Mécanique du point : Td mecanique du point
Télécharger PDFTD1 Mécanique du point Année 2008/2009
Exercice 1
a) Le point A parcourt la courbe ci-dessous, située dans le plan (xOy). En coordonnées polaires, sa position est donnée par l’expression : r = ρ eρ. Calculez l’expression de la vitesse en fonction du temps.
b) Un objet ponctuel A décrit dans un plan donné une courbe d’équations paramétriques : φ(τ) = ωt, ρ(t) = b e−t/τ où ρ et φ sont ses coordonnées polaires, et b, τ et ω sont des constantes positives.
En utilisant les coordonnées polaires :
1) Exprimez le vecteur position OA = ρ eφ.
2) Calculez l’expression de la vitesse du point A.
3) Montrez que l’angle que fait la vitesse avec le rayon vecteur OA = ρ eφ est constant au cours du temps.
4) Quelle est l’allure de la courbe décrite par le point A ? On donne :
τ = 1 s ; b = 10−2 m ; ω = 50 rad/s.
Tableau des valeurs :
t (s) | φ(τ) = ωt (rad) | ρ(t) = b e−t/τ
0 | π/100 | 0.97
5 | π/50 | 0.94
10 | 3π/100 | 0.91
15 | π/25 | 0.88
Exercice 2
Lorsque le mouvement d’un objet n’est pas situé dans un plan, on peut utiliser les coordonnées cylindriques ou sphériques pour déterminer sa position.
En utilisant les coordonnées cylindriques, on obtient :
OM = ρ eρ + z ez.
Calculez la dérivée de OM par rapport au temps lorsque ce point M parcourt un cercle de rayon r, de centre situé sur l’axe Oz, dans un plan parallèle au plan xOy (la longueur z est constante).
Même question si on utilise les coordonnées sphériques :
OM = r er + θ eθ + φ eφ.
Le vecteur θ eθ de la base sphérique est tangent au cercle de centre O et de rayon OM.
Exercice 3
Le diagramme de vitesse d’un objet ponctuel se déplaçant suivant un mouvement rectiligne est donné par la figure ci-dessous.
1) Indiquez les intervalles de temps pendant lesquels le mouvement est :
— uniforme,
— uniformément accéléré,
— uniformément décéléré.
2) Montrer que la surface entre la courbe v(t) et l’axe des temps est égale à la distance parcourue par l’objet ponctuel.
3) L’accélération de l’objet pour 0 < t < 10 s est 1,6 m·s−2. Calculer la distance totale parcourue par l’objet.
4) On note v0, x0 les valeurs algébriques de la vitesse et de la position de l’objet à l’instant t = 0, et v(t), x(t) les valeurs algébriques de la vitesse et de la position de l’objet à l’instant t.
Est-ce que la relation : 2(v(t) − v0) = 2a(x(t) − x0), où a est la valeur algébrique de l’accélération de l’objet, est correcte ? Si ce n’est pas le cas, donnez l’expression convenable.
5) Calculez son accélération pendant les intervalles de temps 15 < t < 18 s et 18 < t < 25 s.
Exercice 4
Une automobile à l’arrêt démarre et roule avec une accélération constante de 1 m·s−2 pendant 1 s. On arrête alors le moteur et on laisse l’automobile en roue libre pendant 10 s. À cause des frottements, elle décélère uniformément à 5 cm·s−2. On freine alors et l’automobile s’arrête au bout de 5 secondes avec une décélération uniforme.
1) Calculer la distance totale parcourue par l’automobile.
2) Faire le graphe de x et de v en fonction de t.
Exercice 5
Un mobile se déplace dans le plan (xOy). La variation temporelle de ses coordonnées est donnée par les expressions : x(t) = ωt et y(t) = b sin(ωt), où b et ω sont des constantes.
1) Démontrer que l’accélération du mobile est proportionnelle à y.
2) Représenter graphiquement sa trajectoire.
Exercice 6
Un corps se déplace sur une droite. Son accélération est a = −2x, où x est en mètres et a en m·s−2.
1) Trouver les expressions de x(t) et v(t), sachant qu’à t = 0, x = 0 et v = 4 m·s−1.
2) Tracer x(t) et v(t).
3) Discuter le mouvement.
4) Tracer les vecteurs vitesse et accélération aux temps t = 0, π/(4√2), π/(2√2).
Exercice 7
La Terre tourne uniformément autour de son axe avec une vitesse angulaire ω = 7,292 × 10−5 rad/s. Trouver, en fonction de la latitude λ, la vitesse et l’accélération d’un point à la surface de la Terre.
Application numérique : r = 6,37 × 106 m, pour Marseille λ = 43,18°.
FAQ
1) Qu’est-ce que la vitesse en coordonnées polaires ?
La vitesse en coordonnées polaires est donnée par la dérivée du vecteur position OA par rapport au temps, en tenant compte des variations de ρ (distance radiale) et de φ (angle polaire).
2) À quoi correspondent les coordonnées cylindriques et sphériques ?
Les coordonnées cylindriques (ρ, φ, z) et sphériques (r, θ, φ) sont des systèmes de repérage utilisés pour décrire le mouvement d’un point dans l’espace 3D, notamment quand il ne suit pas une trajectoire plane.
3) Comment interpréter un diagramme de vitesse v(t) ?
Un diagramme de vitesse v(t) permet d’analyser les phases du mouvement (uniforme, accéléré ou décéléré) et de calculer la distance parcourue via l’intégration de la vitesse ou l’aire sous la courbe.