Mécanique du point : Td mecanique du point
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Télécharger packTD1 Mécanique du point Année 08/09
Exercice 1
a) Le point A parcourt la courbe cidessus, située dans le plan (xOy). En coordonnées polaires, sa position est donnée par l’
expression ρρ ρe r= . Calculez l’expression de la vitesse en fonction du temps. b) Un objet ponctuel A décrit dans un plan donné un
e courbe d’équations paramétriques : tt tb tω φτ ρ= −= )( )/ exp() (
où ρ et Ф sont ses coordonnées polaires, et b, τ et ω sont des constantes positives. En utilisant les coordonnées polaires : 1)
exprimez le vecteur position OA= ρr 2)
calculez l’expression de la vitesse du point A. 3)
montrez que l’angle que fait la vitesse avec le ray
on vecteur OA= ρ
r est constant au cours du temps. 4)
Quelle est l’allure de la courbe décrite par le poi
nt A ? On donne : τ = 1s ; b = 102 m ; ω = 50 rd/s a π/100π/50 3π/100π/25 Exp(a)0.97 0.94 0.91
0.88
Exercice 2
Lorsque le mouvement d’un objet n’est pas situé dan
s un plan, on peut utiliser les coordonnées cylindriques ou sphériques pour dét
erminer sa position. En utilisant les coordonnées cylindriques, on obtie
nt : kze OM+ =ρ ρr . Calculez la dérivée de OM par rapport au temps lorsque ce point M parcourt un cercle de rayon r, de centre situé sur l’axe Oz, dans un plan parallèle au plan xOy (la longueur z est constante). Même question si on utilise les coordonnées sphériq
ues (schéma cidessous). On a, dans ce cas : rer OMr =
x y O
A ρe φe φe ρe φρ kφ er ρe φe rρ er OM x z y φ
z Φe O M
x z y Фθ er θr er r Φe Le vecteur θe r
de la base sphérique est tangent au cercle de centr
e O et de rayon OM.
Exercice 3
Le diagramme de vitesse d’un objet ponctuel se dépl
açant suivant un mouvement rectiligne est donné par la figure cides
sous. 1 Indiquez les intervalles de temps pendant lesque
ls le mouvement est uniforme, uniformément accéléré et uniformément déc
éléré. 2 Montrer que la surface entre la courbe v(t) et l’axe des temps est égale à la distance parcourue par l’objet ponctuel. 3 L’accélération de l’objet pour 0 < t < 10 s est 1,6 m.s−2 . Calculer la distance totale parcourue par l’objet. 4 On note v0 , x0 , les valeurs algébriques de la vitesse et de la po
sition de l’objet à l’instant t = 0 et v(t)
, x(t) les valeurs algébriques de la vitesse et de la pos
ition de l’objet à l’instant t
. Estce que la relation : 22 0
( )
2 ( )
v t v
ax t− =
, où a est la valeur algébrique de l’accélération de l’ob
jet, est correcte ? Si ce n’est pas le cas, donnez l’expression convena
ble. (5) Calculez son accélération pendant les intervall
es de temps 15 < t < 18 s et 18 < t < 25 s
.
Exercice 4
Une automobile à l’arrêt, démarre et roule avec une accélération constante de 1m.s
−2 pendant 1 s. On arrête alors le moteur et on laiss
e l’automobile en roue libre pendant 10 s. A cause des frottements, elle d
écélère uniformément à 5 cm.s−2 . On freine alors et l’automobile s’arrête au bout de 5 secondes avec une décélération uniforme. 1 Calculer la distance totale parcourue par l’auto
mobile. 2 Faire le graphe de x et de v en fonction de t.
Exercice 5
Un mobile se déplace dans le plan (xOy). La variati
on temporelle de ses coordonnées est donnée par les expressions x(t) = ωt et y(t) = bsin (ωt), où b et ω sont des constantes. 1. Démontrer que l’accélération du mobile est propo
rtionnelle à y. 2. Représenter graphiquement sa trajectoire.
Exercice 6
Un corps se déplace sur une droite. Son accélératio
n est a = 2x
, où x est en m, et a en m.s2 . 1 Trouver les expressions de x(t) et v(t)
, sachant qu’à t = 0
, x = 0 et v = 4m.s 1 . 2 Tracer x(t) et v(t). 3 Discuter le mouvement. 4 Tracer les vecteurs vitesse et accélération aux temps t = 0, π/(4√2), π/(2√2).
Exercice 7
La Terre tourne uniformément autour de son axe avec une vitesse angulaire ω = 7,292.10 5 rad/s
. Trouver, en fonction de la latitude λ
, la vitesse et l’accélération d’un point à la surface de la Terre. A.N.: r = 6,37.106 m
, pour Marseille λ = 43,18°
.