Magnétostatique : Cours equation de maxwell ampere dans le regime variable
Télécharger PDF4.1. Conservation de la charge électrique
Considérons un corps de volume v, fixe dans l’espace et délimité par une surface S quelconque fermée. Dans ce volume, il existe, à un instant t, une charge électrique Qv variable égale à :
Qv = ∫∫∫v ρ dv
La surface fermée S représente la frontière entre le volume v et le milieu extérieur contenant, à la même instant t, une charge Qm, elle aussi variable.
Le courant électrique I qui traverse la surface S fermée vers l’extérieur est :
I = ∫∫S jn dS
À tout instant t, la charge électrique totale qui existe dans le volume v et son environnement est constante. On écrit :
C’est la conservation de la charge : « La charge électrique d’un système ne peut ni se perdre ni se créer : elle ne peut être que transférée d’un milieu à un autre ».
En un intervalle de temps infinitésimal dt, le taux de variation de Q est égal, en valeur absolue, au taux de variation de Qm.
On écrit :
dQm/dt = -dQv/dt
C’est l’équation différentielle de conservation de la charge. Ici, le taux de variation de Qv/dt est négatif et le taux de Qm/dt positif de sorte que leur somme soit égale à zéro à chaque instant t.
Équation de continuité
La charge électrique Qv est fixe dans l’espace, donc le courant électrique qui traverse la surface fermée S est par définition :
I = -dQv/dt
De sorte que l’équation différentielle de conservation de la charge s’écrit :
∫∫∫v ∂ρ/∂t dv + ∫∫S jn dS = 0
D’après le théorème de Green-Ostrogradski, on obtient :
∂ρ/∂t + ∇·j = 0
C’est l’équation locale de conservation de la charge électrique.
Temps de relaxation diélectrique
La loi d’Ohm locale, j = σE, où σ représente la conductivité électrique, permet d’écrire l’équation de continuité sous la forme :
∂ρ/∂t = σ/ε0 ∇·E
Avec l’équation de Maxwell-Gauss (éq. M-G), on obtient :
∂ρ/∂t = σ/ε0 ∇·(ρ/ε0)
La solution de cette équation est :
ρ(t) = ρ0 exp(-t/τ)
où τ = ε0/σ est le temps de relaxation diélectrique, également appelé durée de relaxation diélectrique. C’est la durée nécessaire pour que 63 % d’un excès de charge électrique disparaisse. La constante du temps τ est de l’ordre de 103 s à 106 s pour les isolants.
FAQ
Qu’est-ce que la conservation de la charge électrique ?
La conservation de la charge électrique stipule qu’une charge ne peut ni être créée ni détruite, mais seulement transférée d’un milieu à un autre.
Comment s’écrit l’équation de continuité ?
L’équation de continuité s’écrit : ∂ρ/∂t + ∇·j = 0.
Quelle est la signification du temps de relaxation diélectrique ?
Le temps de relaxation diélectrique est la durée nécessaire pour que 63 % d’un excès de charge électrique disparaisse dans un matériau isolant.