Magnétostatique : Cours et exercices corrigés magnetisme
Télécharger PDFNajim MANSOUR : spécialité Physique Théorique Physique des Particules et Modélisation
!
=# !
∧% !
∇ !
∧' !=( )* ! + != ,- ./. 1+2! ∧34! 345 6 !7 =89 !
∧ !
+6 !
= 1+2! ∧ ! : !
. !
=- ; !
+< !
<
==% !.+2 !
>
2014 Partie 1 BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 2 Table des matières : Cours : Forces magnétiques................................................................. 4
Loi de Laplace ....................................................................... 6 Champ d’induction magnétique crée par les courants La loi de Biot et Savart .............................................................. 8
Théorème d’Ampère ............................................................. 16 Les équations locales de la magnétostatique ................... 22 Exercices : Forces magnétiques (Exercices + solutions) ..................... 28 Champ d’induction magnétique crée par les courants La loi de Biot et Savart (Exercices + solutions)...................... 35 Théorème d’Ampère (Exercices + solutions)..................... 60 Bonne lecture. BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 3 Étude des phénomènes magnétiques stationnaires BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 4 Forces magnétiques Considérons un ensemble de particules de charge C
D appelées charges agissantes, supposons que ces charges sont en mouvement. Plaçons en un point P une charge d’essai ponctuelle 8 au repos, cette charge est soumise à une force proportionnelle à 8 que nous appellerons force électrique et que nous écrivons sous la forme : EF !
= CG! EF :
! La force électrique G! : Le champ électrique crée par des charges qui sont en mouvement et qui est une généralisation du champ électrostatique crée par les charges qui sont essentiellement immobiles. Le champ électrique est en général fonction du temps. Maintenant supposons que la charge d’essai ponctuelle placée en N est animée à l’instant t d’une vitesse P! . Cette charge est encore soumise à la force électrique EF !
= CG
! (EF ! ne dépond pas du fait que C soit en mouvement ou au repos) Lorsque la charge d’essai ponctuelle C est animée d’une vitesse P ! elle est sollicitée par une force supplémentaire appelée « force magnétique » que nous la noterons EV ! . Nous associons à cette force magnétique le champ d’induction magnétique '! Donc la relation entre EV ! et ' ! est : E! V
= CP !
∧ ' !
Résumé : Les charges agissantes en mouvement créent en tout point de l’espace un double champ Le champ électrique : G !
le champ d’induction magnétique : ' !E F! = CG !E V! = CP !
∧ ' !
Donc la force totale E
! qui s’exerce sur une charge C en mouvement est : E! = CG! + CP !
∧ ' !Alors: BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 5 E! = C(G !
+ P !
∧ ' !
) C’est la formule de Lorentz. Remarque : • Si la charge d’essai ponctuelle C est au repos alors :EV !
= 0 ! car P !
= 0 ! donc E! = EF != CG! . • Si les charges agissantes sont au repos donc pas de création de champs d’induction magnétique ' !
= 0 !
. D’où EV !
= 0 ! alors E! = EF !
= CG !
. • Si P ! [\ ' ! sont colinéaires donc nullité du produit vectoriel P !
∧ ' ! d’où EV !
= 0 alors E! = EF !
= CG! . • Si C = 0 ⇨ EF !
= 0
! et EV !
= 0! . Alors E! = 0! . La force magnétique n’agit que sur une charge en mouvement, ou
un conducteur traversé par un courant. • La direction de EV !
est perpendiculaire au plan formé par P
! [\ '
! Son sens est
tel que, dans le cas d’une charge positive, les vecteurs P
! [\ '
! et EV !
forment un trièdre direct (règle de la main droite). Lorsque la charge est négative la force change de sens. On utilisera la règle du tire-bouchon, le Bonhomme d’Ampère où la règle de la main droite pour trouver la direction de EV !
Tire bouchon de Maxwell
Bonhomme d’Ampère
règle de la main droiteE V! = CP !
∧ ' !
P !E V! = CP !
∧ ' !E V! = CP! ∧ '! ' !
' !
CP !
' !
P !
• dans le cas des courants continus CG ! sera négligeable. Dans le système des unités international l’unité du champ d’induction magnétique est le Tesla, symbole T. BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 6 Loi de Laplace Force magnétique agissante sur un conducteur
P !
' !ab !
I Considérons un élément de longueur ab de section ac traversé par un courant d’intensité d constitué par des particules de charges C animée d’une vitesse uniforme P !
. Soit ' ! un champ d’induction magnétique extérieur supposé uniforme en tout point de l’élément ab . Chaque particule de l’élément ab est soumise à une force magnétique EV !
= CP !
∧ ' !
(Car les particules de charge C sont en mouvement). Alors la force magnétique totale aE! qui s’exerce sur l’élément ab est : aE! =ef CP !
∧ ' !g = (e C) (P !
∧ ' !
) (∑C )
: La charge mobile totale qui se trouve dans l’élément considéré (ab). • Soit i
V la densité de charge mobile. donc on a∑ C = iV acab .alors : aE! =( iV acab) P !
∧ ' !aE !
= acabiV P !
∧ ' != (acab )* !
∧ ' !; *! = iV P !
Est la densité de courant • Soit le vecteur ab
! élément de courant est orienté
dans le même sens du courant (ab
! [\ *
! étant parallèles). Donc on peut écrire : aE! = ac*ab! ∧ ' !
. • Soit I : l’intensité de courant. On sait que d = *an. Alors on peut écrire encore : aE! = dab! ∧ ' !
. C’est la loi de Laplace Remarque : • aE
! est perpendiculaire à la fois à ab
! et ' !. 8 BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 7 • Le module de aE
! est aE = dab'copq • Le sens de aE
! est donné par la règle de « la main droite »
Résumé : Sur chaque élément de circuit filiforme ab agit une force élémentaire de Laplace définit par : aE! = dab! ∧ '.
! (Loi de Laplace) L’ensemble de ces forces équivaut à une force unique E! =r aE
! . BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 8 Champ d’induction magnétique crée par les courants La loi de Biot et Savart Soit un élément de courant ab
! d’origine s et traversé par une intensité de courant I.ab !q a'! t !u N
I La loi de Biot et Savart s’exprime par : a' !
= vw xy ab! ∧ t !
Ou encore : a' !
= vw xz ab! ∧ u! avec u! = u t ! On pose v ={ |
}~ ; μ
) est la perméabilité magnétique du vide. Remarque très importante : La loi de Biot et Savart est une loi élémentaire qui permet de passer de l’élément de courant ab
! au champ élémentaire a' !
. L’élément de courant ab
! n’est pas une entité physique isolable, donc a'
! n’est pas au sens strict une loi physique ⇨ c’est un intermédiaire de calcul. Le module de a' ! est a' ={ |
}~ wx y
abcopq, q : L’angle de t ! €[‚ ab! Résumé : L’expression du champ élémentaire a' ! créé par un élément de courant est : Dans le cas d’une distribution linéique (filiforme) de courant dab! : a' != ƒ| }~. w„…! ∧†‡! †‡z ⇨
' != ƒ| }~. rw„… !∧†‡ !†‡ z
Dans le cas d’une distribution surfacique de courant *! an: a' != ƒ| }~. ˆ! „‰∧†‡! †‡z ⇨
' != ƒ| }~. ∫∫ˆ !„‰∧†‡ !†‡ z
Dans le cas d’une distribution volumique de courant *! a‹: a' != ƒ| }~. ˆ! „Œ∧†‡! †‡z ⇨
' != ƒ| }~. ∫∫∫ˆ !„Œ∧†‡ !†‡ z
Comment appliquer la loi de Biot-Savart pour calculer le champ d’induction magnétique ? BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME
Najim MANSOUR
Pour calculer le champ ' ! en un Décomposer ce circuit en tronçons chaque tronçons (
champ d’induction élémentaire ' != r
a' !
(Le champ élémentaire a' ! n’a pas de réalité physique, c’est un intermédiaire de calcul
qui physique c’est le champ d’induction magnétique total Direction du champ magnétique Fil rectiligne : (Règle de la main droite)d I
Exemples de calculs du champ magnétique
Exemple 1 : Champ créé par un fil infiniZ ab! qN t !’ OI fig.1
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME en un point N dû à un circuit il faut : Décomposer ce circuit en tronçons chaque tronçons (élément ab) produit en un point P un champ d’induction élémentaire a' ! donc le champ d’induction magnétique total est n’a pas de réalité physique, c’est un intermédiaire de calcul
qui physique c’est le champ d’induction magnétique total ' !
). Direction du champ magnétique Fil rectiligne : (Règle de la main droite)
Spire : (Règle du tournevis) Vecteur dirigé vers l’avant
' !
Vecteur dirigé vers l’arrière
Exemples de calculs du champ magnétique créé par un fil infiniu O€ •M a'! fig.1
Règle de la main
Page 9 ) produit en un point P un donc le champ d’induction magnétique total est n’a pas de réalité physique, c’est un intermédiaire de calcul ce Spire : (Règle du tournevis) Vecteur dirigé vers l’avant vers l’arrière Règle de la main droite BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 10 Un élément ab
! crée en un point M un champ élémentaire a' ! perpendiculaire au plan de la figure 1. Alors d’après la loi de Biot et Savart on a : a'! =( )d 4–. ab! ∧ N—! N—˜ =( )d 4–. ab! ∧ t !u ™
a' =( )d 4–. ab. copqu ™= () d4– .
ab. ‚šc’u ™
On écrivant : s— = € ; N— =› œžŸ ; sN = b = €. \€p’ ⇨ ab =› œžy Ÿ
a’ On en déduit : a' =ƒ |w }~›
. ‚šc’. a’'= ra' Ÿy Ÿ= ƒ| w}~› .( sin( ’™ )−sin(’ ¢) ) (Cas d'une portion de fil rectiligne). Ce résultat permet de calculer le champ magnétique créé par des circuits polygonaux. Pour un fil de longeur infini ’¢ → −~ ™
[\ ’™ →~ ™
; ' tend vers une valeur limite
' =r a'Ÿ yŸ =r a'¥ y¦ ¥y =ƒ |w ™~›
. Supposons un tel fil perpendiculaire en s au plan de la figure le courant circulant vers le haut' ! est tangent en M au cercle centré sur s et de rayon € ; il en sera de même pour tout point appartenant à ce cercle. (Voire fig.2)' !d fig.2M ' !
D’où le champ d’induction magnétique crée par un fil infini : ' =ƒ |w ™~›
Champ créé par un fil infiniO a BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME
Najim MANSOUR
Exemple 2 : Champ magnétique créé par Soit un courant circulaire de en un point — situé sur l’axe L’élément de courant ab
! d’origine
et à ab
! donc situé dans le plantz 'a' §! ̈M rI La loi de Biot et Savart donnea' De plus N—! = Ns! + s—! Alors
a' !
Intégration : = a' !
p !O R
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Champ magnétique créé par un courant circulaire en un point de l’axe (oz)
Soit un courant circulaire de centre s, de rayon ª (voire fig.3). Nous calculons le champ situé sur l’axe s¬ du cercle. Par raison de symétrie, ' ! est porté par cet axe. d’origine N, crée en un point — un champ a' ! perpendiculaire à plant s—N. Posons N— = u. ' ! ̈
a' !
Règle de la main droiteM qab !
P La loi de Biot et Savart donne : ' != () d4– .ab !
∧ N—! N—˜ "( )d 4–. ab! ∧ N—! u˜ !" ƒ| w}~ .„… !∧(† !®‡ !) xz "ƒ |w }~. „…! ∧†! xz Yƒ |w }~. „! "( )d 4–
. =ab !
∧ Ns! u˜ Y( )d 4–
. = ab! ∧ s—! u˜ OR !
Page 11 un courant circulaire en un point de l’axe (oz) (voire fig.3). Nous calculons le champ ' !
est porté par cet axe. perpendiculaire à N—! Règle de la main droite : „…! ∧‡! xz !
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 12 = a'! =( )d 4–. ∮(ab !
∧ Ns! )u ˜+ () d4– .∮ (ab! ∧ s—! )u ˜
On a : • ∮(ab !
∧ s—! ) = (∮ ab! ) ∧ s—! = 0 • (ab! ∧ Ns! ) = ª. ab. p ! ⇨ ∮(ab !
∧ Ns! ) =∮ (ª. ab. p !) = ª.( ∮ab )
. p != 2. –. ª™ p ! On en déduit :
' != ∮
a' != ƒ| w}~ .( ∮„… !)∧† !x z= ƒ| w}~ .™.~.° yx z
p ! Alors '! =( )dª ™
2. u˜ p ! Ou encore en notant que :ª = ucopq : ' != () d 2. ªcop ˜( q) . p ! Autre méthode : On remarque que ab
! est perpendiculaire à N—! La loi de Biot et Savart donne : a' != () d4– .ab !
∧ N—! N—˜ a' =( )d 4–
ab. N—N— ˜= () d4– abN— ™= () d4– abu ™
La contribution de a' ! au champ total est : cos
( ̈) = cos± ~™ − q² = sin( q) =
„³ ́
„³ ; (‚€u q +~ ™
+ ̈ = – ⇨ ̈ =~ ™
− q ) a'§ = a' sin( q) ' = μ a'§ =( )d 4–
sin (q)u ™
μ ab =( )d 4–. sin (q)u ™
. 2–. ª =( )d 2u™ sin( q) . ª Comme u =° ¶· ̧ (¹)
: BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 13 ' =( )d 2. ªcop ˜
(q) Remarque : • Au centre de la spire on a : ' != ƒ| w ™.°
p !
car sin ±q =~ ™
² = 1 • Lignes de champ hors de l'axe :
z Au voisinage de l'anneau les lignes de champ sont des cercles. Exemple 3 : Calcul du champ d’induction magnétique au centre d’une spire circulaire : Soit un courant circulaire de centre O et de rayon R (voire fig. 4)
N ab! Fig.4I Règle de la main droite Calculons le champ au centre O de la spire : Toujours on décompose la spire en tronçons (élément de courant ab! ). Donc à un élément de courant ab
! correspond un champ élémentaire a' ! perpendiculaire en O au plan de la figure 4 et pointé vers le haut . La loi de Biot et Savart donne :a’ R
t !a' !O a'! I BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 14 a'! =( )d 4–. ab! ∧ Ns! Ns˜ =( )d 4–. ab! ∧ ªt !ª ˜= () d4– .ab !
∧ t !ª ™
On voit que ab
! est perpendiculaire à t !, donc ab! ∧ t != ab Alors :
a' =ƒ |w }~. „…° y= ƒ| w}~ .°„Ÿ °y =ƒ |w }~. „Ÿ° (car ab = ªa’) Tous les champs élémentaires ont même direction et même sens donc : ' = μ a' =( )4– dª μ a’ =( )4– .d ª
. 2– ' =ƒ |w ™°
(**) Remarque importante : Le champ d’induction magnétique crée par un courant circulaire en un point de l’axe (oz) est : ' =( )d 2. ªcop ˜
(q) Lorsque le point M de l’axe (oz) tend vers le centre O sin (q) → 1 On retrouve la relation (**). Définition de l’Ampère Soient deux fils (1) et(2) rectilignes, indéfinis parallèles, distants de € parcourus par des intensités d [\ d
» de même sens : (1)
(2) a2! €a2 !
' !s aE! aE! s» I dd »
' !
Le champ d’induction magnétique créé par (1) en tout point de (2) est : BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 15 ' =( )d 2–. €
Le champ d’induction magnétique créé par (2) en tout point de (1) est : ' =( )d »
2–. €
' ! Est perpendiculaire au plan des deux fils et de sens
• Un élément ab du fil (2) subit une force aE! = d» ab! ∧ ' !
. aE
! est donc dans le plan des fils et dirigé vers la gauche son module est : aE = d» . ab. ' = () w¼ w„…™~.› • De même un élément ab du fil (1) subit une force aE! = dab! ∧ ' !
. aE
! est donc dans le plan des fils et dirigé vers la droite son module est : aE = d. ab. ' = () ww¼ „…™~.› • Sur une longueur l : E = () dd» b
2–. € On définit l’Ampère au moyen de la relation E = () ww¼ …
™~.› dans la quelle on fait d = d» =
1 ½ ; € = b = 1¾ ce qui donne E =
}~¢)¿À ™~
= 2. 10¦Á Â. Définition légale de L’Ampère : « L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes de longueur infinie, de section négligeable et placés à une distance de un mètre l’un de l’autre dans le vide, produit entre ces deux conducteurs une force égale à 2. 10¦Á Newton par mètre de longueur ». BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 16 Théorème d’Ampère La circulation du champ magnétique n’est pas conservative ∀ Å =' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ed (›…ÏéÐxDÑÒFFÓ…›œé) • ∮Æ (ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé) : Le contour imaginaire choisi doit être fermé (il délimite une surface). • '
! : est le champ créé par tous les courants (enlacés ou non). • ab
! : définit le sens de parcours du contour (orientation arbitraire). Le sens de parcours choisi définit un vecteur p ! normal à la surface délimitée par le contour (main droite). • Si le contour est une ligne de champ alors '
! et ab
! sont colinéaires. • d
(›…ÏéÐxDÑÒF
FÓ…›œé) Représente la somme algébrique des courants enlacés par le contour. Si les courants enlacés sont orientés dans le même
sens que p !, on les compte positivement (et négativement dans le sens contraire). Exemples :(1) (2)I I
Å(Orienté)
Å(Orienté) dFÓ…›œé Ô›x Æ=−3d dFÓ…›œé Ô›x Æ
= 0
p !
p !
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 17(3) (4)d ¢d ˜d }d ¢d ˜d }
Å(Orienté)Å »
(Orienté) d™ d™ dFÓ…›œé Ô›x Æ=d ¢−3d ™−d ˜d FÓ…›œé
Ô›x Ƽ =−d¢ +3d™ +d˜ Vue de dessus
Vue de dessusd }d }d } N’est pas à comptée dans dFÓ…›œé Ô›x Æ(d FÓ…›œé
Ô›x Ƽ ) car Å (Å» ) n’enlace pas d} Calculs de champ '
! à partir de théorème d’Ampère 1) Chercher les invariances et symétries de la distribution de courant. 2) On fixe un conteur fermé d’ampère. 3) Théorème d’Ampère : =' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ed (›…ÏéÐxDÑÒFFÓ…›œé) p !
p ! d¢ d˜ d™ d™ d™ d¢ d˜ d™ d™ d™ BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 18 • Plans de symétrie et d’antisymétrie de la distribution de courant Définition des plans de symétries et d’antisymétries des courants :– –∗ dd dd – : Plan de symétrie– ∗ : Plan d’antisymétrie Important : En un point d’un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan. En un point d’un plan d’antisymétrie des courants, le champ magnétique est contenu dans ce plan. Un plan de symétrie des courants est un plan d’antisymétrie du champ magnétique Un plan d’antisymétrie des courants est un plan de symétrie du champ magnétique
Les lignes de champ magnétique sont fermées. Elles tourbillonnent autour des sources (les courants). Exemple1 : champ créé par un fil infini parcouru par un courant d’intensité I 1)
L’invariance : Base cylindrique la distribution de courant est invariant quelque soit la translation selon (oz) et quelque soit la rotation autour de (oz). ' !( —) = '! (
u, ’, Ö) = '! (u)(1) La symétrie :
(–) = (—, [!x , [!§ ) est un plan de symetrie des courants passant par M. donc ' !( —) ⊥ (–) ' !( —) = '(—)[!Ÿ (2) Ø( 1) (2)⇨ ' !( —) = '(u)[!Ÿ Ù
Remarque : (–)∗ = (—, [!x , [!Ÿ ) est un plan d’antisymetrie des courants 2)
Conteur d’Ampère = la ligne de champ passant par M (le cercle de rayon HM d’axe oz) BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 19
z d
' ![! §[! Ÿ— [!x y’ x 3)
Théorème d’Ampère : ='! . ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ed (›…ÏéÐxDÑÒFFÓ…›œé) = () d Le contour est une ligne de champ alors ' ! et ab
! sont colinéaires. Donc : ='! . ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= ='abÆ (ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= ' = €a’™~ )
= '. €. 2– Le champ créé par un fil infini parcouru par un courant d’intensité I est alors : 2–. '. € = () d ' =( )d 2–. €
C’est bien le résultat trouvé avec la loi de Biot et Savart.Û Ü
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 20 La forme intégrale du théorème d’Ampère : S’il existe des courants volumiques enlacés par le contour, l’intensité « enlacée » correspondante s’écrit : d
(›…ÏéÐxDÑÒFFÓ…›œé) =∫∫ Ý!an! ‰Γ an! ab! Donc La forme intégrale du théorème d’Ampère s’écrit : ∮' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ∫∫Ý!an !‰ (À parfaitement connaître) S : surface s’appuyant sur Å. Exemple 2 : cylindre Du théorème d’Ampère (La forme intégrale) : =' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ; Ý!an! ‰Z [§ !C [ !Ÿ Å¢ [x !
u IR RÅ ™
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 21 Ù( 1) (2 )(3) à :∮ ' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= '(u).2–u Deux cas se présentent : La distribution volumique du courant est :* =w ~°y u > ª → ∮
' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ∫∫Ý!an !
= () ∫∫w ~°y [§ !. [§ !‰ . u. au. a’‰ '( u) . 2–u = () .w ~°y .r uaur a’ = () .w ~°y âã xy ™ä )x + ãx y™ äx °å 2. – ⇨ '=ƒ |w ™~x
u < ª =' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ; Ý!an! ‰
= () ;d –ª™ [§ !. [§ !‰ . u. au. a’ '( u) . 2–u = () .d –ª™ . μ u . au. μ a’ = () .d –ª™ .ç u™ 2è )x . 2. – '( u) =( )
. d. u
2–. ª™ Donc nous pouvons écrire que le champ magnétique créé à l’intérieur du cylindre (u < ª) est '! (u )= ƒ| .w.x™~.° y[! Ÿ et le champ magnétique créé à l’extérieur du cylindre (u> ª) est ' !( u) =ƒ |.w. ™~.x[! Ÿ
B(r) ƒ| .w.™~.° ¢x R
u BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 22 Les équations locales de la magnétostatique Analyse vectoriel : Opérateur nabla ∇ ! en coordonnées cartésiennes : ∇ != ééê ë! +é éì
Ý! +é éÖ
v !
Opérateur Laplacien ∆ en coordonnées cartésiennes : ∆=é ™éê ™+ é™ éì™ +é ™éÖ ™
Applications : Le gradient d’une fonction scalaire î est un vecteur : ∇ !
î =éî éê
ë! +éî éì
Ý! +éî éÖ
v !
= ïu€a! î La divergence d’un vecteur ½! (½ð , ½ñ , ½§ ) est un scalaire (produit scalaire) : ∇ !½ != é½ð éê+ é½ñ éì+ 齧 éÖ
= ao½! Le rotationnel d’un vecteur ½
! de composante (½ð , ½ñ , ½§ ) est un vecteur (produit vectoriel) : ∇ !
∧ ½! =ò 齧 éì− é½ñ éÖó ë! +ô é½ð éÖ− 齧 éêõ Ý! +ò é½ñ éê− é½ð éìó v !
= uš\! ½! Laplacien d’une fonction scalaire U : ∆î =é ™î éê™ +é ™î éì™ +é ™î éÖ™ = ∇™ î = ∇ !
. ∇ !
î = aoïu€a! î Laplacien d’un vecteur ½
! de composante (½ð , ½ñ , ½§ ) : ∆ ½! =é ™ ½! éê™ +é ™ ½! éì™ +é ™ ½! éÖ™ BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME Najim MANSOUR Page 23 Théorème d’Ostrogradsky : Soit une surface fermée S délimitant un volume τ : ø(∇ !
. ½! )Œ a‹ = ù ½! ‰
. an! L’intégrale de la divergence d’un vecteur ½! , étendue à un volume τ, est égale au flux de ce vecteur sortant de la surface n qui limite ce volume. Théorème de Stokes : Soient un contour fermé ú, un élément de déplacement ab sur ce contour et une surface n s’appuyant sur ce contour : = ½! . ab! û
= ; (∇ !
∧ ½! ‰)an !
La circulation d’un vecteur ½
! le long d’une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel sortant de la surface n délimitée par C. Applications : Soient ü un champ scalaire et ½
! un champ vectoriel. Vérifier les relations suivantes : ∇ !. fü½ !g = ü.f ∇ !
. ½! g
+ ½! . (∇ !
ü) ∇ !∧ fü½ !g =f ∇ !ü g
∧ ½! + ü(∇ !
∧ ½! ) ∇ !∧ f
∇ !
∧ ½! g
= ∇ !f ∇ !
. ½! g
− ∆½! ∇ !∧ f
∇ !ü g
= 0 Et ∇ !. f
∇ !
∧ ½! g
= 0 Théorème d’Ampère : ∮' !
. ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= () ∫∫Ý!an !‰ En appliquant le théorème de Stockes ='! . ab! Æ
(ÇéÉÊéËÌ éÌÍÎÉÊé)
= ; ∇ !
• '! an! =‰ ýþþþþþþþþþþþþþþþþþþ
éè ¶( )
; Ý!an! ‰
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME
Najim MANSOUR
Donc : & !
∧ ' !
" () Flux magnétique on définit le flux du vecteur champ magnétique une surface S par : ‰" ∫∫(‰ Avec p ! vecteur normal à la surface Exemple : spire inclinée
On supposera le champ d’induction constant au travers de la spire entre la normale à la spire et le champ ‰
" ;' !. R‰S
Donc :‰ " 'n‚šcRqS. Conservation du flux magnétique
Considérons une surface fermée orientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface an
! = anp ! dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention).
BIEN COMPRENDRE LE MAGNETISME )Ý! 1
ère équation locale de la magnétostatique
on définit le flux du vecteur champ magnétique ' ! à travers ' !
.p !. an‰) vecteur normal à la surface (S).Le flux magnétique s’exprime en Weber (q (S) On supposera le champ d’induction constant au travers de la spire n. On appellera entre la normale à la spire et le champ ' : !
p !. an" ;'‚šc( q) an"(‰) '‚šc( q) ;
Conservation du flux magnétique Considérons une surface fermée n quelconque, s’appuyant sur une courbe orientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention).
Page 24 de la magnétostatique Le flux magnétique s’exprime en Weber (Wb).
.