Polycopié d’exercices et examens résolus mecanique du point

Mécanique du point : Exercices mecanique du point materiel

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Polycopié d’exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. Bourich édition 2014 AVANT–PROPOS Ce recueil d’exercices et problèmes examens résolus de mécanique du point matériel est un support pédagogique destiné aux étudiants de la première année de l’école National des Sciences Appliquées de Marrakech. Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la mécanique du point matériel :

Outil mathématique : vecteurs et systèmes de coordonnées, Cinématique du point matériel, Dynamique du point matériel Théorèmes généraux, L’ensemble des exercices et examens résolus devrait permettre aux étudiants :

de consolider leurs connaissances, un entrainement efficase afin de s’assurer que le cours est bien assimillé, d’acquérir les outils et techniques nécessaires à leur formation, d’initier leurs cultures scientifique en mécanique du point matériel. Chaque chapitre s’ouvre par la précision des objectifs visés et des prérequis nécessaires . Pour ce mettre en situation d’épreuves, de nombreux exercices et problèmes d’examens supplémentaires sont proposés à la fin de chaque chapitre. Je dois souligner que ce document ne remplace en aucun cas le TD en présentiel.

Comme pour tous les exercices auto-correctifs, les solutions profitent plus aux étudiants qui fournissent l’effort nécessaire pour réfléchir et essayer de résoudre les exercices proposés. Je souhaite que ce recueil d’exercices et problèmes examens résolus de mécanique du point matériel puisse aider de manière efficace la majorité d’étudiants. M. Bourich Illustration de couverture : ARMES DE SIEGE : MANGONNEAU (Source ) Cette arme propulse ses projectiles par un système de contrepoids. Cela lui confère une bonne portée et un potentiel destructeur important. Cependant le mangonneau, très haut par rapport à sa surface de base, est assez instable. Cet inconvénient conjugué à son poids empêche l'utilisation de ces armes sur des navires (elles basculeraient avec les mouvements du navire). Pour la même raison, il n'est pas possible de la doter de roues, et cette arme ne peut donc pas être déplacée. Caractéristiques - Poids : 500 kg - Longeur : 2m × 2 m - Servants : 8 - Portée de 60 à 400 m - Rechargement : 7 min - Temps de visée : 1 min. 1 Chapitre Outils mathématique : vecteurs et systèmes de coordonnées Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 5 Objectifs :

Comprendre la notion de base orthonormale directe; Apprendre à utilisé les systèmes usuels de coordonnées; Assimiler les notions du produit scalaire et vectoriel; Prérequis :

Notions sur l’espace vetoriel; Notions sur produit scalaire et vectoriel; Notions sur les fonctions trigonométriques; Galilée : (1564-1642)

Le calcul vectoriel a pris naissance lors des travaux de William R. Hamilton (1805-1865) en 1843 et ceux de Hermann G. Grassmann (1809-1877) en 1844. C'est l'influence de Hamilton qui a prédominé sur les premiers développements de la théorie. Son algèbre des quaternions est une extension du calcul des nombres complexes. Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 6

Exercice 1

1- Déterminer une base orthonormale directe dont le premier vecteur est colinéaire au vecteur (1,2,2). 2- Pour quelles valeurs de a les vecteurs (1,0,a), (a,1,0) et (0,a,1) sont-ils coplanaires ? Corrigé : On commence par normer le vecteur donné. Un vecteur unitaire colinéaire à (1, 2, 2) est 푢 = (1/3, 2/3, 2/3). On cherche ensuite un vecteur orthogonal à celui-là. Le vecteur (0, 1,−1) en est un. On le norme en 푣 =(0,1 2,− 12 ). Puis on forme leur produit vectoriel, et on trouve :푤 =(−4 32 ,1 32 ,1 32 ). La base (푢 ,푣 ,푤 ) est une base orthonormale directe.

Exercice 2

Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point M (2, 2

3, 4). Corrigé : Soit m le projeté orthogonale de M sur le plan (Oxy). m a pour coordonnées (2, 2

3, 0). En particulier, on a Om=4 et 푂푚

=4(cos 휋

3 푖 +sin 휋

3 푗 )⇒Les coordonnées cylindriques de M sont donc : (4,휋 3

,4). Pour déterminer les coordonnées shériques, il faut déterminer la longueur OM et une mesure de l’angle (푘,푂푀 ). Les coordonnées sphériques de M sont donc : (4

2, 휋3 , 휋4 ).

Exercice 3

La terre étant

assimilée à une sphère de rayon R, calculer la distance a vol d'oiseau entre le point A de longitude 휃

1 et de latitude ∅

1 et le point B de 휃

2 et de latitude ∅2 . On rappelle que cette distance est donnée par la longueur de l'arc de cercle intersection de la sphère et du plan OAB. Application numérique : Calculer la distance entre Paris (48°49'N, 2°19'E) et Buenos Aires (34°40'S, 58°30'W). On prendra R = 6378. Corrigé : Soit l’angle entre les vecteurs 푂퐴 et 푂퐵

. Alors la distance recherchée est 푅훼. Par ailleurs, le produit scalaire 푂퐴 . 푂퐵 est égal à 푅2 푐표푠훼. Reste à calculer ce produit scalaire ce que l’on va faire en écrivant les coordonnées cartésiennes des points. On a en effet : Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 7 퐴 푅푐표푠∅1 푐표푠휃1 푅푐표푠∅1 푠푖푛휃1 푅푠푖푛∅1 et

퐵 푅푐표푠∅2 푐표푠휃2 푅푐표푠∅2 푠푖푛휃2 푅푠푖푛∅2 La distance recherchée vaut donc : 푑=푅푎푟푐푐표푠푐표푠∅ 1푐표푠∅ 2cos 휃1 −휃2 +푠푖푛∅1 푠푖푛∅2 . Ici, il faut faire attention au fait que la latitude est comptée vers le sud, et la longitude vers l’ouest. Le calcul donne une distance d’environ 11070 kilomètres Exercie 4

Soient 푢 , 푣 et 휔

trois vecteurs de l'espace et soit 푎 휖 ℜ. On considère l'équation vectorielle d'inconnue 푥 : 푢 ∧푥 =푣 . 1. Montrer que si l'équation admet une solution, alors 푢 et 푣 sont orthogonaux. On supposera dans la suite que 푢 et 푣 sont orthogonaux. 2. Déterminer toutes les solutions colineaires à 푢

∧ 푣 . 3. En déduire toutes les solutions de l'équation. 4. Déterminer les vecteurs solutions qui verient en outre 푥 .휔 =푎. Corrigé : 1. Supposons que l’équation admette une solution 푥 . Alors :푣 .푢 =

푢 ∧푥 .푢 =0 puisque 푢

∧ 푣 est orthogonal à 푢

. 2. Posons 푥=푘푢 ∧푣 et calculons 푢 ∧푥 : 푢 ∧푥 =−푘푢 2

푣 Ou on a où on a utilisé la formule du double produit vectoriel. On a donc 푢 ∧푥 =−푘푢 2

푣 si et seulement 푘=−1 푢

2 . Il existe donc une solution unique colinéaire à 푢 ∧푣 . 3. Soit 푥 0 la solution particulière précédente et soit 푥 une solution de l’équation. Alors, on tire : 푢 ∧

푥 −푥 0=0 ce qui entraine que 푥 =푥 0

+휆푢 . Réciproquement, on vérifie facilement que tout vecteur s’écrivant 푥 0

+휆푢 est solution. 4. On introduit la solution précédente dans la nouvelle équation, et on trouve que 휆 doit Vérifier : 푥 0

.휔 +휆푢 .푣 =푎 On distingue alors deux cas : Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 8 - Si 푣 .푢 ≠0, on a une unique solution donnée par : 휆=푎−푥 0.휔 푢.푣 . - Si au contraire 푣 .푢 =0, alors on n’a pas de solution si 푥 0

.휔 ≠푎, ou au contraire tous les éléments de la forme 푥 0

+휆푢 sont solutions si 푥 0

.휔 =푎. Exercie 5

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormée. 1. Donner une équation cartésienne du plan paramétré par : 푥=1+푡+2푢푦=2+푡+푢 푧=3푢

2. Donner une représentation paramétrique du plan d'équation x + 2y − z − 3 = 0. 3. Donner un système d'équations définissant la droite dont une paramétrisation est : 푥=4푡+5푦=3푡+1 푧=푡+3

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite donnée par le système d'équation : 푥+푦−3푧+1=0

2푥+푦−5푧=0

Corrigé : 1. La méthode consiste à remarquer que 푢 = (1, 1, 0) et 푣 = (2, 1, 3) sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. Un vecteur normal de P est donc 푛 =푢 ∧푣 = (3,−3,−1). Une équation du plan P est alors de la forme 3x − 3y − z + d = 0. On détermine d en remarquant que le point A(1, 2, 0) appartient à P. On trouve finalement d = 3. 2. Il suffit de choisir deux coordonnées comme paramètres. Notons P

1 le plan. On a : 푥,푦,푧휖푃 1⇔ 푢=−2푦+푧+3푦=푦 푧=푧

Une représentation paramètrique de P1 est donc donnée par : 푥=−2푡+푢+3푦=푡 푧=푢

3- La dernière équation donne t = z − 3. On remplace dans les deux autres pour trouver un système d’équations : 푥−4푧+7=0

푦−3푧+7=0

Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 9 4- On choisit une des coordonnées comme paramètres, et on utilise la méthode du pivot pour exprimer les deux autres coordonnées en fonction de ce paramètre. Notant (D) la droite, 푥=2푧+1푦=푧−2 푧=푧

Une représentation paramétrique de (D) est donc donnée par : 푥=2푡+1푦=푡−2 푧=푡

Exercie 6 A tout réel t, on associe le point M(t) de coordonnées x(t) = cos t + 3 sin t + 1, y(t) = cos t −

3 sin t + 1 et z(t) = −2 cos t + 1. 1. Calculer x(t) + y(t) + z(t). 2. Calculer x2 (t) + y2 (t) + z2 (t). 3. En déduire que M(t) est toujours élément d'un cercle dont on precisera le centre et le rayon. Corrigé : 1. La Un calcul direct prouve que x(t)+y(t)+z(t) = 3. Ainsi, le point M(t) est toujours élément du plan P d’équation x + y + z = 3. 2. Un calcul direct prouve que x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) = 9. Ainsi, le point M(t) est toujours élément de la sphère S d’équation x

2 + y

2 + z

2 = 9. 3. M(t) est toujours sur le cercle C intersection de P et de S. Le centre de ce cercle est le projeté orthogonal de O, centre de la sphère, sur le plan P. On cherche donc A(x, y, z) ∈ P tel que le vecteur 푂퐴

(x, y, z) est colinéaire à 푢 (1, 1, 1) (vecteur normal du plan). On trouve A(1, 1, 1). Pour trouver le rayon du cercle, on peut calculer la distance AM(0) par exemple. Puisque M(0) a pour coordonnées (2, 2,−1), on trouve AM(0) = 6. On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle OAM(0), qui est rectangle en A. On trouve à nouveau AM(0)

2 = OM(0)

2 − OA

2 = 9 − 3 soit AM(0) =

6. Exercie 7 Soit S une sphère de centre O et de rayon R > 0. Soient également deux points A et B de S. On cherche a déterminer, parmi les arcs de cercle tracés sur la sphère et joignant A et B, celui qui est le plus court. Soit C un tel arc de cercle, intersection du plan P et de S. On note H le projeté orthogonal de O sur P, r le rayon de l'arc de cercle, a = AB, et 휃 l'angle (퐻퐴,퐻퐵 ). Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 10 1. Démontrer que sin(휃 /2) = a/2r. 2. En déduire que la longueur de C est 푎휃2sin⁡( 휃2 )

. 3. Démontrer que 휃≥ 2 arcsin(a/2R). 4. Conclure. Corrigé : 1. Le triangle HAB est isocèle en H, avec HA = HB = r, AB = a, et 휃 l’angle en H. On en déduit immédiatement la relation demandée (par exemple en considérant le triangle rectangle HCB, où C est le milieu de [AB], et en écrivant les relations trigonométriques dans ce triangle). 2. La longueur de l’arc de cercle est l = r 휃. Il suffit alors de remplacer r par la valeur trouvée précédemment. 3. Dans l’intervalle [0, 휋/2], la fonction sin est croissante. De plus, on sait que r ≤R. On en déduit que : sin⁡(휃 2 )≥푎 2푅

⇒휃≥2arcsin⁡(푎 2푅

) 4. La longueur de l’arc de cercle vaut f(휃) = 푎휃2sin⁡( 휃2 )

, où 휃 parcourt l’intervalle [2 arcsin(a/2R), 휋]. Mais f est dérivable sur cet intervalle, et sa dérivée vaut : 푓′ 휃= acos휃 2(2tan 휃2 −휃)4푠푖푛 2( 휃

2 )

Or, sur l’intervalle [0, 휋/2], tan(x) ≥ x, et donc 푓′ (휃)≥0. Ainsi, f est croissante, et la longueur minimale est atteinte au début de l’intervalle, c’est-à-dire pour 휃 = 2 arcsin(a/2R), où, ce qui est plus clair, pour r = R. Les plus courts arcs de cercle allant de A et B et tracés sur la sphère sont donc les arcs de grand cercle. Ils sont donnés par l’intersection de la sphère et du plan défini par les trois points O, A,B. Si ces trois points ne sont pas alignés, il existe un seul grand cercle passant par A et B. En particulier, bien que Lyon et Montréal soit sensiblement à la même latitude, un avion effectuant ce trajet n’emprunte pas le parallèle, mais un arc de grand cercle qui l’emmène bien plus au nord. Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 11 Exercices complémentaires Exercie 8

Par rapport au repère (푖 ,푗 ,푘

)orthonormé direct, soit 푈

=(0,3,1) et 푉

=(0,1,2) a) Calculer 푈

.푉 et l’angle 휑=(푈,푉 ) . b) Déterminer les cosinus directeurs de 푈 et 푉

. c) Calculer les composantes de 푊=푈 ∧푉 ; puis 푊 par deux méthodes différentes. d) Calculer le produit mixte (푈,푉 ,푊

). Exercie 9

Dans le plan , considérons les points A(-2;3) , B(3;4) et C(0;7) . a. Calculer les composantes du vecteur 퐴퐵 . b. Calculer les coordonnées du point situé au quart (à partir de A ) du segment [AB]. c. Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme. d. Les vecteurs 퐴퐵 et 퐴퐶 sont-ils colinéaires ? Comment cela se manifeste-t-il algébriquement via un calcul avec les composantes ? e. Ecrire 퐴퐵 comme combinaison linéaire de 퐴퐵 et 퐴퐶 , géométriquement, puis algébriquement. Exercie 10

Etant donnés trois vecteurs 푎 ,푏

,푐 , on considère le double produit vectoriel : 푎 ∧(푏

∧푐 ). 1- Calculer les composantes du double produit vectoriel. 2- En déduire la relation : 푎 ∧푏 ∧푐 =b

(c .a )−c (a .b

) 3- Montrer que si 푎 푒푡 푏 sont perpendiculaires, on a : 푎 +푏= 푎 −푏

La réciproque est-elle vraie ? Exercie 11

Etant donnés deux vecteurs orthogonaux 푈 푒푡 푉. a) Montrer qu’il existe un vecteur 푊 orthogonal à 푈 tel que : 푊 ∧ 푈

=푉 . Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 12 b) En déduire que la solution générale de la division vectorielle est : 퐴=푊 +휆푈

. Exercie 12

Soit 푂,푖 ,푗 ,푘 un repère orthonormé. Soit C le cercle de centre O et de rayon R situé dans le plan (O, x, y). Soit P un point du cercle, tel que (OP) forme un angle θ avec l’axe (Ox) (avec 0 < θ < π/2). 1. Déterminer les composantes du vecteur unitaire 푢 colinéaire à 푂푃

. 2. Déterminer les composantes du vecteur 푣 tel que la base 푢 ,푣 ,푘

soit orthonormée directe. 3. En déduire l’équation de la droite (D) tangente au cercle au point P. 4. Soit A le point d’intersection entre (D) et (Ox), et B entre (D) et (Oy). Déterminer les composantes du vecteur 퐴퐵 puis sa norme. Discuter les cas : θ = π/4, θ → 0, θ → π/2. Exercie 13

Soient B

0 = (푖 ,푗 ,푘

), B

1 = (푢 ,푣 ,푘

), B

2 = (푢 ,푣 ,푧 ) et B

3 = (푥 ,푦 ,푧 ) quatre bases orthonormées directes de IR3 , d ́efinies telles que : B

1 s’obtient de B

0 par une rotation d’angle ψ autour de 푘

. B

2 s’obtient de B

1 par une rotation d’angle θ autour de 푢 . B

3 s’obtient de B

2 par une rotation d’angle φ autour de 푧 . Les angles (ψ, θ, φ) sont appelés angles d’Euler. 1. Exprimer dans B

0 les vecteurs unitaires de B1 , B

2 et B3 , puis les vecteurs 푖 ∧푢 ; 푖 ∧푣 ; 푗 ∧푧 , 푘

∧푥 ; (휔 ∧푦 )∧푖 . 2. Soit Ω=αk +βu +δz . Exprimer Ω dans chacune des bases. Ω∧k .x et Ω

∧x .(Ω∧k ). Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 13 2 Chapitre Cinématique du Point Matériel Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 14 Objectifs : Décrire les caractéristiques d’un mouvement : vitesse, accélération, trajectoire ; Définir le vecteur rotation ; Différencier entre réferentiels absolu, relatif et d’étude ; Illustrer la distinction entre vitesse absolue, relative et d’entrainement (relation de transfert) ; Comprendre et utilisé la formule de compostion des accélérations; Apprendre à choisir le bon système de coordonnées en fonction du problème étudié; Classer les référentiels d’utilisation en fonction de leur caractère galiléen approché. Prérequis : Notions sur la dérivée et l’intégration vues en mathématiques; Notions en mathématique concernant les coniques (ellipse, hyperbole, parabole). René Descartes : (1596-1650)

René Descartes a écrit les principes de la philosophie en 1644, dont l’objectif est de « donner des fondements rigoureux à la philosophie» .La physique

cartésienneest fondée

sur l’identification de la matière avec la quantité géométrique : la pesanteur et le mouvement sont ramenés à une explication mécaniste.Sa descriptiondu mondeest essentiellement cinématique, le mouvement se transmettant de proche en proche par contact. Dans les Principes de la Philosophie, Descartes distingue la cause première de tous les mouvements (Dieu, auteur de la nature), des causes secondes appelées les lois De la nature, qui régissent le mouvement des parties de la matière. Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 15

Exercice 1

Au tennis, un lob est réussi lorsque la balle passe audessus de l’adversaire et retombe avant la ligne de fond de court (12m du filet). Le joueur 1, situé à d

1 = 2m du filet (de hauteur 1m), tape la balle à une hauteur z

0 = 30cm et lui communique une vitesse 푣 0 contenue dans un plan vertical, de valeur 푣0 =36 km.h-1 , et formant un angle 훼=60° avec l’horizontale. On négligera les forces de frottement. On prendra g = 9,8m.s-2 . 1. Déterminer les équations horaires du centre d’inertie G de la balle dans le repère (푂,푖 ,푘

) représenté sur la figure (la balle est frappée à la date t = 0). 2. En déduire l’équation de la trajectoire de la balle. 3. La balle passe-t-elle au dessus du filet ? 4. Le joueur 2 est de l’autre coté du filet. Il tend sa raquette verticalement pour essayer de toucher la balle : le tamis de sa raquette est alors situé à une hauteur h = 2,3m. A quelle distance du filet le joueur 2 doit-il se placer ? 5. Si le joueur 2 se trouve à une distance d

2 = 4m du filet, peut-il intercepter la balle ? Le lob est-il réussi ? 6. Caractériser le vecteur vitesse 푣 de la balle lors de son impact sur le sol. Corrigé : 1. La méthode est rigoureusement la même que pour l’exercice de ballistique. On a avec le PFD en réf galiléen : 푥 =0

푦 =0 푧 =0

⇒ 푥 =푣0 푐표푠훼

푦 =0

푧 =−푔푡+푣0 푠푖푛훼

⇒ 푥=푣0 푡푐표푠훼푦=0 푧=−푔푡 22 +푣0 푡푠푖푛훼+푧0 2. Trajectoire : on élimine le temps : 푧=−푔푥 22(푣 0푐표푠훼) 2

+푥푡푎푛훼+푧0 3. Au niveau du fil, x = d

1 = 2m⇒ z = 3m > 1m, la balle passe. 4. On trouve la distance x1 entre le joueur 1 et le joueur 2 en imposant h dans l’équation de la trajectoire : 2 solutions : x

1’ = 1,4m ne convient pas, car dans le terrain du joueur 1. x

1’’ = 7,5m convient, le joueur 2 doit donc se placer à 5,5m du filet. Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 16 5. Si d

2 = 4m, il est trop près du filet, le lob réussi si la balle atterri dans le court, donc si pour z = 0, x < 14m. On vérifie que cela fonctionne : x(z=0) = 7m. 6. A l’impact : 푣푥 =푣0 푐표푠훼=5푚/푠푣 푦=0 푣푧 =−푔푥 푣0 푐표푠훼+푣 0

푠푖푛훼=−9푚/푠⇒푣= 푣푥 2+푣 푧

2 =10.3 푚/푠 Angle avec le sol : 푡푎푛훽=푣 푧푣 푥

=1.8⇒훽=61°

Exercice 2

Un skieur aborde successivement les différentes parties d’une pente dont le profil est schématisé ci-contre. 1. Il remonte à vitesse constante la piste AB inclinée d’un angle 훼=30° par rapport à l’horizontale. Il est tracté par la perche d’un téléski qui exerce une force de traction ayant même direction que la perche. Elle forme un angle 훽 = 20° avec la pente. L’ensemble des forces de frottement exercées par la neige sur les skis et l’air sur le skieur est équivalent à une force unique 퐹

1 de valeur 65N, opposée au mouvement. Calculer la valeur de la force de traction exercée par la perche. 2. Arrivé au sommet de la pente en B, il lâche la perche avec une vitesse 3,2m.s-1 . Il est alors sur une surface plane et horizontale. Quelle distance va-t-il parcourir avant de s’arrêter, en admettant que l’ensemble des forces de frottement est équivalent à une force de valeur F2 =42N ? 3. Il aborde ensuite une pente CD inclinée d’un angle 훼

′ = 35° par rapport au plan horizontal. La valeur des forces de frottement peut plus être considérée comme constante et on admettra qu’elle est proportionnelle au carré de la vitesse F

3 = kv2 , avec k = 0,56N.s-2 .m-2 . Quelle vitesse limite v

lim le skieur peut-il atteindre ? 4. Il aborde un tremplin de saut EF incliné d’un angle =15° par rapport à l’horizontale. Pour simplifier l’étude, on ne prendra pas en compte les forces exercées par l’air. Par ailleurs, on considérera que sa vitesse en F vaut 25m.s-1 . Calculer la longueur du saut s’il retombe sur une surface plane et horizontale située à 5m au dessous de F. Données : masse du skieur m = 80kg, pesanteur g = 9,8m.s-2 . Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 17 Corrigé : Bien penser à faire l’inventaire des forces pour chacune des phases, et un PFD dans le référentiel terrestre qui peut être supposé galiléen... 1. Tension de la perche : 푇=퐹 1+푚푔푠푖푛훼 푐표푠훽

=486 푁 2. Distance parcourue : 푥−푥0 =9.8 푚 4. Même problème que la balistique : on injecte y = -5m dans l’équation de la trajectoire : équation du second degré à résoudre, qui nous donne x

1 = 46,3m.

Exercice 3

Soient ℜ(푂,푖 ,푗 ,푘

) un repère cartésien muni de la base (푖 ,푗 ,푘

) et ℜ′(푂,푒 휌

,푒 휑,푘 ) le repère cylindrique muni de la base (푒 휌

,푒 휑,푘 ). Considérons un point matériel 푀 de coordonnées cartésiennes (푥,푦,푧) et cylindriques (휌,휑,푧). 1) Faire une représentation des vecteurs des deux bases associées à ℜ et ℜ′ et des coordonnées du point 푀. 2) Donner les expressions du vecteur position 푂푀 et du déplacement élémentaire 푑푂푀 dans les deux repères ℜ et ℜ′. 3) En déduire la surface et le volume d’un cylindre d’axe (푂푧), de hauteur 푕 et de rayon 푅. 4) Déterminer les expressions de 푥, 푦 et 푧 en fonction de 휌, 휑 et 푧. 5) Déterminer les expressions de 휌, 휑 et 푧 en fonction de 푥, 푦 et 푧. 6) Déterminer les expressions de 푥 , 푦 et 푧 en fonction de 휌, 휑 et 푧 et leurs dérivées par rapport au temps 휌 , 휑 et 푧 . 7) Déterminer les expressions des vecteurs de la base (푖 ,푗 ,푘

) en fonction de celles de la base (푒 휌

,푒 휑,푘 ). Corrigé : 1. voir polycopié du cours. 2. Dans ℜ(푂,푖 ,푗 ,푘

) : 푂푀

=푥푖 +푦 푗 +푧푘 et 푑푂푀

=푑푥푖 +푑푦 푗 +푑푧푘

. Dans ℜ′(푂,푒 휌

,푒 휑,푘 ) : : 푂푀

=휌푒 휌

+푧푘 et 푑푂푀

=푑휌푒 휌

+휌푑휑푒 휑+푑푧푘 . 3. la surface et le volume d’un cylindre d’axe (푂푧), de hauteur 푕 et de rayon 푅 sont données par : Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 18 푆= 푑2 푆= 휌푑휌푑휑= 휌푑휌 푑휑=휋푅2 2휋0 푅0 푉= 푑3 푉= 휌푑휌푑휑푑푧= 휌푑휌 푑휑 푑푧푕 0=2휋푅푕 2휋0 푅0 4. les expressions de 푥, 푦 et 푧 en fonction de 휌, 휑 et 푧 : 푥=휌푐표푠휑푦=휌푠푖푛휑 푧=푧

5. les expressions de 휌, 휑 et 푧 en fonction de 푥, 푦 et 푧 : 휌=푥 2+푦 2

휑=arctan⁡(푦 푥) 푧=푧

6. les expressions de 푥 , 푦 et 푧 en fonction de 휌, 휑 et 푧 et leurs dérivées par rapport au temps 휌 , 휑 et 푧 : 푥 =휌 푐표푠휑+휌휑 푠푖푛휑

푦 =휌 푠푖푛휑−휌휑 푐표푠휑

푧 =푧 7. les expressions des vecteurs de la base (푖 ,푗 ,푘

) en fonction de celles de la base (푒 휌

,푒 휑,푘 ) : 푖 =푐표푠휑푒 휌

−푠푖푛휑푒 휑

푗 =푠푖푛휑푒 휌

+푐표푠휑푒 휑푘 =푘

Exercice 4

On considère un point matériel 푀 se déplaçant dans un référentiel ℜ(푂,푥푦푧) muni de la base (푖 ,푗 ,푘

). Les coordonnées du point 푀 dans le référentiel ℜ sont données par :푥 푡=푡+1 ,푦 푡=푡 2+1 et푧 푡

=0 . (t étant le temps) 1. Donner l’équation de la trajectoire de 푀 dans ℜ. En déduire sa nature. 2. Calculer la vitesse 푉

(푀/ℜ) et l’accélération 훾 (푀/ℜ) du point 푀. Corrigé : 1. on a : 푦푡 =푡2 +1=(푥푡 −1)2 +1

: c’est l’équation d’une parabole. 2. la vitesse 푉푀 ℜ =푥 푖 +푦 푗 =푖 +2푡푗 et l’accélération 훾 푀

ℜ =푥 푖 +푦 푗 =2푗

Exercices et examens résolus: Mécanique du point matériel M. BOURICH 19

Exercice 5

On considère une courbe (퐶) sur laquelle se déplace un point matériel 푀 d’abscisse curviligne 푠(푡). Le vecteur vitesse du point 푀 dans un repère orthonormé direct ℜ(푂,푖 ,푗 ,푘

) est 푉

(푀/ℜ) de module 푉. On définit la base locale (ou base de Frenet) (휏 ,푛 ,푏

) telle que 푉

(푀/ℜ)=푉휏 . 1) Que désignent les vecteurs 휏 , 푛 et 푏 ? 2) Quelle relation existe-t-il entre 푠(푡) et 푉 ? 3) Montrer que l