Magnétostatique : Exercices electromagnetisme revision
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Feuille d'exercices : Révisions d'électrostatique et de magnétostatique P Colin 13 octobre 2010 Première partie Électrostatique 1 Champ créé par une distribution plane On considère une distribution de charges volumique uniforme (ρ0), comprise entre les deux plans x = −a/2 et x = +a/2. 1. En utilisant les équations locales de l'électrostatique, déterminer le champ et le potentiel électrostatique en tout point de l'espace. 2. Étudier la limite a 7→ 0 (en supposant que σ = ρa = Cste). Comparer au champ créé par un plan uniformément chargé en surface. 2 Étude d'une sphère creuse Une sphère creuse de rayon R et de charge totale Q est chargée uniformément en surface. 1. Déterminer le champ électrique et le potentiel en tout point de l'espace (origine des potentiels à l'inni). 2. Retrouver très simplement l'expression de V (O). 3. Quel travail minimal doit fournir un opérateur pour augmenter la charge de dQ en amenant sur la sphère la charge dQ depuis l'inni ? En dé- duire le travail minimal Uel à fournir pour constituer une charge surfaçique sphérique uniforme de charge totale Q0 à partir de charges séparées à l'in- ni. 4. Comparer Uel à l'énergie électrostatique de la distribution de charges. 3 Point matériel dans un tunnel La terre, considérée comme une boule homogène, est percée d'un tunnel entre deux points de sa surface. 1. Déterminer le champ gravitationnel en tout point à l'intérieur de la terre. 2. Étudier le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement dans le tunnel. 1 4 Pression au centre d'une étoile Une étoile est une sphère de masse M et de rayon R ; nous la supposerons aussi homogène, de masse volumique ρ ; la pression à sa surface est négligeable. 1. Déterminer le champ de gravitation qui règne à la distance r du centre de l'étoile. 2. Déterminer la pression p0 qui règne au centre de l'étoile. 5 Équilibre d'une charge ponctuelle Une spire circulaire de rayon R porte une charge linéique uniforme de densité λ > 0. Cette spire est maintenue immobile. En un point M de l'espace, on lâche sans vitesse initiale une particule ponctuelle de charge q. Sans calculer explicitement le champ ou le potentiel créés par cette spire, justier : 1. La position de M pour que la particule puisse y être en équilibre ; 2. L'existence d'une condition sur q pour que cette position soit stable vis à vis d'un petit déplacement de la particule le long de l'axe de la spire (orthogonal au plan de la spire, passant par son centre) ; 3. L'instabilité de cette position vis à vis d'un petit déplacement dans le plan de la spire lorsque la condition précédente est vériée. 6 Champ au voisinage d'un axe de révolution Soit, dans une région vide de charge, un champ électrique −→E = Er −→e r+Ez −→e z (coordonnées cylindriques) présentant la symétrie de révolution autour de Oz. 1. Montrer qu'au voisinage de l'axe, Er(r, z) = − r 2 ∂Ez ∂z (r = 0, z) 2. Appliquer ce résultat pour calculer le champ au voisinage de l'axe d'un anneau de rayon a portant la densité linéique de charge λ. 7 Dipôle et l chargé Un dipôle −→p est placé au centre O d'une spire circulaire de rayon a portant la charge par unité de longueur λ, uniforme. −→p fait un angle θ avec l'axe de la spire (cf. gure 1). 1. Calculer le moment des eorts exercés sur le dipôle. 2. Calculer la résultante des eorts exercés sur le dipôle. 8 Dipôle cylindrique Deux ls identiques, 1 et 2, cylindriques, rectilignes, de rayon très petit a, inniment longs, sont disposés dans le vide parallèlement l'un à l'autre. Le l 1 porte la charge λ par unité de longueur, et le l 2 la charge −λ par unité de longueur. On se propose de calculer le potentiel et le champ électrostatiques en un point M de coordonnées polaires r et θ dans le plan xOy perpendiculaire aux deux ls (gure 2). 2 Figure 1 Dipôle et l chargé Figure 2 Dipôle cylindrique 1. Analyser les symétries et les invariances de cette distribution de charges. Que peut-on en conclure concernant le potentiel et le champ ? 2. Calculer le potentiel électrostatique V (r1, r2) en M, en prenant par con- vention V = 0 sur Oy. 3. On suppose que la distance d des axes des deux ls ést telle que r d a. On obtient alors un dipôle cylindrique de moment −→p = λd−→u x. Calculer le potentiel V (r, θ) en M. En déduire les composantes Er et Eθ du champ électrostatique −→E . 4. Peut-on qualier cette distribution de dipolaire ? 9 Répartition supercielle de charges Deux sphères de même rayon R sont uniformément chargées en volume : l'une porte la densité de charges −ρ, l'autre la densité de charge +ρ. Leurs centres O1 et O2 sont aux abscisses −a et +a sur l'axe Ox, avec a R. 1. Déterminer le champ électrique créé par les deux sphères en tout point de l'espace appartenant soit aux deux sphères soit à aucune d'entre elles. Exprimer les résultats en fonction du moment dipolaire électrique total de