Magnétostatique : Exercices formulaire de magnétostatique
Télécharger PDFFormulaire de magnétostatique et d'induction
1. Champ magnétostatique
Champ magnétique créé par une particule en mouvement à vitesse constante :
B(M) = μ₀/4π (q v̂ ∧ r̂) / r²
Champ magnétique créé par une distribution continue de courant :
B(M) = μ₀/4π ∫∫∫ (j(P) ∧ r̂) / r² dV
Champ magnétique créé par un circuit filiforme (Loi de Biot-Savart) :
B(M) = μ₀/4π I ∮ (dl ∧ r̂) / r²
μ₀ est la perméabilité du vide : μ₀ ≡ 4π × 10⁻⁷ SI (Henry m⁻¹).
2. Flux magnétique à travers une surface
Φ ≡ ∫∫S B · dS
3. Propriétés fondamentales
1. Flux conservatif :
Forme intégrale : ∫∫S B · dS = 0
Forme différentielle : div B = 0
2. Théorème d'Ampère : la circulation de B sur un contour fermé est égale à μ₀ fois le courant traversant une surface qui s'appuie sur ce contour.
Forme intégrale : ∮C B · dl = μ₀ ∫∫S j · dS = μ₀ Iencl
Forme différentielle : rot B = μ₀ j
4. Action magnétique
Sur une particule chargée (Force de Lorentz) : F = q (E + v̂ ∧ B)
Sur un circuit filiforme (Force de Laplace) : FL = ∮ circuit I dl ∧ B
5. Théorème de Maxwell
Quand le champ magnétique est statique, le travail fait par la force de Laplace, FL · dr, lors d'un déplacement, dr, du circuit, est égal au courant dans le circuit fois le changement du flux magnétique traversant le circuit.
dW = I dΦc ⇒ W = I ΔΦc
6. Conséquences du théorème de Maxwell
Énergie potentielle d'interaction magnétique : Um = -I Φc + Cst
Force (à partir de l'énergie potentielle) : FL = -grad Um = I grad Φc
Couple (à partir de l'énergie potentielle) : ΓL = ∑i=1 Γi ei avec Γi = I ∂Φc/∂αi
7. Dipôle magnétique
Définition du moment dipolaire magnétique : m ≡ ½ ∫∫∫ (OP ∧ j) dV
Pour un circuit filiforme dans un plan de surface S : m = I Ŝ n
Énergie d'interaction magnétique : Um = -m · Bext
Couple magnétique sur un dipôle : Γ = m ∧ Bext
Force magnétique sur un dipôle : F = -grad (m · Bext)
8. Induction
L'induction s'applique à des circuits en mouvement et/ou des champs magnétiques qui varient dans le temps.
Loi de Faraday : la force électromotrice dans un circuit est donnée par le changement du flux magnétique à travers le circuit.
Forme intégrale : e ≡ ∮ circuit (E + v̂ ∧ B) · dl = -∫∫S ∂B/∂t · dS = -dΦc/dt
Forme différentielle : rot E = -∂B/∂t
Coefficient d'induction mutuelle : M = Φ₁₂/I₁ = Φ₂₁/I₂
Coefficient d'auto-induction : L = Φ/I
Force électromotrice induite dans un solénoïde : e = -L dI/dt
Énergie magnétique emmagasinée (champ) : Wm = ½ ∫∫∫ B²/μ₀ dV
Énergie magnétique emmagasinée dans une bobine : Wm = ½ L I²
9. Circuits en régime quasi stationnaire
CLRA BI : U = V - VAB
UAB = RI + L dI/dt + Q/C - e
Circuit fermé : UAB = 0 ⇒ e = RI + L dI/dt + Q/C
10. «Potentiel vecteur»
Une conséquence mathématique de la loi div B = 0 est qu'on peut toujours définir un champ vectoriel A tel que B = -rot A. On appelle A le «potentiel vecteur» même s'il n'a pas les propriétés d'un potentiel.
Le champ A n'est pas bien défini puisqu'on peut toujours ajouter le gradient d'un champ scalaire f à A sans changer sa rotationnelle : A' = A + grad f ⇒ rot A' = rot A + rot grad f = rot A = -B
En insérant B = -rot A dans rot B = μ₀ j, on obtient une équation différentielle pour A : rot rot A ≡ grad div A - ΔA = μ₀ j
En imposant la contrainte de la «gauge de Coulomb», c'est-à-dire div A = 0, l'équation devient ΔA = -μ₀ j.
Solution de A en forme intégrale : A(M) = μ₀/4π ∫∫∫ j(P) dV / r
Pour un circuit filiforme : A(M) = μ₀ I /4π ∮ dl / r
11. Matériaux magnétiques
Puisque les électrons tournant autour de leurs noyaux ont le comportement de circuits microscopiques, tout milieu matériel a une réponse magnétique non nulle, même si celle-ci est généralement très faible (sauf pour les matériaux ferromagnétiques).
La réponse magnétique des matériaux est caractérisée par un vecteur de polarisation magnétique, M, qui peut être interprété comme une densité volumique de moment dipolaire magnétique.
Le moment dipolaire d'un volume dV est donné par dm = M dV.
La densité de courant, jm, associée à l'existence de M, se trouve avec la relation : rot M = jm.
L'équation d'Ampère s'écrit donc : rot B = μ₀ (jm + jlibre), où jlibre correspond à la densité de courant présente dans des circuits.
On définit le champ H : H ≡ B/μ₀ - M.
L'équation différentielle de H en magnétostatique est : rot H = jlibre.
Si la symétrie du problème est suffisamment élevée, on peut obtenir H en utilisant la forme intégrale : ∮C H · dl = Iencl.
Il existe souvent une relation linéaire entre M et B : M = χm B/μ₀, où χm est la susceptibilité magnétique du matériau.
En mettant cette relation dans l'équation de H, on obtient une relation linéaire entre H et B (relation constitutive) : H = B/μ₀ (1 - χm) ⇒ B = μ₀ μr H, où μr = 1/(1 - χm) est la perméabilité magnétique relative du matériau.
12. Équations de Maxwell
Maxwell a modifié l'équation rot B = μ₀ j pour que les équations d'électromagnétisme soient cohérentes avec l'équation de conservation de charge : div j + ∂ρ/∂t = 0.
L'équation modifiée est : rot B = ε₀ μ₀ ∂E/∂t + μ₀ j.
Les quatre équations de Maxwell dans le vide sont :
div E = ρ/ε₀
div B = 0
rot E = -∂B/∂t
rot B = ε₀ μ₀ ∂E/∂t + μ₀ j
13. Équations de Maxwell en milieux matériels
div D = ρ
div B = 0
rot E = -∂B/∂t
rot H = ∂D/∂t + j
H = B/μ₀ μr
D = ε₀ εr E
14. Conditions limites à des interfaces
n̂₁₂ · (B₂ - B₁) = 0
n̂₁₂ ∧ (H₂ - H₁) = js
n̂₁₂ · (D₂ - D₁) = σ
n̂₁₂ ∧ (E₂ - E₁) = 0
FAQ
Qu'est-ce que la perméabilité magnétique relative ?
La perméabilité magnétique relative μr est définie comme μr = 1/(1 - χm), où χm est la susceptibilité magnétique du matériau.
Quelle est la différence entre un dipôle magnétique et un champ magnétique ?
Un dipôle magnétique est une propriété intrinsèque d'un circuit ou d'une particule chargée en mouvement, tandis qu'un champ magnétique est une grandeur physique qui décrit l'influence magnétique dans l'espace.
Comment s'applique la loi de Faraday ?
La loi de Faraday stipule que la force électromotrice induite dans un circuit est proportionnelle à la variation du flux magnétique traversant ce circuit. Elle est exprimée par e = -dΦc/dt.