Magnétostatique : Exercices electromagnetisme revision
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P Colin
13 octobre 2010
Première partie : Électrostatique
1. Champ créé par une distribution plane
On considère une distribution de charges volumique uniforme (ρ₀), comprise entre les deux plans x = −a/2 et x = +a/2.
1. En utilisant les équations locales de l'électrostatique, déterminer le champ et le potentiel électrostatique en tout point de l'espace.
2. Étudier la limite a → 0 (en supposant que σ = ρa = constante). Comparer au champ créé par un plan uniformément chargé en surface.
2. Étude d'une sphère creuse
Une sphère creuse de rayon R et de charge totale Q est chargée uniformément en surface.
1. Déterminer le champ électrique et le potentiel en tout point de l'espace (origine des potentiels à l'infini).
2. Retrouver simplement l'expression de V(O) en utilisant la symétrie sphérique.
3. Quel travail minimal doit fournir un opérateur pour augmenter la charge de dQ en amenant sur la sphère la charge dQ depuis l'infini ? En déduire le travail minimal Uel à fournir pour constituer une charge surfacique sphérique uniforme de charge totale Q₀ à partir de charges séparées à l'infini.
4. Comparer Uel à l'énergie électrostatique de la distribution de charges.
3. Point matériel dans un tunnel
La Terre, considérée comme une boule homogène, est percée d'un tunnel entre deux points de sa surface.
1. Déterminer le champ gravitationnel en tout point à l'intérieur de la Terre.
2. Étudier le mouvement d'un point matériel glissant sans frottement dans le tunnel.
4. Pression au centre d'une étoile
Une étoile est une sphère de masse M et de rayon R ; nous la supposerons homogène, de masse volumique ρ. La pression à sa surface est négligeable.
1. Déterminer le champ de gravitation qui règne à la distance r du centre de l'étoile.
2. Déterminer la pression p₀ qui règne au centre de l'étoile.
5. Équilibre d'une charge ponctuelle
Une spire circulaire de rayon R porte une charge linéique uniforme de densité λ > 0. Cette spire est maintenue immobile. En un point M de l'espace, on lâche sans vitesse initiale une particule ponctuelle de charge q.
1. Justifier la position de M pour que la particule puisse y être en équilibre.
2. Montrer l'existence d'une condition sur q pour que cette position soit stable vis-à-vis d'un petit déplacement de la particule le long de l'axe de la spire (orthogonal au plan de la spire, passant par son centre).
3. Expliquer l'instabilité de cette position vis-à-vis d'un petit déplacement dans le plan de la spire lorsque la condition précédente est vérifiée.
6. Champ au voisinage d'un axe de révolution
Soit, dans une région vide de charge, un champ électrique →E = Er→er + Ez→ez (coordonnées cylindriques) présentant la symétrie de révolution autour de Oz.
1. Montrer qu'au voisinage de l'axe, Er(r, z) = −(r/2) ∂Ez/∂z (r = 0, z).
2. Appliquer ce résultat pour calculer le champ au voisinage de l'axe d'un anneau de rayon a portant la densité linéique de charge λ.
7. Dipôle et fil chargé
Un dipôle →p est placé au centre O d'une spire circulaire de rayon a portant la charge par unité de longueur λ, uniforme. →p fait un angle θ avec l'axe de la spire.
1. Calculer le moment des forces exercées sur le dipôle.
2. Calculer la résultante des forces exercées sur le dipôle.
8. Dipôle cylindrique
Deux fils identiques, 1 et 2, cylindriques, rectilignes et de rayon très petit a, infiniment longs, sont disposés dans le vide parallèlement l'un à l'autre. Le fil 1 porte la charge λ par unité de longueur, et le fil 2 la charge −λ par unité de longueur. On se propose de calculer le potentiel et le champ électrostatiques en un point M de coordonnées polaires r et θ dans le plan xOy perpendiculaire aux deux fils.
1. Analyser les symétries et les invariances de cette distribution de charges. Que peut-on en conclure concernant le potentiel et le champ ?
2. Calculer le potentiel électrostatique V(r₁, r₂) en M, en prenant par convention V = 0 sur Oy.
3. On suppose que la distance d entre les axes des deux fils est telle que r ≫ d ≫ a. On obtient alors un dipôle cylindrique de moment →p = λd→ux. Calculer le potentiel V(r, θ) en M. En déduire les composantes Er et Eθ du champ électrostatique →E.
4. Peut-on qualifier cette distribution de dipolaire ?
9. Répartition superficielle de charges
Deux sphères de même rayon R sont uniformément chargées en volume : l'une porte la densité de charges −ρ, l'autre la densité de charge +ρ. Leurs centres O₁ et O₂ sont aux abscisses −a et +a sur l'axe Ox, avec a ≪ R.
1. Déterminer le champ électrique créé par les deux sphères en tout point de l'espace appartenant soit aux deux sphères soit à aucune d'entre elles. Exprimer les résultats en fonction du moment dipolaire électrique total.
FAQ
Quelles sont les équations locales de l'électrostatique ?
Les équations locales de l'électrostatique incluent la loi de Gauss sous forme différentielle (div →E = ρ/ε₀) et les relations entre champ et potentiel (→E = −∇V).
Comment calculer le potentiel électrostatique d'une distribution de charges ?
Le potentiel électrostatique V en un point M s'obtient par intégration de la contribution de chaque élément de charge dq : V(M) = ∫ (1/4πε₀) (dq/r), où r est la distance entre dq et M.
Qu'est-ce qu'un dipôle électrique ?
Un dipôle électrique est un système de deux charges ponctuelles égales et opposées, séparées par une distance finie. Son moment dipolaire →p est défini par →p = q→d, où q est la charge et →d le vecteur reliant la charge négative à la positive.