Mécanique du point : Td 5 mecanique equilibre
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Licence Sc. et Tech.1`ere année-S2
Mécanique
TD 5
Exercice 1
Equilibre
On se propose d'étudier la stabilité de l'équilibre d'un point matériel contraint à se dé-
placer sur un support donné.A Px Oz θα B
Figure1
Une perle, en lée sur un l circulaire et rigide peut glisser sans frottement sur ce dernier
situé dans un plan vertical. La perle est représentée par un point matérielPde massem
qui se déplace sur une circonférence de centreOet de rayona.Pest également soumis à
une force dirigée versA, extrémité du diamètre horizontalAB,−→ F=−k−→ AP
(Cette force peut être obtenue par un ressort dont la longueur au repos est négligeable
devantAP, quelle que soit la position dePsur la circonférence).
- Partie A -
1.Représenter les forces qui s'appliquent au pointPsur quatre schémas distincts cor-
respondants aux quatre cas suivants :
0< θ < π/2,π/2< θ < π,
π < θ <3π/2,3π/2< θ <2π.
Observer les quatre schémas et expliquer pourquoi dans certains quadrants l'équilibre
n'est pas possible. Indiquer lesquels.
2.Montrer que la relationα=θ/2 n'est valable que siθest compris entre−πet +π.
En déduire que la base polaire n'est pas adaptée pour traiter ce problème.3. Exprimer dans la base intrinsèque les diérentes forces qui s'appliquent au pointP.
En déduire les valeurs deθpour lesquelles l'équilibre est réalisé.
- Partie B -
Ces positions d'équilibre peuvent être retrouvées en faisant une étude des variations de
l'énergie potentielle de la bille en fonction de sa position dé nie par l'angleθ.
1. Véri er que la force−→ Fdérive d'une énergie potentielleEp1 . Etablir l'expression deE p1
en fonction deθ. On considère que cette énergie est nulle lorsque la longueur du
ressort est nulle, c'est-à-dire lorsque la perle se trouve enA.
2.Etablir, en fonction deθ, l'expression de l'énergie potentielleEp2 dont dérive le poids
en prenant l'origine des énergies sur l'horizontale passant parOc'est-à-dire sur le
diamètreAB. Etablir alors l'expression de l'énergie potentielle totaleEp de la perleP. 3.De l'expression deEp déduire les positions de la perle correspondant à des positions
d'équilibre et déterminer la stabilité de l'équilibre pour chacune d'elles.
Exercice 2
Equilibre d'un système masse ressort
Un ressort de coe cient de raideurket de longueur au repos`0 a une de ses extrémités
xée en un point A situé à une hauteurhsur un axe vertical Oy. A l'autre extrémité
est xée une massempouvant glisser sans frottement le long d'une tige suivant Ox. La
longueur au repos`0 est strictement supérieure àh.
Figure2
1.Soit B d'abscissex0 la position de la masse M lorsque celle-ci est en équilibre à droite
de O (voir gure). Calculerx0 en fonction de`0 eth.
2.Représenter sur un schéma les forces qui s'exercent sur M.3. Calculer l'énergie potentielle en tout point. Représenter qualitativement la courbe de
l'énergie potentielle Ep en fonction de x.
4.Rappeler la dé nition de l'équilibre stable.
5.Le point d'équilibre B est-il stable ou instable ?6. Pourquoi O est-il aussi un point d'équilibre ? Cet équilibre est-il stable ?
7.Existe-t-il un autre point d'équilibre (stable ou instable ?) sur l'axe Ox ?