Magnétostatique : Exercices inductances mutuelle et propre et energie magneti
Télécharger PDFProblèmes et Exercices Résolus d’Électromagnétisme
Inductance propre et mutuelle, énergie magnétique
Prof. : Bendaoud Saâd
CP − Sci. Ing., 2e année. Année universitaire : 2017-2018.
Session d’Automne
Exercice 1 : Inductance mutuelle d’un fil infini et d’un cadre
Déterminer l’inductance mutuelle entre un fil rectiligne infini et une bobine plate composée de N spires carrées identiques. Les côtés de longueur a sont parallèles ou perpendiculaires au fil, et le centre de la bobine se trouve à une distance D du fil.
N. : N = 200, a = 5 cm, D = 10 cm.
Solution de l’Exercice 1
On applique la relation 2MI12 = φ ⇒ 2I12 = Mφ.
Calculons le flux magnétique produit par le fil (c2) parcouru par un courant d’intensité I2 à travers la bobine de N spires (c1).
La densité de flux magnétique B2 créée par le fil infini parcouru par I2 est donnée par le théorème d’Ampère :
B2 = (μ0I2)/(2πρ).
Le flux magnétique φ à travers une spire est défini par :
φ = ∫∫s B2 · n dS.
Pour que le flux soit sortant (positif), on oriente les spires de manière appropriée. Le flux total à travers N spires est :
φ = (μ0I2N)/(2π) ∫(D/2a) à (D + a/2a) ln(2a/ρ) dρ.
L’inductance mutuelle M vaut donc :
M = (μ0N/2π) ln((D + a/2)/(D - a/2)).
Application numérique :
M ≈ (7,104 × 10⁻⁷ × 200)/(2π) ln((10 + 2,5)/(10 - 2,5)) ≈ 7,104 × 10⁻⁷ × 200/2π × ln(12,5/7,5) ≈ 1,0 mH.
Exercice 2 : Inductance propre d’une bobine torique à section carrée
Une bobine torique est constituée d’un fil conducteur enroulé en N spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté a et de rayon moyen R. Le fil est parcouru par un courant I.
Établir l’expression de son inductance propre.
N. : N = 100, R = 10 cm, a = 5 cm.
Solution de l’Exercice 2
Par symétrie, le champ magnétique B dans un tore à noyau doux est orthoradial et non uniforme. Il vaut :
B = (μ0NI)/(2πρ).
Le flux à travers une section droite du tore est :
φ = ∫∫s B · n dS = (μ0NI/2π) ∫(R - a/2) à (R + a/2) ln(ρ/a) dρ.
Le flux total à travers N spires est :
φ = (μ0N²I/2π) ln((R + a/2)/(R - a/2)).
L’inductance propre L vaut donc :
L = (μ0N²/2π) ln((R + a/2)/(R - a/2)).
Application numérique :
L ≈ (7,104 × 10⁻⁷ × 100²/2π) ln((10 + 2,5)/(10 - 2,5)) ≈ 5,1 mH.
Exercice 3 : Inductance propre d’une bobine torique à section carrée à noyau
Une bobine torique à section carrée (de côté a), de petit rayon R, est constituée de N spires parcourues par un courant I et enroulées régulièrement sur un noyau de métal de perméabilité magnétique relative μr = 220.
Établir l’expression de son inductance propre.
N. : N = 100, R = 10 cm, a = 5 cm.
Solution de l’Exercice 3
L’inductance propre est calculée par LI = φ ⇒ IL = φ.
Par symétrie, le champ magnétique B dans un tore à noyau doux est orthoradial et uniforme :
B = (μrμ0NI)/(2πR).
Le flux dans une spire vaut : φ = Ba = (μrμ0NIa)/(2πR).
Pour N spires, le flux total est : φ = (μrμ0N²Ia)/(2πR).
L’inductance propre L vaut donc :
L = (μrμ0Na²)/(2πR).
Application numérique :
L ≈ (220 × 7,104 × 10⁻⁷ × 100 × 0,05²)/(2π × 0,1) ≈ 11,1 mH.
Exercice 4 : Énergie magnétique et inductance propre d’un solénoïde infini
Un solénoïde mince, de rayon R et de longueur l ≫ R, est constitué d’une couche de spires circulaires parcourues par un courant d’intensité I et régulièrement réparties à raison de n spires par unité de longueur.
Exprimer en fonction de n, I, l et R :
- L’inductance propre L du solénoïde.
- L’énergie magnétique du système :
- À partir de l’induction propre.
- À partir de la densité volumique d’énergie.
- Le potentiel vecteur A et le vecteur densité surfacique js en tout point M de la nappe du solénoïde.
- L’énergie surfacique dW/dS de cette nappe de courant, l’exprimer en fonction de A et js.
- Généraliser le résultat à une distribution volumique de courants.
Solution de l’Exercice 4
1. L’inductance propre L du solénoïde est :
L = (μ0n²πR²l)/l² = μ0n²πR² (pour un solénoïde infiniment long).
Le champ magnétique B à l’intérieur du solénoïde est uniforme et vaut : B = μ0nI.
2. a) L’énergie magnétique du solénoïde est : W = (1/2)LI² = (1/2)μ0n²πR²lI².
b) La densité volumique d’énergie est : w = (B²)/(2μ0).
L’énergie magnétique totale est donc : W = (1/2)μ0n²πR²lI².
3. Le potentiel vecteur A en un point M de la nappe de courant est : A = (μ0nIR/2)uφ.
La densité surfacique de courant js est : js = nIuφ.
4. L’énergie surfacique est : dW/dS = (1/2)js · A = (1/2)μ0n²I²R².
Pour une distribution volumique de courant, l’énergie volumique est : dW/dτ = (1/2)j · A.
Exercice 5 : Énergie magnétique et inductance propre de solénoïdes réels
1. Un solénoïde mince de longueur finie l et de rayon r comporte une seule couche de spires, à raison de n spires par mètre.
- Calculer l’inductance propre L en fonction de r, l et n.
- Exprimer L en fonction de L∞ (inductance propre pour un solénoïde infiniment long) et du rapport r/l. Quelle doit être la valeur minimale du rapport l/r pour que L ≈ L∞ à mieux que 2% près ?
2. Un solénoïde épais très long comporte plusieurs couches de spires régulièrement enroulées entre deux cylindres coaxiaux de rayons a et b (b > a), à raison de n spires par mètre suivant l’axe du solénoïde, et n′ spires par mètre suivant la direction radiale.
- Calculer l’énergie magnétique localisée entre deux sections droites distantes de l, parcourue par un courant d’intensité I.
- En déduire l’inductance propre par unité de longueur en fonction de a, b, n et n′.
Solution de l’Exercice 5
1. a) Le champ magnétique B(x) sur l’axe au point M d’abscisse x = OM est :
B(x) = (μ0nI/2) [cos(θ2) - cos(θ1)], où θ1 et θ2 sont les angles définis par les extrémités du solénoïde.
L’inductance propre L est :
L = (μ0n²πr²l)/2 [1 - (r/√(r² + l²))].
b) Pour un solénoïde infiniment long, L∞ = μ0n²πr².
L’inductance propre L s’écrit : L = L∞ [1 - (r/√(r² + l²))].
Pour que L ≈ L∞ à mieux que 2% près, il faut : l/r ≥ 50.
2. a) Dans la région 1 (intérieur au cylindre de rayon a), le champ magnétique est uniforme : B1 = μ0nI.
L’énergie magnétique emmagasinée dans la région 1 est : W1 = (1/2)μ0n²I²πa²l.
Dans la région 2 (entre les cylindres de rayons a et b), le champ magnétique est : B2 = μ0nI(r² - a²)/(r²b² - a²b²).
L’énergie magnétique emmagasinée dans la région 2 est : W2 = (1/2)μ0n²I²l ∫(a² à b²) (r² - a²)²/(r²b² - a²b²)² dr.
L’énergie totale est : W = W1 + W2.
b) L’inductance propre par unité de longueur est :
L = (μ0n²l/2) [πa² + ∫(a² à b²) (r² - a²)²/(r²b² - a²b²)² dr].
Exercice 6 : Couplage de deux solénoïdes coaxiaux
1. Deux circuits (c1) et (c2) sont parcourus par des courants d’intensité i1 et i2 respectivement. L1 et L2 sont leurs inductances propres, et M leur coefficient d’inductance mutuelle.
- Exprimer l’énergie magnétique totale W du système (c1) et (c2).
- Que peut-on dire des signes de L1, L2, M et W ?
2. Établir l’équation M² ≤ L1L2 et en déduire une propriété de la matrice inductance du système des circuits (c1) et (c2).
- Définir le coefficient de couplage k = M/√(L1L2) et déterminer son intervalle de variation.
3. Deux solénoïdes coaxiaux (S1) et (S2) de longueurs respectives l1 et l2, de rayons R1 et R2 (R1 < R2), comportent N1 et N2 spires et sont parcourus par des courants i1 et i2 (comptés positivement dans les sens indiqués sur la figure). Ils sont supposés très longs par rapport aux rayons (l1 ≫ R1 et l2 ≫ R2).
- Calculer les inductances propres, l’inductance mutuelle et le coefficient de couplage de (S1) et (S2).
- Application numérique : N1 = 3000 spires, R1 = 3 cm, l1 = 1 m ; N2 = 2000 spires, R2 = 5,3 cm, l2 = 8,02 m.
Solution de l’Exercice 6
1. a) L’énergie magnétique totale du système est : W = (1/2)L1i1² + (1/2)L2i2² + Mi1i2.
b) Les inductances propres L1 et L2 sont toujours positives. L’inductance mutuelle M peut être positive ou négative selon les orientations des courants. L’énergie magnétique W est toujours positive ou nulle.
2. a) La relation M² ≤ L1L2 implique que le déterminant de la matrice inductance est positif ou nul.
b) Le coefficient de couplage k = M/√(L1L2) varie entre 0 (couplage lâche) et 1 (couplage serré).
3. a) Les inductances propres sont : L1 = μ0N1²πR1²/l1, L2 = μ0N2²πR2²/l2.
L’inductance mutuelle est : M = -μ0N1N2πR1²/l1 (selon les orientations des courants).
Le coefficient de couplage est : k = M/√(L1L2) = -R1²/√(R1²R2²).
Application numérique : L1 ≈ 32,0 mH, L2 ≈ 24,2 mH, M ≈ -21,3 mH, k ≈ -0,77 (couplage plutôt serré).
FAQ
Qu’est-ce que l’inductance mutuelle ?
L’inductance mutuelle M entre deux circuits est une grandeur qui mesure le couplage magnétique entre eux. Elle est définie par la relation M = φ2/I1, où φ2 est le flux magnétique à travers le second circuit et I1 l’intensité du courant dans le premier.
Comment calculer l’inductance propre d’un solénoïde ?
L’inductance propre L d’un solénoïde est donnée par L = (μ0N²S)/l², où N est le nombre de spires, S la surface de chaque spire, et l la longueur du solénoïde. Pour un solénoïde infiniment long, L = μ0n²πR².
Quelle est la différence entre l’énergie magnétique et la densité volumique d’énergie ?
L’énergie magnétique W est l’énergie totale stockée dans un système magnétique, tandis que la densité volumique d’énergie w est l’énergie magnétique par unité de volume, donnée par w = (B²)/(2μ0).