Mécanique du point : Cours mecanique du pointchapitre 3 changements de referenti
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Télécharger pack1 Année universitaire 2014-2015 CC oo uu rr ss MM éé cc aa nn ii qq uu ee dd uu pp oo ii nn tt // CC hh aa pp ii tt rr ee II II II Changements de référentiels Pr. Adel Bouajaj ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI Tanger
2 Table des matières I. Mouvements d’un référentiel par rapport à un autre. ............................................ 3 1.1. Le mouvement de translation ..................................................................................... 3 1.2. Le mouvement de rotation .......................................................................................... 4 1.3. Mouvement quelconque ............................................................................................. 5 II. Etude de la vitesse .................................................................................................. 6 1.1. Référentiel R’ en translation par rapport à R .............................................................. 6 1.2. Référentiel R’ en rotation par rapport à R ................................................................... 7 1.3. Cas général................................................................................................................... 8 III. Etude de l’accélération ........................................................................................... 9 3.1. Loi de composition des accélérations ......................................................................... 9 IV. Résumé ................................................................................................................ 10 3 Chapitre III : Changements de référentiels Pré-requis Avoir compris ce qu’est un référentiel. Savoir dériver un vecteur unitaire tournant. Objectif • Savoir reconnaître le type de mouvement que peut avoir un référentiel par rapport à un autre. • Savoir dériver un vecteur dans des référentiels différents. • Connaître la loi de composition des vitesses. • Connaître la loi de composition des accélérations. Dans les mouvements de rotation que nous allons étudier, nous ne considérerons que la rotation autour d’un seul axe. I. Mouvements d’un référentiel par rapport à un autre. Dans ce qui va suivre, nous considérons deux référentiels R et R’, le premier est caractérisé par un de ses repères (O, x, y, z) avec la base correspondante (u
, u
, u ), et le second par (O’, x’, y’, z’) avec la base ( ,
,
) 1.1. Le mouvement de translation a) Définition Nous dirons que le référentiel R’ est en mouvement de translation par rapport au référentiel R si les axes du référentiel R’ restent parallèle à ceux du référentiel R au cours du mouvement. Si le point O’ est en mouvement par rapport à R, tous les points constituant le référentiel R’ se déplacent de la même quantité vectorielle que O’. Conséquences : • À tout instant, on a les égalités u
= u = , u
= la base (
) est donc une base fixe dans R’ mais aussi dans R. Le vecteur OO’ correspond au vecteur translation. • Le mouvement de translation de R’ par rapport à R peut être rectiligne, circulaire ou quelconque selon la nature du mouvement de l’origine O’ du référentiel R’. Figure 1 Translation d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R. b) Translation rectiligne 4 Le point O’ suit une trajectoire rectiligne par rapport au référentiel R. Un exemple simple est celui où le référentiel R’ est lié à un tapis roulant, R étant lié à la Terre. Dans ces conditions, on peut écrire la vitesse du point O’ par rapport à R en choisissant l’axe Ox dans la direction du mouvement de translation : / = Figure 2. Mouvement de translation rectiligne d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R. La vitesse V
O’ peut varier au cours du temps. c) Translation circulaire Le point O’ décrit un cercle autour d’un point fixe de R qui peut être choisi comme origine O du repère de R. Son mouvement est caractérisé par le vecteur vitesse angulaire / L’expression du vecteur vitesse du point O’ par rapport au référentiel R est donc : / = / ∧ ′
Figure 3. Translation circulaire d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R. Les axes de R’ restent parallèles à ceux de R, l’origine O’ décrit un mouvement circulaire. Exemple : Si on considère la nacelle d’une grande roue d’une fête foraine, elle constitue un référentiel qui est en translation circulaire par rapport au référentiel terrestre, le fond de la nacelle restant toujours horizontal (figure 3). Translation circulaire uniforme : Le vecteur vitesse angulaire
/ est un vecteur constant. d) Translation quelconque Le point O’ a un mouvement quelconque, curviligne uniforme ou varié mais les axes du repère de R’ restent parallèles à ceux du référentiel R. 1.2. Le mouvement de rotation Nous dirons qu’un référentiel R’ est en rotation par rapport à un référentiel R si les axes du référentiel R’ tournent par rapport à ceux du référentiel R. Le point O’, origine du repère du référentiel R’, est immobile par rapport à R. Nous considérerons la rotation autour d’un seul axe, cette rotation étant caractérisée par le vecteur vitesse angulaire de rotation du référentiel R’ par rapport à R : Ω /
5 Dans ces conditions, on peut choisir l’origine O confondue avec le point O’ et choisir un repère (O, x, y, z) de sorte que le vecteur vitesse angulaire Ω / soit de la forme : Ω /
= Ω
/ u L’axe O’z’ peut être confondu avec l’axe Oz et donc. Les axes O’x’ et O’y’ sont alors en rotation autour de l’axe Oz. Dans ces conditions, la base (
,
, ) qui est la base fixe du référentiel R’, est une base mobile dans R. Les vecteurs tournent autour de l’axe Oz au cours du temps. Figure 4 : Mouvement de rotation d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R. Si θ est l’angle que fait avec l’axe ox du référentiel R figure 4, nous avons alors : = Ω / La dérivation du vecteur unitaire tournant
conduit à = ⟹ =
= Ω /
Si nous nous plaçons dans le référentiel R, la dérivation des vecteurs de la base donne : = Ω
/
= Ω / (− ∧ ) = Ω / ∧
= −Ω
/
= Ω / "
∧
# = Ω / ∧
= 0
Dans le référentiel R’ nous aurions : = = = 0
Il est donc important de préciser à chaque fois si la dérivation est effectuée dans R ou dans R’. Ceci peut être spécifié en indice au niveau du symbole de dérivation. 1.3. Mouvement quelconque Le mouvement quelconque d’un référentiel par rapport à un autre peut toujours se ramener à une composition de mouvement de translation et de rotation. D’où l’importance de ces deux cas que nous allons étudier maintenant. 6 II. Etude de la vitesse 1.1. Référentiel R’ en translation par rapport à R a- Position d’un point M Le repère du référentiel R’, en translation par rapport à un référentiel R, est choisi de sorte que les axes O’x’,O’y’ et O’z’ soient respectivement parallèles aux axes Ox, Oy et Oz du repère caractérisant le référentiel R. L’origine O’, liée à R’, a un mouvement quelconque par rapport à R. Figure 5 : Mouvement de translation quelconque. La base fixe de R (u
, u
, u ), est aussi une base fixe de R’. Dans le référentiel R, les coordonnées du point M sont (x, y, z). Dans le référentiel R’, elles sont (x’, y’, z’). La relation de Chasles appliquée aux vecteurs %
= ′
+ ′%
%
= 'u + yu + zu ′%
= 'u
+ y′u + z′u b- Loi de composition des vitesses Par définition nous pouvons écrire que : *+/ = % = "'u + yu + zu
# = ' u + , u + - u * +/= % = "'′u
+ y′u + z′u
# =
'′ u + ,′ u + -′ u ′ . = * /
= * /
En dérivant par rapport au temps dans le référentiel R la relation de Chasles qui donne la position du point M, il vient : % = ′ . + ′% . Comme les axes de R’ restent parallèles à ceux de R, la dérivée de %′
dans R est identique à la dérivée de %′
dans R’. ′%
. = ′% . Ce qui conduit à la relation suivante 7 % = ′
. + ′%
. *+/ = * /
+ *+/ Cette relation entre les vitesses est formellement analogue à la relation de Chasles sur l’addition des vecteurs et est connue sous l’appellation loi de composition des vitesses. On peut remarquer que si le point M était fixe dans R’ on aurait : *+/ = * /
Pour cette raison * /
= * / est aussi appelée vitesse d’entrainement et noté */ 1.2. Référentiel R’ en rotation par rapport à R Considérons maintenant le cas ou le référentiel R’(O’, x’, y’, z’) est en mouvement de rotation par rapport au référentiel R(O, x, y, z). Nous supposons comme l’indique la figure 3.6 que le point O’ est confondu avec O. Nous faisons en outre l’hypothèse que l’axe de rotation de R’ par rapport à R est l’axe des z, ce qui permet d’écrire que la vitesse angulaire de rotation de R’ par rapport à R est : Ω 0 /0 =dθ dtu
Figure 6 : Mouvement de rotation d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R. Quel que soit le référentiel d’étude, la position du point M peut s’écrire : % = 'u + yu + zu %
= 'u
+ y′u + zu La vitesse du point M de coordonnées (x, y, z) dans R(O, x, y, z,) est : *+/ = % = ' u + , u + - u
alors que la vitesse du même point M dans R’(O’, x’, y’, z’) s’écrit : *+/ = % = "'u
+ y′u + z′u
# Dans R’, les vecteurs de base (
,
, ) sont constant, ce qui conduit à : *+/ =
'′ u + ,′ u + -′ u 8 *+/ =
'′ u + ,′ u + -′ u + xdu dt + ydu
dt + z′du dt
on obtient : *+/ =
'′ u + ,′ u + -′ u + x′θ u
− y′θ u
En remarque que : u
= Ω 0 /0 ∧ u et − u
= Ω 0 /0 ∧ u On obtient *+/ =
'′ u + ,′ u + -′ u + x′Ω 0 /0
∧ u + y′Ω 0 /0
∧ u Nous constatons que : Ω 0 /0
∧ x′u + Ω 0 /0
∧ y′u = Ω 0 /0
∧ (x′u + y′u ) Comme le vecteur vitesse instantané de rotation est dérigé selon u
Ce qui montre que : Ω 0 /0
∧ "x′u + y′u # = Ω 0 /0(x′u
+ y′u + z′u ) = Ω 0 /0
∧ OM Nous pouvons donc conclure : % = %
+ Ω 0 /0 ∧ OM
Dériver le vecteur %
dans R n’est pas équivalent à le dérivé dans R’. En posant * / = Ω /
∧ %
la loi de composition des vitesses dans deux référentiels en rotation s’écrit : *+/ = *+/ + * / Avec *
/ appelée vitesse d’entraînement, c’est-à-dire la vitesse, par rapport à R, qu’aurait le point M s’il était fixe dans R’ . 1.3. Cas général Cette relation peut être généralisée à un mouvement combinant une translation et une rotation en faisant intervenir la vitesse de O’ par rapport à R ainsi que le vecteur vitesse angulaire Ω /
caractérisant la rotation de R’ par rapport à R. En partant de : % = ′
+ ′%
On voit que : % = ′ . + ′%
. 8 = 8
+ Ω / ∧ 8 La loi précédente a été appliquée au vecteur position %
. Elle est tout à fait générale et peut s’appliquer à n’importe quel vecteur 8 . Ainsi, si 8
est un vecteur quelconque, on a : 9 Or la dérivée de ′%
dans R peut s’exprimer à partir de la dérivée de ce même vecteur dans R′ , d’où : % = ′ . + ′%
. + Ω /
∧ ′%
• *
+/ qui représente la vitesse de M par rapport à R’ et que l’on appelle vitesse relative de M par rapport à R’. • * /
+ Ω / ∧ ′%
= *
/ qui est la vitesse d’entraînement de M dans son mouvement par rapport à R. Cette vitesse est la somme de deux termes. Le premier terme correspond à la vitesse d’entraînement due au déplacement de l’origine O’ (terme de translation) et le deuxième correspond à la vitesse d’entraînement due à la rotation de R’ par rapport à R (terme de rotation). III. Etude de l’accélération 3.1. Loi de composition des accélérations Nous cherchons à exprimer l’accélération du point M par rapport à R connaissant les caractéristiques du mouvement par rapport à R’. Nous supposons que le référentiel R’ est en mouvement de translation rotation par rapport à R. La loi de composition des vitesses nous donne : *+/ = *+/ + * /
+ Ω /
∧ ′%
et par définition nous avons : 9+/ = *+/ Il en résulte que : 9+/ = :*+/ + * /
+ Ω /
∧ ′% ;
< On obtient donc : 9+/ = 9 /+ * +/
+ Ω /∧ ′%
. + Ω / ∧ ′%
Il importe à ce stade de commenter les règles de dérivation. Nous voyons que par définition nous dérivons, pour obtenir l’accélération de M par rapport à R, la vitesse de M dans R par rapport au temps. En faisant cette opération, il apparaît dans le second membre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs liés au référentiel R’ comme par exemple le vecteur ′%
ou encore le vecteur *+/ Nous souhaitons faire apparaître leur dérivée dans R’ et nous utilisons donc à cette fin la règle de dérivation : *+/ =*+/ +* /
+ Ω /∧′% * ==* >
+ */ 10 8 = 8
+ Ω /
∧ 8 Appliquée aux vecteurs ′%
et *
+/ cette règle conduit à : ′% . = ′%
. + Ω /
∧ ′%
*+/ = *+/ + Ω /
∧ *+/ Nous concluons donc que : ′% . = *+/ + Ω /
∧ ′%
*+/ = 9+/ + Ω / ∧ *+/ Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression : • le premier terme du second membre 9+/ qui représente l’accélération de M dans R’ou accélération relative ; • le dernier terme du second membre qui représente l’accélération de Coriolis ou accélération complémentaire, 9? = 2Ω /
∧ *
+/ . Elle n’existe que si le point est M en mouvement dans R’ et si R’ est un référentiel en rotation par rapport à R; • le terme intermédiaire qui représente l’accélération d’entraînement 9/ = 9 /
+ Ω /
∧ :Ω /
∧ ′%
; + Ω / ∧ ′%
IV. Résumé Mouvement de translation d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R : Les axes du référentiel R’ restent parallèles à ceux du référentiel R. La translation peut être rectiligne, circulaire ou quelconque suivant le mouvement de l’origine O’ du référentiel R’. 9+/ = 9+/ + 9 /
+ Ω /
∧ :Ω /
∧ ′%
; + Ω / ∧ ′%
+ 2Ω /
∧ *+/ 9+/ = 9+/ + 9/ + 9? 9/ = 9 /
+ Ω /
∧ :Ω /
∧ ′%
; + Ω /
∧ ′% 9 ?
= 2Ω / ∧ *+/ Le report de ces expressions conduit à écrire le vecteur accélération de M par rapport à R sous la forme : Le résultat ci-dessus constitue la loi de composition des accélérations. 11 Mouvement de rotation d’un référentiel R’ par rapport à un référentiel R : Les axes du référentiel R’ tournent par rapport à ceux du référentiel R (vitesse angulaire Ω / ). Loi de composition des vitesses : *+/ = *+/ + * /
+ Ω / ∧ ′%
* =
= *
>
+ */ 9*BC : */ = * /
= * /
+ Ω /
∧ ′%
(vecteur vitesse d’entraînement) Loi de composition des accélérations : 9+/ = 9+/ + 9/ + 9? Avec : 9/ = 9 /
+ Ω /
∧ :Ω /
∧ ′%
; +DE F /F DG
∧ ′%
(vecteur accélération d’entraînement) 9? = 2Ω /
∧ *
+/ (vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis)