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Magnétostatique : Td 1 magnetostatique

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Travaux Dirigés en Magnétostatique

Pr. H. BELKEBIR

Département GEI

Filière CP1

Magnétostatique

November 13, 2017

Exercice 1

Montrer les relations suivantes :

∮_C f dr = ∫∫_S ∇f ∧ ds
∮_C f ds = ∫∫∫_Ω ∇f dV
∮_C f ∧ ds = ∫∫∫_Ω ∇ ∧ f dV

Exercice 2

Déterminer la direction du champ magnétostatique

Déterminer la direction du champ magnétostatique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensité I en un point M quelconque situé à l’extérieur du fil.
Une spire circulaire de centre O, de rayon R et parcourue par un courant I. On note (Oz) l’axe de la spire et on s’intéresse au champ magnétostatique créé par la spire en un point M sur cet axe, dont la position est caractérisée par la coordonnée z. Déterminer la direction du champ magnétostatique créé par la spire en M.
Un solénoïde infini est une bobine circulaire, comportant un nombre infini de spires de rayon R parcourues par un courant I. On caractérise un solénoïde par le nombre de spires par unité de longueur n. Déterminer la direction du champ magnétostatique en un point M situé à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde infini.

Exercice 3

On considère une spire carrée de côté 2a parcourue par un courant stationnaire I.

Déterminer le nombre de variables dont dépend le champ magnétique créé en un point M de l’axe de révolution de la spire.
Déterminer la direction du champ magnétique B(M) et donner l’expression du champ élémentaire dB(M).
En utilisant la loi de Biot et Savart, donner l’expression du champ magnétique au point M.

Exercice 4

Calcul du champ magnétostatique en utilisant le théorème d’Ampère.

On considère une spire de centre O, de rayon R et d’axe (Oz) parcourue par un courant I. Calculer le champ magnétostatique créé par la spire en un point M situé sur son axe, de coordonnée z.

Exercice 5

On considère un fil infini parcouru par un courant d’intensité I. L’axe du fil est (Oz) et le courant I est dirigé vers les z croissants.

Spécifier le système de coordonnées à utiliser.
En utilisant la règle de la main droite, spécifier la direction du champ magnétique en un point M de l’espace.
Déterminer le champ créé par le fil en M en utilisant le théorème d’Ampère.

Exercice 6

On qualifie de plate une bobine dont la hauteur h est très inférieure au rayon des spires R. La bobine plate considérée comporte N spires et est parcourue par un courant I.

Pour les applications numériques, on prendra R = 20 cm, h = 1 cm, N = 200 et I = 500 mA.

L’approximation faite généralement pour une bobine plate est de considérer que toutes les spires sont confondues et donc que le champ créé est égal à N fois celui d’une spire.
1. Donner l’expression du champ créé sur l’axe de la bobine.
2. Calculer sa valeur numérique au centre de la bobine.
On prend maintenant en compte la hauteur h de la bobine. En la considérant comme un ensemble de spires planes régulièrement réparties, donner l’expression du champ au centre de la bobine.
Faire l’application numérique et calculer l’écart relatif avec la valeur approchée précédente. Conclure quant à la validité de l’approximation dans ce cas.

Exercice 7

Le dispositif des bobines de Helmholtz est constitué de deux bobines plates de rayon R, de N spires chacune, de même axe (Ox) et séparées par une distance d = O₁O₂. Un courant I circule dans le même sens dans les deux bobines. On s’intéresse au champ magnétostatique créé par ce dispositif au voisinage du point O, milieu de O₁O₂. L’intérêt de ce dispositif est qu’avec d = R, le champ magnétostatique créé est uniforme dans une large zone autour de O.

On considère chaque bobine comme un ensemble de N spires circulaires confondues. En utilisant l’expression du champ créé par une spire sur son axe, donner l’expression du champ en un point M situé sur l’axe (Ox).
On écrit B(M) = B_x(x) e_x. Montrer que B_x(x) est une fonction paire et en déduire les conséquences pour le développement limité de B_x(x) au voisinage de 0.
Calculer le développement limité à l’ordre 3 en x/R de B_x(x) au voisinage de 0.
En déduire que, avec d = R, B_x(x) = (4/5)^3/2 (2μ₀NI/R³) au troisième ordre en x/R.
On prend N = 250, I = 500 mA et R = 20 cm. Calculer numériquement le champ magnétostatique au point O.

Exercice 8

Un câble coaxial est constitué de deux conducteurs concentriques séparés par un isolant, parcourus par des courants égaux et de sens opposés. On se place dans l’approximation de courants filiformes : le conducteur central est considéré comme un fil et le conducteur périphérique infiniment mince, de rayon R. On considère que le câble coaxial est rectiligne et infiniment long.

Le courant qui circule dans le conducteur périphérique est réparti uniformément sur toute sa surface. Étudier les symétries et invariances de la distribution de courant et conclure.
Montrer que le champ magnétostatique est nul à l’extérieur du câble coaxial.
Déterminer le champ magnétostatique entre les conducteurs.

FAQ

Qu’est-ce que le théorème d’Ampère ?

Le théorème d’Ampère relie le champ magnétique à la distribution des courants qui le produisent. Il stipule que l’intégrale du champ magnétique le long d’un contour fermé est égale à μ₀ fois la somme des courants traversant ce contour.

Comment appliquer la loi de Biot et Savart ?

La loi de Biot et Savart permet de calculer le champ magnétique créé par un courant en un point donné de l’espace. Elle utilise une intégrale sur le courant et la position relative entre le courant et le point d’observation.

Quelle est la différence entre une spire circulaire et un solénoïde ?

Une spire circulaire est un simple circuit fermé, tandis qu’un solénoïde est une bobine composée de plusieurs spires enroulées autour d’un axe. Le champ magnétique d’un solénoïde est généralement uniforme à l’intérieur.