Cours mécanique du point chapitre 1 - télécharger pdf

Mécanique du point : Cours mécanique du point chapitre 1

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1 Année universitaire 2013-2014 CC oo uu rr ss MM éé cc aa nn ii qq uu ee dd uu pp oo ii nn tt // CC hh aa pp ii tt rr ee II Rappels et compléments mathématiques Programme du module AP14 Mécanique du point matériel Chapitre 1 : Rappels et compléments mathématiques Chapitre 2 : Cinématique du point matériel Chapitre 3 : changement de référentiels Chapitre 4 : Dynamique Newtonienne du point matériel Chapitre 5 : Moment cinétique Chapitre 6 : Travail, Puissance, énergie Chapitre 7 : Mouvement d’un point matériel dans un champ central Chapitre 8 : Oscillations harmonique

Chapitre 9 : Système formé par des points matériels : cas de deux points matériels Pr : Adel Bouajaj ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Tanger

2 Chapitre I : Rappels et compléments mathématiques I. Représentation d’un point dans l’espace Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ℛ

3 ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra d’autres types de coordonnées pour décrire un point ou un champ scalaire : les coordonnées polaires, les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques. 1.1 Coordonnées cartésiennes Un point M est repéré par ses coordonnées x, y et z dans la base orthonormée directe

R(O; e  , e  , e ). Le vecteur position en coordonnées cartésiennes  

= 

+  

+  

 Lorsque les coordonnées d’un point M varient de quantités infinitésimales dx, dy et dz, le point M se déplace d’une quantité  . 

Le vecteur déplacement élémentaire.  

=  

=  

+  

+  

   =   

= 

+  +   =  

 = 

+  +  Volume élémentaire entourant M dτ = dx dy dz. 1.2 Coordonnées polaires Le système de coordonnées polaires est un système de repérage du plan. Dans ce système, on repère un point M à l’aide de la distance au centre, notée r et d’un angle noté θ : 3 M est repéré par ses coordonnées r et θ dans la base orthonormée directe (er  , e ) Le vecteur position en coordonnées polaires  



=  

  



 =  Le passage du système cartésien au système polaire s’effectue grâce à la transformation :  =  !"#

 = "$%#& Lorsque les coordonnées d’un point M varient de quantité infinitésimales dr suivant 

 et rd# suivant e  le point M se déplace d’une quantité  

. Le vecteur déplacement élémentaire.

 



=   =  '

+ θ 

 Surface élémentaire entourant M

" = (θ) 1.3 Coordonnées cylindriques M est repéré par ses coordonnées (r ,θ, z) dans la base orthonormée directe (er  , e  , e )  



= * 

+ *  =  +  

=  

+  

 Le vecteur position en coordonnées cylindriques :  

=  

+  

 On a :   =   

=  +  ⟹  

 =  +  Lorsque les coordonnées d’un point M varient de dr suivant r , rdθ suivant 

 et dz suivant z . 4 Le vecteur déplacement élémentaire.  

=  

=  '

+ θ 

+  

 Volume élémentaire entourant M : d τ = (dr)(rdθ)(dz) 1.4 Coordonnées sphériques. En Physique, on repère M par ses coordonnées r (r = OM), θ (colatitude) et φ (longitude) dans la base orthonormée directe (e  , e  , eφ ). Le vecteur position en coordonnées sphérique  

=  '   



 = 
Lorsque les coordonnées d’un point M varient de dr suivant r , rdθ suivant 

 et rsinθd

φ suivant φ . Le vecteur déplacement élémentaire.  

=  

=  '

+ θ 

+"$%θdφ φ

 5 Le volume élémentaire entourant M : d τ = (dr)(rdθ)( "$%θdφ) II. Intégrale de surface et intégrale de volume. 2.1 Rappel : intégrale simple L’intégrale d’une fonction f(x) entre deux bornes a et b est égale à l’aire sous la courbe associée. Aire sous la courbe = S = ∑

/( 0

)∆ 2034 On dévise l’intervalle (a,b) en n sous intervalles égaux de longueur ∆, et on évalue l’aire de chacun des rectangles indiqués et on a donc : 5 /( )

 = lim2→: ; /( 0

)∆ 2034 <= Une fonction d’une variable peut être intégrée sur un intervalle, on effectue donc les calculs à une dimension. 2.2 Intégrale de surface. Supposons que f(M) soit définie en tout point d’une surface (S) limitée par un contour (C). Décomposons S en petits surfaces élémentaires ∆>

0 au tour du point moyen0 . On posera : lim2→: ; /( 0) ∆"0 =2 034

? /( )" 4(@) ∫∫/ () ",4 (@) est appelée intégrale double de la fonction f(M) sur la surface (S). >$ /( )

=1 alors, lim2→: ∑∆" 0= 2034 ∫∫

" = >4 (@)

Formule qui permet de calculer certaines aires. $ds i

Tapez une équation ici

(S) (C) 6 Exemple : 1- Surface d’un disque de rayon R L’élément de surface élémentaire en coordonnées polaire est ds = rdrd

θ >( $"MN )= ? rdrdθ 4( O0PQRS) = 5 T U

5 θV U

= W1 2r Z UT [θ \U V

= ]^_ 2- Surface d’un cylindre de rayon R et de hauteur h L’élément de surface élémentaire en coordonnée cylindrique ds = Rdθdz > =

? ds 4

(ab02O'S)= ? Rdθdz 4

(ab02O'S)

= d 5 θ5dzh 0V U

= d[ θ\ UV [z \U g

= _]^h 3- Surface d’une sphère de rayon R L’élément de surface élémentaire en coordonnée sphérique ds = R2 dθ "$%θdφ >("iℎé ) = ? " = d ?"$%θθ dφ= d 5"$%θθV U5dφ VU = k]^_ 4

(Plgé'S4 (Plgé'S

2.3 Intégrale de volume. De même supposons que f(M) soit définie en tout point M d’un volume (

V) limité par une surface. Décomposons le volume (V) en petits volume élémentaire ∆m

0 autour de point Mi . n =∑ ∆m0 2

034 , et soit f(Mi ) la valeur de f(M) en M

i , on pose : lim2→: ; /( 0) ∆m0 =2 034

o /( )m 4(p) ∫∫∫/ () m4 (p) est appelée intégrale triple de f(M) dans le volume (V).
>$ /( )

=1 alors, lim2→: ∑∆m 0= 2034 ∫∫∫

m = n4 (r)

Formule qui permet de calculer certains volumes. Y r θ $ds i

Tapez une équation ici

(S) (C) ∆m0 (V) (V) dr X rθ 7 Exemple 1- Volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h L’élément de volume en coordonnées cylindrique est d τ = (dr)(rdθ)(dz) on a donc : n( s$% ) = odτ 4

(ab02O'S)= ? rθdz4 (ab02O'S)

= 5 T U

5 θ5dzh 0V U= 12 [r 2\ UT [θ \U V[ z\ Ug = ]u_ h 2- Volume d’une sphère de rayon R. L’élément de volume en coordonnées sphériques est : d τ = (dr)(rdθ)( "$%θdφ) n("iℎé ) = odτ 4

(Plgé'S)

= ? r "$%θθdφ4 (Plgé'S)

= 5 r T U

5"$%θθ5dφh 0V U= 13 [r 3\ UT [−cosθ \U V[ φ\ UV =k x]u x

III. Scalaires et vecteurs Une grandeur physique peut se présenter sous les deux formes nature que sont les scalaires et les vecteurs. a- Scalaire Il est entièrement déterminer par sa valeur numérique (positive ou négative) indépendamment du l’orientation du référentiel d’observation (exemple : masse m, la température T, la pression P, la longueur l...). b- Grandeurs vectorielles Pour définir une grandeur vectorielle, il faut se donner : - Origine - Direction - Sens - Module (longueur). (Exemple : champ de pesanteur, champ électrostatique, champ magnétostatique champ de force, champ de vitesse...). II. Champs de scalaires ; champ de vecteurs. 4.1 Notion de champ 8 Lorsque dans une certaine région de l’espace on associe à chaque point M, une grandeur soit scalaire, soit vectoriel. On définit alors un champ : soit un champ de scalaires, soit un champ de vecteurs. a- Champ scalaire Un champ scalaire est une fonction à plusieurs variables qui, à chaque point M de l’espace fait correspondre un scalaire f(x,y,z). Exemple : champ des températures. b- Champ vectoriel Un champ vectoriel est une fonction vectorielle à plusieurs variables qui à chaque point M de l’espace fait correspondre un vecteur : n () = n y + n z + n { . Exemple : Le champ des vitesses des points matériel Ainsi, pour définir un champ, on peut rapporter l’espace à un repère en général, orthonormée et direct, et considérer la grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant le champ, comme une fonction des coordonnées x, y, z (cartésiennes) et éventuellement du temps t. Exemple 1 : Champ de température dans la salle. Exemple 2 : pour un champ de vecteur | (, , ) celui-ci sera défini par trois fonctions scalaires : 9 4.2. Champ uniforme et champ stationnaire

. a- Champ uniforme Un champ est dit uniforme dans une certaine région de l’espace si la grandeur (soit scalaire, soit vectorielle) définissant le champ à la même valeur en tout point de la région (à un instant t donné). b- Champ stationnaire Un champ est dit stationnaire (ou permanent ou constant) si en chaque point de l’espace où agit le champ, la grandeur définissant le champ ne dépend pas du temps. Exemple : champ électrostatique et magnétostatique. 4.3. Ligne de champ A un champ de vecteurs on peut associer une famille de courbes appelées : lignes de champs, tangentes en chacun de leurs points M au vecteur champ n

 en ce point. Une ligne de champ est une courbe tangente au champ vectoriel. Exemple : cas d’un champ uniforme }

 à en tout point M de l’espace : - Même sens - Même direction - Même intensité En tout point M les lignes de champs sont des droites parallèles.

4-4 Tube de champ C’est la surface engendrée par l’ensemble de lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé. III. Calcul vectoriel 5.1. Définition d’un vecteur} ~ } } 4 M3 M2 M1 10 On appelle vecteur n = |

 tout segment AB

sur lequel on choisit un sens de parcours, une origine A et une extrémité B. Le vecteur |

 est caractérisé par : - Son module n  = n , égale à la longueur du segment AB. - Sa direction AB. - Son sens de A vers B. a- Vecteur unitaire : N=| |  ‖N ‖

= 1 Pour un trièdre cartésienne, on désigne les vecteurs unitaires par y , z, { ‚. b- Composante d’un vecteur ; Pour définir les composantes d’un vecteur |

 dans un repère (O, X,Y, Z) munie de la base orthonormée y , z, { ‚, on amène son origine a au point O du repère, puis on projette orthogonalement le vecteur sur les trois axes OX, OY, OZ. 5.2. Somme de deux vecteurs

On appelle somme de deux vecteurs n4  et n  est un vecteur n = n4  + n  déterminer par : - Règle de parallélogramme. - Règle du triangle

. - Expression cartésienne n4  à pour coordonnées dans la base cartésienne y , z, { 

‚ : n4  (x1 , y1 , z1 ) ; n  à pour coordonnées dans la base cartésienne y , z, { ‚ : n  (x2 , y2 , z2 ). n = n4  + n  = (x1 + x2 ) y + (y1 + y2 ) z + (z1 + z2 ) { . n =n4 +n  n n 4 n =n4  + n n  n4 

11 5.3.Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs n4  et n  faisant entre eux un angle θ est la grandeur scalaire C définie par la relation : ƒ = n4  .n 

ƒ = n4 n   cos # ,

# = (n4 

, n „ ) Propriétés : • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaire est nul. • Le produit scalaire est commutatif n4  .n 

= n  .n4 

• Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle. (n4  + n 

). n~ 

= n4  .n~ 

+ n  .n~ 

• n4  

= n4 

= n4 

. n4 

Expression cartésienne du produit scalaire : Dans le référentiel R(O,X,Y,Z) muni de la base cartésienne orthonormée

y , z, { ‚, n4  (x1 , y1 , z1 ), n  (x2 , y2 , z2 ). n4 

. n4 

= (x

1 y + y1 z + z1 { ). (x

2 y + y2 z + z2 { )= x

1 x

2 y + y1 y

2 z + z1 z2 { n4 

= n4 

. n4 

= 4 + 4 

+ 4 n 4

= n4 

 = 4 + 4 

+ 4 

5.4. Produit vectoriel Définition : le produit vectoriel de deux vecteurs n4  et n  faisant entre eux un angle θ(0 ≤ # ≤ †) est un vecteur n~  noté : n~ 

= n4 

∧ n  , caractérisé par : - Son module n~ = n4 . n sin # - n~  est perpendiculaire au plan formé par n4  et n  dont le sens est donné par la règle de tir bouchon ou règle de bonhomme d’ampère. Propriétés : - Le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles est nul. - Le produit vectoriel est anticommutatif. n4 

∧ n 

= −n 

∧ n4 

- Le produit vectoriel est distributif par rapport à l’addition vectorielle. n4 

∧ n 

+ n~ 

‚ = n4 

∧ n 

+ n4 

∧ n~ 

- n4 

∧ n4 

= 0 n4 n  # 12 - n4 

∧ n 

= 0 ⇔ ‰n 4 = 0 !N n 

= 0 

!N n4 

∥ n & Expression cartésienne de produit vectoriel. L’espace étant muni d’un repère orthonormé y , z , { 

‚, n4 ‹ 4 4 4

Œ, n ‹   

Πn4 

∧ n 

= 

y z { 4 4 4   

 = ( 4 

− 4  )

y +(  4

− 4 ) z +( 4 

− 4 ) { 

Norme de n4 

∧ n n 4 ∧ n  = ( 4 

− 4  ) +(  4

− 4 ) + (4  − 4 ) 

Remarque : la norme de produit vectoriel

représente l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs

. Rappel : cette aire vaut : |( ) =N ∧ m =N m "$%# 5.5. Produit mixte Par définition, le produit mixte (N, m,Ž) des vecteurs N, m,Ž est le produit scalaire de N∧ m et de Ž ; on le note : (N, m,Ž) =( N∧ m) . Ž Posons > = N∧ m ∶ >  : mesure l’aire du parallélogramme construit sur (

N∧ m

) et

(N, m,Ž) = > . Ž La valeur absolue du produit mixte mesure donc le volume du parallélépipède construit sur N, m  Ž Le produit mixte est invariant par permutation circulaire : n4 

∧ n 

‚. n~ =n  ∧ n~ 

‚. n4 

= n~ 

∧ n4 

‚. n 

13 IV. Notion essentielles sur les fonctions de plusieurs variables. 6.1.Définition : Une fonction vectorielle à plusieurs de plusieurs variables est une fonction dont la valeur dépend de plusieurs variables (x1 , x2 , x3 ,...xn ) on la note f(x1 , x2 , x3 ,...xn ). 6.2.Dérivée partielle par rapport à une variable : C’est la dérivée de cette fonction par rapport à une variable en maintenant toutes les autres variables constantes

. ‘’/ ’ 4“ ”•–—˜ ”™š

= lim∆ š→U /(( x4 + ∆ 4

, x , x~ , ... x )

− /((x4 , x , x~ , ... x )

∆ 4

Exemple : f(x,y,z)= xy2 + z žŸž =  ,žŸ ž

= ,žŸ ž

= 1 6.3.Différentielle de f(x1 , x2 , x3 ,...xn ). C’est l’accroissement de la fonction f quand on donne aux variables x1 , x2 , x3 ,...xn respectivement des accroissements dx1 , dx2 , dx3 ,...dxn . On la note : / = /(( x4 +  4

, x +  

, x~ +  ~

, ... x +  2) − /(( x4 , x , x~ , ... x ) On montre que si les accroissements  0 sont suffisamment petits alors : /( x4 , x , x~ , ... x )= ’/

’ 4

 4+ ’/

’ 

 + ’/

’ ~

 ~

+ . ...’/ ’ 2

 2

= ;’/ ’ 0

 02 034

Exemple : soit un champ vectoriel /

 défini par : / ( , , ) = y +( 2 

− ) z + { 

= / ( , , ) y + / ( , , ) z + / ( , , ) { / (

x, y, z) =’/ 

’  +’/ ’  +’/ ’  ’/ ’ = y + 4z ’/ ’

= y + { ’/ ’ = y − z / =(  +  + ) y +( 4 − ) z + { Remarque : on voit bien que dans le cas général : žŸž ≠OŸ O

V. Opérateur vectoriel 7.1. Opérateur gradient

Considérons l'espace rapporté à un repère orthonormé (O, y, z, { ). Soit f(x,y,z) une fonction scalaire des trois variables x,y,z.

Considérons un champ scalaire, dont la valeur en M(x,y,z) est f(x,y,z). En un point voisin M’de M, le champ aura pour valeur f+df : 14 /( x, y, z) =’/ ’  +’/ ’

 +’/ ’

 df représente la variation de f lorsque l'on passe du point M(x,y,z) au point M'(x+dx,y+dy,z+dz). Le vecteur déplacement en coordonnée cartésienne.  

=  

= s =$ + £ + { On défini l’opérateur ¤¥¦  § (ou encore ∇ 

. /: !i骐 N m !$ s %ª«sª) associé à une fonction scalaire f(x,y,z) un vecteur : ¬ª  / =’/ ’ y +’/ ’

z +’/ ’{  /( x, y, z) → ¬ª  / =’/ ’ y +’/ ’

z +’/ ’{  Ainsi, en déduit que : ¦§ = ¤¥¦  §. ¦­® 

Relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques.
signification de ¤¥¦  § : ¬ª

 / est un vecteur qui indique la direction et le sens de croissance de la fonction f dans l'espace. • Exemple : Considérons l'atmosphère terrestre où la température en un point d'altitude z varie selon : T(z) = T(0) − az (a > 0); on a ainsi : ¬ª  ̄ =

 ̄ { 

= −ª{ 

C’est un vecteur qui indique la direction et le sens de croissance de la température.
propriétés: 1) On a par définition : / =¬ª  /. 

Cette définition possède un caractère intrinsèque, c'est à dire ne dépendant pas du repère utilisé. 2) Une surface de niveau est définie par l'équation f(x,y,z) =cte. Soit f(M) un champ scalaire, et soit la surface de niveau définie par f(M)= λ(constante). a- Direction de gradient : Soit M et M’ ∈ à la surface de niveau. Faisons subir au point M un déplacement élémentaire  

=  

= s

 sur la surface de niveau et on a f(M)=f(M’) 15 Sur une surface de niveau, la fonction f est donc constante. Ainsi, pour tout déplacement élémentaire sur cette surface, la variation de f est nulle. On a donc / =¬ª

 /. 



= 0 Le vecteur ¤¥¦

 § est normal aux surfaces de niveau. b- Sens de gradient Lorsque l'on passe d'une surface de niveau à une surface voisine correspondant à une plus grande valeur de f (df > 0), la même relation (

/ =»

 /. 

> 0 ) montre que : L’opérateur ¤¥¦

 § est dirigé suivant les valeurs croissantes de f.
Expressions du gradient • Coordonnées cartésiennes, f(M) = f(x,y,z) : Base cartésiennes : (y ,z,{ 

) On a déjà vu que : ¬ª  / =’/ ’ y +’/ ’

z +’/ ’{  L’opérateur gradient en coordonnées cartésiennes ¬ª  / = ∇  . / =² ³³ ³ ́’/ ’ ’/’ ’/’ μ¶ ¶¶ ·

( ̧ ,¹ ,º ) • Coordonnées cylindrique, f (M)= f(r,θ,z) : Base cylindrique : (' , »

, 

) »

 / =( ¬ª/) '' +( ¬ª/) »» +( ¬ª/)    

=  

+ # #

+  

 et tel que :

/ =»  /. 

/ =( »/) 

 + ( »/) #

# +( »/) 

 16 De même

/ =’/ ’

 +’/ ’#

# +’/ ’

 ¬ª  / =’/ ’' +1 ’/ ’#» +’/ ’  L’opérateur gradient en coordonnées cylindriques ¬ª  / = ∇  . / =² ³ ́žŸ ž'4 'žŸ ž»žŸ žμ ¶· (S¼ ,S ½ ,S¾ ) • Coordonnées sphériques, f= f(r,θ,φ) Base sphérique : ( 

, #

, φ

) »

 / =( ¬ª/) '' +( ¬ª/) »» +( ¬ª/) φφ   

=  

+ # #

+ "$%# φ φ

 et on a : / =»  /. 



/ =( ¬ª/) + (¬ª/ )# # +( ¬ª/) φ

"$%# / =’/ ’

 +’/ ’#

# +’/ ’φ φ En déduit : ¬ª

 / =’/ ’' +1 ’/ ’#» +1 "$%#’/ ’φ φ

 Opérateur gradient en coordonnées sphériques. ¬ª  / = ∇  . / = ²³ ³

³ ́’/ ’1 ’/ ’#1 "$%#’/ ’φ μ¶ ¶¶ ·(S ¼ ,S½ ,S φ )

7.2. Opérateur divergence • Coordonnées cartésiennes Soit un champ vectoriel | , dans la base cartésienne (y ,z,{ )| 

= ¿| 

(, , )| 

(, , )| 

(, , )

À L’opérateur divergence fait correspondre au champ de vecteur | , le champ de scalaire : $m|

 =’| 

’ +’| ’ +’| ’ L’opérateur divergent en coordonnées cartésiennes 17 • Coordonnées cylindriques Soit un champ vectoriel | , dans la base cylindrique ( 

, #

, 

) |

 à pour coordonnées : | = ¿| '

(, #, )| »

(, #, )| 

(, #, )

À $m|

 =1 ’(| ') ’+ 1 ’|» ’#+ ’| ’

L’opérateur divergent en coordonnées cylindriques • Coordonnées sphériques Soit un champ vectoriel | , dans la base sphérique  

, #

, φ

‚, |

 à pour coordonnées : | = ¿| '

(, #,φ)| »

(, #,φ)| φ

(, #,φ)

À $m|

 =4 'Á ž('Á ¼ )ž' +4 'P02»ž( ½P02») ž»+ 4

'P02»žÂ φžφ L’opérateur divergent en coordonnées sphériques 7.3. Opérateur rotationnel Il fait correspondre à un champ de vecteurs | ( ) un autre champ de vecteurs ! (| ( )) tel que : • Coordonnées cartésiennes |( )



= ¿| | | À Sà ,S Ä ,Sz ‚ ! (| ( )) = Å

 

  ’

’ ’’ ’’ || | Å ! Æ| () Ç = ‘é | é− é| é

“ + ‘é| é− é| é “ 

+ ‘é| 

é −é| é

“ 

 L’opérateur rotationnel en coordonnées cartésiennes • Coordonnées cylindriques |( )



= ‹| '| »| Œ ( S¼ ,S ½ ,Sz ) ‚! (| 

( )) = ²

³ ́1 é ¾é» −é ½é é¼ é− é¾ é'1 Æ é('½ )é' −

é('¼ )é» Çμ ¶· ( S¼ ,S ½ ,Sz ) ‚

• Coordonnées sphériques

18 |( )



= ¿| '| »| φÀ S¼ ,S ½ ,Sφ  ‚!  (| ( )) = ²³ ³ ́1 "$%»‘ é"$%»Âφ ‚é» −é ½éφ “1 "$%»‘ éÂr éφ− é"$%»Âφ ‚ér “1 Æ é('½ )é' −é ¼é» Çμ ¶¶ ·ÆS ¼ ,S½ ,S φ ‚Ç 7.4. Opérateur laplacien noté ∆ . Le dernier opérateur que nous utiliserons est le laplacien. Le laplacien est défini comme la divergence du gradient. On distingue : - Le laplacien scalaire A un champ de scalaire f(M) fait correspondre un autre champ de scalaire ∆(/( ) . f(M)∆/ () = $m Ƭª

/ () Ç =É ÁŸ ÉÁ +É ÁŸ É

Á +É ÁŸ ÉÁ • Coordonnées cartésiens on a : ∆/( )= ÉÁ ŸÉ Á+ ÉÁ ŸÉ Á +É ÁŸ ÉÁ - le laplacien vectoriel : A un champ de vecteur fait correspondre un autre champ de vecteur. |( )



= ¿| | | À Sà ,S Ä ,Sz ‚ ∆|( )

=¿ ∆|∆| ∆| À 

, 

, Ê ‚

tel que ∆| = ÉÁ |É Á+ ÉÁ |É Á +É Á| ÉÁ Relation vraie qu’en coordonnées cartésiennes. • Coordonnées cylindriques ∆/ =1 é é‘ é/é “ +1  é /é# + é /é 

• Coordonnées sphériques Remarque : Il est souvent intéressant de retenir ces opérateurs en utilisant l’opérateur symbolique ∇

 appelé opérateur nabla qui en coordonnées cartésiennes à pour composante : ∇

 =² ³³ ³ ́’ ’ ’’ ’’ μ¶ ¶¶ ·

( ̧ ,¹ ,º  )

19 Ainsi : - grad

 / = ∇ . / - div A  =∇ 

. A 

- rot

 A 

= ∇  ⋀ A 

- ∆/ =(∇ . ∇ )/
Relations fondamentales entre les opérateurs : • grad

 /4 / = /4 grad

 /

 +/ grad

 /4 • div(grad

 /) = ∆/ • $m/ A

 ‚ = /$mA + A . grad



/ • rot  /. A ‚ = /rot A 

+ grad

/‚⋀A 

• div(rot A 

) = 0 • rot grad 

f‚ = 0 VI. Champ vectoriel dérivant d’un potentiel scalaire. A toute fonction scalaire f(x,y,z) on peut associée un gradient grad



f : f(x,y,z) grad



f Réciproquement tout champ de vecteur A

 (M) peut-il être identifié à un gradient d’une fonction ? C'est-à-dire : A  un champ de vecteurs ∋ ? f tel que A

 = grad

 f , dans ce cas on aura :| 

= ¿| | | 

À, ¬ª

 / = ∇

 . / =² ³³ ³ ́’/ ’ ’/’ ’/’ μ¶ ¶¶