Mécanique du point : Cours mecanique du point materiel sm et smi
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Année Universitaire 2004/2005 FACULTE DES SCIENCES RABAT-AGDAL DEPARTEMENT DE PHYSIQUE COURS DE MECANIQUE DU POINT MATERIEL. POUR LE PREMIER SEMESTRE DES FILIERES SM ET SMI. Par :
MHIRECH Abdelaziz
Professeur à L’Université Mohamed V
Faculté des Sciences – Rabat – Agdal. SOMMAIRE CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). CHAPITRE 2 : Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel. CHAPITRE 3 : Travail et énergie. CHAPITRE 4 : Les mouvements à force centrale. CHAPITRE 5 : Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté. CHAPITRE 6 : Chocs de deux particules. CHAPITRE 1 : A) SYSTEMES DE COORDONNEES Selon la nature de la trajectoire d’une particule, sa position sera repérée par l’un des systèmes de coordonnées : cartésiennes, cylindriques ou sphériques. Soient R0 (O,x0 y0 z0 ) un repère direct orthonormé de base ),,(kji et M la particule à repérer. I ]] Système de coordonnées cartésiennes. Dans R0, la position de la particule M est donnée par ses trois coordonnées cartésiennes (x,y,z) telles que : x = abscisse de M ; y = ordonnée de M ; z = côte de M. OMojxOx 0
Pr= ;OMojy Oy0 Pr=
; OMojzOz 0
Pr=. Dans R0 , le vecteur position s’écrit : kzjyixmMOmOM++=+=. Déplacement élémentaire. Le vecteur déplacement élémentaire 'MM (M’ est rès voisin de M) s’écrit: kdzjdyidxMdOMdMM++===' (Dans R0 , 0===kdjdid) II]] Systèmes de coordonnées cylindriques. Si la trajectoire du point M possède une symétrie axiale de révolution, il est intéressant d’utiliser les coordonnées cylindriques de ce point (ρ,φ,z) définies comme suit :
Om=ρ ( m est la projection de M sur le plan )(00 Oyx), ),(0 OmOxangle=φ et z est la projection du vecteur position OM sur l’axe 0
Oz. x
0 z x
y y
0 O M m kj i
Une nouvelle base orthonormée directe ),,(keeφρ est associée à ce système de coordonnées telle que : .sincosjieφφρ += .cossinjieφφφ +−= avecφ ρφ ed ed= etρ φφ ed ed
−=. Quand le point M décrit tout l’espace, les intervalles de variation de ρ, φ et z sont : 0 ρ < +∞ ; 0 φ 2π ; -∞ < z < +∞. Dans la base ),,(keeφρ , le vecteur position Om s’écrit : kzemMOmOM+=+=ρ ρ. Déplacement élémentaire: Le vecteur déplacement élémentaire 'MM (M’ très voisin de M) est: kzededMdOMdMM++===φρ φρρ'. Cas particulier: Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polaires ρ et φ. O ij ρe φe φ φ x
0 y
0 z z
0 O M m φ ρe φe φe k
ρ ki j
III]] Système de coordonnées sphériques. Lorsque le problème présente une symétrie sphérique autour d’un point O que l’on prend pour origine du repère d’espace, il est pratique d’utiliser les coordonnées sphériques (r,θ,φ) de la particule à étudier telles que : OMr= ; ),(0 OMOzangle=θ ; ),(0 OmOxangle=φ. Quand M décrit tout l’espace,
0 r < +∞ ; 0 φ 2π ; 0 θ π. Une nouvelle base s’introduit alors : ),,(φθ eeer . Où +−= −+=−=++=+= .cossin
sinsincoscoscossincos
cossinsincossincossinjie kjikeekjikee rφφ θφθφθθθθφθφθθθ φρθ ρ
Dans la base ),,(φθ eeer , le vecteur position s’écrit : r
erOM=. Déplacement élémentaire : Le déplacement élémentaire de la particule M en coordonnées sphériques est donné par: φθ
φθθedrerdedrOMdr )(sin++=. z
0 y
0 z O M m φ ρ ki jθ er e
θ φe φe x
0 ρe φe ij O φ⊗ e
O kr eθ eρ e
θ θ φ φ B) CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL. - L’objet de la cinématique est de décrire les mouvements d’une particule sans tenir compte des causes qui les produisent. - La description du mouvement d’une particule met en œuvre trois vecteurs : i) Le vecteur position. ii) Le vecteur vitesse. iii) Le vecteur accélération. - Le corps mobile sera appelé point matériel. On parle de point matériel lorsque les dimensions du mobile sont considérées négligeables dans les conditions du problème. - En mécanique classique, la vitesse V du point M est négligeable par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide. - I) Vecteur vitesse : a) Vitesse moyenne. Le vecteur vitesse moyenne d’une particule M qui se trouve à l’instant t
1 en M
1 et à l’instant t
2 en M
2 est donnée par: 1212 1212 )()()( ttOMOM tttOMtOM MVm −− =− −
= b) Vitesse instantanée. Le vecteur vitesse instantanée de la particule en M par rapport à un repère orthonormé R(O,xyz) est : ttOMttOM MVRMVt mt ∆−∆+ ==→∆→∆ )()(
lim)(lim)/(00 ,donc Rdt OMdRMV=)/( b) Vitesse algébrique: Dans ce cas, c’est la trajectoire elle même qui sert à repérer le mobile à l’aide de l’abscisse curviligne s (ou coordonnée intrinsèque) du point M. ∆s = arc (M(t)M(t+∆t)). Le vecteur vitesse est porté par le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire. ki j
x y z O M(t) M(t+dt) T dθ La vitesse algébrique de M est dtds v=. Le vecteur vitesse instantanée peut donc s'écrire:T dtds RMV=)/( . II) Vecteur accélération. La dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse ci-dessus donne le vecteur accélération, qui s'écrit comme suit : .)/(2 2dt Tddt dsT dtsd RM+=γ Or dtd dTd dtTdθ θ
.= et Nd Td= θ
désigne le
vecteur normal dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire du point M. Par ailleurs, nous avons, ∆s=Rc θou ds=Rc dθ Donc ccR vdt dsRdt d== 1θ
. Par conséquent, NR vdt Tdc =. Le vecteur accélération instantanée du point M s’écrit alors : ntntc NTNR vT dtdv RMγγγγγ+=+=+=2 )/(.- La direction définie par le vecteur N est la normale principale en M à la trajectoire. - Le vecteur unitaire NTB∧= est appelé vecteur de la binormale. - Le repère ),,;(BNTM est le repère de Frenet-Serret. Hodographe du mouvement. Définition : L’hodographe d’un mouvement (noté (H)) est l’ensemble des point P tels que :
A tout instant, )/(RMVOP=; où O désigne le pôle de (H). Rc M(t+dt) dθ M(t) (H) P’ P V'V III) Composantes des vecteurs vitesse et accélération. a) Coordonnées cartésiennes (x,y,z) Soit un référentiel R(O,xyz) fixe muni d’une base ),,(kji. Le vecteur position est : .kzjyixOM++=
Le vecteur vitesse s’écrit alors : kzjyixkdt dzj dtdy idt dxRMV ...
)/(++=++= Les vecteurs unitaires i, j et k sont fixes dans le repère R, donc : .0===RRR dtkd dtjd dtid Et l’accélération instantanée du point M s’écrit : .)/(...... 22 22 22 kzjyixkdt zdj dtyd idt xd
RM++=++=γ
b) Coordonnées cylindriques (ρρ,φφ,z) : Le vecteur position est .kzeOM+=ρ ρ
Le vecteur déplacement élémentaire s’écrit : .kdzededOMd++=φρ φρρ
Le vecteur vitesse est alors : kdt dze dtd edt ddt OMdRMV R++== φρφ ρρ )/(. Ou bien .)/(... kzeeRMV++=φρ φρρ Le vecteur accélération est: ,)/( )/(
..........kz dted eedt ede dtRMVd RMRRR +++++==φ φφρ ρ
φρφρφρρργ
Qui peut encore s'écrire: + −= ...... .2 ..,, 2)/(z RMkee φρφρφρρ γφρ Remarque: Dans le cas d'un mouvement plan, nous avons z = 0 et le vecteur accélération s'écrit alors: + −= .2. )/(.... .2 .., leorthoradiacomposante
radialecomposanteRM eeφρφρ φρργ φρ
c) Coordonnées sphériques (r,è,ö)
La base associée à ce système de coordonnées est ),,(φθ eeer .
Nous rappelons que, le vecteur position estr erOM= et le vecteur déplacement élémentaire s'écrit φθ
φθθedrerdedrOMdr )(sin++=. - Le vecteur vitesse est alors: φθφ θθ edt dre dtd redt drdt OMdRMV rR )(sin)/(++==.Ou φθ
φθθerererRMVr ...
)(sin)/(++= - Le vecteur accélération est: φθ θφθφθ
θφθθφθθθφθγerr rerrrerrrRMr )sincos2
sin2()sincos2()sin()/(.... ..2 .....2 2. 2... +
++−++−−= IV) Exemple de mouvement particuliers. 1) Mouvement circulaire. Dans ce cas, le mobile se déplace sur un cercle (C) de rayon R et de centre O. Ce cercle est situé dans le plan (xOy). Pou étudier le mouvement de M, il préférable d'utiliser les coordonnées ses polaires (ñ,ö). En coordonnées polaires, le vecteur position s'écrit: ρρ
ρeReOM==. ij ρe Te=φ x y φ M0 M O Le vecteur vitesse du point M est: φφeRRMV .
)/(= , et le vecteur accélération est donné par:
.)2()()/(.. 2..... 2... φρφρ
φφφρφρφρργeReReeRM+−=++−= Dans le cas où le mouvement circulaire est uniforme, nous avons: ö = ùt et Cte==ωφ. .
Le vecteur vitesse de M devient: φ
ωeRRMV=)/(, et le vecteur accélération se réduit à: ρωγeRRM 2
)/(−=. L'accélération du point M est alors normale à sa trajectoire (l'accélération tangentielle est nulle, car le module du vecteur vitesse est constant). En coordonnées intrinsèques, l'arc )(0 tRsMMφ=∆=, d'où TRTdt dsRMV .
)/(φ==, et l'accélération est φ
φφγeRTRNR vT dtsd RMc 2... 22 2
)/(+=+=. Etρφ γγγeeRMnt −=)/(, donc Te=
φ etNe−= ρ
. Remarque: Le vecteur vitesse peut aussi s'écrire: TReReRkOMRMVωωωωφρ ==∧=∧=)/(. 2) Mouvement à accélération centrale. Un mouvement à accélération centrale est un mouvement dont l'accélération de la particule M, )/(RMγ, est parallèle au vecteur position OM à tout instant t. Il en découle 0)/(=∧RMOMγ. Par ailleurs: 0)]/([ )/(=∧ =∧dt RMVOMd
RMOMγ. D'où CRMVOM=∧)/(. C est un vecteur constant en module, en sens et en direction. C est alors perpendiculaire au plan formé par OM et )/(RMV. Le vecteur position OM et le vecteur vitesse )/(RMV appartiennent donc au même plan quelque soit l'instant t considéré. Par conséquent, tout mouvement à accélération centrale est un mouvement plan. Pour étudier le mouvement du point M, il
est alors préférable d'utiliser ses coordonnées polaires. Nous rappelons que dans le cas général d'un mouvement plan les vecteurs position, vitesse et accélération s'écrivent, respectivement, comme suit: .ρ ρeOM= .)/(.. φρ
φρρeeRMV+= φρ
φρφρφρργeeRM)2()()/(.... .2 ..
++−=. Puisque l'accélération du point M est centrale (parallèle au vecteur position), elle doit
s'écrire dans ce cas: ρ
φρργeRM)()/(. 2.. −=, et donc sa composante orthoradiale est nulle: 02.... =+φρφρ qui peut s'écrire 0)(1 .2 =dt dφρ
ρ d'où Cte=. 2
φρ. Finalement, )/(. 2
RMVOMC∧==φρ, appelée constante des aires. Loi des aires: Calculons l'aire balayée, par unité de temps, par le rayon vecteur .ρ ρeOM= )/(RMVMOC∧= '2 1
MMOMds∧=, M' est très voisin de M. Donc φρφρρρφρρ dedededs2 21 )(=+∧=, et 2C dtds = d'où dtC ds2 =et ∫∫= tsdt Cds 002 . Donc tC s2 =où 2
C est la vitesse aréolaire (Cm²/s). Ce résultat est appelé 2
ème loi de Kepler. ds C
dφ M M’ ρe Formules de BINET: a) cas de la vitesse: Dans le cas d'un mouvement à accélération centrale, le carré du module du vecteur vitesse est: .22 2. 2
φρρ+=V. dtd dd dtdφ φρρ ρ==. . On pose ρ1 =u, donc 2ρ ρd
du−= et φρ ρφdd ddu 21 −=, Ce qui donne φφρ ddu udd 21 −=. D'autre part, .2 φρ=C peut s'écrire 2. Cu=φ. Et42 2422 22 .1 .)]1 ([uCu uCd duu V+−=φ , La première formule de BINET s'écrit:].)[( 2222u ddu CV+=φ Cette formule permet de déterminer l'équation polaire ñ = ñ(ö) ou bien u = u(ö) connaissant la vitesse du point M et inversement. b) cas de l'accélération La deuxième formule de BINET permet de déterminer l'accélération dela particuleétudiée si
l'onconnaît l'équationpolaire et inversement. Le mouvement du point M étant à accélération centrale, on a: ρ
φρργeRM)()/(. 2.. −= dont la valeur algébrique est .2 ..
φρργ−=. .).(2 2222 ... φφφ φφ ρρ dud uCCud duC dd dtd dd −=−== Et 324221 uCuCu ==φρ. La deuxième formule de BINET s'écrit alors ][2 222 ud uduC+−= φ
γ CHANGEMENTS DE REFERENTIELS Soit à étudier le mouvement d’une particule M par rapport à un repère fixe R, appelé repère absolu. Il est parfois intéressant d’introduire un second repère R’, dit repère relatif, par rapport au quel le mouvement de M soit simple à étudier. Soient, - R(O,xyz) un repère absolu (repère fixe). - R’(O’,x’y’z’) un repère relatif (repère mobile par rapport à R). R’ peut être animé d’un mouvement de translation et/ou de rotation par rapport à R. La rotation de R’ par rapport à R se fait avec une vitesse angulaire ω(R’/R) telle que : Dans le repère R, ∧= ∧=∧= ')/'(' ')/'(' ')/'(' kRRdt kdjRR dtjd iRRdt idR RR ωω ω
Dans R’,0 '''
'''=== RRRdt kddt jddt id
. 1) Dérivation en repère mobile. Soit A un vecteur quelconque. Dans le repère R, ce vecteur s’écrit
.kzjyixA++= Dans le repère R’ le vecteur A s’écrit,
.'''kzjyixA++= ,' '''' '''' '''...... RRRRdt kdzkz dtjd yjydt id
xixkzjyixdt Ad
+++++=++= x y z y’ z’ O O’ R R’ ij k'k 'j'i x’ M qui peut s’écrire aussi, ,'')/'(''')/'(''')/'('''''''... kzRRzjyRRyixRRxkzjyixdt AdR ∧+∧+∧+++=ωωω OuARR dtAd dtAd RR
∧+=)/'(' ω 2) Composition des vitesses Soient R(O,xyz) un repère absolu et R’(O’,x’y’z’) un repère relatif. Les vecteurs position de la particule M dans les repères R et R’ sont, respectivement : .''rMOetrOM==
On peut écrire, .''MOOOOM+= Donc la vitesse absolu du point M est, ..')/'(
'''')/()( 'MORR dtMOd dtOOd dtMOd dtOOd dtOMd RMVMVRRRRR a
∧++=+===ω Où' '
)()'/(R rdt MOd
MVRMV== désigne la vitesse relative du point M. Et ,
,')/'(' )(MORRdt OOdMV Re ∧+=ω est la vitesse d’entraînement de M. La vitesse d’entraînement de M est la vitesse absolu du point (imaginaire) qui coïncide avec M à l’instant t et supposé fixe dans le repère R’. x y z y’ z’ O O’ R R’ ij k'k 'j'i x’ M r'r On peut aussi noter la vitesse d’entraînement de M comme suit, ).'()(RdansfixeMdt OMdMV Re = Nous avons donc,
).()()(MVMVMVera += 3) Composition des accélérations. L’accélération absolue du point M est, .)/()(2 2R aR adt Vddt OMd
RMM===γγR RRr Rer aMORR dtOOd dtd dtMVd dtMVMVd M ∧++= += ')/'(
')())()(( )(ω γrrr Rr Rr VRRMVRRdt MVddt MVd
∧+=∧+=∗)/'()()/'()()( 'ωγω RR dtMOd RRMOdt RRdMORR dtd' )/'('
)/'(
)')/'((∧+∧=∧∗ωω ω
Par conséquent l’accélération absolue peut s’écrire, ).')/'(()/'(' )/'('
)()/'(2)()(2 2MORRRR MOdt RRddt OOdMVRRMM Rr ra∧∧ +∧++∧+= ωωω ωγγ
Dont ,)()')/'(()/'('
)/'('2 2
MMORRRRMOdt RRddt OOde Rγωω ω=∧∧+∧+ désigne l’accélération d’entraînement, et )()()/'(2MMVRRc rγω=∧ est l’accélération de Coriolis ou complémentaire. Nous écrivons alors ).()()()(MMMMcera γγγγ++=
Cas particulier : Quand le repère R’ est en translation par rapport à R,
0)/'(=RRω . Par conséquent += +=
).'()()(
)'()()(OMM etOVMVMV araara γγγ
Si en plus, R’ est en translation uniforme par rapport à R,
).()()'(MMetcteOVra a
γγ== CHAPITRE 2 DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL : LOI FONDAMENTALE ET THEOREMES GENERAUX. La dynamique est l’étude des mouvements en fonction des causes qui les produisent. Ces causes sont les interactions entre particules et sont représentées par les forces. I) Loi fondamentale de la dynamique. 1) Principe d’inertie. Lorsqu’unpoint matérielen mouvementn’est soumisà aucuneforce, son mouvement est rectiligne uniforme. C’est la première loi de Newton. 2) Loi fondamentale de la dynamique. L’accélération d’un point matériel M en mouvement est proportionnelle à la résultante des forces qui s’exercent sur lui et inversement proportionnelle à sa masse : )(MmFextγ=∑ C’est la deuxième loi de Newton. 3) Axes de la mécanique. Nous avons vu au chapitre précédent, ).()()()(MMMMcera γγγγ++=
Par conséquent, le principe fondamental de la dynamique ne s’écrira pas de la même manière dans R et dans R’. Nous nous basons alors sur un résultat de mécanique céleste qui suppose que le principe fondamental de la dynamique est valable dans un système de référence appelé référentiel de Copernic. Ce référentiel est noté Rc (S,Xc Yc Zc ). Le repère Rc (S,Xc Yc Zc ) a pour origine le centre du soleil. Ses trois axes sont dirigés suivant trois étoiles supposées fixes. Remarque : Si l’on étudie le mouvement du point M par
rapport au repère R’, avec R’ en translation uniforme par rapport au repère de Copernic, la loi fondamentale de la dynamique sera aussi valable dans R’. En effet,)/()/( cc
RMRMγγ=, car .0)()(==MMce γγ
Etoile 1 Xc Y
c Z
c S (soleil) Etoile 2 Etoile 3 Définition : Tout repère en translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic portera le nom de repère galiléen. 4) Dynamique terrestre. Repère géocentrique. Soient: Rc (S,Xc Yc Zc ) le repère de Copernic et RT (T,XT YT ZT ) le repère géocentrique. RT (T,XT YT ZT ) est un repère orthonormé dont l'origine T est le centre de la terre et les axes T
TX, T
TY et T
TZ sont respectivement parallèles aux axes c
SX, c
SYet c
SZ du repère de Copernic.
La terre tourne autour du soleil en une année. C'est le mouvement orbital elliptique. La durée ô des expériences sur terre est très faible devant la période du mouvement orbital elliptique (ô << 365 jours). Par conséquent, on suppose que le mouvement de la terre autour du soleil est rectiligne uniforme au cours d'une expérience donnée. Le référentiel R
T est donc considéré comme référentiel galiléen. On peut alors écrire:)/()/( cT
RMRMγγ=. On définit aussi le repère R
L appelé référentiel du Laboratoire dont l'origine est un point L à la surface de la terre, de latitude ë et dont l'axe L
LZ est perpendiculaire à la surface du sol terrestre. R
L est en mouvement de rotation par rapport au repère RT . C'est le mouvement de rotation de la terre sur elle-même. R
L est un repère non galiléen. 5) Loi fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen. Soient R un référentiel galiléen et R' un référentiel non galiléen. R' est mobile par rapport à R. R est le référentiel absolu. R' est le référentiel relatif. On désigne par )(Ma γ l'accélération du point M dans le repère R et par )(Mr γ l'accélération du même point dans le repère R'. La loi de composition des accélérations donne:
)()()()(MMMMcera γγγγ++=. Le principe fondamental de la dynamique dans R s'écrit: )()()()(MmMmMmMmFcera ext
γγγγ++==∑ , S (soleil) T (terre) Xc Yc Zc XT ZT YT où m est la masse du point m et ∑
extF désigne la résultante de toutes les forces extérieures appliquées à M. Dans le repère R', le principe fondamental de la dynamique est, ∑++=−−= ceextcear FFFMmMmMmMm)()()()(γγγγ. Où e
F est la force d'inertie d'entraînement, e
F est la force d'inertie de Coriolis ou complémentaire. Dans le référentiel non galiléen, la loi fondamentale de la dynamique s'écrit de la même façon que dans le repère galiléen à condition de tenir compte des forces d'inertie e
F et c
F. 6) Classification des forces. a) Forces réelles (ou extérieures): Les forces réelles sont de deux types, - Forces à distance: Exemple : - Force d'attraction universelle.
- Force électrostatique. - Forces de contact: Exemple: - Force de frottement.
- Force élastique ( cas d'un ressort). b) Forces d'inertie (ou intérieure): C'est la résistance que manifestent les corps au mouvement. Cette résistance est due à leur masse. Se sont, - La force d'inertie d'entraînement: ee mFγ−=. - La force d'inertie de Coriolis:c c
mFγ−=. Les forces e
F et c
F n'apparaissent que dans les repères galiléen. 7) Quantité de mouvement et moment cinétique. 1) Définition: Soit un point matériel M de masse m et de vecteur vitesse )(MV dans un repère R(O,xyz) quelconque. - La quantité de mouvement de M dans le repère R est )()(MVmMP=. - Le moment cinétique de M par rapport au point fixe O est: )()()(MVmOMMPOMMO ∧=∧=σ. - Le moment cinétique du point M par rapport à une droite (D), passant par O et de vecteur unitaire u, est donnée par le scalaire, MD (uMPO ).()σ=. 2) Théorème.)/( )())(()(RMm dtMVd mdt MVmddt MPdRR γ=== Donc ∑== extR FRMmdt MPd)/( )(
γ. La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement n'est autre que la résultante des forces extérieures appliquées à la particule M ( le repère R est supposé galiléen). Dans le cas où R n'est pas galiléen:.)/( )(c eext RFFFRMm dtMPd ++==∑ γ 2) Quantité d'accélération, moment dynamique, théorème du moment cinétique. a. Définition du vecteur quantité d'accélération. On appel quantité d'accélération, )(MΓ, du point M par rapport à un repère R, le produit de sa masse m par son vecteur accélération )/(RMγ: Rdt RMPdRMmRM )/(
)/()/(==Γγ. b. Moment dynamique du point M par rapport au point fixe O. Le moment dynamique, )/(RMO δ, d'une particule M par rapport à un fixe O, dans un repère R, est par définition: )/()/(RMOMRMO Γ∧=δ. c. Théorème du moment cinétique. )/()()())(()( RMmOMMVmMVdt MVmOMddt MdRR Oγ σ∧+∧= ∧
=. Donc:∑ ∧=Γ∧==ext RO O
FOMRMmOMdt RMdRM)/( )/()/( σ
δ. Le moment dynamique d'une particule M, en un point fixe O, dans un repère galiléen R est égal au moment, en ce point, de la résultante de toutes les forces appliquées à M. CHAPITRE III TRAVAIL ET ENERGIE I) Puissance et travail d'une force. - La puissance instantanée d'un point matériel M est le produit scalaire de la résultante des forces qui agissent sur M par la vitesse de ce point: ∑
=Ρ)(.MVF
[Watts]. - Le travail élémentaire fourni par un point matériel se déplaçant d'une quantité finie OMd, est donné par, ∑
=OMdFdW.. Commedt OMd
MV=)(, nous écrivons∑ Ρ==dtdtMVFdW.).(.. II) Forces conservatives: Energie potentielle. - Si une force F est conservative, alors elle dérive d'une énergie potentielle Ep .
Donc cette force peut s'écrire: p
EgradF−=. L'énergie potentielle n'est définie qu'à une constante additive près (0)(=Ctegrad). - Pour qu'une force F soit conservative, il faut que : 0=Frot. Travail d'une force conservative Soit F une force conservative. Son travail étant: OMdFdW.=. Cette force est conservative, elle peut donc s'écrire ∂ ∂− ∂∂ −∂ ∂− =−=z Ey Ex EEgradF pp pkji p,, et =dz dydx OMdkji,, pppp dEdzz Edy yE dxx EdW−= ∂∂ −∂ ∂− ∂∂ −=. Le travail d'une force conservative pour déplacer un point matériel est égal à la diminution de son énergie potentielle. II) Energie cinétique. 1) Définition: L'énergie cinétique d'une particule M de masse m et de vecteur vitesse )(MV est le scalaire E
c défini par:)( 21 2MmVE c
=. 2) Théorème: Le travail de la résultante, ∑
F , de toutes les forces (conservatives et non conservatives)
appliquéesà unpoint matérielM, dansun référentiel quelconque R0 , entre la position initiale A et la position finale B, est égale à la variation de son énergie cinétique entre A et B Démonstration: Le travail de la résultante des forces, ∑
F, quand la particule se déplace de la position A à la position B, est ∫∫∫∑ ===→ ABAB RBA RMVdRMVmMddt RMVd
mMdFW)/()./()/( .00 00 Car
dtRMVdM)/(0 =
Donc ∫≡ ≡→ =)( )(0 2))/( 21 (0 BMVAMV RBA RMmVdW, et)( 21 )(2 122 0
AMmVBMmVWR BA≡−≡= →
. D’où)/()/( 00RAERBEW ccBA−= →
, etc dEdW=. III) Enérgie mécanique. 1) Définition. On appel énergie mécanique (ou énergie totale) Em (M/R0 ) d’une particule M, la somme de ses énergies cinétique Ec (M/R0 ) et potentielle Ep (M/R0 ) : Em (M/R0 ) = Ec (M/R0 ) + Ep (M/R0 ) 2) Cas d’un système conservatif. Définition. Une particule M c