Magnétostatique : Cours et exercices corrigés magnetisme
Télécharger PDFComprendre le magnétisme
Spécialité : Physique Théorique, Physique des Particules et Modélisation
Forces magnétiques
Considérons un ensemble de particules de charge C, appelées charges agissantes, supposons que ces charges sont en mouvement. Plaçons en un point P une charge d’essai ponctuelle C au repos, cette charge est soumise à une force proportionnelle à C que nous appellerons force électrique et que nous écrivons sous la forme :
FE = C·G
G : Le champ électrique créé par des charges qui sont en mouvement et qui est une généralisation du champ électrostatique créé par les charges qui sont essentiellement immobiles. Le champ électrique est en général fonction du temps.
Maintenant supposons que la charge d’essai ponctuelle placée en P est animée à l’instant t d’une vitesse V. Cette charge est encore soumise à la force électrique FE = C·G (FE ne dépend pas du fait que C soit en mouvement ou au repos). Lorsque la charge d’essai ponctuelle C est animée d’une vitesse V, elle est sollicitée par une force supplémentaire appelée « force magnétique » que nous noterons FV. Nous associons à cette force magnétique le champ d’induction magnétique B. Donc la relation entre FV et B est :
FV = C·V ∧ B
Résumé : Les charges agissantes en mouvement créent en tout point de l’espace un double champ :
- Le champ électrique : G
- Le champ d’induction magnétique : B
FE = C·G
FV = C·V ∧ B
Donc la force totale F qui s’exerce sur une charge C en mouvement est :
F = FE + FV = C·(G + V ∧ B)
C’est la formule de Lorentz.
Remarques
- Si la charge d’essai ponctuelle C est au repos, alors FV = 0 car V = 0, donc F = FE = C·G.
- Si les charges agissantes sont au repos, il n’y a pas de création de champ d’induction magnétique B = 0. D’où FV = 0, alors F = FE = C·G.
- Si V et B sont colinéaires, le produit vectoriel V ∧ B est nul, d’où FV = 0, alors F = FE = C·G.
- Si C = 0, alors FE = 0 et FV = 0. Donc F = 0.
La force magnétique n’agit que sur une charge en mouvement ou un conducteur traversé par un courant.
La direction de FV est perpendiculaire au plan formé par V et B. Son sens est tel que, dans le cas d’une charge positive, les vecteurs V, B et FV forment un trièdre direct (règle de la main droite). Lorsque la charge est négative, la force change de sens.
On utilise la règle du tire-bouchon, le bonhomme d’Ampère ou la règle de la main droite pour déterminer la direction de FV.
Loi de Laplace
Force magnétique agissant sur un conducteur
Considérons un élément de longueur ab, de section ac traversé par un courant d’intensité I, constitué par des particules de charge C animées d’une vitesse uniforme V. Soit B un champ d’induction magnétique extérieur supposé uniforme en tout point de l’élément ab. Chaque particule de l’élément ab est soumise à une force magnétique FV = C·V ∧ B (car les particules de charge C sont en mouvement).
La force magnétique totale dF qui s’exerce sur l’élément ab est :
dF = ∫ C·V ∧ B dq = (∫ C dq)·V ∧ B
∑C : La charge mobile totale qui se trouve dans l’élément considéré (ab).
Soit iV la densité de charge mobile, donc ∑C = iV·acab. Alors :
dF = (iV·acab)·V ∧ B = acab·iV·V ∧ B
iV·V est la densité de courant J.
Soit ab! le vecteur élément de courant, orienté dans le même sens que le courant (ab! et J étant parallèles). Donc on peut écrire :
dF = ab! ∧ B
Soit I l’intensité de courant. On sait que I = J·an. Alors on peut écrire encore :
dF = I·ab! ∧ B
C’est la loi de Laplace.
Remarques
- dF est perpendiculaire à la fois à ab! et B.
- Le module de dF est dF = I·ab·B·sin(θ), où θ est l’angle entre ab! et B.
- Le sens de dF est donné par la règle de la main droite.
Résumé : Sur chaque élément de circuit filiforme ab agit une force élémentaire de Laplace définie par :
dF = I·ab! ∧ B
Loi de Laplace.
L’ensemble de ces forces équivaut à une force unique F = ∫ dF.
Champ d’induction magnétique créé par les courants : La loi de Biot et Savart
Soit un élément de courant ab! d’origine s et traversé par une intensité de courant I.
La loi de Biot et Savart s’exprime par :
dB = (μ0/4π)·(I·ab! ∧ u!)/r2
Ou encore :
dB = (μ0/4π)·(I·ab! ∧ t!)/r3
Avec u! = u·t! et μ0 = 4π·10-7 T·m/A (perméabilité magnétique du vide).
Remarque importante
La loi de Biot et Savart est une loi élémentaire qui permet de passer de l’élément de courant ab! au champ élémentaire dB. L’élément de courant ab! n’est pas une entité physique isolable, donc dB n’est pas au sens strict une loi physique ⇒ c’est un intermédiaire de calcul.
Le module de dB est :
dB = (μ0/4π)·I·ab·sin(θ)/r2
θ : L’angle entre t! et ab!.
Résumé
L’expression du champ élémentaire dB créé par un élément de courant est :
- Dans le cas d’une distribution linéique (filiforme) de courant I·ab! : dB = (μ0/4π)·∫(I·ab! ∧ t!)/r3
- Dans le cas d’une distribution surfacique de courant J·an : dB = (μ0/4π)·∫∫(J·an ∧ t!)/r3
- Dans le cas d’une distribution volumique de courant J·ad : dB = (μ0/4π)·∫∫∫(J·ad ∧ t!)/r3
Comment appliquer la loi de Biot-Savart pour calculer le champ d’induction magnétique ?
Pour calculer le champ B en un point, il faut décomposer le circuit en tronçons. Chaque tronçon (élément ab!) produit en un point P un champ d’induction élémentaire dB, donc le champ d’induction magnétique total est la somme de tous ces champs élémentaires.
Exemples de calculs du champ magnétique
Exemple 1 : Champ créé par un fil infini.
Un élément ab! crée en un point M un champ élémentaire dB perpendiculaire au plan de la figure. Alors d’après la loi de Biot et Savart :
dB = (μ0/4π)·(I·ab! ∧ t!)/r3
dB = (μ0/4π)·I·ab·sin(θ)/r2
En posant s = 0 et N = r, on en déduit :
dB = (μ0/4π)·I·sin(α)·dα
dB = (μ0/4π)·I·(sin(α2) − sin(α1))
Pour un fil de longueur infinie, α2 → π et α1 → 0, donc B tend vers une valeur limite.
B = (μ0/2π)·I
Exemple 2 : Champ magnétique créé par un courant circulaire en un point de l’axe.
Soit un courant circulaire de centre s, de rayon R. Nous calculons le champ en un point M situé sur l’axe du cercle.
Par raison de symétrie, B est porté par cet axe.
La loi de Biot et Savart donne :
B = (μ0/4π)·∫(I·ab! ∧ t!)/r3
En intégrant, on obtient :
B = (μ0·I·R2)/(2(R2 + z2))3/2·z
Au centre de la spire, on a B = (μ0·I)/(2R).
Théorème d’Ampère
La circulation du champ magnétique n’est pas conservative.
∮ B·dl = μ0·Ienlacé
Définitions
- ∮ : Le contour imaginaire choisi doit être fermé (il délimite une surface).
- B : Champ créé par tous les courants (enlacés ou non).
- dl : Définit le sens de parcours du contour (orientation arbitraire). Le sens de parcours choisi définit un vecteur normal à la surface délimitée par le contour (main droite).
- Si le contour est une ligne de champ, alors B et dl sont colinéaires.
- Ienlacé : Représente la somme algébrique des courants enlacés par le contour. Si les courants enlacés sont orientés dans le même sens que dl, on les compte positivement (et négativement dans le sens contraire).
Exemples
- Pour un fil infini, le contour d’Ampère est un cercle centré sur le fil.
- Pour un cylindre, le contour d’Ampère est un cercle de rayon r.
Calculs de champ B à partir du théorème d’Ampère
- Chercher les invariances et symétries de la distribution de courant.
- Fixer un contour fermé d’Ampère.
- Appliquer le théorème d’Ampère : ∮ B·dl = μ0·Ienlacé
Plans de symétrie et d’antisymétrie
- En un point d’un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.
- En un point d’un plan d’antisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan.
- Un plan de symétrie des courants est un plan d’antisymétrie du champ magnétique.
- Un plan d’antisymétrie des courants est un plan de symétrie du champ magnétique.
Exemple 1 : Champ créé par un fil infini parcouru par un courant d’intensité I
- L’invariance : La distribution de courant est invariante par translation selon l’axe (oz) et par rotation autour de cet axe.
- La symétrie : Le plan (xz) passant par M est un plan de symétrie des courants, donc B!(M) est perpendiculaire à (xz).
- Le contour d’Ampère est un cercle de rayon r centré sur le fil.
- Le théorème d’Ampère donne : B·2πr = μ0·I ⇒ B = (μ0·I)/(2πr).
Les équations locales de la magnétostatique
Analyse vectorielle
Opérateur nabla ∇ en coordonnées cartésiennes :
∇ = (∂/∂x)·i + (∂/∂y)·j + (∂/∂z)·k
Opérateur Laplacien Δ en coordonnées cartésiennes :
Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2
Applications
- Le gradient d’une fonction scalaire φ est un vecteur : ∇φ = (∂φ/∂x)·i + (∂φ/∂y)·j + (∂φ/∂z)·k.
- La divergence d’un vecteur A = (Ax, Ay, Az) est un scalaire : ∇·A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z.
- Le rotationnel d’un vecteur A = (Ax, Ay, Az) est un vecteur : ∇ ∧ A = (∂Az/∂y − ∂Ay/∂z)·i + (∂Ax/∂z − ∂Az/∂x)·j + (∂Ay/∂x − ∂Ax/∂y)·k.
Théorèmes fondamentaux
- Théorème d’Ostrogradsky : ∫∫∫(∇·A) dτ = ∮∮A·n dS.
- Théorème de Stokes : ∮A·dl = ∫∫(∇ ∧ A)·n dS.
Flux magnétique
Le flux magnétique Φ à travers une surface S est défini par :
Φ = ∫∫B·n dS
n : Vecteur normal à la surface.
Conservation du flux magnétique
Considérons une surface fermée orientée, c’est-à-dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface an! dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur.
Le flux magnétique s’exprime en Weber (Wb).