Mécanique du point : Exercices mécaniques des systèmes de solides indéformables
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Avant-propos
Ce recueil d’exercices et examens résolus de mécanique des systèmes indéformables est conçu comme un support pédagogique pour les étudiants de la deuxième année de l’ENSA. Il couvre les sept chapitres du cours de mécanique des systèmes indéformables :
- Calcul vectoriel - Torseurs
- Cinématique du solide
- Géométrie des masses
- Cinétique du solide
- Dynamique du solide
- Liaisons - Forces de liaison
- Mouvement d’un solide autour d’un point ou d’un axe fixes
Les exercices proposés permettent de consolider les connaissances, de s’entraîner efficacement pour assimiler le cours, et d’acquérir les outils nécessaires à la formation en mécanique. Chaque chapitre commence par la définition des objectifs et des compétences visés.
Ce document ne remplace pas les travaux dirigés en présentiel. Il est recommandé d’étudier les exercices progressivement, en abordant d’abord les aspects cinématiques, puis cinétiques et enfin dynamiques.
Introduction à la mécanique des solides indéformables
Galilée (1564-1642) a souligné l’importance des mathématiques dans la compréhension de l’univers : « La philosophie est écrite dans ce grand livre, l’univers, qui ne cesse d’être ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprend pas le langage et on ne connaît pas les caractères avec lesquels il est écrit. Or, la langue est celle des mathématiques, et les caractères sont triangles, cercles et autres figures géométriques. »
Exercices et examens résolus
Exercice 1
Soit L une application de l’espace vectoriel (E) dans lui-même. L’espace (E) est associé à l’espace affine ℤ à trois dimensions. L’application L est définie par : L(u) = α ∧ u + β u + γ M, où u et M sont des points quelconques de ℤ.
1- Pour quelles valeurs des paramètres α, β et γ l’application L est antisymétrique ?
2- Montrer qu’il existe un vecteur Ω tel que L(u) = Ω ∧ u.
Exercice 2
Considérons les vecteurs u et v liés respectivement aux points A (1, 0, 0) et B (1, 1, 0) et les torseurs [G₁] et [G₂] associés aux moments de u et v.
1- Montrer que [G₁] et [G₂] sont des glisseurs.
2- On pose [G] = [G₁] + [G₂].
a- Calculer la résultante R de [G] et son moment en A. En déduire la nature de [G].
b- Déterminer l’équation cartésienne de l’axe central de [G].
Exercice 3
Dans un repère R(O, k, j, i), on considère un disque de centre O contenu dans le plan xOy. Le disque tourne dans le sens trigonométrique autour de Oz avec une vitesse de rotation ω.
1- Par un calcul direct, déterminer la vitesse v⃗ₘₘ du point M (x, y, 0) du disque.
2- Montrer que le champ des vitesses v⃗ₘₘ forme un torseur et déterminer ses éléments de réduction en O.
3- De quel type de torseur s’agit-il ? Quel est son axe central ?
Exercice 4
Dans un repère orthonormé direct R, on considère le champ de vecteurs dont les composantes sont définies en fonction des coordonnées (x, y, z) de M par :
v⃗ₘ = (3t + z)i⃗ + (2t + x)j⃗ − yk⃗, où t est un paramètre réel.
1- Calculer le vecteur v⃗ₘ au point O.
2- Pour quelles valeurs de t ce champ est antisymétrique ?
3- Pour chaque valeur trouvée de t, déterminer les éléments de réduction du torseur (résultante et moment en O).
4- Décomposer le torseur associé en une somme d’un couple et d’un glisseur dont on indiquera les éléments de réduction.
5- Déterminer la position de l’axe central du torseur pour t = 0 et t = 2.
Exercice 5
Dans un repère orthonormé direct R(O, k, j, i), on considère les torseurs [T₁] et [T₂] dont les éléments de réduction au point O sont respectivement [R₁⃗, M₁⃗] et [R₂⃗, M₂⃗], définis par :
R₁⃗ = (a + 1)i⃗ − a sin(α)j⃗ + a cos(α)k⃗
M₁⃗ = a cos(α)i⃗ + a sin(α)j⃗
R₂⃗ = (a + 1)i⃗ − a sin(α)j⃗ + a cos(α)k⃗
M₂⃗ = −a cos(α)i⃗ − a sin(α)j⃗
1- Calculer les invariants scalaires des torseurs [T₁] et [T₂] et en déduire leur(s) nature(s).
2- Calculer M₂⃗ en un point O′ de coordonnées (0, 1, 1).
3- Déterminer l’équation de l’axe central de [T₂] et calculer le moment M⃗ₙ en un point P de cet axe.
4- Déterminer les valeurs de α pour lesquelles le torseur [T₃] = [T₁] + [T₂] est un glisseur.
Exercice 6
Dans un repère orthonormé direct R(O, k, j, i), on considère les droites D₁ et D₂ d’équations respectives :
D₁ : x = z + 1
D₂ : y = −z
On considère les vecteurs glissants R₁⃗ = bj⃗ et R₂⃗ = ai⃗ de supports respectifs D₁ et D₂, avec a et b des paramètres réels non nuls. On définit le champ :
M⃗(u) = R₁⃗ ∧ OM⃗ + R₂⃗ ∧ OM⃗.
1- Calculer les composantes de M⃗(u) en fonction des coordonnées (x, y, z) de M.
2- Quel est l’ensemble Δ des points M pour lesquels M⃗(u) est colinéaire à R₁⃗ + R₂⃗ ?
3- Préciser la position de Δ par rapport à l’axe Oz.
4- Soit Q le point d’intersection de Δ avec l’axe Oz. On définit le point S tel que M⃗(Q) = QS⃗. Calculer les coordonnées de S et montrer que, lorsque b varie, S′ (projection de S sur le plan xOy) décrit un cercle de centre le point de coordonnées (0, −a).
Exercice 7
1- Montrer que le champ des vitesses d’un solide indéformable est équiprojectif.
2- Montrer que pour deux points A et B du solide, AB ∧ v⃗ₙ = dt AB⃗ d.
Exercice 8
1- Pour quelle condition le moment d’un torseur [T] est constant le long d’une droite ?
2- Les éléments de réduction d’un torseur sont R⃗ = (10, 4, 6) et M⃗ = (6, 3, 6) en un repère orthonormé R(O, k, j, i). Déterminer le point I où l’axe central Δ rencontre le plan xOy.
Exercice 9
Dans un repère R(O, z, y, x), on considère les trois glisseurs définis par les vecteurs :
V₁⃗ = (−1, 0, 1) d’origine A (0, 0, 1)
V₂⃗ = (2, 2, 1) d’origine B (0, 1, 0)
V₃⃗ = (λ, μ, ν) d’origine C (1, 0, 0)
Soit [T] la somme des trois glisseurs.
1- Déterminer λ, μ, ν pour que [T] soit un couple et trouver son moment.
2- Déterminer la relation que doivent lier λ, μ, ν pour que [T] soit un glisseur.
3- Dans le cas où (λ, μ, ν) = (1, 0, 2), trouver les équations de l’axe central de [T]. Que peut-on dire de la direction de l’axe central ?
Exercice 10
Dans un repère orthonormé R(O, z, y, x), on considère les torseurs [T₁] et [T₂] dont les éléments de réduction en O sont :
R₁⃗ = (a cos(α), a sin(α), 0)
M₁⃗ = (a sin(α), −a cos(α), 0)
R₂⃗ = (−a cos(α), a sin(α), 0)
M₂⃗ = (−a sin(α), −a cos(α), 0)
1- Préciser la nature des torseurs [T₁] et [T₂].
2- λ₁ et λ₂ étant deux réels, soit [T] = λ₁[T₁] + λ₂[T₂]. Trouver l’invariant scalaire I de [T], le produit scalaire (ou le comoment) de [T₁] et [T₂]. Trouver une relation entre I et ce comoment.
Exercice 11
Soit [T₁] et [T₂] deux torseurs dont les éléments de réduction en un point A sont R₁⃗, M₁⃗ et R₂⃗, M₂⃗.
1- Montrer que le champ M⃗ = R₁⃗ ∧ AM⃗ + R₂⃗ ∧ AM⃗ est un champ de moments.
2- Montrer que le champ M⃗ précédent et la résultante R⃗ = R₁⃗ + R₂⃗ définissent un torseur.
Exercice 12
Dans un repère orthonormé direct R(O, k, j, i), on considère le champ de vecteurs défini par :
v⃗ₘ = yxk⃗ − j⃗ + iz⃗ − xk⃗, où x, y et z sont les coordonnées de M dans le repère R.
1- Montrer que ce champ est antisymétrique.
2- Déterminer ses éléments de réduction au point O.
3- Déterminer la nature du torseur correspondant et son axe central.
Exercice 13
On considère deux torseurs dont les éléments de réduction en un point M quelconque sont respectivement [R₁⃗, v₁⃗] et [R₂⃗, v₂⃗]. On définit le champ de vecteurs v⃗ₘ par :
v⃗ₘ = R₁⃗ ∧ OM⃗ − R₂⃗ ∧ OM⃗.
1- Montrer que le champ v⃗ₘ est équiprojectif.
2- Déterminer la résultante associée à ce champ.
Exercice 14
Considérons le repère fixe R₀(O₀, x₀, y₀, z₀) et un deuxième repère R(G, x, y, z) lié à un solide (S). Désignons par E l’espace vectoriel associé à l’espace affine ℤ lié à (S). On considère l’application L définie de l’espace vectoriel E vers lui-même qui, à un vecteur u ∈ E, fait correspondre L(u).
1- a. Vérifier que L est une application linéaire antisymétrique.
b. Donner la forme de sa matrice dans la base (i⃗, j⃗, k⃗) du repère R.
2- En déduire qu’il existe un vecteur Ω tel que L(u) = Ω ∧ u.
Exercice 15
On considère un cube ABCDA′B′C′D′ d’arête a. On a les relations suivantes :
R⃗ = (k, r, q) et M⃗ = (p, j, i) ∧ R⃗.
Un repère A(x, y, z) est lié au cube de sorte que Ax soit colinéaire et de même sens que AB, Ay colinéaire et de même sens que AD, Az colinéaire et de même sens que AA′.
1- Déterminer les composantes de la résultante R⃗ du torseur dans le repère A(x, y, z).
2- Calculer v⃗ₙ(D′) par ses composantes dans le repère A(x, y, z).
3- Déterminer l’équation paramétrique de l’axe central du torseur.
4- Quelle est la nature de ce torseur ?
Exercice 16
1- Calculer le moment d’un glisseur sur son axe central.
2- Montrer que si le moment d’un torseur est nul en un point de l’espace, alors ce torseur est un glisseur et le point en question est un point de l’axe central.
Chapitre 2 : Cinématique du Solide
Objectifs :
- Comprendre le mouvement du solide étudié (points fixes, axes de rotation ...)
- Différencier entre vitesse linéaire et vitesse angulaire
- Différencier entre référentiels absolu, relatif et d’étude
- Illustrer la distinction entre vitesse absolue, relative et d’entraînement (relation de transfert)
- Comprendre la notion de centre instantané de rotation
- Savoir déterminer la condition de roulement sans glissement
- Savoir déterminer la base et la roulante
René Descartes (1596-1650) a écrit les principes de la philosophie en 1644, visant à « donner des fondements rigoureux à la philosophie ». La physique cartésienne repose sur une explication mécaniste de la matière, où la pesanteur et le mouvement sont analysés à travers des lois géométriques et cinématiques. Dans les *Principes de la Philosophie*, il distingue la cause première de tous les mouvements (Dieu) des causes secondes, nommées lois de la nature, qui gouvernent le mouvement des parties de la matière.
Exercice 1
On considère un cube de côtés O₁A = O₁B = O₁C = 1, en mouvement par rapport à un repère orthonormé direct fixe R(O, x, y, z). À tout instant, les projections des vecteurs vitesses des points A, B et C sont telles que :
v⃗ₙ(A) = 2ωj⃗ + ωk⃗
v⃗ₙ(B) = ωi⃗ + v⃗ₙ(B)
v⃗ₙ(C)