Magnétostatique : Exercices formulaire de magnétostatique
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et Induction
1 Champ magn ́etostatique−→ Bcr ́e ́e par une particule en mouvement `a vitesse
constante :−→ B(M) = 04π q−→ v∧−−−→ P M∥ ∥∥ −−−→
P M∥ ∥∥ 3= 14πc 2ǫ 0q r2 −→v∧ ̂u −→
Bcr ́e ́e par une distribution continue de courant :−→ B(M) = 04π ∫∫∫−→ j(P)∧−−−→ P M∥ ∥∥ −−−→
P M∥ ∥∥ 3dV −→
Bcr ́e ́e par un circuit filiforme (Loi de Biot Sa-
vart) :−→ B(M) = 04π I∮ circuit−→ dlP ∧−−−→ P M∥ ∥∥ −−−→
P M∥ ∥∥ 3(N.B. 0
est la perm ́eabilit ́e du vide 0≡4π10 −7
SI (Henry m−1 ))
Flux magn ́etique `a travers une surfaceΦ≡ ∫∫S −→B −→dS 2 Propri ́et ́es fondamentales
1.Flux conservatif :
Forme int ́egrale∫∫ S−→ B−→ dS= 0
Forme diff ́erentiellediv −→
B= 0
2.Th ́eor`eme d’Amp`ere : la circulation de−→ Bsur un contour ferm ́e est ́egal `a0 fois le courant traversant une surface
qui s’appuie sur ce contour:
Forme int ́egrale∮ C−→ B−→ dl=0 ∫∫S −→j· −→dS =0 Ienl Forme diff ́erentielle−−→ rot−→ B=0 −→j 3 Action magn ́etique
Sur une particule charg ́ee (Force de Lorentz) :−→ F=q( −→E+ −→v∧ −→B )
Sur un circuit filiforme (Force de Laplace) :−→ FL =∮ circuitI −→dl∧ −→B Th ́eor`eme de Maxwell :Quand le champ
magn ́etique eststatique, le travail fait par la force
de Laplace,−→ FL −→ dr, lors d’un d ́eplacemnt,−→ dr, du
circuit, est ́egal au courant dans le circuit fois le
changement du flux magn ́etique traversant le cir-cuit,dΦ c: dW=IdΦc ⇒W=I∆Φc Cons ́equences du Th. de Maxwell :
Energie potentielle d’interaction magn ́etique,Um :U m=−IΦ c+Cst Force (`a partir de l’ ́energie potentielle)−→ FL =−−−→ gradUm =I−−→ grad Φc Couple (`a partir de l’ ́energie potentielle)−→ ΓL =3 ∑i=1 Γi −→e iavecΓ i=I ∂Φc ∂αi 4 Dipˆole magn ́etique
D ́efinition du moment dipolaire magn ́etique,−→ m:−→ m≡1 2∫∫∫ −−→OP∧ −→jdV D’un circuit filiforme dans un plan de surfaceS:−→ m=IŜ n
Energie d’interaction magn ́etique :U m=− −→m −→B ext
Couple magn ́etique sur un dipˆole :−→ Γ=−→ m∧−→ Bext Force magn ́etique sur un dipˆole :−→ F=−−→ grad( −→m −→B ext) 1
5 Induction
L’induction s’applique `a des circuits en mouve-
ment et/ou des champs magn ́etiques qui varient
dans le temps.
Loi de Faraday :la force ́electromotriceedans
un circuit est donn ́e par le changement du flux
magn ́etique `a travers le circuit :e≡ ∮circuit (−→ E+−→ v∧−→ B) −→ dl=− ∫∫S ∂−→ B∂t −−→ d2 S−dΦ cdt =−dΦ dt
Ceci m`ene `a une loi fondamentale
Forme diff ́erentielle−−→ rot−→ E=−∂ −→B ∂t
Forme int ́egrale∮ C−→ E−→ dl=−∫∫ S∂ −→B ∂t −→dS Coefficient d’induction mutuelleM= Φ12 I1 =Φ 21I 2
Coefficient d’auto inductionL= ΦI Force ́electromotrice produit dans un sol ́eno ̈ıde :e=−L dIdt Energie magn ́etiqueemmagasin ́ee (champ) :W m= 12 0∫∫∫ r ∥∥ ∥−→ B∥ ∥∥ 2dV Energie magn ́etique emmagasin ́eedans une bo-
bine :W m= 12 LI2 6 Circuits en r ́egime quasi sta-
tionnairese CLRA BI U=V - VAB UAB =RI+LdI dt+ QC −e
Circuit ferm ́e :UAB = 0e=RI+L dIdt +Q C
7«Potentiel vecteur»
Une con ́equence math ́ematique de la loi div−→ B= 0,
est qu’on peut toujours d ́efinir un champ vectoriel−→ Atel que−→ B=−−→ rot−→ A. On appel−→ Ale«potentiel
vecteur»mˆeme si il n’a pas les propri ́et ́es d’un
potentiel. De plus est, le champ−→ An’est pas bien
d ́efinie puisqu’on peut toujours ajouter le gradient
d’un champ scalairef`a−→ Asans changer sa rota-
tionnelle−→ A′ =−→ A+−−→ gradf−−→ rot−→ A′ =−−→ rot−→ A+−−→ rot−−→ gradf=−−→ rot−→ A=−→ B
Ins ́erant−→ B=−−→ rot−→ Adans−−→ rot−→ B=0 −→
j, on ob-
tient une ́equation diff ́erentielle pour−→ A:−−→ rot−−→ rot−→ A≡−−→ grad div−→ A−∆−→ A=0 −→j(1) o`u nous avons utilis ́e une autre identit ́e
math ́ematique−−→ rot−−→ rot≡−−→ grad div−∆. On
peut enlever une partie de la libert ́e dans la
d ́efinition de−→ Aen imposant la contrainte de
la«gauge de Coulomb», c.-`a.-d. on impose la
condition :div −→
A= 0
Ainsi l’ ́equation (1) dans cette gauge devient∆ −→A=− 0−→ j
et la solution de−→ Aprend une forme int ́egrale ana-
logue `a celle deVen ́electrostatique :−→ A(M) = 04π ∫∫∫−→ j(P)dV∥ ∥∥ −−−→
P M∥ ∥∥ et pour un circuit filiforme−→ A(M) = 0I 4π∮ circuit−→ dlP ∥∥ ∥−−−→ P M∥ ∥∥ 8 Mat ́eriaux mag ́entiques
Puisque les ́electrons tounant autour de leurs
noyaux ont le comportement de circuits micro-
scopiques, tout milieu mat ́eriel `a une r ́eponse
mag ́entique non nulle mˆeme si celle-ci est
g ́en ́eralement tr`es faible (sauf pour les mat ́eriaux
feromagn ́etiques). La r ́eponse mag ́entique des
mat ́eriaux est caract ́eris ́ee par unvecteur de po-
larisation magn ́etique,−→ M, qui peut ˆetre in-
terpr ́et ́e comme une densit ́e volumique de mo-
ment dipolaire magn ́etique telle que le moment2 diplolaire−→ dmd’un volumedVsoit donn ́e par−→ dm=−→ MdV.
La densit ́e de courant,−→ jm , (de nature ato-
mique) associ ́ee avec l’existance de−→ M, se trouve
avec la relation :−→ rot−→ M=−→ jm L’ ́equation d’amp`ere s’ ́ecrit donc−→ rot−→ B=0 (−→ jm +−→ jlibre )o`u −→j libre
correspond `a la densit ́e de courant
pr ́esent dans des circuits.
Puisque nous n’avons pas de contˆole directde −→j m
, il est pratique en pr ́esence de milieux
mat ́eriels de d ́efinir le champ−→ H:−→ H≡−→ B 0− −→M(2) L’ ́equationdiff ́erentiellede−→ Hen
magn ́etostatique est :−→ rot−→ H=−→ jlibre (3)
Si la sym ́etrie du probl`eme est suffisament ́elev ́ee, on peut obtenir−→ Hen faisant appel `a la
forme int ́egrale de l’ ́eq.(3) :∮ C−→ H−→ dl=Ienl (4)
Tr`es souvent, il y a une relation lin ́eaire entre−→ Met−→ B−→ M=χm −→B 0 (5)o`uχ m
est lasusceptibilit ́emagn ́etique du
mat ́eriau.
Mettant (5) dans (2), on obtient une relation
lin ́eaire entre−→ Het−→ B(relation constitutive) :−→ H=−→ B 0(1−χ m) −→B≡ −→B r 0 (6)o`u r
= 1/(1−χm ) est la perm ́eabilit ́e
magn ́etique relative du mat ́eriau.
9 Equations de Maxwell
Maxwell a modifi ́e l’ ́equation−−→ rot−→ B=0 −→j afin que les ́equations d’ ́electromagn ́etisme soient
consistantes avec l’ ́equation de conservation de
charge :div −→j+ ∂ρ∂t = 0conservation de charge−−→ rot−→ B=ε0 0 ∂∂t −→E+ 0−→ j ́equation modifi ́ee
Les ́equations d’un champ ́electromagn ́etique
dans le vide sont appel ́ees lesquatre ́equations
de Maxwell:div −→E= ρǫ 0div −→
B= 0−−→ rot−→ E=−∂ −→B ∂t−−→ rot−→ B=ε0 0 ∂∂t −→E+ 0−→ j
On peut ́egalement exprimer ces quatre ́equations
sousforme int ́egrale :∫∫ S−→ E−−→ d2 S=Q intǫ 0
, ∫∫S −→B· −→
dS= 0∮ C−→ E−→ dl=−∫∫ S∂ −→B ∂t· −→dS ∮C −→B −→dl=ε 0 0∫∫ S∂ −→E ∂t −→dS+ 0∫∫ S−→ j·−→ dS
10 Equations de Maxwell en mi-
lieux mat ́eriels :div −→
D=ρ ,div−→ B= 0−−→ rot−→ E=−∂ −→B ∂t, −−→rot −→H= ∂∂t −→D+ −→j −→H= 1 0 r−→ B−→ D=ǫ0 εr −→E 11 Conditions limites `a des in-
terfaceŝ n12 ( −→B 2− −→B 1) = 0̂ n12 ∧( −→H 2− −→H 1) =−→ js ̂n 12 (−→ D2 −−→ D1 )=σ ̂n 12∧ (−→ E2 −−→ E1 )= −→0 3