteurs unitaires T
et N
du trièdre de Frenet ? 8) Calculer le rayon de courbure
de la trajectoire de m. 9) Montrer que la vitesse fait un angle constant
avec l’axe Oz, et le calculer. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 12
Exercice 2
On considère un pendule simple formé d’un point matériel M attaché à une tige de masse négligeable et de longueur l. Le point O1 , de suspension du pendule, se déplace avec une vitesse angulaire constante sur un cercle vertical fixe de centre O et de rayon r. (voir la figure). Soit 1112 , ,
,R O u u k
un repère relatif en rotation par rapport au repère du laboratoire
, , ,R O i j k
avec une vitesse angulaire
constante. (on pose 1,iu
) La particule M est repéré dans R
1 par l’angle 1,ue
. La base
,,e e k est mobile dans R1 et OMe
. 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation 1 /RR
. 2) Repérer le mobile M dans R
1 et dans R. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R1 , les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de R1 , les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 5) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R1 ) 6) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M x
y O e e 1u 2 u θ
φ k x Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 13
Année universitaire : 2013/2014 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
On désigne par R(O,x,y,z) repère cartésien de base
,,i j k
. Un point matériel M est repéré par le vecteur position : 2OM ti at j
où a est une constante positive et t le temps. 1) Trouver l’équation de la trajectoire de M dans le repère R et donner graphiquement l’allure de cette trajectoire. 2) Déterminer les composantes cartésiennes et le module du vecteur vitesse et vecteur accélération. 3) Donner sous forme d’intégrale, l’abscisse curviligne s(t) du point matériel à l’instant t sachant qu’au temps t=0, s(t=0)=0. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de Frenet, le vecteur vitesse et du vecteur accélération. 5) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire du mobile par deux méthodes. 6) Donner les coordonnées polaires du mobile M. 7) Dans le même repère cartésien, un autre mobile P est repéré par le vecteur OP
tel que OP ti bt j
où b est une constante positive et t le temps. a) Quelle est la nature du mouvement du mobile P. b) Trouver les coordonnées du point de rencontre des deux mobiles M et P. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 14
Exercice 2
Sur la face supérieure d’un disque horizontal, de centre O, est creusée une rainure AB parallèlement à un diamètre, à la distance de O. Une masse ponctuelle M coulisse dans cette rainure. Dans le référentiel fixe R(O,x,y,z), repère cartésien de base
,,i j k
, on fait tourner le disque à la vitesse angulaire constante
autour de l’axe vertical Oz. Et soit R’(C,x’,y’,z’) le repère lié au disque, de base
', ', 'i j k
, mobil par rapport au repère R. Ce référentiel du repère mobil, d’origine C est tel que CY est porté par la rainure. La position de M dans le repère mobil R’ est repérée par CM=r(t)=variable. (où t est le temps) 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation
'/RR
. 2) Repérer le mobile M dans R’ et dans R. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 5) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R’) 6) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M M
z x Y X X Y x O O d d C
A B ωt
Vue de dessus ω ω Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 15
Année universitaire : 2014/2015 École Nationale Des Sciences
Contrôle continu de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK) Problème: Partie 1 : Dans le plan (O,x,y,z) d’un repère R(O,x,y,z) cartésien de base
,,i j k
, un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon a et de centre C (voir figure 1). A l’instant t=0, M se trouve en A de coordonnées A(2a,0,0) et possède la vitesse v0 . On désigne par r et θ les coordonnées polaires de M. L’équation de la trajectoire de M en coordonnées polaires est donnée par la relation suivante :
2 cosra
. On désigne aussi par , ree
la base polaire et , tnuu la base de Frenet. 1) Représenter sur la figure 1, la base polaire , ree
et la base de Frenet , tnuu de M. Justifier que l’angle entre les deux vecteurs ,,trn e ue u
vaut θ ( ,, trn
e ue u
). 2) Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse
/V M R et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. 3) Soit s(t) l’abscisse curviligne de M à l’instant t. Préciser le sens du mouvement sur la figure et déterminer l’expression de s en fonction de θ. 4) Déterminer en fonction de θ et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes normale et tangentielle des vecteurs vitesse /V M R
et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. 5) Exprimer les vecteurs unitaires de la base de Frenet ,tn uu
en fonction des vecteurs unitaires de la base polaire , ree
. Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 16 6) En déduire avec une autre méthode les composantes radiale et ortho-radiale des vecteurs vitesse
/V M R et accélération /MR
du point M dans son mouvement par rapport à R. Partie 2 : Dans le plan (O,x,y) d’un repère R(O,x,y,z) cartésien de base
,,i j k
, le même cercle vertical de rayon a et de centre C tourne à la vitesse angulaire constante 11 autour d’un axe vertical Oz, O étant un point fixe du cercle. On désigne par R(O,x,y,z) le repère cartésien de base
,,i j k
et R’(C,x’,y’,z’) le repère lié au cercle mobil par rapport à R de base
', ', 'i j k
. Un point matériel M initialement en B, parcourt la circonférence du cercle dans le sens positif. Il est repéré par l’angle 22t , où t est le temps et 2
vitesse angulaire constante. (voir figure 2). 1) Déterminer le vecteur vitesse de rotation
'/RR
. 2) Repérer le mobile M dans R’. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 4) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. 5) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R’) 6) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. M y x
A O C θ r 0V z Figure 1 M C x' y y'
x 11t 22t B Figure 2
O 'zz1
Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 17 Examens : 2008 – 2015 Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 18
Année universitaire : 2009/2010 École Nationale Des Sciences
Examen final de la mécanique du point matériel Appliquées Kénitra
Durée : 2 heures
(ENSAK)
Exercice 1
Un tube cylindrique mince OA, incliné par rapport à l’horizontale d’un angle θ
0 constant tourne autour de la verticale Oz à la vitesse angulaire constante ddt . Un point matériel M de masse m, assujetti à se déplacer sans frottement dans ce tube, est initialement au repos à la distance d de O, intersection de l’axe vertical de rotation avec le tube. Soient R(O,x,y,z) le référentiel fixe supposé galiléen de base ,, xyz
e e e
, constitué de l’axe vertical de rotation Oz et les axes Ox et Oy du plan horizontal ; et R’(O,X’,Y’,Z’) le référentiel mobil de base
''',, XYZe e e
, lié au tube cylindrique d’axes OZ’ portant OA, OY’ dans le plan xOy et OX’ complétant le trièdre direct (OX’,OY’,OZ’). (voir la figure). On repère le point matériel M par
OM tr t
. 1) Justifier l’écriture ci-après du vecteur vitesse angulaire de rotation dans la base du repère mobile R’ :
0'0'
'/sincosXZ R Ree
. 2) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs vitesse relative et vitesse d’entraînement du point M. 3) Déterminer par ses composantes dans la base de R’, les vecteurs accélération relative, accélération d’entraînement et accélération de Coriolis du point M. M Z’ Y’ X’
x y
z A O θ
0 φ θ0 Prof : M.Benbrahim – ENSAK Page 19 4) Déduire les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode composition de mouvement. (les exprimer dans la base de R’) 5) Retrouver les vecteurs vitesse absolue et accélération absolue en utilisant la méthode de dérivation directe du rayon vecteur et vecteur vitesse absolue. 6) En plus des forces réelles (le poids et la réaction du tube) appliquées au point matériel M, on ajoute la force réelle 'Z Fk r a e (où k et