Mécanique du point : Exercices mecanique du point licence science et technologie
Télécharger PDFLicence Science et Technologie, 1ère année, Université de Provence, Année 2008-09
Mécanique du point : Corrigés des exercices de la fiche 6
I. Déflexion d’une particule lourde par une particule légère
Question 1
Dans le référentiel du laboratoire, le centre de masse G est tel que :
(M + m) #» OG = M #» OP1 + m #» OP2, où P1 et P2 sont les positions de la particule lourde et de la particule légère respectivement.
La vitesse du centre de masse V(G) est donnée par :
V(G) = d #» OG / dt = (m / (M + m)) V, car la particule légère est initialement au repos.
Question 2
Le choc étant élastique, on a nécessairement :
— Conservation de l’énergie,
— Conservation de la quantité de mouvement.
Par conséquent, on obtient les relations suivantes :
½ MV² = ½ MV'² + ½ mv'²
M V = M V' + m v'
Question 3
D’après la conservation de la quantité de mouvement, il apparaît que V est une combinaison linéaire de V' et v'. Ces trois vecteurs sont donc dans le même plan.
Question 4
Par projection de l’équation de conservation de la quantité de mouvement sur l’axe Ox et l’axe Oy, on obtient :
MV' cos α + mv' cos β = MV
MV' sin α − mv' sin β = 0
Les quantités à déterminer sont donc v', V', α et β, et on ne dispose que de trois équations.
Question 5
Le système étant isolé, la vitesse du centre de masse ne change pas. En effet, calculons V'(G) :
V'(G) = (m / (M + m)) v' + (M / (M + m)) V' = (M / (M + m)) V = V(G)
Avec les données numériques, on obtient donc :
V(G) = V'(G) = (3/4) V = 1,5 m.s⁻¹
Une seconde après le choc, le centre de masse se trouve donc à 1,5 m du point d’impact C. La vitesse de G étant orientée parallèlement à l’axe Ox, G se trouve donc sur l’axe.
On a ainsi #» CG = 1,5 ˆx.
Par définition du centre de masse, on peut écrire :
M #» GP1 = −m #» GP2
et donc #» P1P2 = (M + m) / m #» P1G = 4 #» P1G.
Notons θ la distance (en cm) entre C et P1 (approximativement θ = 3,1 cm sur le mien), ce qui correspond à a = CP1 = θ / 2m (≈ 1,55 m) sur mon dessin). Par conséquent, la vitesse de P1 après le choc est V' ≈ 1 m.s⁻¹.
On en déduit les autres valeurs : par exemple, v' = √(M / m) (V² − V'²) ≈ √(4/5) (16 − 1) ≈ 2,19 m.s⁻¹, ainsi que les deux angles.
II. Atome de Bohr
A. Analyse dans le référentiel du laboratoire
Question 1
D’après le principe d’action-réaction, on a :
FP→E = −FE→P
Question 2
Les seules interactions en présence sont l’interaction électrostatique et l’interaction gravitationnelle. Cette dernière a pour norme :
‖F(G)‖ = G mP m e / ‖#» PE‖²
En notant F(E) la force électrostatique, on a :
‖F(E)‖ / ‖F(G)‖ ≈ (1 / 4πε₀) (e² / ‖#» PE‖²) / (G mP m e / ‖#» PE‖²) ≈ 9,10⁹ × 2,56 × 10⁻³⁸ / (6,67 × 10⁻¹¹ × 1,7 × 10⁻²⁷ × 0,9 × 10⁻³⁰) ≈ 2,256 × 10³⁹.
On en déduit que l’interaction gravitationnelle est ici complètement négligeable par rapport à l’interaction électrostatique.
Question 3
Étant donnée une origine O quelconque, on a :
(m e + m P) #» OG = m e #» OE + m P #» OP.
Par dérivation, on obtient aussi :
v(G) = (m e v(E) + m P v(P)) / (m e + m P).
La quantité de mouvement du centre de masse est égale à la quantité de mouvement totale du système, qui est constante.
On peut donc associer au centre de masse un référentiel galiléen. En prenant le cas particulier O = P, on a :
#» PG = (m e / (m e + m P)) #» PE.
En norme, on obtient :
‖#» PG‖ ≈ 5,35 × 10⁻⁴ ‖#» PE‖, d’où on déduit que le centre de masse peut être confondu avec le proton.
B. Analyse dans le référentiel du centre de masse
Question 1
On peut maintenant écrire :
f = −(1 / 4πε₀) (e² / r³) ˆr.
Question 2
D’après l’expression du gradient en coordonnées sphériques, ∇u = (∂u / ∂r) ˆr + (1 / r)(∂u / ∂θ) ˆθ + (1 / r sin θ)(∂u / ∂φ) ˆφ, on voit que f dérive d’un potentiel radial de la forme :
E(p) = −(e² / 4πε₀) (1 / r) + C, où C est une constante qui peut être prise égale à zéro si on décide que le potentiel est nul à l’infini.
Question 3
Le moment cinétique est le moment cinétique orbital :
l = #» OM ∧ m e v.
Par dérivation, on obtient :
d l / dt = m e v ∧ v + #» OM ∧ a = #» OM ∧ f.
Or, #» OM et f sont colinéaires, donc ce produit vectoriel est nul lui aussi. Par conséquent, l est constant.
l étant constant et perpendiculaire à #» OM et v, on en déduit que le plan défini par #» OM et v est constant.
Question 4
On a déjà vu plus haut que la force est radiale, donc l’accélération aussi. L’accélération tangentielle est nulle, ce qui montre que si le mouvement est circulaire, alors il est circulaire uniforme.
On connaît l’expression de l’accélération radiale :
a = −(V² / r) ˆr.
D’après le PFD, on en déduit donc :
V = √(r f / m e) = √(e² / 4πε₀ m e r).
Question 5
L’énergie mécanique est la somme de l’énergie potentielle (déjà calculée) et de l’énergie cinétique. Donc :
E = −(e² / 4πε₀ r) + ½ m e V² = −(e² / 4πε₀ r) + ½ m e (e² / 4πε₀ m e r) = −(e² / 8πε₀ r).
Notons que, comme l’énergie potentielle, l’énergie cinétique et l’énergie mécanique s’annulent à l’infini.
Question 6
La norme du moment cinétique vaut :
‖l‖ = √(m e r V²) = √(m e r (e² / 4πε₀ m e r)) = √(e² r / 4πε₀).
Donc, d’après l’hypothèse de Bohr, pour un n donné, le rayon correspondant de l’orbite de l’électron vaut :
rₙ = n² ħ² / (4πε₀ m e e²).
Et l’énergie Eₙ = −1 / (2 m e) (e² / 4πε₀)² / n² ħ².
Question 7
On peut écrire :
Eₙ = E₁ / n², après avoir posé E₁ = −1 / (2 m e) (e² / 4πε₀)².
Comme on l’a vu plus haut, l’énergie mécanique s’annule à l’infini. Donc E₁ peut être interprétée comme l’énergie nécessaire pour faire passer l’électron de l’orbite n = 1 à l’infini, d’où le nom d’énergie d’ionisation.
FAQ
Qu’est-ce que la conservation de la quantité de mouvement dans un choc élastique ?
La conservation de la quantité de mouvement signifie que la somme des quantités de mouvement avant et après le choc reste constante, car il n’y a pas de forces externes agissant sur le système. Dans un choc élastique, cette conservation s’accompagne aussi de celle de l’énergie cinétique.
Pourquoi l’interaction gravitationnelle est-elle négligeable dans l’atome de Bohr ?
L’interaction gravitationnelle entre l’électron et le proton est extrêmement faible par rapport à l’interaction électrostatique, comme le montre le rapport de leurs normes (≈ 2,256 × 10³⁹). Cela signifie que les effets gravitationnels sont trop minimes pour influencer significativement le comportement de l’électron dans l’atome.
Qu’est-ce que l’énergie d’ionisation ?
L’énergie d’ionisation est l’énergie minimale nécessaire pour extraire un électron d’un atome, généralement de son niveau fondamental (n = 1), et le placer à l’infini, où son énergie mécanique devient nulle. Elle correspond à la valeur absolue de l’énergie mécanique de l’électron dans l’orbite n = 1.