Magnétostatique : Cours equation locale conservation charges
Télécharger PDFMagn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique ́
Equation de continuit ́e en ́electromagn ́etisme ́
Equation locale de la conservation de charges
Consid ́erons un volumeΩ d ́elimit ́e par une surface ferm ́eeΣ et
poss ́edant une densit ́e volumiqueρm non-uniforme et variable dans
le temps.
La charge totale QT dans le volumeΩ est donn ́ee par :Q T= �Ω ρm (P, t) dτ
L’intensit ́e du courant qui sort de la surface ferm ́eeΣ est ́egale `a :
I =� Σ−→ J.−→ ds =dQ dt− �Σ −→J. −→
ds =d dt� �Ω ρm dτ� En utilisant le th ́eor`eme d’Ostrogradsky, on trouve :� Ω� ∂ρm ∂t
+ div� −→J �� dτ = 0
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique ́
Equation de continuit ́e en ́electromagn ́etisme ́
Equation locale de la conservation de charges
Cette relation est vrai quelque soit le volume d’int ́egrationΩ. Ceci
m`ene `a l’ ́etablissement de la forme locale de l’ ́equation de la
conservation de la charge ́electrique ou ce qu’on d ́esigne aussi par
l’ ́equation de la continuit ́e ;∂ρ m∂t + div� −→J �
= 0
Cette relation est valide en tout point de l’espace. Elle traduit le fait
suivant : toute variation de la charge ́electrique en volume est due
principalement auflux des charges ́electriques de ou vers le volumeΩ. En d’autres termes il n’y a en aucune cr ́eation ou annihilation des
charges ́electriques.
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique ́
Equation de continuit ́e en ́electromagn ́etisme ́
Equation locale de la conservation de charges
Cons ́equences
En r ́egime stationnaire, la d ́eriv ́ee temporelle dans l’ ́equation de
conservation de la charge ́electrique est nulle. Il en r ́esulte que la
densit ́e de courant volumique est `aflux conservatif :div −→
J = 0
Int ́egrons cette expression sur un volumeΩ du conducteurC, on
trouve :� Ωdiv −→
J dτ =� Σ−→ J.−→ ds = 0
Σ =Σb 1+Σ b2 +Σl repr ́esente la peau du volumeΩ.� Σb 1−→ J.−→ ds +� Σb 2−→ J.−→ ds +� Σl −→J. −→
ds = 0
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique ́
Equation de continuit ́e en ́electromagn ́etisme ́
Equation locale de la conservation de charges
Cons ́equences
Leflux de la densit ́e de courant volumique est nul `a traversΣl :⇒− �Σ b1 −→J. −→
n ds +� Σb 2−→ J.−→ n ds = 0I 1
= I2 L’intensit ́e de courant ́electrique est constante dans le conducteurC.
On pourra aussi ́etablir, en suivant la mˆeme d ́emarche, la loi des
nœuds pour le courant ́electrique.
I = I1 + I2 Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique
Polarisation dans les milieux di ́electriques
Densit ́e du courant dans les milieux di ́electriques
Les milieux di ́electriques sont des milieux dans lesquels les
charges ́electriques sont li ́ees et ne peuvent pas se mobiliser
pour transporter le courant ́electrique. En d’autres termes, les
milieux di ́electriques sont des milieux isolants d’un point de
vue de conduction ́electrique.
En absence d’excitation ́electrique ext ́erieure, un di ́electrique
est ́electriquement neutre. Les dipˆoles ́electriques atomiques ou
mol ́eculaires qui le forment sont orient ́es d’une fa ̧con al ́eatoire.` A l’application d’un champ ́electrique ext ́erieure, les atomes
ou les mol ́ecules du di ́electrique ont tendance `a s’orienter dans
la direction du champ appliqu ́e. C’est le ph ́enom`ene de
polarisation ́electrique.
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique
Polarisation dans les milieux di ́electriques
Densit ́e du courant dans les milieux di ́electriques
Types de Polarisation
On distingue trois type de polarisation ́electrique qu’on va classer
dans un ordre ascendant :
Polarisation ́electronique
C’est une polarisation qui affecte le nuage ́electronique dans les liaisons
covalentes. Elle a tendance `a d ́ecaler le barycentres du nuage ́electronique
de telle sorte `a faire apparaˆıtre un moment dipolaire locale. Ce type de
polarisation est le plus faible, il est enti`erement masqu ́e par les autres
types de polarisation.
Polarisation ionique
C’est une polarisation qui affecte les ions dans une structure cristalline
ionique. Les ions se d ́ecalent de leur positions d’ ́equilibre en pr ́esence d’un
champ ́electrique ext ́erieur menant ainsi `a l’apparition d’un moment
dipolaire globale.
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique
Polarisation dans les milieux di ́electriques
Densit ́e du courant dans les milieux di ́electriques
Types de Polarisation
Polarisation par orientation
Dans certains gaz ou liquide les mol ́ecules sont
individuellement polaris ́es. La r ́esultante globale du vecteur
polarisation `a l’ ́echelle macroscopique est nulle du fait de
l’agitation thermique al ́eatoire des mol ́ecules.
Lorsqu’on applique un champ ext ́erieur au gaz ou au liquide,
les mol ́ecules de ce dernier on tendance `a s’orienter dans sa
direction conduisant ainsi `a l’apparition d’une polarisation
macroscopique par le simple fait de l’unification de
l’orientation de tout les moments dipolaires individuels.
Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique
Polarisation dans les milieux di ́electriques
Densit ́e du courant dans les milieux di ́electriques
Vecteur de polarisation
Consid ́erons un ́el ́ement de volume infinit ́esimal dτ d’un
di ́electrique polaris ́e avec un moment dipolaire−→ dp non nul.
La polarisation globale du volumeΩ du di ́electrique est
caract ́eris ́e par le vecteur polarisation en tout point deΩ.
Propri ́et ́e
Le vecteur de polarisation−→ P est une densit ́e volumique de moment
dipolaire qu’on d ́efini par :−→ P =−→ dpdτ Magn ́etostatique
Sources du champ ́electromagn ́etique
Sources ́equivalentes
Densit ́e du courant dans les milieux di ́electriques
Densit ́e de courants et de charges ́equivalentes
D ́efinition
La mati`ere di ́electrique polaris ́e peut ˆetre consid ́er ́ee comme du vide si`ege d’une
densit ́e de courant volumiquefictif. On parle de courants li ́es, par opposition
aux courants libres. Cette densit ́e de courants li ́es pr ́esent en tout point de la
mati`ere di ́electrique polaris ́ee s’ ́ecrit :� jp =∂ −→P ∂t
D ́efinition
La mati`ere di ́electrique polaris ́e peut ˆetre consid ́er ́ee comme du vide si`ege d’une
densit ́e de charges volumiquefictives. On parle de charges li ́ees, par opposition
aux charges libres, la densit ́e s’ ́ecrit :ρ p=−div −→P Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Introduction
Historiquement, la connaissance des ph ́enom`enes magn ́etiques est
au moins aussi ancienne que celle des ph ́enom`enes ́electriques.
Les pierres magn ́etiques sont connues depuis l’Antiquit ́e ; La
boussole du marin est une vieille invention... Cependant les lois de la
magn ́etostatique ne suivirent pas les premiers contacts des savants
avec les ph ́enom`enes magn ́etiques du fait de l’in ́existance des
charges magn ́etiques libres.
L’entit ́e fondamentale du magn ́etisme ́etait ce qu’on nome
aujourd’hui le dipˆole magn ́etique. en pr ́esence de mat ́eriaux
magn ́etiques, ce dipˆole tend `a s’orienter dans une certaine direction
qui n’est autre que la direction du magn ́etique dont le symbole estB. La d ́efinition du champ magn ́etique est plus complexe. Il a fallut
attendre l’ ́etablissement du lien entre courant ́electrique et champ
magn ́etique pour avoir une compr ́ehension quantitative plus
profonde des ph ́enom`enes magn ́etiques.
Champ magn ́etique cr ́e ́e par un circuit ́electrique
filiforme
Consid ́erons unfil conducteur dont la section droite est infiniment
petite, travers ́e par un courant ́electrique permanent d’intensit ́e I.
Soit dl un ́el ́ement de longueur de cefil conducteur centr ́e sur le
point P. Il va g ́en ́erer en un point M de l’espace un champ
magn ́etique ́el ́ementaire dB.
Biot et Savart, apr`es une s ́erie d’exp ́eriences et d’observation, ont
pu montrer que le champ magn ́etique g ́en ́er ́e au point M est
proportionnel `a l’intensit ́e du courant I. Il est inversement
proportionnel `a la distance PM2 et sa direction est perpendiculaire
au plan d ́efini par les vecteurs dl et PM.
dB (M) =μ 04π I (P) dlP ∧PM PM3 Le champ magn ́etique ́el ́ementaire dB n’a pas de signification
physique du fait qu’il est difficile d’isoler une portion ́el ́ementaire du
fil conducteur tout en supposant qu’elle va cr ́eer au point M le
champ dB `a l’image de ce que fait le champ ́electrique ́el ́ementaire
dE g ́en ́er ́e par une charge dq.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Loi de Biot et Savart pour les circuitsfiliformes ́
Enonc ́e de la loi
Loi de Biot et Savart
Consid ́erons unfil conducteurC travers ́e par un courant ́electrique
permanent I. L’expression du champ magn ́etique total g ́en ́er ́e au
point M est donn ́ee par l’int ́egrale curviligne le long du conducteur
C :
B (M) =μ 04π �I dl∧ PMPM 3avecμ 0
est une constante qui vaut 4π× 10−7 H.m−1 .
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Loi de Biot et Savart pour les circuitsfiliformes
Champ magn ́etique g ́en ́er ́e par une charge en mouvement
Dans le cas d’une charge q mobile avec une vitesse constante, la
loi de Biot et Savart se transforme facilement en l’expression
ci-dessous en rempla ̧cant I dl (P) par qv tel que :
B (M) =μ 04π qv∧ PMPM 3
Cette relation n’est valable que lorsque la vitesse de la charge est
tr`es faible devant celle de la c ́el ́erit ́e de la lumi`ere sinon les effets
relativistes doivent ˆetre prises en consid ́eration.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Invariances et sym ́etries
Invariances des sources
L’invariance est une propri ́et ́e qui permet de r ́eduire le nombre de variables
pertinentes dont d ́epend la source produisant le ph ́enom`ene physique sujet de
l’ ́etude. En magn ́eto-statique, la source des champs magn ́etiques permanent est
le courant ́electrique. Il serait alors judicieux d’explorer les types d’invariances
qui peuvent caract ́eriser la densit ́e de courant volumique J.
Invariance de translation
La densit ́e de courant ́electrique J est invariante par translation si pour tout
vecteur t on a :
J (r + t) = J (r)
Dans un tel cas J ne d ́epend pas de la variable point ́e par le vecteur t.
Invariance de rotation
Si la densit ́e de courant J est invariante par toute rotationθ autour d’un axe ou
un point, alors J ne d ́ependra pas de l’angle en question.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Invariances et sym ́etries
Sym ́etries de J et B
Si la densit ́e de courant dans un domaine donn ́e de l’espace pr ́esente des
plans de sym ́etries qui contiennent le point M o`u on veut ́evaluer le
champ magn ́etique, alors ce dernier est affect ́e par ses plans de sym ́etrie
de la fa ̧con suivante :
Plan de Sym ́etrieP
Le champ magn ́etique est un pseudo-vecteur. Sa transformation par
op ́eration de sym ́etrie par rapport au planP implique que B (M)⊥P.
Plan d’anti-sym ́etrieP� La transformation du champ d’induction magn ́etique par op ́eration
d’anti-sym ́etrie par rapport au planP� conduit `a ce que B (M)∈P’.
La connaissance des plans de sym ́etrie et d’anti-sym ́etrie pr ́esents au
niveau de la densit ́e de courant permet de d ́eterminer la direction du
champ magn ́etique B.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
D ́emarche g ́en ́erale pour le calcul direct du champ magn ́etique
Analyser les invariances du probl`eme pour d ́eterminer le
syst`eme de coordonn ́e `a utiliser.
Identifier les transformations de sym ́etrie pour d ́eterminer la
direction du champ magn ́etique.
D ́eterminer l’expression du champ magn ́etique ́el ́ementaire et
sp ́ecifier la base de projection.
Sp ́ecifier les bornes de l’int ́egrale et r ́ealiser le calcul.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
Champ magn ́etique cr ́e ́e par un segment conducteur
Exemple 1
Soit un segment [AB] travers ́e par un courant permanent I et soit
M un point de la droite m ́ediatrice de [AB] o`u on veut ́evaluer B.
En appliquant les ́etapes ́enonc ́ees pr ́ec ́edemment `a notre
probl`eme, on trouve :
B (M) =μ 0I 4πr1 �� rL �2 +1 4e θ
Dans le cas o`u le segment est infini (L−→∞) :
B (M) =μ 0I 2πre θ
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
Champ magn ́etique cr ́e ́e par un cercle
Champ cr ́e ́e par une spire
Soit un cercleC de rayon R et de centre O parcouru par un courant
d’intensit ́e I. Soit M un point de l’axe du cercle o`u on veut ́evaluer B. En
suivant les ́etapes ́enonc ́ees pr ́ec ́edemment on trouve :
d B (M ) =μ 0I 4πR �(R 2
+ z2 )3 (z er + R ez ) dθ
Des consid ́erations de sym ́etrie impose au champ magn ́etique
d’ˆetre dirig ́e selon l’axe (oz), en projetant l’expression de dB sur
cet axe on aboutit `a l’expressionfinale de B :
B (M ) =μ 0I 2Rsin 3αe z
avec sinα =R /√ (R2 +z2 ).
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
Champ magn ́etique sur l’axe d’un sol ́eno ̈ıde Sol ́eno ̈ıde Un sol ́eno ̈
ıde est form ́e par N spires circulaires identiques et parcourues
toutes par le mˆeme courant ́electrique d’intensit ́e I dans le mˆeme sens.
soit n =N L
le nombre de spires par unit ́e de longueur. Chaque spire de
notre sol ́eno ̈
ıde va cr ́eer au point M de l’axe (oz) du sol ́eno ̈
ıde un champ
magn ́etique ́el ́ementaire :
dB (M) = nμ 0I 2Rsin 3
α dz ez avec dz =−Rdα sin2 α
Le champ magn ́etique totale en un point M de l’axe du sol ́eno ̈
ıde est
donn ́e par l’expression suivante :
B (M) = nμ 0I 2(cosα 2
− cosα1 ) ez Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
Champ magn ́etique cr ́e ́e par une bobine plate sur son axeI
Bobines d’Helmoltz
Les bobines d’Helmoltz sont deux bobines plates circulaire identiques
assimilables `a deux spires dont les centres sont espac ́e d’une distance d
et qui sont port ́es par le mˆeme axe (Δ). les deux spires sont parcourrues
par le mˆeme courant dans le mˆeme sens. Soit M un point de l’axe (Δ) ou
on veut calculer le champ magn ́etique total B (M)cr ́e ́e par les deux
spires. Le principe de supperposition permet d’ ́ecrire :
B (M) = B1 (M) + B2 (M)
Or on a d ́ej`a ́etablit que :B i= μ0 I2R sin3 αi ez Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
Champ magn ́etique cr ́e ́e par une bobine plate sur son axeII
et sachant que :sinα 1= R� R2 + (z + d/2)2 etsinα2 =R �R 2
+ (z− d/2)2 Le champ magn ́etique total en M s’ ́ecrit :
B (M) =μ 0I 2R � 1 +� z +d 2� 2/R 2� −3/2 +� 1 +� z−d 2� 2/R 2� −3/2 ez Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
G ́en ́eralisation des lois de Biot et SavartI
La loi de Biot et Savart permet seulement le calcul du champ magn ́etique
g ́en ́er ́e par une source de courantfiliforme, qu’en est-il alors pour une
distribution de courant surfacique ou volumique ?
Cas d’une distributation surfacique du courant :
B (M) =μ 04π ��Σ Js ∧ PMPM 3dS Cas d’une distribution volumique de courant :
B (M) =μ 04π ���Ω J∧ PMPM 3dτ Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Exemples de calcul directe deB
G ́en ́eralisation des lois de Biot et SavartII
Attention
Lorsque on manipule la densit ́e de courant au lieu de l’intensit ́e de
courant, les cons ́equences de l’invariance sont transposables de la source
au champ magn ́etique.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Th ́eor`eme d’Amp`ere
Introduction
Le th ́eor`eme d’Amp`ere joue un rˆole important en magn ́etostatique.
Il a le mˆeme degr ́e d’importance que le th ́eor`eme de Gauss pour le
calcul du champ ́electrique. Si le th ́eor`eme de Gauss permet de
relier leflux du champ ́electrique qui traverse une surface ferm ́ee `a
la quantit ́e de charges contenus dans le volume envellop ́e par cette
surface. Alors le th ́eor`eme d’Amp`ere sert `a relier la circulation du
champ magn ́etique sur un contour ferm ́e au courant qui traverse la
surface qui s’appuie sur ce contour. C’est par l’interm ́ediaire de ce
th ́eor`eme que nous acqu ́erierons la capacit ́e de calculer le champ
magn ́etique g ́en ́er ́e par un conducteur `a g ́eom ́etrie plus au moins
complexe.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Th ́eor`eme d’Amp`ere
Formulation du th ́eor`eme d’Amp`ere
Circulation d’un champ magn ́etique g ́en ́er ́e par unfil conducteur
infiniment long
Le champ magn ́etostatique g ́en ́er ́e par unfil conducteur est donn ́e
par :
B (M) =μ 0I 2πre θ
SoitΓ un contour qui enlace lefil conducteur, alors l’expression de
la circulation est donn ́e par :
C =� Γ
B (M).d OM =μ 0I 2π� Γ
dθ =μ0 I
Dans le cas ou le contourΓ n’encercle pas lefil conducteur on
trouve :
C =μ 0I 2π θ(P2 )� θ(P1 )
dθ +θ(P 1) �θ(P 2) dθ = 0
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Th ́eor`eme d’Amp`ere ́
Enonc ́e du th ́eor`emeI Th ́eor`eme
La circulation du champ magn ́etique le long d’un contour ferm ́eΓ orient ́e
est ́egale au produit deμ0 par l’intensit ́e totale du courant qui traverse
toute surface s’appyuant surC :� Γ
B (M).d OM =μ0 It Notez bien
On choisit le sens positif pour les courants en utilisant la r ́egle du
tire-bouchon appliqu ́ee dans le sens d’orientation du contour ferm ́eΓ.
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Th ́eor`eme d’Amp`ere ́
Enonc ́e du th ́eor`emeII Th ́eor`eme d’Amp`ere : formulation locale
En utilisant le th ́eor`eme de Stockes, on ́etablit la forme dite locale du
th ́eor`eme d’Amp`ere :
rotB =μ0 J
Magn ́etostatique
Introduction `a la magn ́etostatique
Th ́eor`eme d’Amp`ere ́
Etude de cas
Le th ́eor`eme d’Amp`ere permet de simplifier le calcul du champ
magn ́etique g ́en ́er ́e par un conducteur travers ́e par une densit ́e de courant
J. On fait appel `a ses services lorsque l’analyse des invariances et des
sym ́etries aura fournit des informations pr ́ecises sur la direction et le
nombre de variables dont d ́epend le champ magn ́etique. Pour exploiter
son potentiel dans le calcul de ce dernier, il convient de bien choisir le
contour d’Amp`ere. Pour ce faire, deux solutions s’offrent `a nous, soit on
utilise des contours tangents au champ magn ́etique soit des contours
dont le vecteur vengeant est perpendiculaire `a B (M).
fil rectiligne infinie
L’expression du champ magn ́etique est donn ́ee par :
B (M) =μ 0I 2πre θ