Magnétostatique : Exercices inductances mutuelle et propre et energie magneti
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Prof. : Bendaoud Saâd CP − Sci. Ing., 2e année. Année universitaire : 2017-2018. Session d’Automne Problèmes et exercices résolus d’Électromagnétisme Inductances propre L et mutuelle M et énergie magnétique
Exercice 1− Inductance mutuelle d’un fil infini et d’un cadre. Déterminer l’inductance mutuelle d’un fil rectiligne infini et d’une bobine plate, constituée de N spires carrées identiques, dont les côtés, de longueur a, sont parallèles ou perpendiculaires au fil ; le centre de la bobine est placé à la distance D du fil. N. : N= 200, a= 5 cm, D=10 cm.
Exercice 1− Solution On applique 2MI 12
=φ ⇒ 2I 12
Mφ= Calculons le flux magnétique produit par le fil (c2 ) parcouru par un courant d’intensité I
2 à travers la bobine de N spires (c1 ). D’abord, la densité de flux magnétique B
2 créée par le fil infini parcouru par I
2 est par simple application du théorème d’Ampère (cf. Cr. Magnétostatique) :→ =→ φπρ μu 22 Io 2
B Par définition, le flux magnétique ∫∫→→ =s dS1 n.2 BN12 φ Avec ρφ adudS1 n→ =
→ pour que le flux soit sortant c’est-à-dire positif, on aurait : −+ =∫ +− =∫∫ →= →2/aD 2/aDln 2a 2I oN 2/aD2/aD d2 a2 Io Ns .u2 2I oN 12adu πμ ρρ πμ φπρ μφ ρφ A.N. : H1
2/05,01,0
2/05,01,0ln 2m 2105m/H 7104 200Mμπ π≈ −+ −×× −× = ***** Page 2 sur 12
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Exercice 2− Inductance propre d’une bobine torique à section carrée. Une bobine est constituée par un fil conducteur bobiné en N spires jointives sur un tore circulaire à section carrée de côté a et de rayon moyen R. La bobine est parcourue par un courant I. Etablir l’expression de son impédance propre. A.N. : N=100, R=10 cm, et a = 5 cm. Bobine torique à section carrée
Exercice 2−Solution. Par symétrie, le champ créé dans un tore à noyau doux est orthoradial et non uniforme et vaut par simple application du théorème d’Ampère →→= φρπ μu NI2 Bo On oriente les spires grâce au courant qui y circule ; de sorte à ce que la notion de flux sortant positif soit respectée. Le flux à travers une section droite du tore vaut : −+ == •=• ∫∫= →• →= ∫∫ +− +− →→→→ 2/aR2/aR lnNIa2 dNIa 2adue NI2 uaduBs dSnBo 2/aR2/aR o2/aR 2/aRo πμ ρρ πμ ρρπ μρφ φφφφ Comme il y’a N spires, le flux total est N fois plus grand : −+ =2/aR 2/aRlnIaN 22 oπ μφ L’inductance propre est donc : Page 3 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd −+ =2/aR 2/aRlnaN 2L 2o πμ A.N. : H51
2/05,01,0
2/05,01,0
ln05,01002 104L 27 μπ π= −+ ×××× =−
Exercice 3− Inductance propre d’une bobine torique à section carrée à noyau. On considère une bobine torique à section carrée (de côté a), de petit rayon R, constituée de N spires, parcourues par un courant I et bobinées régulièrement sur un noyau de métal de perméabilité magnétique relative μr =220 (voir figure). Etablir l’expression de son impédance propre. A.N. : N=100, R=10 cm, et a = 5 cm.
Exercice 3−Solution. L’inductance propre est calculée par LI=φ ⇒ IL φ
= . Par symétrie, le champ créé dans un tore à noyau doux est orthoradial et uniforme et vaut →→→==Hu RNI 2B oror μμπ μμφ On oriente les spires grâce au courant qui y circule ; de sorte à ce que le champ magnétique est orienté de la face Sud à la face Nord et pour que la notion de flux sortant positif soit respectée. Le flux dans une spire vaut : 22BauauB sdSnB=• ∫∫= →• →= →→φφ φ Soit dans les N spires un flux 2
NBa=φ ()R INa2 2or πμμ φ= L’inductance propre est donc : ()R Na2 L2 orπ μμ= A.N. : ()mH11 1,005,0100 2104220 L2 7= ×××= −π π
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Exercice 4− Énergie magnétique et inductance propre d’un solénoïde infini. Un solénoïde mince, de rayon R et longueur l >> R, est constitué d’une couche de spires circulaires ; parcourues par un courant d’intensité I, et régulièrement réparties à raison de n spires par unité de longueur. Exprimer en fonction des données n, I, l et R 1. l’inductance propre L de ce solénoïde ; 2. l’énergie magnétique de ce système a) à partir de l’induction propre et, b) à partir de la densité volumique d’énergie ; 3. le potentiel vecteur A et le vecteur densité surfacique j
s en tout point M de la nappe du solénoïde ; 4. l’énergie surfacique dW/dS de cette nappe de courant ; l’exprimer en fonction de A et js . Généraliser le résultat à une distribution volumique de courants.
Exercice 4− Solution. 1. L’inductance propre du solénoïde infiniment long constitué de N =n.l spires de surface S=πR2 , est IS.B.N IuS.uB.N IL=== →→φφ φ
Le champ de la densité de flux magnétique à l’intérieur du solénoïde illimité est orienté suivant l’axe Oz et uniforme d’intensité →→= zounIBμ (1) A l’intérieur du solénoïde (et B=0 à l’extérieur), soit IR.nI..n L2 oπμl =, oul 22o R.nLπμ=
Remarque : L’inductance propre L est bien positive et elle ne dépend que de la géométrie (la forme) du solénoïde et de la perméabilité magnétique du milieu où il se trouve. 2. a) L’énergie magnétique du solénoïde est 2LI 21 W=
, soit l222 oR.I.n 21 Wπμ=
(en J) b) La densité d’énergie magnétique locale emmagasinée (en J/m3 ) est o2 2B μ
, donc l’énergie magnétique du solénoïde est, puisque le champ B est nul à l’extérieur de ce solénoïde : Page 5 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd {() ll2 o2 o2 énergie'd
volumiquedensitéo 2R. 2nI R.2 BWπ μμ πμ == soit , l222 oR.I.n 21 Wπμ=
(2) 3. D’après (1), le potentiel vecteur A en un point M(OM=R) quelconque au niveau de la nappe de courant solénoïdale est, puisque le champ B est uniforme →→→∧=rB 21 A avec →→→== ρuROMr soit →→→∧= ρ
μuR)unI(2 1A zoou →→= φμunIR 21 Ao (3) où uφ est le vecteur orthoradial en M (tangent aux spires) de la base (uρ , uφ , uz ). La densité surfacique de courant de cette distribution est, si N= l.n, le nombre total de spires du solénoïde, ll llInI.N ddI js ===
⊥ soit, I.njs = Et, puisque le vecteur densité surfacique j
s en tout point M est orthoradial (comme le courant I dans les spires), il vient donc→→ =φ unIjs (4) La densité de courant j
s s’exprime dans le système d’unité SI, en A/m. 4. • Puisque la surface de la nappe de courant solénoïdale est la surface latérale S=2πR l du solénoïde, l’énergie par unité de surface est, d’après (2), Page 6 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd ll R2R.I.n 21 SW 222o ππμ =
, soit cte4 R.I.ndS dW22 o== μ (en J/m2 ) • La densité surfacique d’énergie est donc, compte tenu des expressions (3) et (4) sj.A 21 dSdW =
(5) Remarque : la relation (5) peut se transposer pour les distributions volumiques de courant de densité volumique de courant j ; l’énergie volumique est →→=j.A 21 ddW τ
où →
A et →
j sont le potentiel vecteur et la densité volumique de courant (en A/m2 ) au centre de l’élément infinitésimal de volume dτ. Ainsi, l’énergie magnétique d’une distribution volumique de courant est ∫∫∫→→ =τdj.A2 1
W ; cette intégrale s’intègre uniquement sur l’espace parcouru par des courants de densité j, alors que l’intégrale donnant la même énergie en fonction du champ B à savoir : ∫∫∫=τ μd 2B 21 Wo 2 s’intègre sur tout l’espace. *****
Exercice 5− Énergie magnétique et inductance propre de solénoïdes réels. N. B. Les questions 1. Et 2. sont indépendantes l’une de l’autre. 1. Un solénoïde mince de longueur finielet de rayon r comporte une seule couche de spires, à raison de n spires par mètre. a) Calculer l’inductance propre L de ce solénoïde de longueur finie, en fonction de r, l et n. b) Soit L
∞ l’inductance propre de ce solénoïde si on le suppose infiniment long. Exprimer L en fonction de L
∞ et du rapport r/l. Quelle doit être la valeur minimale du rapport l/r pour que l’on ait L ≈ L∞ , à mieux que 2% près ? 2. On considère maintenant un solénoïde épais très long qui comporte plusieurs couches de spires, régulièrement enroulées entre deux cylindres coaxiaux de rayons a et b (b
>a), à raison de n spires par mètre suivant l’axe du solénoïde, et n′ spires par mètre suivant la direction radiale. a) Calculer l’énergie magnétique localisée dans l’espace situé entre deux sections droites, distantes de l, du solénoïde épais parcouru par le secourant d’intensité I. b) En déduire l’inductance propre par unité de longueur de ce solénoïde épais, en fonction de a, b, n et n′.
Exercice 5− Solution. 1.
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Prof. : Bendaoud Saâd a) Si I désigne l’intensité du courant qui parcourt le solénoïde de centre O, le champ magnétique B(x) sur l’axe, au point M d’abscisse x=OM, est, ( )( )()[] →→−= z21o u.coscos2 nIxBθθ μsoit ( )→→ +++ + −+ −= z2 22 2o u.x 2r x2 x2 rx 22 nIxB ll ll μ
(1) L’inductance propre de la bobine est égale au rapport entre le flux propre et l’intensité du courant ILp φ=
, soit ( )∫∫∫∫ +=−= →→→=== 2/x2/x 2o 2z ndx2 nr
ndx.r.uxBI 1dSn.B I1 Ll llπμ π
parce que la surface élémentaire considérée est la tranche de solénoïde de centre M, de rayon r, d’épaisseur dx, qui contient ndx spires; on en déduit , d’après (1), 2/2/ 22 22 22o x2 rx2 r2 nrL ll ll+ − +++ −+−=πμ soit[] rrnrL2222 o−+=lπμ (2) b) D’après (2), l’inductance peut s’écrire − += lll rr1nrL 222 oπμ Si le solénoïde est supposé infiniment long, ∞→lr, donc son inductance est : Page 8 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd l22 onrLπμ= ∞
L’inductance du solénoïde finie s’écrit donc − += ∞ll rr1LL 2
Si on suppose que r << l, il vient en première approximation : −≅∞ lr 1LL
On peut donc confondre L et L
∞ à mieux que 2% près si %2r≤l, soit 50r≥l, donc 50r min= l
2. a) Dans la région 1, intérieure au cylindre de rayon a, le champ de la densité de flux magnétique est uniforme, soit ()()→→ −=z couches
denombre
coucheunepar
crééchampo1 uab'n.nIB43421 321μ L’énergie est localisée dans la région 1, avec une densité volumique d’énergie ()o 211 2B ddW μτ= ; l’énergie magnétique emmagasinée dans la région 1, de longueurl, est donc : ()l 2o 21 1a. 2B Wπμ =
, soit ()() 22 2o 1aba. 2
I'nnW−= lπμ
(3) Page 9 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd Dans la région 2, comprise entre les cylindres de rayon a et b, le champ magnétique en tout point à la distance r de l’axe (a < r < b) est ()()→→ −=z utilescouches
denombre
coucheunepar
crééchampo2 urb'n.nIB43421 321μ L’énergie magnétique emmagasinée dans la région 2 est donc : ()() rdr2..2 Bd. 2B Wbr aro 2o 21 22 πμ τμ l∫∫∫∫ == == Soit() ()()br ar3422 2o ba 22o2 3br2 4r 2rb I'nnrdrrbI'nnW= = −+=−= ∫llπμπμ ou ()12 a3ba8ba6b
.I'nnW43224 2o2 −+−=lπμ (4) Dans la région 3 extérieure au solénoïde infiniment long, le champ B
3 est nul, donc l’énergie magnétique est nulle : 0W3 = L’énergie magnétique totale stockée dans le ce solénoïde est 321
WWWW++= Soit d’après (3) et (4) ()()() 12
a3ba8ba6b
.I'nnaba.2 I'nnW 432242 o2 22 o−+− +−=ll πμ
πμ Ou bien ()434 222o bba4a3.12 I'nnW+−= lπμ
(5) b) D’après l’expression de l’énergie magnétique d’un conducteur : 2LI 21 W=
, l’inductance L de la longueur l du solénoïde est 2I W2
L= ; on en déduit, d’après (5) , l’inductance propre par unité de longueur du solénoïde épais : ()434 222o bba4a36 I'nnL +−=πμ l
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Exercice 6− Couplage de deux solénoïdes coaxiaux. 1. Soient deux circuits (c1 ) et (c2 ), parcourus par les courants d’intensité i
1 et i2 respectivement. On considère L
1 et L
2 leur inductance propre et M leur coefficient d’inductance mutuelle. a) Exprimer l’énergie magnétique totale W du système (c1 ) et (c2 ). b) Que peut-on dire des signes de L
1 et L2 , M et W ? 2.
a) Établir l’équation M
2 ≤ L1 .L2 , et en déduire une propriété de la matrice inductance du système des circuits (c1 ) et (c2 ). b) En déduire l’intervalle de variation du coefficient k de couplage des deux circuits, définir 21L.L M
k=. 3. On considère deux solénoïdes (S1 ) et (S2 ) coaxiaux, de longueurs respectives 1
l et 2
l , de rayons 1
R et 2
R (1 R < 2
R), possédant 1
N et 2
N spires et parcourus par les courants i
1 et i
2 (comptés positivement dans les sens indiqués sur la figure) les solénoïdes sont supposés très longs per rapport aux rayons (1 l>>1 R et (2 l>>2 R). a) Calculer les inductances propres, l’inductance mutuelle et le coefficient de couplage de (S1 ) et (S2 ). b) Application
numérique
: spires3000N1 =; cm3R1 =; m11 =l; spires2000N2 = ; cm5,3R2 = ; m8,02 =l
Exercice 6− Solution. Page 11 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd 1. a) l’énergie magnétique du système des circuits (c1 ) et (c2 ) couplés est : 2211i 21 i2 1Wφφ+= Si 1
φ désigne le flux d’induction magnétique qui traverse (c1 ) : 21112111
i.Mi.L+=+=φφφ et 2
φ le flux d’induction magnétique qui traverse (c2 ) : 12221222
i.Mi.L+=+=φφφ Donc, []21 222 211 iMi2i.Li.L2 1W++= (1) b) Les inductances propres L
1 et L
2 de chacun des circuits sont toujours positives, car le flux propre Li qui traverse un circuit (c) est toujours de même signe que l’intensité i qui le parcourt : L
1 > 0 et L
2 > 0 L’inductance mutuelle de (c1 ) et (c2 ), a un signe qui dépend des orientations des courants dans (c1 ) et (c2 ), donc M > 0 ou M< 0 suivant les signes des courants i1 et i
2 . Enfin, puisque la densité d’énergie magnétique (l’énergie par unité de volume en J/m3 ) est o2 2B ddW μτ
=, l’énergie magnétique est toujours positive (ou nulle) : W ≥ 0
(2) 2. a) La relation (1) peut s’écrire sous forme ( ) −+ +=2 21 22 21 11i LM LiL MiL 21 W
Cette énergie doit être positive ou nulle, d’après (2), quels que soient les courants i
1 et i
2 ; cela n’est possible qu’à la condition : 0L ML 12 ≥−
, soit21 2L.LM≤ (3) Ainsi, le déterminant de la matrice inductance symétrique 21 LM
ML est toujours positif (ou nul) : 0ML.L2 21
≥−. Page 12 sur 12
Prof. : Bendaoud Saâd b) D’après (3), on a : 2121
L.LML.L≤≤− ; donc le coefficient de couplage 21L.L M
k= est tel que 1k1+≤≤−, soit []
1,1k+−∈. Ainsi, le module du coefficient de couplage k peut varier entre 0 (couplage lâche) et 1 (couplage serré). 3. Le courant i
1 traversant le solénoïde (S1 ), supposé très long, produit à l’intérieur de (S1 ) le champ magnétique axial d’intensité 11 1o1 iN Bl μ= ; le flux propre d’induction à travers (S1 ) est dès lors : 11 21 21o 21111111 iRN R.B.Ni.Ll πμπφ ===. On en déduit l’inductance propre de (S1 ) : 12 12 1o1 RNL lπμ =
(4) Et de même, l’inductance propre de (S1 ) : 2222
Llφ=, soit 22 22 2o2 RNL lπμ =
(5) Le flux d’induction mutuelle, envoyé par (S1 ) à travers (S2 ) est, compte tenu des orientations des courants, 11 2121o 2112121 iRNNRBNi.M lπμ πφ
−=−== On en déduit le coefficient d’inductance mutuelle de (S1 ) et (S2 ) 12 121oRNN Ml πμ−= (6) Enfin, le coefficient de couplage 21L.L M
k= est, d’après (4), (5) et (6) : 12 21 RR kl l−= Compte tenu des hypothèses 1
R < 2
R et 2
l < 1
l, on a bien : k
< 1.
Application numérique : L
1 = 32,0 mH; L
2 = 24,2 mH; M=-21,3 mH; donc k = − 0,77
(couplage plutôt serré).