Magnétostatique : Cours equation locale conservation charges
Télécharger PDFÉquation de continuité en électromagnétisme
Considérons un volume Ω délimité par une surface fermée Σ et possédant une densité volumique ρm non-uniforme et variable dans le temps.
La charge totale QT dans le volume Ω est donnée par :
QT = ∫Ω ρm(P, t) dτ
L’intensité du courant qui sort de la surface fermée Σ est égale à :
I = ∫Σ →J · →ds = dQ/dt
∫Σ →J · →ds = d/dt ∫Ω ρm dτ
En utilisant le théorème d’Ostrogradsky, on obtient :
∫Ω (∂ρm/∂t + div →J) dτ = 0
Cette relation est vraie quelque soit le volume d’intégration Ω. Cela mène à l’établissement de la forme locale de l’équation de la conservation de la charge électrique, aussi appelée équation de continuité :
∂ρm/∂t + div →J = 0
Cette équation traduit le fait suivant : toute variation de la charge électrique en volume est due principalement au flux des charges électriques vers ou depuis le volume Ω. En d’autres termes, il n’y a aucune création ou annihilation des charges électriques.
Conséquences
En régime stationnaire, la dérivée temporelle dans l’équation de conservation de la charge électrique est nulle. Il en résulte que la densité de courant volumique est à flux conservatif :
div →J = 0
En intégrant cette expression sur un volume Ω du conducteur C, on trouve :
∫Ω div →J dτ = ∫Σ →J · →ds = 0
où Σ = Σb1 + Σb2 + Σl représente la peau du volume Ω.
∫Σb1 →J · →ds + ∫Σb2 →J · →ds + ∫Σl →J · →ds = 0
Le flux de la densité de courant volumique est nul à travers Σl :
⇒ −∫Σb1 →J · →n ds + ∫Σb2 →J · →n ds = 0
I1 = I2
L’intensité du courant électrique est constante dans le conducteur C. On peut aussi établir, en suivant la même démarche, la loi des nœuds pour le courant électrique.
I = I1 + I2
Polarisation dans les milieux diélectriques
Les milieux diélectriques sont des milieux dans lesquels les charges électriques sont liées et ne peuvent pas se mobiliser pour transporter le courant électrique. En d’autres termes, les milieux diélectriques sont des milieux isolants d’un point de vue de la conduction électrique.
En absence d’excitation électrique extérieure, un diélectrique est électriquement neutre. Les dipôles électriques atomiques ou moléculaires qui le forment sont orientés de façon aléatoire. À l’application d’un champ électrique extérieur, les atomes ou les molécules du diélectrique ont tendance à s’orienter dans la direction du champ appliqué. C’est le phénomène de polarisation électrique.
Types de polarisation
On distingue trois types de polarisation électrique, classés dans un ordre ascendant :
Polarisation électronique
C’est une polarisation qui affecte le nuage électronique dans les liaisons covalentes. Elle a tendance à déplacer le barycentre du nuage électronique de telle sorte à faire apparaître un moment dipolaire local. Ce type de polarisation est le plus faible et entièrement masqué par les autres types de polarisation.
Polarisation ionique
C’est une polarisation qui affecte les ions dans une structure cristalline ionique. Les ions se déplacent de leur position d’équilibre en présence d’un champ électrique extérieur, menant ainsi à l’apparition d’un moment dipolaire global.
Polarisation par orientation
Dans certains gaz ou liquides, les molécules sont individuellement polarisées. La résultante globale du vecteur polarisation à l’échelle macroscopique est nulle en raison de l’agitation thermique aléatoire des molécules.
Lorsqu’on applique un champ extérieur au gaz ou au liquide, les molécules ont tendance à s’orienter dans sa direction, conduisant ainsi à l’apparition d’une polarisation macroscopique par l’unification de l’orientation de tous les moments dipolaires individuels.
Vecteur de polarisation
Considérons un élément de volume infinitésimal dτ d’un diélectrique polarisé avec un moment dipolaire →dp non nul.
La polarisation globale du volume Ω du diélectrique est caractérisée par le vecteur de polarisation en tout point de Ω.
Propriété
Le vecteur de polarisation →P est une densité volumique de moment dipolaire définie par :
→P = →dp/dτ
Densité de courants et de charges équivalentes
Densité de courant équivalente
La matière diélectrique polarisée peut être considérée comme du vide siège d’une densité de courant volumique fictive. On parle de courants liés, par opposition aux courants libres. Cette densité de courants liés, présente en tout point de la matière diélectrique polarisée, s’écrit :
→jp = ∂→P/∂t
Densité de charges équivalentes
La matière diélectrique polarisée peut être considérée comme du vide siège d’une densité de charges volumiques fictives. On parle de charges liées, par opposition aux charges libres. La densité s’écrit :
ρp = −div →P
Introduction à la magnétostatique
Historiquement, la connaissance des phénomènes magnétiques est au moins aussi ancienne que celle des phénomènes électriques. Les pierres magnétiques sont connues depuis l’Antiquité ; la boussole du marin est une vieille invention. Cependant, les lois de la magnétostatique ne suivirent pas les premiers contacts des scientifiques avec les phénomènes magnétiques en raison de l’inexistence des charges magnétiques libres.
L’entité fondamentale du magnétisme était ce qu’on nomme aujourd’hui le dipôle magnétique. En présence de matériaux magnétiques, ce dipôle tend à s’orienter dans une certaine direction, qui n’est autre que celle du champ magnétique dont le symbole est →B. La définition du champ magnétique est plus complexe et a nécessité l’établissement du lien entre courant électrique et champ magnétique pour une compréhension quantitative plus profonde des phénomènes magnétiques.
Champ magnétique créé par un circuit électrique filiforme
Considérons un fil conducteur dont la section droite est infiniment petite, traversé par un courant électrique permanent d’intensité I. Soit dl un élément de longueur de ce fil conducteur centré sur le point P. Il génère en un point M de l’espace un champ magnétique élémentaire d→B.
Biot et Savart, après une série d’expériences et d’observations, ont pu montrer que le champ magnétique généré au point M est proportionnel à l’intensité du courant I. Il est inversement proportionnel à la distance PM2 et sa direction est perpendiculaire au plan défini par les vecteurs dl et PM.
d→B(M) = (μ0/4π) I (dl(P) ∧ PM) / PM3
Le champ magnétique élémentaire d→B n’a pas de signification physique car il est difficile d’isoler une portion élémentaire du fil conducteur tout en supposant qu’elle crée au point M le champ d→B comme le fait le champ électrique élémentaire d→E généré par une charge dq.
Loi de Biot et Savart pour les circuits filiformes
Considérons un fil conducteur C traversé par un courant électrique permanent I. L’expression du champ magnétique total généré au point M est donnée par l’intégrale curviligne le long du conducteur C :
→B(M) = (μ0/4π) ∫C I dl ∧ PM / PM3
avec μ0 une constante valant 4π × 10−7 H·m−1.
Champ magnétique créé par une charge en mouvement
Dans le cas d’une charge q mobile avec une vitesse constante, la loi de Biot et Savart se transforme en l’expression suivante en remplaçant I dl(P) par q→v :
→B(M) = (μ0/4π) q→v ∧ PM / PM3
Cette relation n’est valable que lorsque la vitesse de la charge est très faible devant celle de la célérité de la lumière ; sinon, les effets relativistes doivent être pris en considération.
Invariances et symétries
L’invariance est une propriété qui permet de réduire le nombre de variables pertinentes dont dépend la source produisant le phénomène physique étudié. En magnétostatique, la source des champs magnétiques permanents est le courant électrique. Il est judicieux d’explorer les types d’invariances qui peuvent caractériser la densité de courant volumique →J.
Invariance de translation
La densité de courant électrique →J est invariante par translation si pour tout vecteur →t on a :
→J(→r + →t) = →J(→r)
Dans un tel cas, →J ne dépend pas de la variable pointée par le vecteur →t.
Invariance de rotation
Si la densité de courant →J est invariante par toute rotation θ autour d’un axe ou d’un point, alors →J ne dépendra pas de l’angle en question.
Symétries de →J et →B
Si la densité de courant dans un domaine donné de l’espace présente des plans de symétrie contenant le point M où l’on veut évaluer le champ magnétique, alors ce dernier est affecté par ces plans de symétrie de la façon suivante :
Plan de symétrie P
Le champ magnétique est un pseudo-vecteur. Sa transformation par opération de symétrie par rapport au plan P implique que →B(M) ⊥ P.
Plan d’anti-symétrie P
La transformation du champ d’induction magnétique par opération d’anti-symétrie par rapport au plan P conduit à ce que →B(M) ∈ P.
La connaissance des plans de symétrie et d’anti-symétrie présents au niveau de la densité de courant permet de déterminer la direction du champ magnétique →B.
Exemples de calcul direct de →B
Pour calculer directement le champ magnétique, il faut suivre une démarche générale :
1. Analyser les invariances du problème pour déterminer le système de coordonnées à utiliser.
2. Identifier les transformations de symétrie pour déterminer la direction du champ magnétique.
3. Déterminer l’expression du champ magnétique élémentaire et spécifier la base de projection.
4. Spécifier les bornes de l’intégrale et réaliser le calcul.
Champ magnétique créé par un segment conducteur
Soit un segment [AB] traversé par un courant permanent I et M un point de la droite médiatrice de [AB] où l’on veut évaluer →B.
En appliquant les étapes énoncées précédemment à notre problème, on obtient :
→B(M) = (μ0I/4πr1) [→rL/(→rL2 + 1) / 4eθ]
Dans le cas où le segment est infini (L → ∞) :
→B(M) = (μ0I/2πr) eθ
Champ magnétique créé par un cercle
Soit un cercle C de rayon R et de centre O parcouru par un courant d’intensité I. M est un point de l’axe du cercle où l’on veut évaluer →B.
En suivant les étapes énoncées précédemment, on trouve :
d→B(M) = (μ0I/4πR) [(R2 + z2)−3/2 (z er + R ez)] dθ
Des considérations de symétrie imposent que le champ magnétique soit dirigé selon l’axe (oz). En projetant l’expression de d→B sur cet axe, on aboutit à l’expression finale de →B :
→B(M) = (μ0I/2R) sin3α ez
avec sin α = R / √(R2 + z2).
Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde
Un solénoïde est formé par N spires circulaires identiques et parcourues toutes par le même courant électrique d’intensité I dans le même sens.
Soit n = N/L le nombre de spires par unité de longueur. Chaque spire de notre solénoïde crée au point M de l’axe (oz) du solénoïde un champ magnétique élémentaire :
d→B(M) = n (μ0I/2R) sin3α dz ez
avec dz = −R dα sin2α.
Le champ magnétique total en un point M de l’axe du solénoïde est donné par l’expression suivante :
→B(M) = n (μ0I/2) (cos α2 − cos α1) ez
Champ magnétique créé par une bobine plate sur son axe
Les bobines d’Helmholtz sont deux bobines plates circulaires identiques assimilables à deux spires dont les centres sont espacés d’une distance d et portées par le même axe (Δ). Les deux spires sont parcourues par le même courant dans le même sens.
Soit M un point de l’axe (Δ) où l’on veut calculer le champ magnétique total →B(M) créé par les deux spires. Le principe de superposition permet d’écrire :
→B(M) = →B1(M) + →B2(M)