Magnétostatique : Exercices electromagnetisme
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TRAVAUX DIRIG
Exercice 1Relations utiles. En coordonnées cartésiennes, le En coordonnées sphériques, rr=
Calculer r∇, r1 ∇
, r•∇, •∇
Exercice 2Soit rn uVr=
où n est un nombre entier relatif (
a) CalculerV•∇et V∧∇. b) Si n = − 2, que vaut alors
que l’on peut représenter par ce cas particulier.
Exercice 3Forme locale du théorème de Gauss
On considère une sphère pleine uniformément chargée volumique ρ
en C/m3 . Calculer, Maxwell-Gauss), le champ électrique retrouve bien la même chose en utilisant la forme intégrale du théorème de Gauss.
Exercice 4Conservation du champ électrostatique.
3. Calculer la circulation du champ électrostatique
puis refaire le calcul sur la 4. L’intégrale ∫•= c
ldEI est, en fait, égale à 0 (
électrostatique. Etablir, à partir de électrostatique.
Exercice 5Calcul et interprétation du g
Soit le champ scalaire 04π 1V ε= Calculer)V(r∇ et l’interpréter suivant le sens des lignes qt Q →= →E tqF A B C Sci. Ing., 2
e année. A.-U. : 2020-2021. Session d’Automne
RAVAUX DIRIGÉS DE L′ ÉLECTROMAGNÉTISME
Série n° 01 − A −
vecteur zyx
zyxuuu++=r
repère un point r
ru. r
u•, r1 ∆
, 2r ru •∇, r∧∇, r
u∧∇ et ru ∧∇
est un nombre entier relatif (n∈Ζ ). , que vaut alorsV•∇? Interpréter la valeur obtenue et citer une grandeur physique que l’on peut représenter par ce cas particulier. Forme locale du théorème de Gauss. uniformément chargée de centre O, de rayon R, Calculer, en utilisant la forme locale du théorème de Gauss
, le champ électrique E créé par la sphère en tout point de l’espace
n utilisant la forme intégrale du théorème de Gauss.
du champ électrostatique. Une charge témoin q
t se déplace dans un champ vectoriel électrostatique créé par une charge ponctuelle Q négative (Q
On donne : rkuE 2r Q
= , EFt q=
1. Qu’est ce que c’est qu’une
2. Etablir, en utilisant les théorèmes généraux, l’intégrale suivante : =−=∆ABAB )VV(V
champ électrostatique le long du cercle, en gras
efaire le calcul sur la trajectoire fermée ABCDA. Justifier les calculs
est, en fait, égale à 0 (ZERO) et ce, quelle que soit le champ vectoriel électrostatique. Etablir, à partir de I=0, l’équation locale de Maxwell nterprétation du gradient d’une fonction scalaire. r
Q où Q est une charge ponctuelle quelconque.
et l’interpréter suivant le sens des lignes de champ de cette charge.D Page 1 sur 2 d’Automne TISME M(x, y, z) dans l’espace. 2r ru . ? Interpréter la valeur obtenue et citer une grandeur physique de centre O, de rayon R, de densité de charge utilisant la forme locale du théorème de Gauss (équation de en tout point de l’espace puis vérifier qu’on n utilisant la forme intégrale du théorème de Gauss. se déplace dans un champ vectoriel électrostatique créé par une Q négative (Q < 0). E où rr ru= que c’est qu’une charge témoin ? Etablir, en utilisant les théorèmes généraux, ∫•− BA ldE
en gras, entourant la charge Q les calculs. ) et ce, quelle que soit le champ vectoriel –Conservation du champ est une charge ponctuelle quelconque. de champ de cette charge. Prof. : Bendaoud Saad
Exercice 6Circulation d’un champ Soit le champ vectoriel suivant : Calculer la circulation de F sur un
Exercice 7Champ électrostatique créé par une On considère une coquille sphérique densité de charge superficielle σ
par la résolution des équations locales de l’électrostatique.
Exercice 8Équations locales de l’électrostatique.
Considérons deux plaques conductrices infinies
potentiel V
2 (V1 >V2 >0). Les deux plaques sont séparées d’une distance de chaque plaque et la d.d.p. appliqu
− Déterminer la capacité du condensateur
− Calculer la densité d’énergie locale, en J/m
− En déduire la densité de flux électrique
Exercice 9Équations locales de l’électrostatique.
On se place en coordonnés cartésienne (
constante. On a une distribution volumique de charges Déterminez avec les équations locales, le champ électrostatique passe-t-il quand a tend vers 0 ?
Exercice 10Vérification des équations de Maxwell dans le régime stationnaire.
Considérons le champ électrique et l
région de l’espace dépourvue de charge et de courant, donnés respectivement par les expressions suivantes : ρ0 ρλ 2π1 uEε = et =B
− Calculer la divergence et le rotationnel de ces vecteurs
− Calculer E∧∇ et B•∇
et Savart : ∫∧ =2 0I 4πμ rd Bl : Circulation d’un champ sur un contour circulaire fermé. zyxyx xyx yuuuF0 2222+ ++ +−= sur un pourtour circulaire de centre O(0,0,0) et de rayon Champ électrostatique créé par une coquille vide uniformément chargée.
coquille sphérique vide de centre O, de rayon R, un énormément en C/m2 . Déterminer le champ électrique E es équations locales de l’électrostatique. Équations locales de l’électrostatique. deux plaques conductrices infinies, parallèles, l’une portée au potentiel V
Les deux plaques sont séparées d’une distance e = 1 mm
appliquée au condensateur est de 10 V. la capacité du condensateur ainsi formé en résolvant l’équation de Poisson
Calculer la densité d’énergie locale, en J/m3 , dans l’espace vide entre les armatures. é de flux électrique D (le vecteur déplacement électrique
Équations locales de l’électrostatique. en coordonnés cartésienne (x,y,z) et on considère les plans z = constante. On a une distribution volumique de charges ρ nulle pour z > a et égale à Déterminez avec les équations locales, le champ électrostatique E en tout point de l’espace. Que se Vérification des équations de Maxwell dans le régime stationnaire.
Considérons le champ électrique et la densité de flux magnétique en un point M quelconque, d’une région de l’espace dépourvue de charge et de courant, donnés respectivement par les expressions φ=u ρI 2πμ 0
. Calculer la divergence et le rotationnel de ces vecteurs et conclure.
dans le cas de la loi de Coulomb : Eπε =4 10 ∧u respectivement. *****
Page 2 sur 2 de centre O(0,0,0) et de rayon a. uniformément chargée. un énormément chargée par une en tout point de l’espace , l’une portée au potentiel V
1 et l’autre au e = 1 mm. On note S la surface l’équation de Poisson. , dans l’espace vide entre les armatures. vecteur déplacement électrique). a et z = −a où a est une et égale à ρ
0 pour z≤ a. en tout point de l’espace. Que se Vérification des équations de Maxwell dans le régime stationnaire. en un point M quelconque, d’une région de l’espace dépourvue de charge et de courant, donnés respectivement par les expressions u∫ 2dq 0
r et la loi de Biot