Mécanique du point : Td 5 mecanique equilibre
Télécharger PDFÉtude de la stabilité de l'équilibre d'un point matériel sur un support circulaire
On se propose d'étudier la stabilité de l'équilibre d'un point matériel contraint à se déplacer sur un support donné.
Partie A
1. Représenter les forces qui s'appliquent au point P sur quatre schémas distincts correspondant aux quatre cas suivants :
- 0 < θ < π/2
- π/2 < θ < π
- π < θ < 3π/2
- 3π/2 < θ < 2π
Observer les quatre schémas et expliquer pourquoi dans certains quadrants l'équilibre n'est pas possible. Indiquer lesquels.
2. Montrer que la relation α = θ/2 n'est valable que si θ est compris entre -π et +π. En déduire que la base polaire n'est pas adaptée pour traiter ce problème.
3. Exprimer dans la base intrinsèque les différentes forces qui s'appliquent au point P. En déduire les valeurs de θ pour lesquelles l'équilibre est réalisé.
Partie B
Ces positions d'équilibre peuvent être retrouvées en faisant une étude des variations de l'énergie potentielle de la perle en fonction de sa position définie par l'angle θ.
1. Vérifier que la force F dérive d'une énergie potentielle Ep1. Établir l'expression de Ep1 en fonction de θ. On considère que cette énergie est nulle lorsque la longueur du ressort est nulle, c'est-à-dire lorsque la perle se trouve en A.
2. Établir, en fonction de θ, l'expression de l'énergie potentielle Ep2 dont dérive le poids en prenant l'origine des énergies sur l'horizontale passant par O, c'est-à-dire sur le diamètre AB. Établir alors l'expression de l'énergie potentielle totale Ep de la perle P.
3. De l'expression de Ep, déduire les positions de la perle correspondant à des positions d'équilibre et déterminer la stabilité de l'équilibre pour chacune d'elles.
FAQ
Qu'est-ce qu'une base intrinsèque en mécanique ?
La base intrinsèque est un système de coordonnées lié au mobile, constitué de deux vecteurs unitaires : un vecteur tangent à la trajectoire et un vecteur normal pointant vers le centre de courbure.
Pourquoi la base polaire n'est-elle pas adaptée ici ?
La base polaire utilise des angles qui peuvent dépasser 2π, ce qui complique l'analyse des forces et de l'équilibre dans ce cas précis où les positions sont limitées entre -π et +π.
Comment déterminer la stabilité d'un équilibre ?
Un équilibre est stable si une petite perturbation du système entraîne une force ou un moment qui tend à le ramener vers sa position initiale. Sinon, il est instable.