Magnétostatique : Cours equation de maxwell ampere dans le regime variable
Télécharger PDF4.1. Conservation de la charge é
lectrique
4.2. Modè le de Drude - Conductivit
é é
lectrique
4.3. Problè me de l’ incompatibilité entre l'é quation de continuité et l’é quation de Maxwell- Ampè re / Paradoxe du condensateur / Pl an du ch ap it re Maxwell- Ampè re / Paradoxe du condensateur / Introduction du Courant de dé placement.
4.4. Thé orè me de Maxwell-Ampè re dans le ré gime variable / levé de l’ incompatibilité entre l'é quation de continuité et l’é quation de Maxwell-Ampè re / Ré solution du Paradoxe.
4.5. Limites de validité de l'é quation de Maxwell-Ampè re. Ré sumé .2 ENSA-Safi; Université Cadi Ayyad
Prof.: Bendaoud Saâ dÉ le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-2021
Les é
quations de Maxwell introduites jusqu’à pré sent dans ce cours sont les suivantes :? Ces 4 é
quations sont les piliers sur lesquelles la thé orie de l’é lectromagné tisme a ét éfond é
e. Les é
quations de M-G, M- F et M- Cφ sont valables aussi bien dans le ré gime variable ...0 +μ =∧ ∇J B0 =• ∇B t∂ ∂− =∧ ∇B E0 ερ =• ∇E (é q. M -G) (é q. M -F) (é q. M -A) (é q. M -Cφ ) M- F et M- Cφ sont valables aussi bien dans le ré gime variable que dans le ré gime stationnaire. L’é quation de Maxwell-Amp è
re cependant est incomplè te. Sous sa forme actuelle, elle n’ est valable que dans le ré gime stationnaire et le ré gime lentement variable. Dans ce chapitre, nous all
ons la complé ter pour qu’ elle devient, elle-aussi, valable dans le ré gime variable. À
partir du chapitre 5, nous allons utiliser ces é
quations pour é
tudier la propagation des ondes é
lectromagné tiques et leurs interactions avec les maté riaux.3 ENSA-Safi; Université Cadi Ayyad
Prof.: Bendaoud Saâ dÉ le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-20214 .1 .C on se rv at io nd el ac ha rg eQ vz vρ =Qv /vS Considé rons un corps de volume v, fixe dans l’ espace et dé limité par une surface S quelconque fermé e. Dans ce volume, il existe, à
un instant t, une charge é
lectrique Qv variable é
gale à
: Qm ndS milieu extérieur j4 ENSA-Safi; Université Cadi Ayyad
Prof.: Bendaoud Saâ dS En gé né ral, ρ= ρ
(x,y,z,t). La surface fermé e S repré sente la frontiè re entre le volume v et le milieu exté rieur contenant, à
la mê me instant t, une charge Qm , elle aussi, variable. Le courant é
lectrique I qui traverse la surface S fermé e vers l’ exté rieur est : j∫∫∫ =v vρ dvQ dS. IS ∫∫= nj yx Él ec tr om ag né ti sm e2 e
CP inté gré . AU:2020-2021À tout instant t, la charge é
lectrique totale qui existe dans le volume v et son environnement est constante
. On é
crit : C’ est la conservation de la charge : «
La charge é
lectrique d’ un systè me ne peut ni se perdre ni se créer
: elle ne peut ê
tre que transféréed ’
un milieu à
un autre »
. En un intervalle de temps infinité simal dt, le taux de variation de Q
est é
gal, en valeur absolue, au taux de () () Ctet t= +m vQ Q5 ENSA-Safi; Université Cadi Ayyad
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variation de Qv est é
gal, en valeur absolue, au taux de variation de Qm . On é
crit :C ’
est l’ équation différentielle de conservation de la charge. Ici, le taux de variation dQv /dt est négatif
et le taux dQm /dt positif
de sorte que leur somme soit é
gale àz é
ro à
chaque instant t.( )( )0 dtt dQdt tdQ mv =+ Él ec tr om ag né ti sm e2 e
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La charge é
lectrique Q
v := 0c ar ve st fi xe dans l’ espace
Le courant é
lectrique qui traverse la surface fermé e S est par dé finition :
de sorte que l’ é
quation diffé rentielle de conservation de ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∂ ∂= ∂∂ +∂ ∂= =⇒ =v vv vv vv dvt ρt (dv)ρ dvt ρρ dvdQ ρdv Qdt ddt dtdQ dtdQ dS. Iv mS −= == ∫∫n j6 ENSA-Safi; Université Cadi Ayyad
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de sorte que l’ é
quation diffé rentielle de conservation de la charge s’é crit :D ’apr è
s le thé orè me de la Green-Ostrogradski, on a :∫∫∫ ∫∫∂ ∂− =v Sdv tρ dS. nj 0t ρv vdv tρ dv= ∂∂ +• ∇∫∫∫ ∫∫∫⇒ ∂∂ −= •∇ jj Él ec tr om ag né ti sm e2 e
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On obtient donc :éé quation de continuitquation de continuitéé C’ est l’é quation locale
de conservation de la charge 0t ρ= ∂∂ +• ∇j 7
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est l’é quation locale
de conservation de la charge é
lectrique. C’ est donc une équation de diffusion.L ’é
quation de continuité montre que dans le ré gime variable, le flux du vecteur densité de courant jn ’
est plus conservatif comme dans le cas des ré gimes stationnaires et quasi-stationnaires.
correspond au cas particulier du courant continu. 0= •∇ jÉ le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-2021
Temps de relaxation diélectriqueLa loi d’ Ohm localeo ù σrepr é
sente la conductivit
é é
lectrique est telle que l’é quation de continuité s’é crit :Avec (é q. M.-G.), on obtient : dont la solution est :E jσ =0 tρ =∂ ∂+ •∇ σE 0ρ ε= •∇ E0 tρ 0= ρε σ+ ∂∂ 8
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dont la solution est :o ùτ = ε0 /σ : temps de relaxation diélectrique appelé e é
galement durée de relaxation diélectrique
. C’ est la duré e né cessaire pour que à
peu prè s 63% d'un excè s de charge é
lectrique disparaisse. La constante du temps τ
est de l’ ordre de 103 s à10 6
pour les isolants.) /t exp(ρ ρ0 τ− =É le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-2021
La densité relative ρ(t)/ ρ
(0) en fonction du temps pour un dié lectrique quelconque) 0( /)t( ρρ 100%) texp( 0τ −ρ =ρ ε0 9
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Prof.: Bendaoud Saâ d37%c 50%τ t10 τσ =τ 0É le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-20214 .2 .M od èl ed eD ru de -L or en tz Les mé taux contiennent des é
lectrons libres (é lectrons de la bande de conduction). Ceux-ci
jouent un rô le important en ce concerne les proprié té s optiques des mé taux en fonction de la fré quence des ondes é
lectromagné tiques. Le 10
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quence des ondes é
lectromagné tiques. Le modè le de Drude permet d’ obtenir la permittivité dié lectrique d’ un mé tal modé lisé par un gaz d’é lectrons libres. Ce modè le s’ applique é
galement aux semi-conducteurs dopé s (pour la contribution due aux é
lectrons de la bande de conduction) ou aux plasmas.É le ct ro ma gn ét is me 2e CP inté gré . AU:2020-2021
La loi d’Ohm locale
, j= σE pré sente la densité de courant j (courant volumique en A/m2 ) comme é
tant liné airement proportionnel au champ é
lectrique E
et la constante de proportionnalité est la conductivité é
lectrique σ
. Le domaine de 11
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conductivité é
lectrique σ