Magnétostatique : Exercices electromagnetisme
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Exercice 1
Relations utiles en coordonnées cartésiennes et sphériques.
Pour un vecteur position r défini en coordonnées sphériques par r = r u_r, calculer les expressions suivantes :
r∇, r₁∇, r•∇, r∧∇.
Exercice 2
Soit V = rⁿ u_r, où n est un nombre entier relatif (n ∈ ℤ).
a) Calculer V•∇ et V∧∇.
b) Si n = −2, que vaut alors V•∇ ? Interpréter la valeur obtenue et citer une grandeur physique que l’on peut représenter par ce cas particulier.
Exercice 3
Forme locale du théorème de Gauss.
On considère une sphère pleine uniformément chargée de densité volumique ρ (en C/m³). Calculer, en utilisant la forme locale du théorème de Gauss (équation de Maxwell-Gauss), le champ électrique E créé par la sphère en tout point de l’espace. Vérifier ensuite qu’on retrouve bien la même chose en utilisant la forme intégrale du théorème de Gauss.
Exercice 4
Conservation du champ électrostatique.
Calculer la circulation du champ électrostatique le long du cercle AB.
Établir, à partir de cette intégrale, que la circulation ∮_AB→C→D→A E•dl est égale à 0 (zéro) pour un champ électrostatique. Interpréter cette conservation et citer une grandeur physique associée.
Exercice 5
Calcul et interprétation du gradient d’une fonction scalaire.
Soit le champ scalaire V = 1/(4πε₀ r). Calculer V(r)∇ et l’interpréter suivant le sens des lignes de champ de cette charge.
Exercice 6
Circulation d’un champ.
Soit le champ vectoriel F = (2x² + y²)u_x + (2y² + x²)u_y + z²u_z. Calculer la circulation de F sur un contour circulaire fermé de centre O(0,0,0) et de rayon a.
Exercice 7
Champ électrostatique créé par une coquille sphérique vide uniformément chargée.
On considère une coquille sphérique vide de centre O, de rayon R, uniformément chargée par une densité de charge superficielle σ (en C/m²). Déterminer le champ électrique E en tout point de l’espace en utilisant les équations locales de l’électrostatique.
Exercice 8
Équations locales de l’électrostatique.
On se place en coordonnées cartésiennes (x,y,z) et on considère les plans z = constante. On a une distribution volumique de charges ρ nulle pour |z| > a et égale à ρ₀ pour |z| ≤ a.
Déterminer, avec les équations locales, le champ électrostatique E en tout point de l’espace. Que se passe-t-il quand a tend vers 0 ?
Exercice 9
Équations locales de l’électrostatique.
Considérons deux plaques conductrices infinies, parallèles, l’une portée au potentiel V₁ et l’autre au potentiel V₂ (V₁ > V₂ > 0). Les deux plaques sont séparées d’une distance e = 1 mm.
La différence de potentiel appliquée au condensateur est de 10 V.
− Déterminer la capacité du condensateur en résolvant l’équation de Poisson.
− Calculer la densité d’énergie locale, en J/m³, dans l’espace vide entre les armatures.
− En déduire la densité de flux électrique D (le vecteur déplacement électrique).
Exercice 10
Vérification des équations de Maxwell dans le régime stationnaire.
Considérons le champ électrique E = (ρ₀/ε₀)u_z et la densité de flux magnétique B = (μ₀I/2πr)u_φ, dans une région de l’espace dépourvue de charge et de courant.
− Calculer la divergence et le rotationnel de ces vecteurs.
− Calculer E∧∇ et B•∇ et conclure.
FAQ
1. Qu’est-ce qu’un champ électrostatique ?
Un champ électrostatique est un champ électrique créé par des charges électriques fixes dans le temps. Il est conservatif, ce qui signifie que son travail sur une trajectoire fermée est nul.
2. Comment interpréter le gradient d’une fonction scalaire en électrostatique ?
Le gradient d’une fonction scalaire V, noté ∇V, représente la force électrostatique par unité de charge positive. Ses lignes de champ indiquent la direction de la force et leur densité est proportionnelle à l’intensité du champ.
3. En quoi consiste la loi de Coulomb ?
La loi de Coulomb décrit la force électrostatique entre deux charges ponctuelles. Elle stipule que la force est proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.